Skkn một số kinh nghiệm khi dạy học sinh giỏi lớp 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI DẠY HỌC SINH GIỎI LỚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI” Quảng Bình, tháng năm 2017 skkn PHÇN Mở ĐầU Lý chn sỏng kin Ngy Đảng Nhà nước ta xác định mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, coi “Giáo dục quốc sách hàng đầu” Đặc biệt giai đoạn nhân tài có vai trị quan trọng cơng xây dựng xã hội văn minh Những nước văn minh nước bồi dưỡng sử dụng nhiều nhân tài Chính mà coi cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn trọng tâm, có tác dụng thiết thực mạnh mẽ nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ đội ngũ thầy cô giáo, nâng cao chất lượng giáo dục  góp phần khẳng định thương hiệu nhà trường, giáo dục cấp, tạo khí hăng say vươn lên học tập giành đỉnh cao học sinh Trong môn học nhà trường THCS, Tốn học mơn khoa học Học sinh tham gia thi học sinh giỏi cấp u cầu mơn Tốn phải đạt khá, giỏi trở lên đặc thù môn Giỏi Toán niềm mơ ước nhiều bậc phụ huynh hệ học sinh Trong chương trình tốn lớp THCS, dạng tốn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng thường xuyên gặp đề thi học sinh giỏi cấp huyện Đa số học sinh giải cịn thiếu lơ gíc ,chặt chẽ , thiếu trường hợp Lí em vận dụng tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đối chưa Các em chưa phân biệt dạng toán áp dụng tương tự vào toán khác Một số giáo viên bồi dưỡng chưa dạy chuyên sâu phần này, chưa phân dạng phương pháp giải cho dạng nên học sinh thường nhầm lẫn dạng tốn trình bày thiếu sót nêu Sau nhiều năm trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi khối 6,7 tơi có số kinh nghiệm nhỏ giúp học sinh học tốt phần mà thân áp dụng vào giảng dạy bước đầu có hiệu Chính lý nên chọn sáng kiến: “Một số kinh nghiệm dạy học sinh giỏi lớp giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” Phạm vi đối tượng nghiên cứu skkn 2.1 Phạm vi nghiên cứu: Học sinh Câu lạc Toán Trường THCS 2.2 Đối tượng nghiên cứu: Các toán chứa dấu giá trị tuyệt đối từ đến nâng cao Mục đích nghiên cứu Đánh giá thực trạng kỹ giải tốn có chứa dấu Giá trị tuyệt đối học sinh lớp trường THCS Đề xuất phương pháp giải dạng tốn có chứa dấu Giá trị tuyệt nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn cho học sinh lớp trường THCS Điểm kết nghiên cứu - Điểm sáng kiến đưa kinh nghiệm phương pháp giải toán chuyên đề mà học sinh thường lúng túng không nắm phương pháp giải toán Trong sáng kiến , tơi phân loại nhiều dạng tốn, dạng có nhiều cách giải, đặc biệt trọng đến dạng toán nâng cao dành cho học sinh giỏi - Giúp cho học sinh xác định dạng toán, nắm phương pháp giải lựa chọn phương pháp giải tối ưu skkn PHẦN NỘI DUNG I Thực trạng vấn đề Khi giải dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường giải tìm điều kiện khơng xác Khi tìm giá trị x quên đối chiếu điều kiện kết hợp điều kiện không Giáo viên chưa có nhiều thời gian biện pháp hữu hiệu để rèn luyện cho học sinh học sinh kĩ Giáo viên nghiên cứu phương pháp giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối song dừng lại việc vận dụng bước giải cách nhuần nhuyễn chưa ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ giải loại điều cần ý giải loại Trong q trình giảng dạy nhiều giáo viên trăn trở làm để học sinh phân biệt dạng cách giải dạng Vào tháng 10 năm 2015, sau hai buổi dạy nội dung cách củng cố lý thuyết làm số tập, cho học sinh làm kiểm tra 60 phút với nội dung sau: Bài 1(2điểm): Rút gọn biểu thức: A= Bài 2(6 điểm): Tìm x, biết: a) b) |x - 4| + |x - 9| = c) d) Bài 3( điểm) Tìm giá trị nhỏ : B = Tơi thấy học sinh cịn lúng túng phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp giải dạng bài, trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp kết tìm với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn phương pháp giải nhanh, hợp lí nên đa số làm khơng kịp thời gian Kết đạt sau: Xếp loại Tổng số:20 Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL SL TL SL TL SL TL 10% 20% 30% 40% Kết thấp học sinh vướng mắc điều nêu (ở phần trên) phần lớn em xét chưa chặt chẽ câu b, trường hợp  x < đẳng thức trở thành x- - x + = => 0x = 0(xảy với x) => x vơ số giá trị.Nhưng thực skkn tế xét điều kiện  x < nên x có vơ số giá trị thoả mãn  x < Trong nhiều em cịn lúng túng việc tìm điều kiện x để dấu “=” xảy II Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Tổ chức khảo sát chất lượng đầu năm Ngay từ đầu năm học , sau nhận lớp khoảng tháng, tiến hành khảo sát chất lượng để phân loại đối tượng học sinh Qua kết khảo sát giúp giáo viên nhận biết khả nhận thức kĩ giải toán học sinh Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối Trước đưa dạng toán giá trị tuyệt phương pháp giải giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc nhớ định nghĩa giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy số tính chất để vận dụng vào làm tập Từ khái niệm giá trị tuyệt đối, định lí, tính chất, giáo viên củng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh để từ học sinh vận dụng vào giải tập a) Định nghĩa: Với a Với biểu thức A b) Tính chất: Từ định nghĩa suy tính chất sau: * a = a=0 * a = - a với a R * a  với a  R Dấu “=” xảy a = * a  a với a  R Dấu “=” xảy a  * a  - a với a  R Dấu “=” xảy * a +b  a +b với a  a,b  R Dấu “=” xảy ab  2.2 Phương pháp giải tốn có chứa giá trị tuyệt đối Trước tiên học sinh cần nắm định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối, làm tập đơn giản với hướng dẫn giáo viên, sau làm tập nâng cao tập đòi hỏi tư học sinh Cho học sinh vận dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối số, biểu thức để đưa tốn tốn khơng cịn chứa dấu giá trị tuyệt đối để tiến hành phép tính đại số quen thuộc 2.3 Một số dạng toán giá trị tuyệt đối số 2.3.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức: skkn Đối với dạng toán giáo viên phải cho học sinh thấy giống khác tốn tính giá trị biểu thức đơn với tốn tính giá trị biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối a Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = 5x2 - 2x + với x = x = x = -2 từ có giá trị biểu thức A tương ứng Bài giải: Vì x = x = , x = -2 * Với x = ta có : A = 5.22 - 2.2 + = 17 * Với x = -2 ta có : A = 5.(-2)2 - 2.(-2) + = 25 Vậy với x = : A = 17; A = 25 b Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức B = x - 1 - 1- x x = Đối với toán học sinh phải biết thay x = vào biểu thức B sau bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị biểu thức B Bài giải: Với x = ta có: B = 4 - 1 - 1 - 4 = 2.3 - 3.3 = -3 2.3.2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Đối với dạng toán giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối biểu thức (nếu biểu thức khơng âm) biểu thức đối (nếu biểu thức âm) Vì bỏ dấu giá trị tuyệt đối biểu thức cần xét giá trị biến làm cho biểu thức dương hay âm Dấu biểu thức thường viết bảng xét dấu a Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - x - 2 x - 2 = x - với x -  x  x - 2 = - (x -2) = - x + với x - < x < * Với x  A = 3(2x - 3) - (x - 2) A = 6x - - x +2 A = 5x - * Với x < thì: A = 3(2x - 3) - (-x + 2) = 6x - + x - = 7x - 11 Vậy A = 5x - x  , A= 7x - 11 x < b Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A = 2x - 6 - x - 4 skkn Ở biểu thức A có chứa tới biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối để đơn giản trình bày, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu x 2x - - + + + x-4 - - - + 2x - 6 = 2x - x  2x - 6 = – 2x x < x - 4 = x - x  = - x x < Xét trường hợp tương ứng với khoảng giá trị biến x * Nếu x < A = (6 - 2x) - (4 - x) = - 2x - 4+x = 2- x * Nếu  x < A = (2x - 6) - (4 - x) = 2x - - + x = 3x - 10 * Nếu x  A = (2x - 6) - (x - 4) = 2x – - x + = x - Vậy: A = 2- x x < 3x - 10  x  x-2 x > 2.3.3 Dạng 3: Tìm giá trị biến đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước ) * Cách giải: - Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số khơng âm ) - Nếu k = ta có - Nếu k > ta có: Phương pháp giải dạng phải dựa vào định nghĩa để xét hai trường hợp xảy Ví dụ 1: Tìm x biết: 2x - 1 = Cách giải: 2x - 1 = Vậy x  - 2; skkn Dạng 2: (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: Vận dụng tính chất: ta có: Ví dụ 2: Tìm x biết: 2x +1 = x-5 Cách giải: Vậy Dạng 3: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Căn bảng xét khoảng giải toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ : Tìm x biết (1)  Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta biến đổi biểu thức vế trái đẳng thức Từ tìm x Giải Xét x–1=0 x = 1; x – < x < 1; x – > x>1 x- = x = 3; x – < x < 3; x – > x>3 Ta có bảng xét dấu đa thức x- x- đây: x x–1 - x–3 - Xét khoảng x < ta có: (1) + + - + (1 – x ) + ( – x ) = 2x – -2x + x= Xét khoảng x < ta có: (1) = 2x – (giá trị không thuộc khoảng xét) (x – ) + ( – x ) = 2x – skkn = 2x – x = Xét khoảng x ta có: (1) ( giá trị thuộc khoảng xét) (x – ) + (x – ) = 2x – - = -1 ( Vơ lí) Kết luận: Vậy x = Ví dụ 4: Tìm x biết x - 3 + 5 - x = Dạng nên vận dụng tính chất f(x)  Cách giải Vì x-3  5-x  với x  R Do đó: x - 3 + 5-x = x = x = Điều đồng thời xảy Vậy không tồn x thoả mãn yêu cầu đề Ví dụ 5: Tìm x, biết: (1) Dạng nên vận dụng tính chất f(x)  (Nhiều HS thường quên vận dụng cách lập bảng xét dấu bỏ dấu giá trị tuyệt đối chia ba trường hợp nhiều thời gian dễ dẫn tới sai sót q trình giải) Cách giải Vì x+3  , x+3  x+5  với x  R nên Do 4x Với Ta thấy giá trị x=10 thỏa mãn điều kiện Vậy x=10 Dạng 4: Vận dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng số không âm số không âm tổng số hạng tổng đồng thời * Cách giải chung: Bước 1: Đánh giá: Bước 2: Khẳng định: Ví dụ 5: Tìm x, y thoả mãn: a) b) * Chú ý 1: Bài tốn cho dạng * Cách giải: (1) skkn kết không thay đổi (2) Từ (1) (2) Ví dụ 6: Tìm x, y thoả mãn: Hướng dẫn: Vì (1) Mà theo (2) Từ (1) và(2) suy (3) Giaỉ (3) ta * Chú ý 2: Do tính chất không âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự Ví dụ 7: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: ( Đáp số: x=y=1) Dạng 5: Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối: a)Cách tìm phương pháp giải: Với tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối, trước hết hướng dẫn học sinh xác định dạng bài, tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách nào? Phải qua lần? Và áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ vào để đưa tập từ phức tạp đến đơn giản.) b)Phương pháp giải: Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ vào Tuỳ theo đặc điểm biểu thức dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng ta áp dụng phương pháp dạng c)Ví dụ:Tìm x biết: a) ||x-5| +9|=10 b) ||4-x|+|x-9||=5 Bài giải: a) ||x-5| +9|=10 =>|x-5| + = 10 |x-5|+ =-10 + Xét |x-5| + = 10 |x-5| = x - = x - = -1 skkn 10 =>x= x = + Xét |x-5| + = - 10 |x-5|= - 19( loại |x-5| 0) Vậy x = x = b) ||4-x| + |x-9||=5 (dạng |A| =m  0) =>|4-x| + |x-9| = |4-x| + |x-9|= -5 *Xét |4-x| + |x-9| = 5(1) ( Dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối không rơi vào dạng đặc biệt) Lập bảng xét dấu: x 4-x + x-9 - - - - + Dựa vào bảng xét dấu trường hợp xảy ra: + Với x 4 Ta có |4-x|= - x | x-9| = - x (1) trở thành: 4-x + - x = 13 -2x =5 x = 4(TM) + Với < x < ta có: |4-x| = x- |x-9|= - x (1) trở thành: x- + - x = + Với x = (thoả mãn với x) 4< x a f(x) > a f(x) < - a (f(x) nằm khoảng) Ví dụ 1: Tìm x biết: 3x - 2 < (1) Cách giải: skkn 11 Cách 1: 3x - 2 < - < 3x - < Cách 2: 3x - 2 = - < 3x < 3x - x  - < x < -3x + x < * Nếu x  (*) (1) trở thành 3x - < x < (**)  x < (2) Từ (*) (**) * Nếu x < (3) (1) trở thành - 3x + < x>- Từ (3) (4) - - Với toán giáo viên hướng dẫn học sinh nêu cách giải nên làm theo cách sau: Cách giải Áp dụng f(x)  > a (f(x) nằm ngồi khoảng) Vậy x < - 11 x > Giáo viên chốt lại cách giải : Qua ví dụ nên vận dụng tính chất: Với a số dương: * Nếu f(x)  < a - a < f(x) < a * Nếu f(x)  > a f(x) > a f(x) < - a Hoặc bỏ dấu GTTĐ chia hai trường hợp để giải 2.3.5 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biến thức: A = 53x - 2 - Ở học sinh phải biết vận dụng kiến thức  a  với skkn 12 a  R để giải Cách giải Ta có 3x - 2  với = > 53x - 2  với x  R x  R = > A = 3x - 2 -  = - với Dấu “=” xảy Min A = - x  R 3x - = hay x = x= Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x - 5 + x - 7 Dạng giáo viên giới thiệu cho học sinh cách giải sau: Cách 1: Bài toán phụ: Chứng minh rằng: a+b a + b Áp dụng tính chất: với a , ta có Từ (1) (2)suy Dấu “=” xảy ab  Giải: Áp dụng tốn phụ tính chất B=x-5+x-7=x-5+7-x , ta có:  x - + - x B >   = Dấu “=” xảy ra: (x - 5) (7 - x) x (Lập bảng xét dấu) Vậy Min B = x Cách 2: Ta có trường hợp sau (dựa vào bảng xét dấu) * Nếu x < B = - x + - x + = - 2x + 12 Vì: x < -2x > -10 -2x + 12 > Ta có:  x -  +  x -  > * Nếu x 7, ta có: B=x-5-x+7=2 * Nếu x > 7, ta có: skkn 13 B = x - + x -7 = 2x - 12 Vì x > 2x >14 nên 2x - 12 > Do đó:  x -  +  x -  > Vậy Min B = x Cách 3: B =  x -  +  x -  tổng khoảng cách từ điểm x đến điểm điểm Tổng nhỏ x trùng với 5, trùng với Khi đó:  x -  +  x -  = - = Vậy Min B = x Cách 4:  x -  x - Dấu “=” xảy x-5 x x  x -  =  - x  -x Dấu “=” xảy 7-x Do đó: B =  x -  +  x -  x-5+7-x=2 Dấu “=” xảy x x Vậy Min B = x x 7 * Để tránh nhầm lẫn cho HS, GV nên hướng dẫn HS nên làm theo cách Ví dụ 3: Hãy tìm x để C sau đạt giá trị nhỏ Cách giải: Áp dụng tính chất: , ta có: = Dấu “=” xảy : ( Lập bảng xét dấu tìm x) Vậy Min C=14  Lưu ý : Không thực cách ghép khác, chẳng hạn: Dấu “=” xảy : skkn 14 Vậy C dấu đẳng thức không xảy ra, khơng tìm giá trị nhỏ C Ví dụ 4: Hãy tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ Để giải toán giáo viên cần lưu ý học sinh vận dụng định nghĩa tính chất sau: * A A A= - A A < *  B  B dấu “=” xảy * C - C dấu “=” xảy B D=0 Cách giải:  x + 5 - ( x + 5) = - x - x+9 - ( x + 9) = - x -  x + 10   x + 13  x + 13  x + 17  x + 17 Do C - x - - x - + + x + 13 + x + 17 = 16 Dấu “=” xảy x + 0; x + 0; x + 20 = 0; x + 13 0; x + 17 Từ ta có x = - 10 Vậy với x = - 10 Min C = 16 2.3.6.Dạng 6: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong chương trình tốn lớp 7, phần hàm số mở đầu cho chương trình hàm số chương trình tốn THCS Đối với đồ thị hàm số học sinh biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a 0) Đó đường thẳng qua gốc toạ độ điểm A( 1;a) Để vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối, ta phải bỏ dấu GTTĐ , chia trường hợp Sau tiến hành vẽ đồ thị theo cách biết Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y y= b) 1 skkn 15 O x Hình c) y Giải  x ví i x  a) Ta có y = x    x ví i x Với x đồ thị hàm số y = x tia phân giác O x’ góc phần tư thứ I Với x A x Hình đồ thị hàm số y = - x tia phân giác góc phần tư thứ II Đồ thị hàm số y = y gồm hai tia phân giác góc I II hình b) Với x y = x A z Với x < y = Đồ thị hàm số gồm hai tia O x’ OA hình O t c)Với x > y = x B - Với x < y = - Đồ thị hàm số gồm hai tia Az Bt hình ( dấu mũi tên nói hai điểm A B khơng thuộc đồ thị ) Hình Qua ví dụ giáo viên cho học sinh thấy vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối phải khử dấu giá trị tuyệt đối để đưa dạng đồ thị hàm số học 2.4 Một số toán suy luận liên quan đến giá trị tuyệt đối: Bài 1: Trong số nguyên a, b, c có số âm, số dương, số ngồi cịn có thêm  a  = b2 (b - c) Hỏi số dương, số âm, số 0? Giải: + Nếu b =  a = 02 ( - C) a=0 + Nếu a = b2 = b-c=0 a = tức a = b trái với đề b2 ( b - c) = b=0 a = b trái với đề b = c trái với đề skkn 16  a  = b2 ( b - 0) Vậy c =  a  = b3 mà  a  > a b3 > b>0 a 0; c = thoả mãn đề Bài 2: Tìm số nguyên x, y cho  x  +  y  = Giải: Ở x y có vai trị bình đẳng Ta xét x chẳng hạn ta có: Do đó:  x  x Z nên  x  N x {0; 1; 2} + Nếu  x  =  y  = x = 0; y = + Nếu  x  =  y  = x= + Nếu  x  =  y  = x = 2; y = 1; y = Vậy có tất cặp số thoả mãn đề là: ( x = 0; y = 2); ( x = 0; y = -2); ( x = 1; y = 1) ( x = 1; y = -1); ( x = -1; y = 1); ( x = -1; y = -1) ( x = 2; y = 0); ( x = -2; y = 0); Bài 3: Cho đẳng thức  a  - = b2007 (a, b Z) a Xác định dấu a b biết chúng số nguyên khác trái dấu b Tính a b = c Tính b a = Giải: a Giả sử a > b < (vì a, b trái dấu) b2007 < mà  a  - = b2007 a-1