(SKKN 2022) ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT

I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Để phát triển lực toán học cho học sịnh, đặc biệt học sinh lớp 12 giúp em có kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT Tác giả nhận thấy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chương trình giải tích lớp 12 nội dung quan trọng có nhiều ứng dụng mơn tốn, điều được thể thơng qua việc kiến thức của chương chiếm tỉ lệ cao đề thi THPT Số câu hỏi ở mức vận dụng vận dụng cao của chương cũng mang đến cho giáo viên học sinh những quan tâm đặc biệt, phải kể đến toán chứa tham số Qua trình giảng dạy tại trường THPT Tĩnh Gia 2, tác giả nhận thấy nội dung của chương tạo hứng thú học tập cho em học sinh, việc học tốt nắm vững kiến thức của chương sẽ tạo đà cho việc học tập chương khác tốt Các năm dạy học ôn thi tốt nghiệp THPT tác giả rút được điều cần phải bồi dưỡng cũng phát triển lực tư kết hợp phân tích trực quan suy luận logic để giải số toán chương giải tích lớp 12 Các dạng tốn chứa tham số ln được giáo viên học sinh qua tâm tìm hiểu, đặc biệt đối tượng học sinh giỏi ôn thi vào trường đại học Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT hàng năm thì câu hỏi ở mức vận dụng, vận dụng cao ở chương ứng dụng đạo hàm chiếm tỉ lệ cao, tốn chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) cũng thường xuyên xuất Từ những lý nêu trên, cùng nghiên cứu của tác giả kết hợp chia se kinh nghiệm của đồng nghiệp Tác giả đã đúc rút được những kinh nghiệm quý báu thành đề tài “Ba toán chứa tham số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT ” để áp dụng giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi Đại học tại trường THPT Tĩnh Gia 2 Mục đích nghiên cứu Trong đề tài tác giả nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển lực tư của học sinh thông qua toán liên quan đến khảo sát hàm số chương trình giải tích lớp 12 với mục đích sau: - Kết hợp phân tích đồ thị của hàm số y  f ( x; m) để đưa điều kiện tương đương của tốn giúp học sinh lĩnh hội kiến thức khó trở nên đơn giản - Đưa nhiều hướng tiếp cận cho cùng toán giữa việc phân tích dấu hiệu của tốn - Học sinh nắm vững chất của lập luận thông qua việc phân tích trường hợp xảy của toán tìm điều kiện để hàm số đơn điệu, số cực trị của hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ của hàm số y  f ( x; m) - Rèn luyện cho học sinh lực giải vấn đề toán học để tạo hứng thú học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện phẩm chất, lực học sinh về nhiều mặt - Kết nghiên cứu để làm tài liệu giảng dạy cho đồng nghiệp tổ Toán Tin trường THPT Tĩnh Gia Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp dạy học hình thành phát triển lực của học sinh - Học sinh thi tốt nghiệp THPT để xét Đại học Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển lực của học sinh - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích định hướng của từng toán, sử dụng kinh nghiệm của thân để giúp học sinh phát triển lực phân tích, tổng hợp - Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đởi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dị học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của em Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Trong đề tài tác giả đã nêu lên được kết hợp trực quan đồ thị lập luận có lý giúp học sinh dệ hiểu nắm vững chất của toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) : Bài toán đơn điệu; toán cực trị; toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ - Phân tích được dấu hiệu của từng toán đưa được nhiều định hướng khác giúp học sinh dễ dàng tìm hướng giải tốn - Sử dụng mơ hình lực giải vấn đề toán học để phân tích định hướng giúp học sinh phát triển lực đọc hiểu dữ liệu câu hỏi; lực suy luận toán học; lực thực tính toán; lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn giải vấn đề toán học II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận 1.1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm số a Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f ( x) xác định K Ta nói + Hàm số y  f ( x) đồng biến K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ); + Hàm số y  f ( x) nghịch biến K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b Định lý Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm K + Nếu f '( x)  với x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến K + Nếu f '( x)  với x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến K ( f '( x)  chỉ tại số hữu hạn điểm K ) c Đồ thị hàm số đơn điệu + Nếu hàm số đồng biến K thì đồ thị lên từ trái sang phải + Nếu hàm số nghịch biến K thì đồ thị xuống từ trái qua phải 1.2 Cực trị hàm số a Định nghĩa Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục khoảng  a; b  điểm x0   a; b  + Nếu tồn tại số h  cho f ( x)  f ( x0 ) với x   x0  h ; x0  h  x  x0 thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0 + Nếu tồn tại số h  cho f ( x)  f ( x0 ) với x   x0  h ; x0  h  x  x0 thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x0 b Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý: Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục khoảng K  ( x0  h ; x0  h) có đạo hàm K K \  x0  , với h  + Nếu f '( x)  khoảng  x0  h ; x0  f '( x)  khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 điểm cực đại của hàm số y  f ( x) + Nếu f '( x)  khoảng  x0  h ; x0  f '( x)  khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) 1.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a Định nghĩa Cho hàm số y  f ( x) xác định tập D + Số M được gọi giá trị lớn của hàm số y  f ( x) tập D f ( x )  M với x thuộc D tồn tại x0  D cho f ( x0 )  M f ( x) Kí hiệu M  max D + Số m được gọi giá trị nhỏ của hàm số y  f ( x) tập D f ( x )  m với x thuộc D tồn tại x0  D cho f ( x0 )  m f ( x ) Kí hiệu m  D b Định lý Mọi hàm số liên tục đoạn đều có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn 1.4 Đồ thị hàm số y  f ( x)  f ( x) nê´u f ( x)   f ( x) nê´u f ( x)  Ta có y  f ( x)   Do đờ thị hàm số y  f ( x) được suy từ đồ thị hàm số y  f ( x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trục hoành + Lấy đối xứng qua trục hồnh phần đờ thị hàm số y  f ( x) nằm trục hồnh Đờ thị hàm số y  f ( x) Đồ thị hàm số y  f ( x) Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Thực tế dạy học kết kỳ thi tốt nghiệp THPT tại trường THPT Tĩnh Gia 2: + Về phía giáo viên: Đa phần đồng nghiệp tại trường THPT Tĩnh Gia ít dạy toán ở mức vận dụng cao, phần vì lực học sinh đại trà cịn thấp phần vì khó khăn việc tìm kiếm hướng giải cho toán vận dụng cao, từ tạo nên tâm lý e ngại gặp phải tốn khó, lâu dài dẫn đến việc giảng dạy cho học sinh ôn thi đại học gặp khó khăn + Về phía học sinh: Sự tiếp cận toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y  f ( x; m) ở mức độ vận dụng vận dụng cao chỉ ở phận nhỏ em học sinh, tài liệu hướng dẫn chưa nhiều dẫn đến kết học tập thi chưa cao Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x; m) đơn điệu khoảng cho trước 3.1.1 Hàm số y  f ( x; m) đồng biến khoảng  a; b  Phương pháp phát giải vấn đề Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách giải tốn xét đờng biến, nghịch biến của hàm số y  f ( x) ; toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) đồng biến khoảng  a; b  Bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) đồng biến  a; b  có giải được khơng? Sau tiếp cận câu hỏi thì học sinh sẽ có những suy nghị nảy sinh nhiều định hướng khác Nhưng có vấn đề đặt phương pháp giải cho tốn có giống dạng đã gặp khơng? Hay có cách khác để giải tốn nữa khơng? Bước 2: Tìm tòi hướng giải toán Sau đặt câu hỏi 1, học sinh đã tư phân tích toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại điều kiện tương đương của toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) đồng biến khoảng  a; b  ? + Ở bước học sinh sẽ trình bày được điều kiện tương đương f '( x ; m )  0; x (a ; b) + Đến giáo viên tiếp tục phân tích, tìm được đạo hàm của hàm số y  f ( x; m) thì sẽ sử dụng điều kiện tương tự Và đặt câu hỏi Câu hỏi 3: Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối để lấy được đạo hàm của hàm số y  f ( x; m) + Ở bước học sinh sẽ có định hướng:  f ( x; m) nê´u f ( x; m)  y  f ( x; m)    f ( x; m) nê´u f ( x; m)  Hoặc y  f ( x; m)   f ( x; m)  + Phân tích: Ở bước giáo viên cần phân tích để học sinh thấy được việc sử dụng y  f ( x; m)   f ( x; m) để tính đạo hàm Khi tìm được đạo hàm thì đã quy về toán quen y '  0; x  (a ; b) Bước 3: Trình bày lời giải tốn Ta có y  f ( x m)   f ( x; m)   y' f '( x; m) f ( x; m)  f ( x; m) = f '( x; m) f ( x; m) f ( x; m) Để hàm số y  f ( x; m) đồng biến khoảng  a; b   y '  0, x  ( a; b) ( f ( x; m)  )   f '( x; m)  , x(a; b)  f ( x ; m )    f '( x; m) f ( x; m)  0, x  (a; b)     f '( x; m)   , x(a; b)   f ( x; m)  Bước 4: Đánh giá lời giải nghiên cứu sâu tốn Bằng cách biến đởi y  f ( x; m)   f ( x; m)  đã quy toán về toán quen  y '  0, x  (a; b) Bài tốn cịn có cách giải khác: Cách 2: Sử dụng đồ thị - Phân tích: Nếu đồ hàm số y  f ( x; m) thị cắt trục Ox ← Ta suy đồ thị hàm số y  f ( x; m) sau Vì vậy hàm số y  f ( x; m) không đơn điệu khoảng  a; b  được (Nên đồ thị hàm số cắt trục Ox được, ta chỉ có hai trường hợp sau đây) Trường hợp 1: Điều kiện toán trường hợp  f '( x; m)   f '( x; m)  x  (a; b)   x  (a; b)   f ( x; m)   f (a)  Trường hợp 2:  f '( x; m)  , x  (a; b)  f ( x; m)   f '( x; m)    , x  (a; b)  f (a)  Điều kiện của toán trường hợp  Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Trong trường hợp y '  nhẩm được nghiệm thì ta lập bảng biến thiên sau giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của toán 3.1.2 Hàm số y  f ( x; m) nghịch biến khoảng  a; b  Phân tích tương tự tốn đờng biến ta có: Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến Ta có y  f ( x; m)   f ( x; m)  y' f '( x; m) f ( x; m)  f ( x; m) = f '( x; m) f ( x; m) f ( x; m) Để hàm số y  f ( x; m) nghịch biến khoảng  a; b   y '  0, x  (a; b) ( f ( x; m)  )   f '( x; m)  , x(a; b)  f ( x ; m )    f '( x; m) f ( x; m)  0, x  (a; b)     f '( x; m)   , x(a; b)   f ( x; m)  Cách 2: Sử dụng đồ thị Trường hợp 1: Điều kiện toán trường hợp  f '( x; m)   f '( x;)  , x  (a; b)   , x  ( a; b)   f ( x; m)   f (b)  Trường hợp 2: Điều kiện toán trường hợp  f '( x; m)   f '( x; m)  , x  (a; b)   , x  (a; b)   f ( x; m)   f (b)  Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Trong trường hợp y '  nhẩm được nghiệm thì ta lập bảng biến thiên sau giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của toán Các trường hợp đơn điệu  a; b , (;b  ,  a;   ,  a;   ,  ;b  ta phân tích tương tự 3.1.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tởng tất giá trị nguyên thuộc  5;5 của tham số m để hàm đồng biến khoảng  1;5 B 1 C D số y  x  (m  1) x  (2m  3) x  A Lời giải: Đặt f ( x)  x3  (m  1) x  (2m  3) x  Cách 1: Sử dụng đồ thị Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hồnh có đởi dấu khoảng  1;5 thì đồ thị hàm số y  f ( x) không đơn điệu  1;5 Nên y  f ( x) không đổi dấu khoảng  1;5  hàm số y  f ( x) đồng biến  1;5  xảy hai trường hợp Trường hợp 1: Hàm số y  f ( x) đờng biến đờ thị nằm phía trục hồnh khoảng  1;5  x  2(m  1) x  2m    f '( x)   x  (1;5)   x  (1;5)  f ( x)   f (1)  x    2m( x  1)   x  x  m , x  (1;5)      x  (1;5)   13 m     m  13   x   ( ) 1  m  Max  1;5 13   m  m  13  Trường hợp 2: Hàm số y  f ( x) nghịch biến đờ thị nằm phía trục hồnh khoảng  1;5  x  2(m  1) x  2m    f '( x )   , x  (1;5)   , x  (1;5)  f ( x)   f (1)  x    2m( x  1)   x  x  m , x  (1;5)      , x  (1;5)   13 3m    m  13   x   ( )  1  m  Min  1;5   m  1  m  13  13  m  Cả hai Trường hợp ta được   m  1 Vì m nguyên thuộc  5;5  m   5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5 Vậy tổng giá trị của m thỏa mãn toán bằng 1 Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến Ta có y  f ( x )   f ( x)  y'  f '( x ) f ( x)  f ( x)  = f '( x) f ( x ) f ( x) Để hàm số y  f ( x) đồng biến khoảng  1;5  y '  0, x  (1;5) ( f ( x)  )  f '( x) f ( x)  0, x  (1;5)  f '( x)   f '( x)  , x  (1;5)   , x  (1;5) Trường hợp 1:   f ( x)   f (1)   x  2(m  1) x  2m     , x  (1;5) f (1)   x    2m( x  1)   x  x  m , x  (1;5)      ,  x  (1;5)   13 3m    m  13   x   ( ) 1  m  Max  1;5 13   m  m  13   f '( x)   f '( x)  , x  (1;5)   , x  (1;5) Trường hợp 2:   f ( x)   f (1)   x  2(m  1) x  2m     x  (1;5)  f (1)  x    2m( x  1)   x  x  m , x  (1;5)      x  (1;5)   13 3m    m  13   9 x   ( )  1  m  Min  1;5   m  1  m  13  13  m  Cả hai trường hợp ta được   m  1 Vì m nguyên thuộc  5;5  m   5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5 Vậy tổng giá trị của m thỏa mãn toán bằng 1 Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Ta có f '( x)   x  2(m  1) x  2m    x  1   x   2m Trường hợp 1:  2m  1  m  (*) Ta có bảng biến thiên x   f ( x) f ( x)  2m f (3  2m)  1    f (1)  Từ bảng biến thiên suy Để hàm số y  f ( x) đồng biến khoảng  1;5  f (1)  13 13 kết hợp (*) ta được m  0  m Trường hợp 2:  2m  1  m  (**)  3m  Ta có bảng biến thiên x   f ( x) f ( x) 1 f (1)    2m    f (3  2m) Từ bảng biến thiên suy Để hàm số y  f ( x) đồng biến khoảng  1;5  có hai khả sau  m  1 5   2m    m  1 Khả 1:  13  f (1)  3m   kết hợp với (**) ta được m  1 m  3  2m  13     m Khả 2:  13  f (1)  3m   10 Do giải tốn ngồi nắm vựng phương pháp, phải phân tích toán để phát những điều kiện để toán trở nên ngắn gọn Bài 7: Cho hàm số y  sin x  m sin x  , gọi S tập hợp tất số tự nhiên   m cho hàm số đã cho đồng biến khoảng  0;  Tính số phần tử của S  2 A B C D Lời giải:    Đặt t  sin x , x   0;   t   0;1      Trên khoảng  0;  hàm số y  sin x đồng biến  2    Khi hàm số y  sin x  m sin x  đồng biến khoảng  0;  chỉ   hàm số y  t  mt  đồng biến  0;1 Xét hàm số f (t )  t  mt  khoảng  0;1 có f '(t )  3t  m Trường hợp 1: Nếu m  thì f '(t )   hàm số y  f (t ) đồng biến Để hàm số y  f (t ) đồng biến  0;1  f (0)    m Trường hợp 2: Nếu m  thì f '(t )   t   Ta có bảng biến thiên  x f ( x)   m  m   f ( x) Ta nhận thấy m    m m 0 3  m m  1  y  f ( t ) 0;1     m   Để hàm số đồng biến       f (0)   m  Từ hai trường hợp ta có Do m số tự nhiên  m  Nhận xét: Bài toán đạo hàm tìm được nghiệm nên ta sử dụng bảng biến thiên để phân tích đưa điều kiện tương đương Chúng ta ý điều kiện m m 0 để xét nhiều trường hợp khoảng  0;1 nằm 3  m m ;  hay nằm khoảng   3   m0  27 Bài 8: Cho hàm số y  ln(mx)  x  , có giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến khoảng (1; 4) ? Biết rằng m  2020 A 2018 B 2019 C D 2020 Lời giải: Xét hàm số f ( x)  ln( mx)  x  (1; 4) Do x   1;  , mx   m  x Để hàm số y  f ( x) nghịch biến (1; 4) chỉ f (4)  Ta có f '( x)    0, x   1;  hàm số f ( x) nghịch biến (1; 4) e2 Do m nguyên m  2020  m   2;3; 4; ; 2019  ln(4m)    m  Nhận xét: Đối với hàm số lôgarít cần ý tới điều kiện xác định Ở toán ta nhận thấy f '( x)  nên toán chỉ xảy trường hợp  f '( x)  , x  (1; 4)   f ( x)  PHỤ LỤC Bài tốn: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x; m) có n điểm cực trị 28 Bài 1: Cho hàm số y  x  2(m  1) x  2m  Có số nguyên không âm của tham số m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị A B C D Lời giải: Đặt f ( x)  x  2(m  1) x  2m  xác định ¡ Ta có f '( x)  x  4( m  1) x  x  x  ( m  1)  x   f '( x)     x  m 1 Trường hợp 1: m    m  Ta có f '( x)   x  ( nghiệm đơn nghiệm bội 3) Ta có bảng biến thiên  x  f ( x) 0    f ( x)  2m  Từ bảng biến thiên suy Để hàm số y  f ( x) có ba điểm cực trị  đờ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm phân biệt  2m    m  Trường hợp 2: m    m  kết hợp m  ta được m  x   Ta có f '( x)    x  m   x   m 1  Ta có bảng biến thiên x   f ( x) f ( x)  m 1   m  4m   2m    m 1    m  4m  Từ bảng biến thiên suy Để hàm số y  f ( x) có ba điểm cực trị  m  4m    m  thỏa mãn điều kiện m  m  Từ hai trường hợp ta có  m  Do m nguyên không âm nên m   0;1; 2 Bài 2: Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x3  (2m  1) x  (2m  2m  9) x  2m  có điểm cực trị ? A B C D 2 Lời giải: Đặt f ( x)  x  (2m  1) x  (2m  2m  9) x  2m  xác định ¡ Để hàm số y  f ( x) có điểm cực trị  hàm số y  f ( x) có điểm cực trị đồ thị y  f ( x) cắt trục hoành tại điểm phân biệt  Phương trình x3  (2m  1) x  (2m  2m  9) x  2m   (*) có nghiệm phân biệt 29 x   ( x  1)( x  2mx  2m  9)    2  g ( x)  x  2mx  2m   (**) Ta có phương trình (*) có nghiệm phân biệt  phương trình (**) có nghiệm  3  m    '   m 9      phân biệt khác   1  17  2m  2m   g(1)  m   Do m nguyên  m   2; 1;0;1; 2 Nhận xét: Hàm số bậc ba y  f ( x) có hai cực trị đờ thị cắt trục hồnh tại điểm phân biệt thì đờ thị hàm số y  f ( x) có điểm cực trị Đồ thị y  f ( x) Đồ thị y  f ( x) Bài 3: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị của tham số m để hàm số y  f ( x)  m có điểm cực trị A m  1 m  B 1  m  C m  1 m  D 1  m  Lời giải: Xét hàm số g ( x)  f ( x)  m xác định ¡ , có g '( x)  f '( x) Ta có y  g ( x)   g ( x)   y' g '( x ).g ( x ) g ( x) Suy số điểm cực trị của hàm số y  g ( x) số nghiệm đơn nghiệm bội le  g '( x)   f '( x )  (1)  của phương trình g '( x).g ( x)     g ( x)   f ( x )  m  (2) Từ đờ thị ta có Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Để hàm số y  g ( x ) có điểm cực trị  Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt khác x1 , x2  f ( x)  m có ba nghiệm phân biệt khác x1 , x2 , từ đồ thị suy 3  m  30  1  m  Vậy 1  m  hàm số y  f ( x)  m có điểm cực trị Nhận xét: Đây tốn điển hình cho việc phân tích đờ thị để xác định số giao điểm số cực trị của hàm số Bài 4: Cho hàm số y  x  m ( với m tham số thực) có nhiều bao x 1 nhiêu điểm cực trị? A Lời giải: B C D x xác định ¡ x 1 x  1  x2 Ta có g '( x)  2 ; g '( x)    ( x  1)  x  1 Xét hàm số g ( x)  Ta có bảng biến thiên x  1  g '( x) g ( x)   1   Ta nhận thấy hàm số g ( x) ln có hai điểm cực trị  Số điểm cực trị của hàm số y  g ( x)  m phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình g ( x)  m   x x m 0   m (1) x 1 x 1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có nhiều nghiệm Vậy hàm số f ( x) có nhiều điểm cực trị Nhận xét: Đây toán quen thuộc của hàm số y  f ( x) mà biết rằng số điểm cực trị của hàm số số điểm cực trị của hàm số f ( x) số nghiệm của phương trình f ( x)  ( không tính nghiệm kép) Bài tốn lập được m nên ta chọn cách lập bảng biến thiên hàm số g ( x)  x x 1 Bài 5: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đờ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị của tham số m để hàm số y  f ( x)  f ( x)  m có điểm cực trị A m  B m  C m  D m  Lời giải: 31 Xét hàm số g (x)  f ( x)  f ( x)  m xác định ¡ Ta có g '( x)  f '( x) f ( x )  f '( x)  f '( x)  f ( x)  1   g (3)  m   g (1)  f (1)  f (1)  m  m   g (a )  m   x   f '( x )    g '( x)     x  ta có  f ( x)    x  a   Ta có bảng biến thiên x  a  g '( x)   g( x) m g (1)     m Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số g ( x) có điểm cực trị 4 Để hàm số y  g ( x ) có điểm cực trị  m    m  hàm số y  f ( x)  f ( x)  m có điểm cực trị Nhận xét: Bản chất của toán hàm số y  f ( x ) Nhưng m cô lập nên ta chọn cách lập bảng biến thiên để xác định số điểm cực trị của hàm số f ( x) , sau dựa vào bảng biến thiên để xác định số nghiệm của phương trình f ( x)  Vậy m  PHỤ LỤC Bài toán: Cho hàm số y  f ( x; m) Tìm m để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn  a; b thỏa mãn điều kiện cho trước 32 Bài 1: ( Đề tham khảo THPT QG 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị của tham số thực m cho giá trị lớn của hàm số y  x  3x  m đoạn  0; 2 bằng Số phần tử của S A B C D Lời giải: Cách 1: Đặt f ( x)  x  3x  m xác định ¡ x  Ta có f '( x)  3x   f '( x)    x  1 0;    Suy f (0)  m , f (1)  m  , f (2)  m  Ta có m   m  m  f ( x)   m  ; m    max  0;2 (m  2)( m  2)   0m2 (m  2)  (m  2)  Trường hợp 1: Nếu  f ( x)  m   m    m  thỏa mãn thì max  0;2 (m  2)( m  2)   2  m  (m  2)  (m  2)  Trường hợp 2: Nếu  f ( x)  m    m   m  1 thỏa mãn thì max  0;2 f ( x)  m   m   Trường hợp 3: Nếu m    m  thì max  0;2  m  không thỏa mãn f ( x)  m    m  Trường hợp 4: Nếu m    m  2 thì max  0;2  m  1 khơng thỏa mãn Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn Cách 2: Sử dụng cơng thức tính nhanh Đặt f ( x )  x  3x  m xác định ¡ x  Ta có f '( x)  3x   f '( x)    x  1 0;    Suy f (0)  m , f (1)  m  , f (2)  m  Ta có m   m  m  (m  2)  (m  2)  (m  2)  (m 2)  m    m  1  0;2 Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn  max f ( x)  Cách 3: Đặt f ( x)  x  3x  m xác định ¡ x  Ta có f '( x)  3x   f '( x)    x  1 0;    Suy f (0)  m , f (1)  m  , f (2)  m  Ta có m   m  m  33   m    m  f ( x)   m  ; m        max  0;2  m     m  Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn 3  m2 3 m    m  1  m2 Nhận xét: Để hiểu được chất của từng TH em nên phân tích bằng đồ thị hàm trị tuyệt đối Để giải nhanh cho thi trắc nghiệm thì nên sử dụng công thức tính nhanh Bài 2: Gọi S tập hợp tất giá trị thực của tham số m cho giá trị nhỏ của hàm số y  x  x  m đoạn  1; 2 bằng Tổng tất phần tử của S bằng A 2 B C 14 D Lời giải: Đặt f ( x)  x  x  m đoạn  1; 2  x    1; 2  Có f '( x )  x  x    x    1; 2   x  1  1; 2 Khi f (0)  m ; f (1)  m  ; f (2)  m  f ( x)   m  f ( x)  m   max  1;2  1;2 y  , không thỏa Trường hợp 1: Nếu (m  1)(m  8)   1  m  thì  1;2 mãn toán y  m   m  Trường hợp 2: Nếu m    m  1 thì  1;2 y   m    m  3 thỏa mãn Khi  1;2 y  m   m  Trường hợp 3: Nếu  m    m  thì  1;2 y   m    m  10 thỏa mãn Vậy S   3;10 , suy tởng Khi  1;2 phần tử của S bằng Bài 3: Cho hàm số f ( x)  x  x  m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất f ( x)  3min f ( x) giá trị nguyên của m thuộc đoạn  20; 20 cho max  0;2  0;2 Tổng phần tử của S bằng A 63 B 51 C 195 D 23 Lời giải: Đặt f ( x)  x  x  m đoạn  0; 2  x    0; 2  Ta có f '( x)  x3  x    x    0; 2   x  1  0; 2 34 f (0)  m ; f (1)  m  ; f (2)  m   max f ( x)  m  f ( x )  m   0;2   0;2 Trường hợp 1: Nếu (m  1)(m  8)   8  m   f ( x)    0;2 thì  f ( x)   m  ; m     max   0;2 Không thỏa mãn điều kiện max f ( x)  3min f ( x)  0;2  0;2 Trường hợp 2: Nếu m    m  f ( x)  m   m  , f ( x)  m   m  thì max  0;2  0;2 f ( x )  3min f ( x)  m   3(m  1)  m  11 Khi max  0;2  0;2 Trường hợp 3: Nếu m    m  8 thì max f ( x)  m    m , f ( x)  m   m   0;2  0;2 f ( x)  3min f ( x)   m  3( m  8)  m   25 Khi max  0;2  0;2  Từ ba trường hợp kết hợp với điều kiện m   20; 20     ta có m   20;    ; 20   2   Vì m  ¢  S   20; 19; 18; ; 13;6;7;8; ; 20 25 11 35 Vậy tổng phần tử của S bằng     10  11  12  63 Nhận xét: toán sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ nên cần phân tích sử dụng ba trường hợp Bài 4: Cho hàm số f ( x)  x3  3x  , có giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ của hàm số y  f (2sin x  1)  m không vượt 10? A 45 B 41 C 30 D 43 Lời giải: Đặt t  2sin x   t   1;3 y  10 Ta có y  f (t )  m  t  3t   m , ta cần tìm m cho  1;3 Xét hàm số g (t )  t  3t   m đoạn  1;3 t  Ta có g '(t )  3t     t  1 Có g (1)  m  ; g (1)  m  ; g (3)  m  19  m   m   m  19  g (t )  m  19 ; g (t )  m   max  1;3  1;3 g (t )  m   m  Trường hợp 1: Nếu m    m  thì  1;3 y  10  g (t )  m   m   10  m  11   m  11   1;3  1;3 g (t )  m  19  m  19 Trường hợp 2: Nếu m  19   m  19 thì  1;3 y  10  g (t )  m  19  m  19  10  m  29  29  m  19   1;3  1;3 g (t )  10 thỏa mãn Trường hợp 3: Nếu (m  1)(m 19)   19  m  thì  1;3 Kết hợp trường hợp ta được 29  m  11 Do m nguyên  m   29;  28; ;11 có 41 giá trị m thỏa mãn Nhận xét: Bài toán chứa hàm hợp nên ban đầu làm nhiều học sinh gặp khó khăn, nhiên bằng cách đởi biến thì ta đưa về tốn quen thuộc BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tốn: Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x; m) đơn điệu khoảng cho trước 36 Bài 1: Có giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x  x  x  m đồng biến khoảng (0; ) ? biết rằng m  A B C D Bài 2: Có giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (10;10) để hàm số y  x  2mx  đồng biến khoảng (1; ) ? A 12 B C 11 D Bài 3: Tập hợp tất giá trị của tham số m để hàm số y  x  3x  m  đồng biến khoảng (3; ) A  2;   B  ; 2 C  ; 4 D  4;   Bài 4: Gọi S   a;   tập hợp tất giá trị của tham số m để hàm số y  x  3x  mx  m  đồng biến khoảng (2; ) Khi a bằng A 3 B.1 C D Bài 5: Cho hàm số y  x  mx  Gọi S tập tất số tự nhiên m cho hàm số đồng biến  1;   Tính tổng tất phần tử của S A B C D 10 Bài 6: Tìm tất giá trị thực của tham số m cho hàm số y  biến khoảng  1;    A m  1 B m  C 1  m  Bài 7: Có số nguyên m để hàm số y  khoảng  2;    ? A B C khoảng  1;    C m  2 D 1  m  xm đồng biến xm3 Bài 8: Tìm tất giá trị của tham số m để hàm số y  A m  xm đồng x 1 D x  m 1 đồng biến xm  m  2 D  m  2 B  m  2 Bài 9: Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x   đồng biến  3;    ? A B C 2m  x 1 D 37 Bài 10: Tìm tất giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  m  biến  1;   đồng x A m  B 1  m  C m  D m  Bài 11: Biết rằng tập hợp tất giá trị của tham số m cho hàm số y  x 1 m  2m  đồng biến  2;     a ; b Tính a  b x 1 A 10 B 9 C D 7 Bài 12: Có số nguyên của tham số m thuộc đoạn  0;10 để hàm số y  x  m x  x  đồng biến khoảng  1;    ? A 11 B 10 C 12 D Bài 13: Cho hàm số y  x  x   x  m , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên của m đoạn  2020; 2020  để hàm số đồng biến khoảng  1;    Số phần tử của tập S A 2019 B 2018 C 2020 D 4041 Bài 14: Cho hàm số y  x   x  m 5m , tìm tất giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến khoảng  1;    2 A m    ;0 B m   1;  C m    ;  C m   3;    Bài 15: Có giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  5;5 để hàm số   y  cos3 x  3m cos x nghịc biến  0; ?  2 A B 11 C D Bài 16: Có giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y  x  3x  m  đồng biến đoạn  0;1 ? A B C D Bài 17: Có giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ 2020 để x x 1 hàm số y   m.2  m  đồng biến khoảng  0;1 ? A 2018 B 2019 C D x 2x Bài 18: Cho hàm số y  e  e  m , giá trị lớn của tham số m để hàm số đã cho đồng biến  1;  38 A e B e  e2 C e2 D 2 Bài 19: Cho hàm số y  ln(3x)  x  m , có giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng  100;100  để hàm số đã cho đồng biến đoạn 1; e  ? A 101 B 102 C 103 D 100 Bài 20: Cho hàm số y  ln( x  mx  2) , có giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;3 để hàm số đã cho đồng biến nửa khoảng  1;3 ? A B C D Bài toán: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y  f ( x; m) có n điểm cực trị Bài 1: Tìm tất giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  3x  m có điểm cực trị ? A 4  m  B 4  m  C  m  D m  m  Bài 2: Có số nguyên m   20; 20  để hàm số y  x  (m  1) x  m có điểm cực trị ? A 18 B 20 C 19 D 21 2 Bài 3: Có số nguyên m   20; 20  để hàm số y  ( x  2) x  m có điểm cực trị? A B 17 C D 16 Bài 4: Có số nguyên m để hàm số y  3x  25 x  60 x  m có điểm cực trị ? A 42 B 21 C 44 D 22 Bài 5: Cho hàm số y  x  2(m  1) x  2m  Tập hợp tất giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho có điểm cực trị   A 1;  B  ;  \  2 2  3 C  1;   \  2 D 1;   2     3 Bài 6: Có số nguyên m để hàm số y  3x  15 x  60 x  m có điểm cực trị ? A 289 B 287 C 286 D 288 39 Bài 7: Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x  x  x  m có điểm cực trị ? A B C D Bài 8: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đờ thị hình vẽ bên Tất giá trị của tham số m để hàm số y  f ( x)  m có điểm cực trị  m  1  m  3 A  m  B  m   m  1 D  m  C  m  Bài 9: Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có đờ thị hình vẽ Tìm tất giá trị của tham số m để hàm số y  f ( x)  f ( x )  m có điểm cực trị A m  B m  C m  1 D m  1 Bài toán: Cho hàm số y  f ( x; m) Tìm m để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn  a; b thỏa mãn điều kiện cho trước 40 Bài 1: Cho hàm số f ( x)  x  x  m , ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất f ( x)  f ( x)  10 Số giá trị nguyên m thuộc đoạn  10;10 cho max  1;2  1;2 phần tử của S A B 10 C 11 D 12 Bài 2: Cho hàm số y  x  x  x  m với m tham số thực Có tất y3 ? giá trị nguyên của tham số m để  1;3 A 21 B 22 C D 20 Bài 3: Cho hàm số y  x  3x  m Gọi S tập hợp tất giá trị thực của y  max y  Số phần tử của S tham số m cho  0;2  0;2 A B C D 2x  m ( m tham số thực) Gọi S tập hợp tất x2 f ( x)  f ( x)  Hỏi đoạn  30;30 giá trị thực của m cho max  0;2  0;2 Bài 4: Cho hàm số f ( x)  tập S có số nguyên? A 53 B 52 C 55 D 54 Bài 5: Có số thực m để hàm số y  3x  x  12 x  m có giá trị lớn đoạn  3; 2 bằng 150 ? A Bài 6: Gọi S B C D tập hợp tất số nguyên m để hàm số 19 x  x  30 x  m có giá trị lớn đoạn  0; 2 không vượt 20 Tổng phần tử của S bẳng y A 195 B 210 C 195 D 210 41 ... xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm số đoạn  a ; b thi? ? học sinh gặp phải khó khăn chuyển sang giá trị tuyệt đối thi? ? việc so sánh để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ +... xét: toán sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ nên cần phân tích sử dụng ba trường hợp Bài 4: Cho hàm số f ( x)  x3  3x  , có giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ của hàm số y ... biết cách giải toán tìm điểm cực trị của hàm số y  f ( x) ; tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x; m) có n điểm cực trị Bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f ( x;