Giúp học sinh giải nhanh bài toán xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TỐN:XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM ẨN BẰNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM Người thực hiện: Lại Duy Tám Chức vụ: Giáo viên SKKN mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2019 MỤC LỤC Trang NỘI DUNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .1 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2-13 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức ví dụ minh họa 3-14 2.3.2 Bài tập tự luyện 14 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .15 3.1 Kết nghiên cứu .16 3.2 Kết luận 16 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12 việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm số f ( x) phần kiến thức mà đa số học sinh làm mức độ vận dụng thấp.Ngược lại cho đồ thị hàm số y = f '( x ) yêu cầu xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm số y = f (u ( x )) ,đây tốn tương đối khó học sinh chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo trình giải tốn, mặt khác tập SGK đưa tập xét tính đơn điệu số hàm số cụ thể, học sinh sử dụng máy tính Casio để có đáp án nhanh tốn dạng trắc nghiệm Nhưng số đề thi thử,minh họa, thi THPT Quốc gia ln có câu hỏi vận dụng cao xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm số mà không cho hàm số cụ thể (xét tính đơn điệu hàm ẩn),nên việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án hạn chế Do q trình giảng dạy tơi thấy cần có hệ thống kiến thức tập nâng cao vấn đề để học sinh làm tốt tập loại đề thi THPT Quốc gia Với mục đích xây dựng chuyên đề để bồi dưỡng cho học sinh quan trọng nhằm mục đích bồi dưỡng chun mơn cho thân mình, xin mạnh dạn đưa đề tài: “Giúp học sinh giải nhanh tốn: xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm ẩn’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập theo cấp độ để học sinh tiếp nhận kiến thức cách nhẹ nhàng.Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp xét tính đơn điệu hàm ẩn,biết đọc đồ thị,biết quy lạ quen , rèn luyện tư sáng tạo, chuẩn bị tốt đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu ( x ) với tính đơn điệu Nghiên cứu mối quan hệ đồ thị hàm số y = f � tồn cực trị hàm ẩn y = f (u ( x )) Các phương pháp xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm ẩn ,nghiên cứu tập dạng vận dụng cao 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết -Thu thập thông tin nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu SGK lớp 12 -Tìm hiểu thực tế qua việc giảng dạy,giải đề thi thử THPT Quốc Gia NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Một số kiến thức Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lý: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K ( x) > 0, " x �K hàm số đồng biến khoảng K Nếu f � ( x) < 0, " x �K hàm số nghịch biến khoảng K Nếu f � ( x ) = 0, " x �K hàm số khơng đổi khoảng K Nếu f � Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí Cho hàm số y  f  x  liên tục K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \  x0  , với h  �  x   0, x � x0  h; x0  �f � x0 điểm cực đại hàm số f  x   x   0, x � x0 ; x0  h  �f � - Nếu � �  x   0, x � x0  h; x0  �f � x0 điểm cực tiểu hàm số f  x   x   0, x � x0 ; x0  h  �f � - Nếu � 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thời gian bước tiến hành: - Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học: 2017-2018 - Khảo sát chất lượng qua kỳ thi thử THPT Quốc Gia lần Thông qua việc đánh giá kết thi thử THPT Quốc Gia lần thấp, đa số học sinh chưa làm toán dạng nên thi trắc nghiệm chọn bừa đáp án Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tơi nhận thấy đa số học sinh có kết chưa cao Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ điểm sau: - Các em lúng túng việc tìm hướng giải tập - Kiến thức nắm chưa - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Đây dạng tốn đòi hỏi tư duy, phân tích em Nhiều em hổng kiến thức đạo hàm,kỹ đọc đồ thị yếu Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học học sinh không nhàm chán Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, nội dung đưa hình thức trắc nghiệm Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận toán, khai thác yếu tố đặc trưng tốn để tìm lời giải hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Kiến thức bản: Sự đồng biến, nghịch biến hàm ẩn Bài toán : u ( x) � Cho đồ thị hàm số y = f '( x) Hỏi khoảng đơn điệu hàm số g ( x) = f � � � Phương pháp giải: -Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy khoảng để f '( x) > � f ( x ) đồng biến khoảng f '( x) < � f ( x ) nghịch biến khoảng u ( x) � cách sử dụng tính đơn điệu hàm số f ( x) -Xét dấu g '( x) = u '( x) f ' � � � xét 2.3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ (Bài tốn bản) ( x) hình bên Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � Hãy tìm khoảng đồng biến nghich biến hàm y = f ( x ) Khó khăn học sinh - Các tập SGK có dạng tốn là:Từ đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy khoảng đơn điệu ( x) để thấy mối quan hệ dấu -Học sinh chưa biết đọc đồ thị hàm số y = f � f '( x ) tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) Hướng dẫn ( x) khoảng mà f '( x ) > , f '( x) < ? -Quan sát đồ thị hàm số y = f � -Nêu mối quan hệ dấu f '( x) tính đơn điệu hàm số f ( x) Bài giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy � - < x ? -Tim khoảng mà f � Bài giải � - < x � ( x) > � � Dựa vào đồ thị, suy f � � ( x) =- f � ( - x) Ta có g � � � - < - x < �< x < �� ( x) < � f � ( - x) > � � 2 Xét g � � � 3- 2x > � x �f� ( 3- 2x) = f � ( 3) < Khi g � suy - x = ����� ( x) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Nhận thấy nghiệm g � Ví dụ (Bài tập tương tự) ( x) hình bên Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � Hãy tìm khoảng đồng biến hàm số g ( x) = f ( 1- x ) Bài giải � x 1 � 1- x � f � ( 1- x ) < � � Xét g � � , f '( x) < -Quan sát đồ thị hàm số y = f � -Vì hàm hợp g ( x) = f ( - x ) chứa dấu giá trị tuyệt đối nên ta xét trường hợp x > x < Bài giải � � - < x � � Dựa vào đồ thị, suy f � �  Với x > � - < x - � � x- 3> x >7 � � � 3< x � � g� ( x ) =- f � ( - x) > � f � ( 3- x) <  Với x < g ( x) = f ( - x ) �� � � x > ( loa� i) - x 0 � � � � � � � � f� � ( x ) > theo ��th�f '( x) � � - 1< x2 � < x � � � � � � �>> ����� g ( x) �� � � � - < x = � f �x2 - 2x) = � �( Bảng biến thiên theo BBT f '( x) � x =1 � � x2 - 2x =- � �2 x - 2x = 1( nghi� m k� p) � �2 � x - 2x = � � x =1 � � x = 1� 2( nghi� m k� p) � � x =- � � �= x � Dựa vào bảng biến thiên số điểm cực tiểu hàm số ( x) xác định sau: Ví dụ xét khoảng ( 3;+�) Chú ý: Dấu g �  x �( 3; +�) � x - > ( 1) theo BBT f '( x) �f� ( 2) ( x - x) <  x �( 3; +�) � x - x > ����� ( x ) = ( x - 2) f � ( x - x) < khoảng ( 3;+�) nên g �( x) Từ ( 1) ( 2) , suy g � mang dấu - ( x) qua nghiệm Nhận thấy nghiệm x = �1 x = nghiệm bội lẻ nên g � đổi dấu 12 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục � f ( 0) < 0, đồng thời ( x) hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f � Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x) = f ( x) Hướng dẫn -Từ đồ thị lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x) -Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) Bài giải � x =- ( x) = � � Dựa vào đồ thị, ta có f � � x =1 � Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) = 2f � ( x) =����� ( x) f ( x) ; g� ( x) Xét g� ( nghi�m k�p) � f �x = �( ) � f ( x) = � � theo BBT f ( x) � x =- � � x = ( nghi� m k� p) � � x = a( a 0) � Bảng biến thiên hàm số g ( x) Vậy hàm số g ( x) có điểm cực trị ( x) xác định sau: Ví dụ chọn x = �( 1; b) Nhận xét: Dấu g � theo thi f '( x ) �f� ( 0) > ( 1)  x = ����� ( 2)  Theo giả thiết f ( 0) < ( 0) < khoảng ( - 1; b) Từ ( 1) ( 2) , suy g � 13 ( x) đổi dấu qua Nhận thấy x =- 2; x = a; x = b nghiệm đơn nên g � ( x) không đổi dấu qua nghiệm nghiệm Nghiệm x = nghiệm kép nên g � này, bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = không ảnh hưởng đến ( x) trình xét dấu g � Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm � Đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x) = f ( x - 2017) - 2018 x + 2019 Bài giải ( x) = f '( x - 2017) - 2018; g � ( x ) = � f '( x - 2017) = 2018 Ta có g � Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) suy phương trình f '( x - 2017) = 2018 có nghiệm đơn Suy hàm số g ( x) có điểm cực trị Bài tập tự luyện ( x) hình bên Bài Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � Tìm khoảng đồng biến hàm số g ( x) = f ( x ) ( x) hình bên Tìm khoảng Bài Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � nghịch biến hàm số g ( x) = f ( 1- x ) ( x) = ( x +1) ( x - 1) ( x - 2) +1 với Bài Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f � x �� Hàm số g ( x ) = f ( x ) - x có điểm cực trị ? 14 Bài ( x) hình bên Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � Tìm khoảng nghịch biến hàm số g ( x) = f ( x - x ) ? ( x) hình Bài Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm � Đồ thị hàm số y = f � vẽ bên Tìm điểm cực đại hàm số g ( x ) = f ( x ) - x3 + x2 - x + ( x) hình Bài Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm � Đồ thị hàm số y = f � vẽ bên Hàm số g ( x) = f ( x) + x tìm điểm cực tiểu hàm số ( x ) hình vẽ bên Bài Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f � Tìm số điểm cực đại hàm số g ( x) = f ( x + x + ) KẾT LUẬN 3.1.Kết nghiên cứu Trong đề tài hệ thống số dạng tập xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm hợp toán toán thi ĐH 15 Đối với dạng tập cố gắng đưa kỹ tìm lời giải tốn, cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho số toán cụ thể Thực tế cho thấy, học sinh hào hứng thích thú tơi thực đề tài tiết học kết tương đối khả quan Nếu trước đó, học sinh thường làm dạng tập thời gian việc lựa chọn để có kết gọn khó em chán nản Sau áp dụng đề tài kết có tiến rõ rệt thời gian làm nhanh nhiều Để đánh giá kết vận dụng phương pháp thử nghiệm tập lớp 12A8 với 32 học sinh Bài tập : Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f �( x) hình bên Hàm số g( x) = f ( 2+ ex ) nghịch biến khoảng khoảng sau ? Số học sinh Năm học Dưới TB Trung bình Khá Giỏi (12,5%) (3,2%) Trước áp dụng phương pháp 32 2018-2019 11 (34,3%) 16 (50%) Sau áp dụng phương pháp 32 2018-2019 (6,4%) (28,1%) 16 (50%) (15,5%) 3.2.Kết luận Tuy đề tài hữu ích song phương pháp nhiều phương pháp để giải toán dạng Việc tích cực đọc tài liệu tập hợp tập thành dạng cụ thể đề định hướng giải dạng tập để phục vụ cho việc giảng dạy hiệu Do thời gian có hạn điều kiện nghiên cứu kinh nghiệm hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong quan tâm, góp ý bảo Ban giám hiệu nhà trường, đồng nghiệp tổ Toán để đề tài hồn thiện hơn.Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn đồng chí tổ Tốn góp ý, chỉnh sửa để tơi hồn thành tốt đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến 16 Lại Duy Tám 17 ... xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm hợp toán toán thi ĐH 15 Đối với dạng tập tơi cố gắng đưa kỹ tìm lời giải tốn, cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho số toán cụ thể Thực tế cho thấy, học sinh. .. tượng nghiên cứu ( x ) với tính đơn điệu Nghiên cứu mối quan hệ đồ thị hàm số y = f � tồn cực trị hàm ẩn y = f (u ( x )) Các phương pháp xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm ẩn ,nghiên cứu tập dạng... bồi dưỡng cho học sinh quan trọng nhằm mục đích bồi dưỡng chun mơn cho thân mình, tơi xin mạnh dạn đưa đề tài: Giúp học sinh giải nhanh toán: xét tính đơn điệu tìm cực trị hàm ẩn ’ 1.2 Mục đích