SKKN phương pháp giúp học sinh giải quyết bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm hợp, hàm ẩn tại trường THCS và THPT nghi sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT BÀI TỐN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN TẠI TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Anh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm .3 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Cơ sở thực tiễn Phương pháp giải: - Bước 1: Tìm nghiệm phương trình ( giao điểm đồ thị trục hoành) - Bước 2: Xét dấu ( phần đồ thị nằm phía mang dấu dương, phần đồ thị nằm phía mang dấu âm) - Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số Suy kết luận A Hàm số nghịch biến khoảng .5 B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số nghịch biến khoảng .5 D Hàm số đồng biến khoảng 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 16 Kết luận, kiến nghị 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm 2017 mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Trong đề thi thường xuất số dạng tốn tính đơn điệu hàm số liên quan đến hàm hợp, hàm ẩn Khi xuất dạng toán thường mức độ vận dụng thấp vận dụng cao, gây lúng túng định cho học sinh, chí giáo viên Một số dạng toán thường xuất đề thi như: Xét tính đơn điệu hàm ẩn, hàm hợp biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số sơ cấp Sau nhiều năm dạy khóa học sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia, nhận thấy cần phải đúc rút số dạng toán cách giải cách đơn giản phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm kì thi Do tơi mạnh dạn viết sáng kiến “Phương pháp giúp học sinh giải tốn xét tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn kì thi THPT Quốc Gia trường THCS THPT Nghi Sơn” để giúp giải số khó khăn mắc phải học sinh gặp dạng tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh lớp 12 tiếp cận khai thác triệt để số dạng toán hàm số hợp hàm số ẩn Nhằm nâng cao tính tự nhiên tiếp cận kiến thức thi THPT QG phần hàm số nâng cao chất lượng thi học sinh trường THCS THPT Nghi Sơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số dạng tốn tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin; Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số 2.1.1.1 Định nghĩa:1 Gọi K khoảng ( a; b ) đoạn [ a; b ] nửa khoảng [ a; b ) , ( a; b ] hàm số f ( x ) xác định K Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến(giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K Tài liệu tham khảo [4] 2.1.1.2 Định lí 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ( a; b ) • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a; b ) hàm số f ( x ) đồng biến ( a; b ) • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) hàm số f ( x ) nghịch biến ( a; b ) 2.1.1.3 Định lí 23: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K ) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ( a; b ) • Hàm số f ( x ) đồng biến ( a; b ) ⇔ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) phương trình f ′ ( x ) = có hữu hạn nghiệm thuộc ( a; b ) • Hàm số f ( x ) nghịch biến ( a; b ) ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b ) phương trình f ′ ( x ) = có hữu hạn nghiệm thuộc ( a; b ) (Chú ý: Dấu xảy điểm “rời nhau”) 2.1.1.4 Định lí 3:4 (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K ) • Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) f ( x ) liên tục nửa đoạn [ a; b ) f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn [ a; b ) • Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) f ( x ) liên tục nửa đoạn ( a; b ] f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn ( a; b ] • Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng ( a; b ) f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn [ a; b ] 2.1.2 Đạo hàm hàm hợp5 2.1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định X , tập giá trị T hàm số y = g (u ) có tập xác định Y chứa tập T Khi với giá trị x ∈ X ta có giá trị xác định y cho g Khi y = g (u ) = g ( f ( x)) ta nói y hàm số h theo biến số x với h( x) = g ( f ( x)) Hàm số h( x) gọi hàm số hợp hàm số f g theo thứ tự 2.1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp u = f ( x) Cho hàm số y = g ( f ( x )) Đặt  y x ' = y 'u u ' x y = f ( u )  Tài liệu tham khảo [4] Tài liệu tham khảo [4] Tài liệu tham khảo [4] Tài liệu tham khảo [4] 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.2.1 Dạng 1: Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f ( x ) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f '( x) Phương pháp giải: - Bước 1: Tìm nghiệm phương trình f '( x) = ( giao điểm đồ thị trục hoành) - Bước 2: Xét dấu f '( x) ( phần đồ thị nằm phía Ox mang dấu dương, phần đồ thị nằm phía Ox mang dấu âm) - Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Suy kết luận Ví dụ 16:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ Mệnh đề sai A Hàm số y = f ( x ) nghịch khoảng ( −1;0 ) B Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 1;+∞ ) C Hàm số y = f ( x ) nghịch khoảng ( −∞;2 ) D Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) Lời giải: biến biến Cách 1: Từ đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy f '( x) < với ∀x ∈ ( −∞;2 ) (phần đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phí trục hoành) f '( x) > với ∀x ∈ ( 2; +∞ ) (phần đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phía trục hồnh) Từ ta suy hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) nghịch biến khoảng ( −∞;2 ) Chọn đáp án B Cách 2:  x = −1 Ta có f '( x ) = ⇔  (trong x = −1 nghiệm kép)  x=2 Ta chọn f '( x) = ( x + 1) ( x − 2) Từ suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) là: Tài liệu tham khảo số [2] Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận:7 + Khi quan sát đồ thị nhiều học sinh hấp tấp nên nhầm lẫn đồ thị hàm số y = f '( x) đồ thị hàm số y = f ( x ) Vì giáo viên nên lập bảng biến thiên để khắc phục nhầm lẫn cho học sinh + Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh vấn đề mối liên quan dấu f '( x) đồ thị hàm số y = f '( x) Ví dụ 28: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số g ( x) = −2020 f ( x) + 2021 đồng biến khoảng A ( −∞; −1) B ( 5;+∞ ) C ( −3; −1) D ( −1;5 ) Lời giải Ta có g '( x) = −2020 f '( x) Hàm số đồng biến ⇔ g '( x) > ⇒ −2020 f '( x) > ⇔ f '( x) < Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f '( x) < ⇔ x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −1;5 ) Chọn đáp án D 2.2.2 Dạng 2: Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f (u ),(u = u ( x )) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y = f '( x) hỏi tính đơn điệu hàm hợp y = f (u )  Đọc đồ thị hàm số y = f '( x) đề cho xác định f '( x) > ⇔ x ∈ f '( x) < ⇔ x ∈ Suy f '(u ) > ⇔ u ∈ f '(u ) < ⇔ u ∈  Tính đạo hàm y '( x) = u '( x) f '(u ) ;  Giải bất phương trình f '(u ).u '( x) > ⇔ (Quan sát đồ thị suy miền nghiệm);  Lập bảng biến thiên y = f (u ) , suy kết tương ứng Tài liệu tham khảo [1] Ví dụ tác giả (Có thể thay bước giải phương trình f '(u ).u '( x) = dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm f '( x) cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y ' ) Ví dụ 39: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f '( x) hình bên Hàm số y = f (3 − x) nghịch biến khoảng A (4; +∞) B (−2;1) C (2;4) Lời giải  −3 < x < − Từ bảng biến thiên cho ta f '( x) > ⇔  x > D (1;2)  x < −3 f '( x) < ⇔   −1 < x < Tính đạo hàm hàm y ' = ( −2) f '(3 − x) Giải bất phương trình y ' > ⇔ (−2) f '(3 − x) > ⇔ f '(3 − x) < 3 − x < −3 x > ⇔ ⇔  −1 < − x <  > x > Lập bảng biến thiên Kết luận từ bảng biến thiên suy đáp án B Cách khác:  x = −3  Dựa vào bảng biến thiên có f ′ ( x ) = ⇔  x = −1 (các nghiệm phương trình  x = nghiệm bội lẻ f '( x) đổi dấu liên tiếp qua môc x = 1, x = 2, x = ) Chọn f ′ ( x ) = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) Tính đạo hàm hàm y ' = ( −2) f '(3 − x) ⇒ g ′ ( x ) = −2 ( − x + 3) ( − x + 1) ( − x − 1) = −2(6 − x)(4 − x)(2 − x) Tài liệu tham khảo [2] x = ⇒ g′( x ) = ⇔  x =   x = Bảng xét dấu g ′ ( x ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (3 − x) nghịch biến khoảng ( −2;1) Bình luận: + Ví dụ cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm f '( x) có cách giải Từ bảng biến thiên từ đồ thị suy miền âm hay dương hàm f '( x) để từ suy miền âm hay dương f '(u ) Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′( x) ¡ đồ thị hàm số y ' = f ′( x) hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x − x − 1) đồng biến khoảng đây? A ( −∞ ;1) B ( 1;+ ∞ ) C ( 0;2 ) D ( −1;0 ) Lời giải Từ đồ thị hàm số f '( x) ta thấy f '( x) ≤ ⇔ x ≤ f '( x) > ⇔ x > 2 Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2) f '( x − x − 1) Tìm x cho f '( x − x − 1) ≤ ⇔ x − x − ≤ ⇔ x − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Cách  x = −1 Dựa vào đồ thị có f ′ ( x ) = ⇔  (Trong x = −1 nghiệm kép) x = Chọn f '( x) = ( x + 1) ( x − 2) Tinh đạo hàm g ' ( x ) = (2 x − 2) f '( x − x − 1) = (2 x − 2) ( x − x − + 1) = ( x − 2) ( x2 − x ) (x 2 (x − 2x − − 2) − x − 3) x = x =  Cho g '( x) = ⇔  x = (Trong có x = 0; x = nghiệm kép)   x = −1  x = Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bình luận: + Căn vào đồ thị hàm số y = f '( x) có dạng đồ thị hàm đa thức bậc cắt trục hoành điểm x = tiếp xúc điểm x = −1 nên ta chọn hàm f '( x) = ( x + 1) ( x − ) Khi hàm số y = g '( x) = f '( x − x − 1) hàm đa thức ta xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu hàm dạng tích thương đa thức Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Hàm số g ( x ) = f ( ) x + x + nghịch biến khoảng khoảng sau ? ( ) ( B ( −∞;1) A −∞; −1 − 2 ) ( C 1;2 − ) D 2 − 1; +∞ Lời giải Ta có x + x + > 0, ∀x ∈ ¡  x = −1  Dựa vào đồ thị, suy f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = x +1 f ′ x2 + 2x + ; Tính đạo hàm g ′ ( x ) = x + 2x + Giải phương trình x +1 = x +1 =  theo thi f '( x ) g′( x ) = ⇔  ¬ →  x + 2x + =  f ′ x + 2x + =    x + x + =  x = −1 ( nghiem boi ba )  ⇔  x = −1 − 2   x = −1 + 2 Lập bảng biến thiên ) ( ) ( ta chọn A Bình luận: + Với g ( x ) = f ( ) x + x + có chứa nên ta chọn cách giải thứ cách giải thứ giải nhiều bất phương trình chứa phức tạp + Hàm f '( x + x + 2) khơng phải hàm dạng tích thương đa thức làm để xét dấu biểu thức khoảng cụ thể? Cách xét dấu g ′ ( x ) sau: Ví dụ xét khoảng −1; −1 + 2 ta chọn x = Khi ( g ′ ( ) = f ′ f′ ( ) < dựa vào đồ thị ) f ′ ( x ) ta thấy x = ∈ ( 1;3) ( ) < Các nghiệm phương trình g ′ ( x ) = nghiệm bội lẻ 10 nên qua nghiệm đổi dấu hàm phức tạp ta nên thử tương tự tất khoảng 2.2.3 Dạng 3: Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f ( x ) − h( x) dựa vào đồ thị bảng biến thiên hàm số f '( x) Tìm khoảng đơn điệu biết đồ thị hàm f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y = f '( x) , hỏi tính đơn điệu hàm số y = g ( x) , g ( x) = f ( x) − h( x)  Tính y ' = g '( x) ;  Căn đồ thị hàm y = f '( x) ⇒ Các điểm cực trị hàm g '( x) Xét phần đồ thị hàm f '( x) h '( x) Nếu f '( x) nằm h '( x) hàm số đồng biến, f '( x) nằm h '( x) hàm số nghịch biến  Lập bảng biến thiên hàm số y = g ( x) trực tiếp xác định khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào đồ thị suy kết tốn Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( x ) − x + 3x − 3x + 2021 Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 1;2 ) B Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) C Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 0;1) D Hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( 2;+∞ ) Lời giải Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 3x + x − Giải phương trình g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) − 3x + x − = ⇔ f ′ ( x ) = x − x + Xét tương giao hai đồ thị hàm số: y = f ′ ( x ) y = x − x + 11 Quan sát đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đồ thị hàm số y = x − x + cắt ba điểm phân biệt A, B, C có hồnh độ x = 0; x = 1; x = x = ⇒ f ′( x ) = x2 − 2x + ⇔  x =   x = Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án C Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến điểm đặc biệt mà đồ thị ban đầu cho tọa độ cụ thể Ví dụ Cho f ( x ) mà đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Hàm số y = f ( x − 1) + x − x đồng biến khoảng A ( 1;2 ) B ( −1;0 ) C ( 0;1) D ( −2; −1) Lời giải Tính đạo hàm hàm y = f ( x − 1) + x − x Khi y′ = f ′ ( x − 1) + x − Hàm số đồng biến y′ ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) + ( x − 1) ≥ ( 1) Đặt t = x − ( 1) trở thành: f ′ ( t ) + 2t ≥ ⇔ f ′ ( t ) ≥ −2t Quan sát đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) y = −2t hệ trục tọa độ hình vẽ 12 Khi ta thấy với t ∈ ( 0;1) đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) nằm đường thẳng y = −2t Suy f ′ ( t ) + 2t > 0, ∀t ∈ ( 0;1) Với < t < ⇒ < x − < ⇔ < x < Do ∀x ∈ ( 1;2 ) hàm số y = f ( x − 1) + x − x đồng biến Chọn đáp án A Bình luận: + Đối với tốn cho bảng biến thiên hàm số ta dựa vào điểm đồ thị để xác định vị trí tương đối đường cong để suy dấu đạo hàm + Đối với toán cho bảng xét dấu đạo hàm ta thử trực tiếp dấu biểu thức 2.2.4 Dạng 4: Tính đơn điệu hàm hợp có chứa tham số “Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) ”: Phương pháp giải + Tính đạo hàm hàm số y = f ( x, m ) ; + Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình f '( x, m) ≥ (hoặc f '( x, m) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Bước 1: Cô lập tham số m, nghĩa đưa bất phương trình f '( x, m) ≥ g ( x ) ≥ h ( m) (hoặc f '( x, m) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) ) dạng (hoặc g ( x) ≤ h( m), ∀x ∈ ( a; b) ) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x ) khoảng ( a; b ) Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy giá trị cần tìm tham số m Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f ( 3x + x + m ) nghịch biến khoảng ( 0;1) 13 Hướng dẫn giải: + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có dấu y ' = f ' ( x ) Cụ thể đồ thị có dáng xuống khoảng ( −1;1) , lên hai khoảng ( −∞; −1) ; ( 1; +∞ ) nên f ' ( x ) < ⇔ x ∈ ( −1;1) ; f ' ( x ) > ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) 2 + Tính đạo hàm hàm y = f ( 3x + x + m ) : y ' = ( x + ) f ' ( 3x + x + m ) + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng cho trước kỹ thuật cô lập m, giải tốn tìm m để bất phương trình nghiệm với x ∈ ( 0;1) Lời giải • Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có f ' ( x ) ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ • y ' = ( x + ) f ' ( 3x + x + m ) • Dễ thấy y ' có hữu hạn nghiệm, nên hàm số y = f ( 3x + x + m ) nghịch biến ( 0;1) ⇔ y ' ≤ ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ f ' ( x + x + m ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) 3x + x ≥ − m − 1, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ −1 ≤ 3x + x + m ≤ 1, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔  3x + x ≤ − m, ∀x ∈ ( 0;1) • Hàm số g ( x ) = 3x + x đồng biến [0;1] nên hệ tương đương −m − ≤ g ( ) = m ≥ −1 ⇔ ⇔ m ∈∅   m ≤ −4 1 − m ≥ g ( 1) = Vậy khơng có m thỏa mãn u cầu toán Binh luận: + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta thấy bất phương trình f ' ( x ) ≤ ⇔ x ∈ [ −1;1] suy nghiệm f ' ( x + x + m ) ≤ + Ta tương tự hóa dạng học sinh học đến hàm mũ, logarit,… + Nếu hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) ≥ ∀x ∈ ( a; b ) , dấu xảy hữu hạn x ∈ ( a; b ) hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ sau: 14 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x − x + m ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ? Lời giải • g ′ ( x ) = ( x − 1) f ′ ( x − x + m ) • Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ⇔ g ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ ( −1;0 ) ⇔ ( x − 1) f ′ ( x − x + m ) ≤ ∀x ∈ ( −1;0 ) ⇔ f ( x − x + m ) ≥ ∀x ∈ ( −1;0 )  x − x + m ≥ 4, ∀x ∈ ( −1;0 ) ⇔  x − x + m ≤ 1, ∀x ∈ ( −1;0 )  m ≥ − x + x + 4, ∀x ∈ ( −1;0 )  m ≥ − x + x + 4, ∀x ∈ ( −1;0 ) m ≥ ⇔ ⇔ ⇔   m ≤ −1 2   m ≤ − x + x + 1, ∀x ∈ ( −1;0 )  m ≤ − x + x + 1, ∀x ∈ ( −1;0 ) m ≥ Vậy   m ≤ −1 Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x + x − 5, ∀x ∈ ¡ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2021 nghịch biến khoảng ( 0;2 ) Hướng tiếp cận: Với dạng tập ta thực theo bước sau: + Tính đạo hàm g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2021 ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1) + Thay giả thiết f ' ( x ) = x + x − ta có g ' ( x ) = x + x − − ( m + 1) = x + x − − m + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng cho trước kỹ thuật cô lập m, giải tốn tìm m để bất phương trình nghiệm với x ∈ ( 0;2 ) Lời giải Ta có g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) ⇔ g ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) (dấu '' = '' xảy hữu hạn điểm khoảng ( 0; ) đúng) ⇔ f ' ( x ) − ( m + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) ⇔ 3x + x ≤ m + 6, ∀x ∈ ( 0;2 ) ( *) Xét hàm số h ( x ) = 3x + x, x ∈ ( 0;2 ) Ta có h ' ( x ) = x + > 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) Bảng biến thiên: 15 Từ bảng biến thiên ta có ( *) ⇔ m + ≥ 16 ⇔ m ≥ 10 Bàn luận: + Vì hàm số liên tục đơn điệu đoạn [ 0; 2] nên không lập bảng biến thiên, ta diễn đạt: m + ≥ 3x + x = h ( x ) , ∀x ∈ ( 0;2 ) ⇔ m + ≥ max h ( x ) = g ( ) = 16 [ 0;2] + Ta tương tự hóa dạng học sinh học đến hàm mũ, logarit x Ví dụ 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) e Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = g ( x ) = f ( ln x ) − mx + mx − nghịch biến ( 1; e ) Lời giải Trên ( 1;e ) ta có g ' ( x ) = f ' ( ln x ) − 2mx + m = ln x + − ( x − 1) m x Hàm số y = g ( x ) nghịch biến ⇔ g ' ( x ) = ln x + − ( x − 1) m ≤ 0, ∀x ∈ ( 1; e3 ) ( 1;e ) ⇔ ln x + ≤ ( x − 1) m, ∀x ∈ ( 1; e3 ) ⇔ ln x + ≤ m, ∀x ∈ ( 1; e3 ) (*) 2x − 1 − − 2ln x ln x + Xét hàm số h ( x ) = ( 1;e ) , có h ' ( x ) = x < 0, ∀x ∈ ( 1; e3 ) 2x − 2x − ( ) nên hàm số nghịch biến ( 1;e ) Mà h ( 1) = suy (*) ⇔ m ≥ 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước lĩnh hội phương pháp, em học sinh chưa có cách để tiếp cận giải toán hàm ẩn, hàm hợp khó đề thi Với học sinh trung bình, top dưới, phương pháp không làm thay đổi lực giải toán hàm hợp em Điều dễ hiểu dạng khó Kết khảo sát chưa áp dụng SKKN đối tượng học sinh lớp 12A7 trường THCS THPT Nghi Sơn Kết khảo sát Số lượng Giỏi % Khá % TB % Yếu % Kém % 37 2,7 13,5 17 46 13 35,1 2,7 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu kinh tế Sau thực thành công đề tài SKKN trường THCS THPT Nghi Sơn, đề tài nêu không lãng phí thời gian giáo viên học sinh, tạo điều kiện thuận lợi việc thúc đẩy nâng cao chất lượng dạy học mang lại giá trị mặt kinh tế Với cách làm học kì I vừa qua tơi tiến thành thực nghiệm sử dụng phương pháp SKKN tỉ lệ học sinh trung bình yếu cải thiện kết Kết khảo sát sau áp dụng SKKN với đối tượng học sinh lớp 12A7 trường THCS THPT Nghi Sơn sau: Kết khảo sát Số lượng Giỏi % Khá % TB % Yếu % Kém % 37 13,5 17 46 10 27 13,5 0 2.4.2 Hiệu mặt xã hội Đối với học sinh: Hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học cho học sinh THPT Học sinh yếu tiếp thu cách làm giúp em giải nhanh xác tập trắc nghiệm chương I – giải tích 12 tạo hứng thú học tập đem lại hiệu quả, đồng thời giúp em hệ thống hóa kiến thức.Giúp đỡ em học sinh thích học tốn chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp em tự tin bước vào kỳ thi THPT QG tới Đối với nhà trường: Góp phần tạo tin tưởng quan lãnh đạo với chuyên môn nhà trường, với chuyên môn nhóm tốn Đối với phụ huynh xã hội: Tạo tâm lí tư tin cho phụ huynh học sinh trước kì thi THPT QG quan trọng Gây dựng dư luận tốt đẹp lòng nhân dân cơng đổi phương pháp dạy học Góp phần đưa nhà trường địa giáo dục đáng tin cậy địa phương Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Thực tế giảng dạy, áp dụng lớp 12 trường THCS THPT Nghi Sơn Tôi thu kết khả quan, không giúp cho học sinh nắm vững kiến thức hàm hợp, hàm ẩn chương trình chương giải tích 12, giúp học sinh tránh sai lầm việc giải tốn Ngồi ra, học sinh cịn phát hiện, tìm tòi cách giải hay việc giải toán sách giáo khoa sách tập giúp em tự tin học làm thi trắc nghiệm 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tổ chức nhiều buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho toàn thể cán giáo viên Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên cơng bố rộng rãi 17 Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Qua việc nghiên cứu vấn đề nhỏ tơi hy vọng đồng nghiệp góp phần nhỏ cải tiến, đổi phương pháp giảng dạy môn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 17 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Ngọc Anh 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán - Trần Phương ( chủ biên)Nhà xuất Hà Nội, 2006 [2] Phương pháp giải toán - Lê Hồng Đức ( chủ biên) - Nhà xuất Hà Nội, 2005 [3] Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Mơn Tốn – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)- Nhà xuất Hà Nội, 2012 [4] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Đồn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 [5] Sách tập Giải tích 12 Nâng cao - Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 [6] Tham khảo số tài liệu mạng internet 19 ... thi THPT QG phần hàm số nâng cao chất lượng thi học sinh trường THCS THPT Nghi Sơn 1.3 Đối tượng nghi? ?n cứu Một số dạng tốn tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương. .. cách giải cách đơn giản phù hợp với hình thức thi trắc nghi? ??m kì thi Do tơi mạnh dạn viết sáng kiến ? ?Phương pháp giúp học sinh giải tốn xét tính đơn điệu hàm hợp, hàm ẩn kì thi THPT Quốc Gia trường. .. dụng lớp 12 trường THCS THPT Nghi Sơn Tôi thu kết khả quan, không giúp cho học sinh nắm vững kiến thức hàm hợp, hàm ẩn chương trình chương giải tích 12, giúp học sinh tránh sai lầm việc giải tốn