SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 1 KÝ HIĐU CÁC CHĐ VIĐT TĐT GV Giáo viên HS Hơc sinh HH Hình hơc PPVT Phơơng pháp véc tơ SGK, SBT Sách giáo khoa,sác[.]
KÝ HIĐU CÁC CHĐ VIĐT TĐT GV : Giáo viên HS : Hơc sinh HH : Hình hơc PPVT : Phơơng pháp véc tơ SGK, SBT : Sách giáo khoa,sách tơp THPT : Trung hơc phơ thông VD : Vơn dơng VDC : Vơn dơng cao SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang A.Mở đầu Lý chọn đề tài … Nhiệm vụ đề tài………………………………………… …………………3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………… .3 Phạm vi nghiên cứu B.Nội dung .… Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học 1.1 Nhắc lại số dạng toán hay sử dụng 1.1.1 Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (α)…………….4 1.1.2 Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d:………… Áp dụng thực tế dạy học Các dạng tập thường gặp…………………………………… ………….5 2.1 Các toán cực trị liên quan đến tìm điểm thỏa điều kiện cho trước 2.2 Các tốn cực trị liên quan đến vị trí đường thẳng, mặt phẳng… 15 Hiệu sáng kiến…………………………………………………… 23 C.Kêt luận 24 Kiến nghị .25 SangKienKinhNghiem.net HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH A MĐ ĐĐU Lý chọn đề tài Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta cịn gặp tốn tìm vị trí điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến điều kiện cực trị Đây dạng Tốn khó, có chương trình nâng cao sử dụng làm câu hỏi VD VDC đề thi TN THPT Quốc Gia Trong thưc tế giảng dạy, nhận thấy nhiều học sinh bị kiến thức hình học khơng gian, khơng nắm vững kiến thức hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian Đặc biệt nói đến tốn cực trị hình học em “e ngại” kể học sinh khá, giỏi Nhiệm vụ đề tài Trong trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu tơi thấy dạng tốn khơng khó mà cịn hay, lơi em học sinh giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt khéo léo kiến thức hình học túy, véctơ, phương pháp tọa độ, hình học giải tích đưa tốn tốn quen thuộc Với đề tài này, tơi cố gắng xây dựng sở kiến thức vững chắc, hệ thống tập ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề cách thuận lợi nhất, quy lạ quen để tốn cực trị hình học giải tích khơng cịn ln ln tốn hóc búa, khó giải Đối tượng nghiên cứu Tơ kiơn thơc bơn ví dơ dơ hiơu, sau phát triơn dơn thành tốn phơc tơp hơn, đơi tơơng nghiên cơu cơa tài tơp trung vào mơt sơ tốn cơc trơ hình hơc thơ hình hơc giơi tích lơp 12 SangKienKinhNghiem.net Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài hình học giải tích chương trình SGK nâng cao hình học lớp 12 lưu hành Tập trung chủ yếu vào toán mức độ VD VDC đề thi TN THPT Quốc Gia Với tinh thần u thích mơn, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán cực trị hình học giải tích” B NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học 1.1 Nhắc lại số dạng tốn hay sử dụng 1.1.1 Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (α) - Gọi H hình chiếu vng góc M lên (α) - Viết phương trình đường thẳng MH(qua M vng góc với (α)) - Tìm giao điểm H MH (α) *Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua mặt phẳng (α) ta tìm hình chiếuH M lên (α), dùng cơng thức trung điểm suy tọa độ M’ 1.1.2 Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d: -Viết phương trình tham số d - Gọi H d có tọa độ theo tham số t - H hình chiếu vng góc điểm M lên d r uuuur ud MH -Tìm t, suy tọa độ H Áp dụng thực tế dạy học Các dạng tập thường gặp 2.1 Các tốn cực trị liên quan đến tìm điểm thỏa điều kiện cho trước SangKienKinhNghiem.net Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt uuur uuuur uuuur phẳng (α) cho k1 MA1 k2 MA2 kn MAn có giá trị nhỏ Lời giải: uur uuur uuur r -Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n uuuur uuuuur uuuuur uuur uuur -Biến đổi : k1 MA1 + k MA + + k n MA n = (k1 + k + + k n )MI = k MI uuur Tìm vị trí M MI đạt giá trị nhỏ Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba điểm A 1;0;1 , B -2;1;2 , C 1;-7;0 Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho : uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur 1) MA + MB MC có giá trị nhỏ 2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ uuur uuur uuur uuur uuuur r Giải: Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = G trọng tâm tam giác ABC G(0;-2;1) uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 1) Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC = MG có giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc G lên mặt phẳng (α) r MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto phương x = 2t Phương trình tham số MG y = -2-2t z = 1+3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 17t 17 t 1 uuuur uuur uuur Vậy với M(-2; 0; -2) MA + MB MC có giá trị nhỏ uur uur uur r 2) Gọi I(x; y; z) điểm thỏa IA -2IB 3IC Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) x = 4; y = - 23 ; z = - , I(4; 23 ; ) 2 2 SangKienKinhNghiem.net uuuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(MI IC ) = 2MI có giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (α) x = 4+2t 23 Phương trình tham số MI: y = -2t z = +3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 73 73 23 0t 2t) 3( 3t) 10 17t 34 2 uuuur uuur uuur 245 135 ; ) MA -2MB 3MC đạt giá trị nhỏ Vậy với M( ; 17 34 17 Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = 2(4 2t) 2( k1MA12 k2 MA22 kn MAn2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn Lời giải: uur uuur uuur r - Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n -Biến đổi : T = k1MA12 k 2MA 22 k n MA 2n = uuur uur uuur = (k1 + + k n )MI2 + k1IA12 k 2IA 22 k n IA 2n + MI(k1 IA1 + + k n IA n ) = kMI2 + k1IA12 k 2IA 22 k n IA 2n Do k1IA12 k 2IA 22 k n IA 2n không đổi, Biểu thức T nhỏ lớn MI nhỏ hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ MI nhỏ - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn MI nhỏ SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn uur uur r 3 Giải:1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = I trung điểm AB I(2; ; ) 2 uuur uur uuur uur Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) +(MI + IB) uuur uur uur IA + IB2 +2MI +2MI(IA + IB) = IA + IB2 +2MI Do IA + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vng góc I lên (α) r Đường thẳng IM qua điểm I có vtcp n α (1; 2; 2) x = 2+t Phương trình tham số MI: y = + 2t z = +2t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: 3 t 2( 2t) 2( 2t) 9t t 1 2 M (1; ; ) 2 Nhận xét: Với I trung điểm AB MA2 + MB2 = 2MI2 AB + , AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vng góc I lên (α) uur uur uur r 2)Gọi J(x; y; z) điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1 x; y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2 y;1 z) (0;0;0) 3 x 3 y J(3; 3;0) z SangKienKinhNghiem.net uuur uur uuur uur uuur uur Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) - (MJ + JB) (MJ + JC) uuur uur uur uur J A JB2 JC2 MJ + 2MJ(JA JB JC) JA JB2 JC2 MJ Do JA JB2 JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn MJ nhỏ hay M hình chiếu J mặt phẳng (α) r Đường thẳng JM qua điểm I có vtcp n α (1; 2; 2) x = 3+t Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t z = 2t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: t 2(3 2t) 2.2t 9t t 23 35 ; ; ) 9 23 35 Vậy với M ( ; ; ) MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn 9 M( Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: x-1 y-2 z-3 = = điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ Giải: uur uur r 1) Gọi điểm I(x; y; z) điểm thỏa IA -2 IB = Hay: ( x;1 y; 2 z) 2(2 x; 1 y; z) (0;0;0) 4 x 3 y I(4; 3;6) - 6+z uuur uur uuur uur Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA) 2(MI + IB) uuur uur uur IA 2IB2 MI + 2MI(IA IB) IA 2IB2 MI SangKienKinhNghiem.net Do IA - IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M hình chiếu vng góc I lên d x = 1+t r Đường thẳng d có vtcp u (1;2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t z = 3+ t uuur M d M(1 t; 2t; t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M hình chiếu uuur r 2 vng góc I lên d nên IM.u 6t t M ( ; ; ) 3 3 Vậy với M ( ; ; ) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 3 uuur uuur uuur r 2) Gọi điểm G(x; y; z) điểm thỏa GA + GB +GC = G trọng tâm tam giác ABC G(2; 1; 1) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC) uuuur uuur uuur uuur 2 2 = GA GB GC +3MG + 2MG(GA GB GC) = GA GB2 GC +3MG Do GA GB2 GC không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ MG nhỏ nhất, hay M hình chiếu vng góc G lên đường thẳng d uuuur M d M(1 t; 2t; t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) Khi M hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d uuuur r GM.u 1 6t t M ( ;1; ) 2 Vậy với M ( ;1; ) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ 2 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Lời giải: 1.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < A, B nằm hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ M thuộc AB hay M giao điểm (α) AB 2.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 A, B nằm phía với (α) Khi ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ M thuộc A’B hay M giao điểm (α) A’B SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + = hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải: Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm AB (α) uuur Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB (1; 1;0) làm vecto phương x t Phương trình tham số AB: y t z Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + t – 2(-t)- 2.2 + = 3t t 3 Hay M ( ; ; 2) điểm cần tìm Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - MC có giá trị lớn Giải: 1) Thay tọa độ A B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm phía (α) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ M giao điểm A’B với (α) uur Đường thẳng AA’ qua A vng góc với (α), AA’ nhận n (1; 1; 2) làm vecto phương x 1 t Phương trình tham số AA’: y t z 1 2t Tọa độ hình chiếu vng góc H A (α) ứng với t phương trình SangKienKinhNghiem.net 10 3 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 6t – = hay t = H( ; ; 0) 2 x A ' = 2x H x A Do H trung điểm AA’ nên y A ' =2y H y A A '(2; 1; 1) z = 2z z H A A' uuur A’B có vtcp A'B (1;0; 3) x t Phương trình tham số A’B: y z 3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + t – + 2(1 – 3t) = 5t t 13 hay M ( ;1; ) 5 13 ;1; ) MA + MB có giá trị nhỏ 5 Vậy với M ( 2) Thay tọa độ A C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α).Vậy nên A’ C nằm phía (α) Ta thấy MA - MC MA' - MC A'C Nên MA - MC đạt giá trị lớn M thuộc A’C phía ngồi đoạn A’C, tức M giao điểm A’C (α) uuuur Đường thẳng A’C có vtcp A'C (1; 3; 3) x t Phương trình tham số A’C: y 3t z 3t Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 4t t 5 5 hay M ( ; ; ) 4 4 Vậy với M ( ; ; ) MA - MC có giá trị lớn Bài toán 4: Cho đường thẳng d hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ Lời giải: - Đưa phương trình d dạng tham số, viết tọa độ M theo tham số t - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB SangKienKinhNghiem.net 11 - Tính giá trị nhỏ hàm số f(t), từ suy t - Tính tọa độ M kết luận Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-1 y + z-3 = = hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; 2 -3) Hãy tìm điểm M d cho MC + MD đạt giá trị nhỏ Giải: x 2t Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 2t z t r uuur qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u (2; 2;1) CD (7;5; 4) r uuur Ta có u CD = 14 -10 – = d CD Xét mặt phẳng (P) qua CD vng góc với d r (P) qua điểm C(-4; 1; 1) nhận u (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ M giao điểm d mp(P) Tọa độ M ứng với t nghiệm phương trình: + 4t + + 4t + + t + = 9t + 18 t 2 Vậy M(-3; 2; 1) MC + MD đạt giá trị nhỏ bằng: 17 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo Tìm điểm M d1, N d2 chân đoạn vng góc chung hai đường Lời giải: - Lấy M d1 N d ( tọa độ theo tham số) uuuur r uuuur r r r - Giải hệ phương trình MN.u1 MN.u ( u1 , u véctơ phương d1 d2 ) - Tìm tọa độ M, N kết luận SangKienKinhNghiem.net 12 Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 : x-5 y+1 z -11 x+ y-3 z - = = = = , d2 : -1 7 1) Chứng minh d1, d2 chéo 2) Tìm điểm M d1 N d cho độ dài MN ngắn Giải: uur 1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1 (1; 2; 1) uur d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u (7; 2;3) uur uur uuuuuur Ta có [ u1 , u ] M1M = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 Hay d1 d2 chéo 2) M d1 N d cho độ dài MN ngắn MN độ dài đoạn vuông góc chung d1 d2 Phương trình tham số hai đường thẳng x t x 4 t d1: y 1 2t , d2: y 2t z 11 t z 3t M d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N d nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; + 3t’) uuuur MN ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7) uuuur r 6t ' 6t t MN.u1 rr Ta có uuuu 62t ' 6t 50 t ' 1 MN.u Do M(7; 3;9) N(3; 1; 1) Vậy với M(7; 3;9) N(3; 1; 1) độ dài MN ngắn 21 SangKienKinhNghiem.net 13 x t Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y t hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm z 2 M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Giải: - Lấy điểm M d, Gọi H hình chiếu vng góc M lên AB - Tam giác MAB có diện tích S = AB.MH đạt giá trị nhỏ MH nhỏ nhất, hay MH đoạn vng góc chung AB d r Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0) uuur uur AB qua A(1; 2; 3) AB (0; -2;-2) = 2u1 uur với u1 (0;1;1) véc tơ phương AB x Phương trình tham số AB y t ' z t ' uuuur M(2 + t; 4+ t; -2) d ,H(1; 2+ t’;3+t’) AB , MH ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5) uuuur r t ' 2t t ' 3 MH.u Ta có uuuur uur 2t ' t 3 t 3 MH.u1 Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) MH = , AB = 2 Diện tích SMAB AB.MH x Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y t Trong mặt cầu tiếp xúc z t với hai đường thẳng d trục Ox, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Giải: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d M, tiếp xúc với Ox N SangKienKinhNghiem.net 14 Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, mặt cầu (S) có đường kính nhỏ 2R = MN MN nhỏ hay MN đoạn vuông góc chung d Ox r Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1) r Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0) r r uuuur [ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 nên d Ox chéo uuuur Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox MN ( t’; -t; t – 2) uuuur r t t t MN.u Ta có uuuur r t ' t ' MN.i Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O 1 2 MN 1 Phương trình mặt cầu (S): x ( y ) ( z ) 2 Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R = 2 2.2 Các toán cực trị liên quan đến vị trí đường thẳng, mặt phẳng Bài tốn 1:Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A cách B khoảng lớn Lời giải: Họi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (α), tam giác ABH vuông H khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α)) lớn AB A ≡ H, (α) mặt phẳng qua A vng góc với AB Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm D(1; -2; 3) cách điểm I(3; -1; -2) khoảng lớn Giải: (α) cách điểm I(3; -1; -2) khoảng lớn (α) mặt phẳng qua D vng góc với DI uur (α) nhận DI (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 2x + y – 5z + 15 = Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) mặt phẳng qua B Trong mặt cầu tâm A tiếp xúc với (α), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn 15 SangKienKinhNghiem.net Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn (α) qua B vng góc với AB uuur BA (1; 2; 2) véctơ pháp tuyến (α) R = AB=3 Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = Bài toán 2: Cho điểm A đường thẳng ∆ khơng qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (α) lớn Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (α), K hình chiếu vng góc A lên ∆ Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn H≡ K, (α) mặt phẳng qua ∆ vng góc với AK Hay (α) qua ∆ vng góc với mp(∆, A) Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B cách C khoảng lớn Giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B cách C khoảng lớn (α) qua hai điểm A, B vng góc với mp(ABC) uuur uuur AB (1; 1; 1) , AC (2; 3; 2) r uuur uuur (ABC) có véctơ pháp tuyến n [AB, AC ] (1; 4; 5) uur r uuur (α)cóvéctơpháptuyến n [n, AB] (9 6; 3) 3(3; 2;1) Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 3x + 2y + z – 11 = Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc (α), lấy B khơng thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α) qua A cách B khoảng lớn nhất, nhỏ Lời giải: Gọi H hình chiếu B lên ∆ ta thấy SangKienKinhNghiem.net 16 d(B; ∆) = BH ≤ AB Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn A ≡ H hay ∆ đường thẳng nằm (α) vng góc với AB Gọi K hình chiếu vng góc B lên (α) d(B; (α)) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ K ≡ H hay ∆ đường thẳng qua hai điểm A, K Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = điểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua điểm A cách điểm B(2;3; 5) khoảng : 1) Nhỏ 2) Lớn Giải: uur Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n (2; 2;1) 1) Gọi H hình chiếu vng góc B lên (α) x t Phương trình BH: y 2t z t Tọa độ điểm H ứng với t nghiệm phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15= t 2 hay H(-2; 7; 3) uuur Ta thấy d(B; ∆) nhỏ ∆ qua hai điểm A, H AH (1; 4;6) véc tơ phương ∆ Phương trình ∆: x+3 y-3 z +3 2) Ta thấy d(B; ∆) lớn ∆ đường thẳng nằm (α), qua A vng góc với AB uur uuur uur ∆ có véctơ phương u [AB, n ] (16;11; 10) Phương trình ∆: x+3 y-3 z +3 16 11 10 x t Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) đường thẳng d: y z t 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d B 2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn 3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ 17 A đến ∆2 nhỏ SangKienKinhNghiem.net Giải: r uuur 1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d (1;0; -1) , MB (2; 2;0) uur uuur uur [u d , MB] (2; 2; 2) 2(1;1;1) 2n uur (α) qua B nhận n (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): x + y + z – = 2) Gọi H hình chiếu A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ ∆1 qua hai điểm x t B,H Phương trình tham số AH: y t z 1 t Tọa độ H ứng với t nghiệm phương trình: + t + + t -1 + t – = 3t t uuur 4 4 BH ( ; ; ) 3 uur r Ta thấy u1 u d 4 H( ; ; ) 3 3 uur 4 uur (2; 1; 1) u1 ∆1 nhận u1 làm véc tơ phương 3 không phương nên d ∆1 cắt (do thuộc mặt phẳng (α)) Vậy phương trình ∆1: x+1 y-2 z 1 1 3) Gọi K hình chiếu A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn K ≡ B hay ∆2 nằm (α)và vng góc với AB uur uuur uur uur Ta có [n , AB] (0; 4; 4) 4(0;1; 1) 4u ∆2 nhận u làm véc tơ phương, uur r mặt khác u u d không phương nên d ∆2 cắt (do thuộc mặt phẳng (α)) x 1 Phương trình ∆2: y t z t Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song nằm (α) không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách ∆ d lớn Lời giải: SangKienKinhNghiem.net 18 Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d, B giao điểm d với (α) Xét (P) mặt phẳng (d1, ∆), H I hình chiếu vng góc B lên (P) d1 Ta thấy khoảng cách ∆ d BH uur uur uur BH ≤ BI nên BH lớn I ≡ H, ∆ có vtcp u [BI, n ] Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 , mặt phẳng (α): 2x – y – z + = 1 điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách ∆ d lớn r uur Giải:Đường thẳng d có vtcp u (1; 2; -1), (α) có vtpt n (2; -1; 1) x t Phương trình tham số d: y 2t z t Gọi B giao điểm d (α), tọa độ B ứng với t nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + = t = -1 B(0; 0; 4) Xét d1 đường thẳng qua A song song với d x 1 t Phương trình tham số đường thẳng d1: y 2t z t Gọi I hình chiếu vng góc B lên d1 uur I(-1 + t; + 2t; – t), BI (-1 + t; + 2t;-5– t) uur r Ta có BI.u -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = t = -1 I(-2; -1; 2) uur uur uur Đường thẳng ∆ có vtcp u [BI, n ] = (-5; -10; 4) Phương trình ∆: x+1 y-1 z -1 5 10 SangKienKinhNghiem.net 19 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) đường thẳng ∆ : x+1 y z-4 = = Trong đường thẳng qua A song song song với (P), 3 viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d ∆ lớn Giải: Mặt phẳng (α) qua A song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= => d nằm (α) uur r Đường thẳng ∆ có vtcp u (2;1;-3), (α) có vtpt n (1;1;-1) x 1 2t Phương trình tham số ∆: y t z 3t Gọi B giao điểm ∆ (α), tọa độ B ứng với t nghiệm phương trình: -1+ 2t + t – (4- 3t) + = t = 1 B(0; ; ) 2 Xét ∆1 đường thẳng qua A song song với ∆ x t Phương trình tham số đường thẳng ∆1: y 1 t z 3t Gọi H hình chiếu vng góc B lên ∆1 H(1 + 2t; -1 + t; – 3t) uur r uuur 3 BH (1 + 2t; t - ; -3t).Ta có BI.u + 4t + t - + 9t = t = r uuur 13 43 1 ) = (26; -43; 3) = u1 BH =( ; ; 14 28 28 28 28 28 uur uur uur Đường thẳng d có vtcp u d [u1 , n ] = (40; 29; 69) Phương trình d : x-1 y+1 z -2 40 29 69 Bài toán 5: Cho mặt phẳng (α) điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song nằm (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A tạo với d góc lớn nhất, nhỏ SangKienKinhNghiem.net 20 ... 24 Kiến nghị .25 SangKienKinhNghiem.net HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH A MĐ ĐĐU Lý chọn đề tài Trong chương trình Hình học giải tích... 17 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo Tìm điểm M d1, N d2 chân đoạn vng góc chung hai đường Lời giải: - Lấy M d1 N d ( tọa độ theo tham số) uuuur r uuuur r r r - Giải hệ phương. .. lớn Bài tốn 4: Cho đường thẳng d hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ Lời giải: - Đưa phương trình d dạng tham số, viết tọa độ M theo tham số