Một số phương pháp tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: TTCM SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x) 2.3.2 Phương pháp tìm cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối 14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 26 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 26 3.1 Kết luận 26 3.2 Kiến nghị 26 TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thơng, tốn cực trị hàm số chiếm vị trí quan trọng ứng dụng rộng rãi thực tế như: Các tốn lợi ích kính tế sản xuất, kinh doanh… Cực trị hàm số bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 10 xuyên suốt chương trình tốn học phổ thơng, đến thường xun có mặt kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào thi mơn tốn phần cực trị hàm số yêu cầu rộng khó trước, đặc biết tốn tìm cực trị cuả hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tut đố, địi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức cực trị thật vững tư linh hoạt giải tốn dạng Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức vững cực trị đặc biệt cực trị hàm hợp,hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục , chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối” Với đề tài hi vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt thành thạo việc giải tốn cực trị nói chung giải toán cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nói riêng 1.2 Mục đích nghiên cứu - Làm rõ vấn đề mà học sinh lúng túng , mắc nhiều sai lầm chí khơng có định hướng lời giải việc tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối - Góp phần gây hứng thú học tập phần cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh, giúp em giải phần coi khó đề thi, địi hỏi phải có tư cao - Làm cho học sinh thấy tầm quan trọng chương học, vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận giải dạng toán - Nâng cao chất lượng mơn tốn theo chun đề khác góp phần nâng cao chất lượng dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Chương I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chủ yếu phương pháp tìm cực trị số hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ thống theo mức độ từ dễ đến khó NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Các kiến thức Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( a; b ) điểm x0 ∈ ( a; b ) a) Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Chú ý: Nếu hàm số f ( x ) đạt cực đại( cực tiểu) điểm x0 x0 gọi điểm cực đại( điểm cực tiểu) hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại( giá trị cực tiểu) hàm số, điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực đại( cực tiểu) đồ thị hàm số Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trênkhoảng ( a; b ) đạt cực đại cực tiểu điểm x0 f ' ( x0 ) = 2.1.2 Tính chất Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) có đạo hàm K K \ { x0 } , với h > a) Nếu f ' ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x ) < khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f ( x ) b)Nếu f ' ( x ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x ) > khoảng ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( x0 − h; x0 + h) , với h > Khi đó: a) Nếu f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) > x0 điểm cực tiểu hàm số b) Nếu f ' ( x0 ) = f '' ( x0 ) < x0 điểm cực đại hàm số 2.2 Thực trạng đề tài Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp Trong đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia đề thi thử trường THPT toàn Quốc , học sinh thường gặp số câu tìm cực trị hàm hợp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối tốn có liên quan, mức độ vận dụng để lấy điểm cao Hướng dẫn em vận dụng tốt phần tạo cho em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc tìm cực trị hàm số nâng cao tư giải toán nhằm lấy điểm cao thi Trước áp dụng đề tài vào dạy học, khảo sát chất lượng học tập học sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2019-2020 (thông qua lớp trực tiếp giảng dạy) tốn tìm cực trị hàm hơp, hàm ẩn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12B1 45 0% 13,3 26 57,7 10 22,4 6,6% % % % 12B3 46 1,8 17,3 22 47,8 11 24,3 8,8% % % % % Như số lượng học sinh nắm bắt dạng toán khơng nhiều, có nhiều em chưa định hướng lời giải chưa có nguồn kiến thức kĩ cần thiết Thực đề tài hệ thống lại phương pháp tìm cực trị hàm số học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thông qua phương pháp cụ thể ví dụ tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải Do khn khổ đề tài có hạn nên tơi đưa hai phương pháp tìm cực trị là: Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x ) phương pháp tìm cực trị hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc y = f ( x ) y = f ( x ) 2.3 Các giải pháp tổ chức thực Thực đề tài chia nội dung thành hai phần Phần Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x ) Phần Phương pháp tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Mỗi phần thực theo bước: - Nhắc lại kiến thức sử dụng đề tài - Nêu ví dụ áp dụng - Đưa tập tương tự Nội dung cụ thể: 2.3.1 Phương pháp tìm cực trị hàm số hợp dạng y = f ( u ) với u = u ( x) a Phương pháp giải: Ta có y ' = u ' ( x ) f ' ( u ( x ) ) u ' ( x ) = Xét phương trình y ' = ⇔ u ' ( x ) f ' ( u ( x ) ) = (1) ⇔  (2)  f ' ( u ( x ) ) = (3) Số điểm cực trị hàm số số nghiệm bội lẻ phương trình ( 1) (Số điểm cực trị hàm số số lần đổi dấu đạo hàm y ' ) Giải phương trình ( ) ( 3) ⇒ số nghiệm bội lẻ phương trình ( 1) ⇒ số điểm cực trị hàm số y = f ( u ) b Ví dụ áp dụng: Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị −2; −1;0 có đạo hàm liên tục ¡ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x − x ) Lời giải: Vì hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị −2; −1;0 có đạo hàm liên tục ¡ nên f ′ ( x ) = có ba nghiệm −2; −1;0 (ba nghiệm bội lẻ) 2 Xét hàm số y = f ( x − x ) có y′ = ( x − ) f ′ ( x − x ) ; y′ = ⇔ ( x − ) f ′ ( x − x ) = x = x =1  x − x = −2  ⇔ ⇔  x =  x − x = −1  x =   x − x = Do y ' = có nghiệm bội lẻ ( x = ) hai nghiệm đơn ( x = 0; x = ) nên hàm số y = f ( x − x ) có ba điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y = f  f ( x )  Lời giải: Xét hàm số y = f  f ( x )  , ta có y′ = f ′ ( x ) f ′  f ( x )   f ′ ( x) = Ta có: y' = ⇔   ff′ ( x) =  ( x = + f ′ ( x) = ⇔  x = + ff′ ( ) hàm số f ( x) có hai điểm cực trị x = 0; x =  f ( x) =  x = ⇔ ( )  f ( x) = ) Quan sát đồ thị ta thấy phương trình f ( x) = có nghiệm bội chẵn x = nghiệm đơn bội lẻ x = a > Kẻ đường thẳng y = nhận thấy phương trình f ( x) = có nghiệm đơn bội lẻ x = b > a Do y′ có điểm làm cho đổi dấu x x = 0; x = 2, x = a, x = b Vậy hàm số có điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hình vẽ ¡ hàm số y = f '( x ) có đồ thị Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 3) Lời giải: Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương qua x = −2 nên hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị x = −2 x = x =   Ta có y ' =  f ( x − 3)  = x f ' ( x − 3) ; y ' = ⇔  x − = −2 ⇔  x = ±1  x2 − =  x = ±2  ' Mà x = ±2 nghiệp kép, nghiệm lại nghiệm đơn nên hàm số y = f ( x − 3) có ba cực trị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ , bảng biến thiên hàm số y = f ' ( x ) sau: Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x + x ) Lời giải:  x = −1  y ' = x + f ' x + x = ⇔ ( ) Ta có  f ' x + x = ( ) ( ) ( 1)  x + x = a < −1  ⇔  x + x = b ∈ ( −1;1) ( ) Từ BBT ta thấy phương trình   x + x = c > ( 2) ( 3) ( 4) Đồ thị hàm số y = x + x có dạng Từ đồ thị hàm số y = x + x ta thấy phương trình (2) vơ nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) có nghiệm phân biệt Do y ' = có nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số y = f ( x + x ) có điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) parabol hình bên Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − x Lời giải: Ta có y′ = f ′ ( x ) − x = y′ = ⇔ f ′ ( x ) − = ⇔ f ′ ( x ) = ⇔   x = x1 > Dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) đường thẳng y = , ta có bảng biến thiên sau Vậy hàm số y = f ( x ) − x có hai điểm cực trị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết tất điểm cực trị hàm số y = f ( x ) −2 ; ; ; a ; với < a < Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x − 3x ) Lời giải: Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; a ; tất nghiệm f ′ ( x ) Ta có: y′ = ( f ( x − 3x ) ) ′ = ( x − x ) f ′ ( x − 3x )  x = 0, x = ±1  x = 0, x = ±1  x = ±1    x − x = −2  x = 0, x = ±  x − 3x =  x5 − x = y'= ⇔  ⇔ ⇔ x = ±  x − 3x =  f ′ ( x − 3x ) =    x = ± m, m >  x − 3x = a  x = ± n, n > m  x − 3x =   Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) = x − 3x Dựa vào bảng biến thiên hàm số g ( x ) = x − 3x , ta suy ±1 nghiệm kép phương trình x6 − 3x = −2 nghiệm kép phương trình x − 3x = 6 Do ±1 nghiệm kép f ′ ( x − 3x ) Do ±1 nghiệm bội ba y′ Các nghiệm khác ±1 y′ nghiệm đơn Vậy hàm số cho có 11 cực trị Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 2) (x − x + ) với x ∈ R Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( x − 10 x + m + ) có điểm cực trị Lời giải: x =  Ta có f ′ ( x ) = ⇔  x = , x = nghiệm kép nên qua giá trị x = f ′ ( x )  x = không bị đổi dấu Đặt g ( x ) = f ( x − 10 x + m + ) g ' ( x ) = f ′ ( u ) ( x − 10 ) với u = x − 10 x + m + 10 Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x + 3x ) Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ , hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau: Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x + x ) Bài Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên 2 Hàm số y = f ( x + x ) − x − x có điểm cực trị thuộc khoảng ( −5;1) ? Bài Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ , có đồ thị ( C ) hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x + x ) Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên 13 Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) khoảng ( − 5; ) Bài Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x − x − ) có điểm cực tiểu? Bài 10 Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x ) = x  f ( x − 1)  2.3.2 Phương pháp tìm cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối a Bài tốn 1.Tìm số điểm cực trị hàm số dạng y = f ( x ) Phương pháp giải: Ta có y = f ( x ) = f ( x ) Đạo hàm y ' = f '( x) f ( x) f ( x) ⇔ y' = f '( x) f ( x) f ( x) , ( y ' không xác định f ( x ) = )  f '( x) = Xét phương trình f ' ( x ) f ( x ) = ⇔   f ( x ) = (1) (2) Giải phương trình (1); (2) tìm số nghiệm chúng Số điểm cực trị hàm số số nghiệm bội lẻ phương trình f ' ( x ) f ( x ) = (Số lần đổi dấu đạo hàm y ' ) 14 b Bài tốn 2.Tìm số điểm cực trị hàm số dạng y = f ( x ) Phương pháp giải: Hàm số cho hàm số chẳn ⇒ đồ thị hàm số đối xứng với qua trục tung Ta có y = f ( x ) ⇔ y = f ( x ) ⇒ y ' = xx f ' ( x ) ⇒ đạo hàm không xác định x = Gọi m só điểm cực trị dương hàm số y = f ( x ) ⇒ số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) 2m + c Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số y = x − 3x + m , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có điểm cực trị Lời giải: TXĐ: D = ¡ Đặt f ( x ) = x − 3x + m x = x = 2 Ta có f ' ( x ) = 3x − x ; f ' ( x ) = ⇔  Với x = ⇒ y = m x = ⇒ y = m − Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) x −∞ f ′ ( x) + − 0 + +∞ m f ( x) +∞ m−4 −∞ Số điểm cực trị hàm số số ngiệm bội lẻ phương trình f ' ( x ) f ( x ) = (1)  f ' ( x ) = ( 2) Ta có f ' ( x ) f ( x ) = ⇔   f ( x ) = ( 3) Ta có f ' ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt, vây để hàm số có điểm cực trị phương trình f ( x ) = phải có nghiêm phân biệt nghiệm phải khác 0; 15 Từ BBT hàm số y = f ( x ) , để phương trình f ( x ) = có nghiệm phân biết khác m ( m − ) <  0;  m ≠ ⇔0