phương pháp giải một số bài toán chứa dấu giá tri tuyệt đối

Hä vµ tªn L­u TuÊn NghÜa Tr­êng PTTHCS ChÊt l­îng cao H¶i HËu 1 Tªn s¸ng kiÕn Ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 2 Hä vµ tªn L­u TuÊn NghÜa 3 Tr×nh ®é chuyªn m«n §¹i häc To¸n[.]

Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu Tên sáng kiến: Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trình độ chuyên môn: Đại học Toán Nơi công tác: Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu Đơn vị áp dụng sáng kiến: HS lớp Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu Giải pháp: Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Toán học môn khoa học bản, có liên quan đến nhiều nghành, nhiều lĩnh vực khác Các thành tựu toán học góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho sống loài ngời ngày tốt đẹp Dạy học toán nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em đợc hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh, góp phần cải tạo giới, cải tạo thiên nhiên mang lại sống ấm no hạnh phúc cho ngời Trong trình dạy học toán, đặc biệt dạy vấn đề toán học có Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu liên quan đến phần giá trị tuyệt đối cho học sinh, thân thấy rằng, đứng trớc vấn đề toán học nêu học sinh thờng lúng túng, có phần e ngại, phạm trù kiến thức tơng đối trừu tợng phức tạp Thực tế cho thấy, vấn đề toán học có liên quan đến giá trị tuyệt đối lại có ứng dụng rộng rÃi, đặc biệt u việc rèn luyện phẩm chất lực toán học cho học sinh Với lí nêu định đisâuvào nghiên cứu chuyên đề: Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm giúp em hiểu rõ hơn, đặc biệt giúp cho em nắm vững, vận dụng linh hoạt phơng pháp giải số dạng tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối giải pháp thực I số vấn đề Định nghĩa Giá trị tuyệt đối số thực x khoảng cách từ điểm x đến điểm trục số, kí hiệu x , đợc xác định nh sau:  x nÕu x 0 x  -x nÕu x < Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối số thực x thực chất ánh x¹ f:    x  y x * Víi mäi sè thùc x ta lu«n biĨu diƠn x thành tổng số thực không âm số thực không dơng, nghĩa là: x x x x x 2 * Với f(x) biểu thøc tuú ý ta còng cã: TÝnh chÊt : x x x x 0; 0 2  f ( x ) nÕu f(x ) 0 f (x)  -f(x) f(x )< Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao H¶i HËu 1) x 0  x  ; x 0  x 0 2) x  x 3)  x x  x ; x  x  x 0 4) x    x  hc x -  5) x  6) xy  x y 7) x y 8) x x 9) 10)  (   0)    x  x y x2  x NÕu x, y  th × x  y  x  y NÕu x, y  th × x  y x y Một số định lí giá trị tuyệt đối: 3.1) Định lí Nếu x, y hai số thực thì: x y  x  y Chøng minh : Ta cã:  2 x  y   x  x y  y x  xy  y  x  xy  y  x  y  VËy x  y  x  y DÊu “ = ” xảy xy = 3.2) Định lí Nếu x, y hai số thực thì: Chứng minh: x  y  x  y x  y Ta cã x  y  x  y  x  y  ( x  y )2  x  y ( x  y )2  x  x y  y  x  xy  y  x  x y  y   x y  xy  x y  x y  xy   x y xy xy xy ( Điều đúng) Dấu xảy xy II Biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Mục đích biến đổi Biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm thay đổi chúng biểu thức tơng đơng không chứa giá trị tuyệt đối, nói cách khác nhằm loại trừ dấu giá trị tuyệt đối khỏi biểu thức để tiến hành phép tính đại số quen biết Thông thờng, ta đợc biểu thức khác ( không chứa giá trị tuyệt đối ) khoảng khác Phơng pháp biến đổi Muốn biến đổi biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối phải vào: Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối, tính chất định lí đà nêu b) Quy tắc dấu nhị thức bậc tam thøc bËc hai nh sau: b * NhÞ thøc bËc nhÊt ax + b ( a 0) cïng dÊu víi a x trái dấu với a b a x   a b ThËt vËy: Gọi x0 nghiệm nhị thức ax + b th× x0 =  a a x b b XÐt x   x  x a a ax+b NÕu x  x th × x- x     a x  b cïng dÊu víi a a ax+b NÕu x  x th × x- x     a x  b tr ¸i dÊu víi a a * Tam thøc bËc hai ax2 + bx + c ( a 0 ) tr¸i dÊu víi a khoảng hai nghiệm ( có ), dấu với a trờng hợp khác Bài tËp vÝ dơ VÝ dơ Cho x, y lµ hai sè thùc; x, y 0; x  y Chøng minh giá trị xy x y x y biểu thức sau không phụ thuộc vào x vµ y: P     xy x  y  x y  Gi¶i XÐt trêng hợp: x y dấu ( xy > 0); x y trái dấu ( xy < 0) xy *) xy >  xy xy  1 xy x y    1 -) x y dơng: P=1+ x y x y -) x y âm: P=1+   1  1 x y xy *) xy <  xy  xy   xy x y -) x > 0; y <  x  y   x  y x  y  1 x y x y     1.2 1  P=-1+ x y x y -) x < 0; y >0  x  y   x  y  ( x  y )   x y x y P=-1+    1         1 1 x y KÕt ln: Trong mäi trêng hỵp ta ®Ịu cã: P = NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i ta đà sử dụng cách xác định giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu x x x để tính giá trị biĨu thøc P -x nÕu x < VÝ dơ Rót gän biĨu thøc A 3  x  1  x  cđa mét sè: Gi¶i  x  nÕu x-5 0  x 5 Ta cã x    -x+5 nÕu x  5<  x x- =  x = 3; x – <  x < 3; x – >  x > Ta có bảng xét dấu đa thức x- x- dới đây: x x–1 + + x–3 + XÐt kho¶ng x < ta cã: (1)  (1 – x ) + ( – x ) = 2x – Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu -2x + = 2x x= (giá trị không thuộc khoảng xét) Xét khoảng x  ta cã: (1)  (x – ) + ( – x ) = 2x –  = 2x –  x = ( giá trị thuộc khoảng xét) XÐt kho¶ng x > ta cã: (1)  (x – ) + (x – ) = 2x –  - = -1 ( V« lÝ) KÕt luËn: VËy x =  Nh lời giải đà dùng phơng pháp lập bảng xét dấu Sau ta xét số dạng đặc biệt Trong dạng này, để tìm x phơng pháp chung đà nêu ta giải cách khác đơn giản Dạng f x a ( a số dơng) Ta lần lợt xét f x  a & f  x   a Mỗi lần tìm đợc giá trị x ta đợc đáp số Ví dụ 5: Tìm x biết: x  5 Ta cã: x  5  Gi¶i  x  5  x 3   x    x    VËy x1 = 3; x2 = -2 D¹ng f  x  g x Ta phải tìm x thoả mÃn hai điều kiện 1/ g x / f  x  g  x  hc f  x   g  x  VÝ dơ 6: T×m x biÕt r»ng: x   3 x  Gi¶i Ta cã x   3 x   x  3 x  Ph¬ng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa   x  0    x   x          x  0     3 x   x    KÕt luËn: Vậy x Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải HËu   x  ( V« lÝ )   x    2     x  x      x   x  6 D¹ng f  x   g  x  0 hay f x g x Ta phải tìm x thoả mÃn hai điều kiện f x  g  x  hc f  x    g  x  VÝ dô 7: T×m x biÕt: x  2008 2008 x  Gi¶i Ta cã  x  2008 2008 x   2006 x  2006  x  x  2008 2008 x       x  2008  2008 x   2010 x 2010  x 1 KÕt luËn :VËy x1= -1; x2 = D¹ng f  x   g  x  Ta phải tìm x thoả mÃn hai điều kiÖn: f  x  0 & g  x  0 VÝ dơ 8: T×m x biÕt r»ng: x  x   x  1  x   0 Gi¶i Ta cã x  x 0;  x  1  x   0 x  x  x 0 n ªn x  x   x  1  x   0        x  x     x  x   0   x  1  x   0   x 0   x 0    x  0   x 3    x 3 x   x        x  0   x 3   KÕt luËn: VËy x =  Chú ý: Trong số bài, cách giải nh ta giải nhờ nhận xét đặc biệt Ví dụ 9: Tìm x thoả m·n x    x x x (*) Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu Nhận xét: x 0;  x 0; x  0 x  x    x  x  0 x  x 0  x 0 Tõ x 0  x  0;  x 0; x  0 1 Do ®ã x  2 x  1;  x   x; x   x  2  *  trë thµnh x    x  x  x Từ tìm đ ợc x =3  tho¶ m·n  VËy x =  Nh vËy lêi gi¶i ta đà sử dụng kiến thức f x  0  x vµ f  x  f  x  nÕu f  x  0 ®Ĩ biến đổi biểu thức chứa giá trị tuyệt đối, từ tìm đợc x Và lời giải chắn ngắn gọn cách lập bảng xét dấu Ví dụ10 Tìm x, y đẳng thức sau: x  y  xy  x  y   2 x   x  1  x   Gi¶i Ta cã : x  y  xy  x  y   2 x   x  1  x     x  y    x  y  1   x   2  x     x  1  x     x  y  1   x     x  1  x   2  x   V×  *  x  y  1   x   0  x  0  x 2 Do ®ã  *   x  y  1   x     x  1  x   0 Tõ ®ã  x  y  1   x   0 vµ  x  1  x   0  x  1  x   0  x , y n ªn   x  y  1   x     x  1  x   2  x     x  y  1   x     x  1  x     x   0  x  y  0  x 2 2   x  y  1   x   0      x  0  y 3 VËy x = y = IV bất phơng trình bậc có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu Phơng pháp chung để giải bất phơng trình bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối biến đổi bất phơng trình thành bất phơng trình tơng đơng không chứa dấu giá trị tuyệt đối Bằng cách xét khoảng giá trị biến để lập bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối Sau giải bất phơng trình không chứa giá trị tuyệt đối khoảng Cuối tổng hợp kết để có toàn nghiệm bất phơng trình Ví dụ 11 Tìm x biÕt r»ng: x   x   x  (2) Gi¶i LËp b¶ng xÐt dÊu ( nh vÝ dô 4) x x–1 + + x–3 Víi x ( giá trị không thuộc khoảng ®ang xÐt) Víi  x  ta cã ( 2)  (x – ) + (3 – x ) < x +  < x + x > Ta đợc giá trÞ < x  (3) Víi x > ta cã ( 2)  (x – ) + (x – ) < x +  2x- < x +  x < Ta đợc giá trị < x < (4) Kết luận: Kết hợp (3) (4) ta đợc giá trị cần tìm x là: < x <  NhËn xÐt: Trong mét sè trêng hợp, giải nhanh cách dùng phơng pháp chung nói Sau ta xét số dạng đặc biệt: Dạng f x a f x a Với a h»ng sè d¬ng  f  x  a f  x   a   a  f  x   a; f  x  a   f  x   a VÝ dô 12 T×m x biÕt: a) x   b) 15 x   31 Gi¶i a) Ta cã x      x      x    KÕt luËn: VËy   x 2  x 2  15 x   31  15 x  32   b) Ta cã 15 x   31   15 x    31 15 x  30   32   x  15   x  32 x 15 Dạng f  x   g  x  hc f  x   g  x  f  x g x   g x  f  x g x KÕt luËn:VËy x   f  x g x f  x g x    f  x   g  x  VÝ dơ 13 T×m x biÕt a) x   x  b)  x  x Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao H¶i HËu Gi¶i a) x   x    x   x   x    KÕt luËn:VËy   x 4  x 4  x   3x   x  b)  x   x       x   x 1  x Vậy giá trị x thoả mÃn là: x< x >1 Dạng f  x   g  x  2 f  x  g x  f  x  g x  f  x  g x  2  f  x   g  x     f  x   g  x    f  x   g  x    VÝ dơ 14 T×m x biÕt x    x Gi¶i: 2 2 x    x  x    x   x  1    x    x      x     x    x   x    x      x  1  x     x     x     x    6x          x     x      x      x 2  x 2 Vậy x V Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiến thức cần thiết: a, f (x) = f (x) nÕu f (x)  f (x) = - f (x) nÕu f (x)  b, f (x)+ g (x)  f (x) + g (x) dÊu “=” x¶y  f (x) g (x)  c, f (x) - g (x)  f (x) - g (x) dÊu “ = ” x¶y  f (x) g (x)  Chøng minh: a, Luôn theo định nghĩa b, Với f (x), g (x) ta lu«n cã - f (x)  f (x)  f (x) - g (x)  g (x)  g (x) Tõ ®ã suy - (f (x) + g (x))  f (x) + g (x)  f (x) + g (x)   f (x) + g (x)  f (x) + g (x) Dấu đẳng thức xảy f (x) g (x) cïng dÊu  f (x).g (x)  c) Tõ b)  f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x)  f (x) –g (x) + g (x)  f (x) -g (x)  f (x) - g (x) Dấu đẳng thức xảy f (x) g (x)  NhËn xÐt: ViÖc chøng minh câu b, c bình phơng hai vế nh Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu cách chứng minh định lí 2 Các ví dụ Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x - 1996 +  x - 2000 Giải Cách 1: Chia khoảng để xét Nếu x < 1996 th× A = - x + 1996 - x + 2000 = 3996 - 2x Do x < 1996  2x < 3992; - 2x > - 3992  A = 3996 - 2x > 3996- 3992 =  A> (1) NÕu 1996  x  2000 th× A = x- 1996 + 2000- x = (2) NÕu x > 2000 th× A = x - 1996 + x - 2000 = 2x- 3996  2x > 4000  2x- 3996 > 4000- 3996 x > 2000  A>4 (3) Tõ (1), (2), (3)  A đạt giá trị nhỏ 1996 x 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thøc x + y x +y dÊu “ = ” x¶y xy  Ta cã: A = x- 1996 + x- 2000 = x- 1996 + 2000- x  x - 1996 - x +2000 = VËy A  DÊu “ = ” x¶y  (x - 19996) (2000 - x)  LËp b¶ng xÐt dÊu x 1996 2000 x- 1996 +  + 2000- x +  + (x-1996) (2000- x) + (x- 1996) (2000- x)  1996 x 2000 Vậy A đạt giá trị nhỏ 1996 x 2000 Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A = x +1 + 2x + 5 + 3x- Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x)  f (x) + g (x) Ta mở rộng đợc:f (x) +g (x) + +h(x) f (x) +g (x)+ + h(x) VÝ dơ 17: T×m giá trị nhỏ biểu thức sau: -2 B x  x  Gi¶i: Ta có B đạt giá trị nhỏ x x đạt giá trị nhỏ Đặt f  x  x  x  f  x  x  x   ta cã f(x) <  x   v× 1 1   x       2 2 1 DÊu “ = ” x¶y  x = vËy max f  x    x  2 1  x= v× max f(x) = 1   x  x      2 2 Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu nên f(x) = 2 x=  x= ®ã B = -2= 2 Bài tập ứng dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn (nếu có) biểu thức sau: A = 2x- 3 B = 5- 3x + C = 1- 4x - D = x -1 + x- 4 E = - 2x -1 H = x  2 K = x- 1 + x + 2 + x + 3 +  x + 15 + x- 16 L = x- a1 + x- a2 + + x- a2m - 1 Trong ®ã a1, a2, , a2m – cho trớc VI Đồ thị Hàm số chứa giá trị tuyệt đối Trong chơng trình toán lớp 7, phần hàm số mở đầu cho chơng trình hàm số chơng trình toán THCS Đối với đồ thị hàm số học sinh đà biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a 0) Đó đờng thẳng qua gốc toạ độ điểm A( 1;a) Để vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối, nh ta phải biến đổi biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Sau tiến hành vẽ đồ thị theo cách đà biết Ví dụ18 Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x b) y   x  x  x c) y  x Gi¶i  x víi x 0 a) Ta cã y = x   x với x Với x đồ thị hàm số y = x tia phân giác cđa gãc phÇn t thø I Víi x  đồ thị hàm số y = - x tia phân giác góc phần t thứ II Đồ thị hàm số y = x gồm hai tia phân giác góc I II nh h×nh y -1 b) Víi x 0 th× y = x Víi x < th× y = Đồ thị hàm số gồm hai tia O x OA nh hình c)Với x > th× y = Víi x < th× y = - Đồ thị hàm số gồm hai tia Az Bt nh hình O x y y Hình A 11 z A x Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối O x O x Hình B -1 Hình Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu ( dấu mũi tên nói hai điểm A B không thuộc đồ thị ) t Kết luận Nhờ áp dụng kinh nghiệm đà trình bày kết môn toán phần giá trị tuyệt đối giảng dạy đợc nâng cao rõ rệt Học sinh tích cực hoạt động tự tin giải toán, linh hoạt sáng tạo tìm tòi lời giải Từ kích thích nhiều học sinh vơn lên học khá, giỏi môn Kinh nghiệm đà giúp nhiều học sinh tự tìm tòi đợc nhiều lời giải hay, độc đáo với toán nâng cao đạt giải cao kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Ngoài kinh nghiệm có tác dụng tốt với học sinh học môn khoa học khác Kiến nghị, đề xuất Để dạy - học tốt bồi dỡng học sinh giỏi môn toán trờng THCS xin khuyến nghị số vấn đề sau: 1, Toán học môn văn hoá nhà trờng phổ thông cần phải có nhận thức đắn vai trò, vị trí cấu trúc chơng trình 2, Tạo điều kiện sở vật chất, trang thiết bị, phơng tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu 3, Nhân rộng phổ biến kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu thiết thực 4, Đầu t kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên học sinh, đề chủ trơng, biện pháp khả thi thiết thực Với hớng suy nghĩ nh đà hớng dẫn học sinh giải số toán có chứa giá trị tuyệt đối đạt hiệu cao Vì điều kiện cha thể tiếp tục trình bày thêm, chắn không tránh khỏi thiếu khuyết cấu trúc, ngôn ngữ kiến thức khoa học Xin trân trọng cảm ơn góp ý chân thành / Đánh giá, xếp loại quan Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Yên Định Ngày 10/5/2008 Tác giả s¸ng kiÕn Lu TuÊn NghÜa ... có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Họ tên: Lu Tuấn Nghĩa Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu Phơng pháp chung để giải bất phơng trình bậc chứa dấu giá. .. Phơng pháp giải số toán chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm giúp em hiểu rõ hơn, đặc biệt giúp cho em nắm vững, vận dụng linh hoạt phơng pháp giải số dạng tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối giải pháp thực... III giải phơng trình bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp chung để giải phơng trình bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối biến đổi phơng trình thành phơng trình tơng đơng không chứa dấu giá trị tuyệt