Toỏn học là một mụn học giữ vai trũ quan trọng trong suốt bậc học,là một mụn học khú, đũi hỏi ở mỗi học sinh phải cú một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mỡnh.. Trong q
Trang 1chuyên đề
vận dụng bất đẳng thức
cô si để tìm cực trị
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lớ luận.
Thực tế cho thấy Toỏn học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chỡa khoỏ vạn năng để khai phỏ và thỳc đẩy sự phỏt triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quõn sự trong cuộc sống
Toỏn học là một mụn học giữ vai trũ quan trọng trong suốt bậc học,là một mụn học khú, đũi hỏi ở mỗi học sinh phải cú một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mỡnh Chương trỡnh toỏn rất rộng, cỏc em được lĩnh hội nhiều kiến thức, cỏc kiến thức lại cú mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học, cỏc em khụng những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà cũn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mỡnh, từ đú biết vận dụng để giải từng loại toỏn Qua cỏch giải cỏc bài toỏn rỳt ra phương phỏp chung để giải mỗi dạng bài, trờn cơ sở đú tỡm
ra cỏc lời giải khỏc hay hơn, ngắn gọn hơn
Trong quỏ trỡnh học toỏn ở trường THCS học sinh cần biết cỏch
tổ chức cụng việc của mỡnh một cỏch sỏng tạo Người thầy cần rốn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cỏch sõu sắc, sỏng tạo Vỡ vậy đũi hỏi người thầy một sự lao động sỏng tạo biết tỡm tũi ra những phương phỏp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lụ gic giải cỏc bài toỏn
Là một giỏo viờn dạy toỏn ở trường THCS tụi nhận thấy việc giải cỏc bài toỏn ở chương trỡnh THCS khụng chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sỏch giỏo khoa , đú mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ Muốn giỏi toỏn cần phải luyện tập nhiều thụng qua việc giải cỏc bài toỏn đa dạng, giải cỏc bài toỏn một cỏch khoa học, kiờn nhẫn , tỉ
mỉ , để tự tỡm ra đỏp số của chỳng
Trang 2Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tỡnh huống khỏc nhau để tạo hứng thỳ cho học sinh Một bài toỏn cú thể cú nhiều cỏch giải , mỗi bài toỏn thường nằm trong mỗi dạng toỏn khỏc nhau nú đũi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực một cỏch sỏng tạo vỡ vậy học sinh phải biết sử dụng phương phỏp nào cho phự hợp
Cỏc dạng toỏn ở trường trỡnhTHCS thật đa dạng và phong phỳ như: Bất đẳng thức, Tỡm cực trị …
“ Tỡm cực trị” là một dạng toỏn cú trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương phỏp giải chung Hơn nữa “ Tỡm cực trị” cú rất nhiều trong cỏc đề thi như: Thi vào THPH, trong cỏc đề thi học sinh giỏi huyện , học sinh giỏi tỉnh,…
Do vậy việc hướng dẫn giỳp cỏc em cú kỹ năng giải toỏn tỡm cực trị, ngoài việc nắm lý thuyết, thỡ cỏc em phải biết vận dụng thực hành, từ đú phỏt triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thỳ cho học sinh khi học nhằm nõng cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết
2 Cơ sở thực tiễn
Qua thực tế một vài năm giảng dạy mụn toỏn lớp 9 tụi thấy khụng chỉ học sinh gặp khú khăn trong giải toỏn mà bản thõn tụi khi dạy phần “ Tỡm cực trị” cũng gặp rất nhiều khú khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toỏn phần này.Chớnh vỡ vậy tụi luụn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương phỏp của mỡnh
Từ thực tiễn giảng dạy tụi thấy học sinh hay bế tắc , lỳng tỳng về cỏch xỏc định dạng toỏn
Từ những thận lợi , khú khăn và yờu cầu thực tiễn giảng dạy Tụi chọn đề tài
“vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị”
B.PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
1 Phạm vi của đề tài:
- Áp dụng với đối tượng học sinh khỏ – giỏi lớp 9
2 Mục đớch của đề tài:
-Nhằm nõng cao chất lượng cho học sinh giải bài toỏn Tỡm cực trị và tạo niềm tin cho giỏo viờn trong quỏ trỡnh hướng dẫn học sinh giải bài toỏn Tỡm
Trang 3cực trị Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao Giúp cho học sinh có hứng thú học và yêu thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn
đề linh hoạt hơn
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9
PHẦN II: NỘI DUNG
I Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm
a+b 2 ab (1)
Chứng minh:
Do a, b 0 nên a và b xác định
Ta có : a b2 0
a 2 abb 0
ab 2 ab 0
ab 2 ab
Dấu “=” xảy ra a b
II Bất đẳng thức này còn được mở rộng
1 Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c3 abc3
Dấu “=” xảy ra abc
2 Với 4 số a, b, c ,d không âm
a+b+c+d4 abcd4
Dấu “=” xảy ra abcd
3 Đối với n số không âm: a1,a2,a3, ,a n 0
n
n n a a a a a
a a
a1 2 3 1 2 3
Dấu “=” xảy ra a1 a2 a3 a n
III HỆ QUẢ
1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:
Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2 k (khi và chỉ khi a=b)
Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) =
4
2
k
(khi và chỉ khi a=b)
2. Kết quả trên được mở rộng với:
Ba số a, b, c không âm:
Trang 4+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =33 k(khi và chỉ khi
a=b=c)
+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)=
3
3
k
(khi và chỉ khi a=b=c) *Bốn số a, b, c, d không âm:
+ Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =44 k
(khi và chỉ khi a=b=c=d )
+ Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) =
4
4
k
( khi và chỉ khi a=b=c=d )
*Với n số không âm : a1,a2,a3, ,a n 0
+ Nếu a1 a2 a3 a n k (không đổi ) thì
Min (a1a2a3 a n) n n k
(khi và chỉ khi a1a2 a3 a n)
+ Nếu a1 a2 a3 a n k (không đổi ) thì
Max( n n
n
k a
a a
)
. 2 3 1
(khi và chỉ khi a1 a2 a3 a n)
IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
A Phương pháp 1 :
Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN
Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
A1= a+ a1
Giải: Vì a > 0 nên 1 0
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và a1
Ta có : a+
a
a a
1 2
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=
a
1
a (vì a > 0) Vậy Min A1 2 a1
Trang 5Nhận xột : Hai số dương a và a1 cú tớch là một hằng số
Bài toỏn 2: Với mọi số thực a, tỡm GTNN của biểu thức:
A2=
1
2 2 2
a a
Giải: Ta cú a2 2 2 12 1
1
1 1 1
2
2
2 2 2
2
2
a
a a
a
=
1
1 1 2 2
a a
Vỡ a2 1 0 với mọi a nờn
Áp dụng bất đẳng thức cụ si với 2 số dương 2 1
a và
1
1 2
a ta cú:
1
1 1
2 2
a
1
1 1 2
2 2
a a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1
1
1 2
Vậy Min A2 2 a0
Nhận xột: Phõn tớch 2 2 2 1 1 2 12 1
a để cú tớch hai số dương 2 1
a với
1
1 2
a là một hằng số
Bài toỏn 3: Với x khụng õm , tỡm GTNN của biểu thức
A
1
8
3
x
x
Giải: Ta có : A
1
8 3
x
x
=
1
9 ) 1 ( 2
x x
= 2
1
9 1 1
9
x
x x
x
Vì x 0 nên x đợc xác định và x 1 0 , 0
1
9
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x 1 và
1
9
x
ta có :
1
9 1 2
2 1
9
x
x x
Dấu “=” xảy ra
1
9 1
x
Trang 6Vậy Min A3 4 x 4
Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A4 2 3 2 27
x
x
Giải : Ta có A4 2 3 2 27 2 272 272
x x x x
x x
x
Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x, x, 272
x
ta có:
x+x+27 3 3 27 3 3 9
2
x x x x
Dấu “=” xảy ra 272
x x
x
Vậy Min A4 9 x 3
Nhận xét : Hai số dơng 2x và 272
x có tích không phải là một hằng số Muốn khử đợc x2 thì tử phải có x2 x. x
do đó phải biểu diễn 2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng
Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
x3 2000 5
Giải: A
x x
x x
Vì x>0 nên x2 0;1000 0
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x
x x
1000
;
1000
;
A 2 1000 1000 3 3 2.1000.1000 3 100 300
x x
x x
x
x
Dấu “=” xảy ra 2 10001000 x3 1000 x 10
x x
Vậy Min A5 300 x 10
Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
x x
2
5 6
2 2 6
Giải: ta có A
x
x x
2
5 6
2 2 6
2
5 2
5
x
x x
Vì x > 0 nên 0
2
5
x
Trang 7áp dụng bấtđẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x
2
5
ta có:
2
5 2 3 2
5 2 3 2
5
x
x x
x
Dấu “=” xảy ra
2
10 2
5
x x
Vậy Min A
2
10 3
10
6 x
Bài toán 7 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức
A7
1
2
17 2 2
x
x x
Giải: Ta có: A7
1
2
17 2 2
x
x x
=
8 2
1 1
2
16
12
x
x x
x
Vì x 0 nên 0
1
8
; 0 2
1
x x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
2
1
x
và
1
8
x ta có:
1
8 2
1 2 1
8 2
1
x
x x
x
1
8 2
1
x x
Vậy Min A7 4 x 3
Bài toán 8 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
3
34 6
8
x
x x
3
25 3 3
34
8
x
x x
x x
=
3
25 3
x x
Vì x 0 nên x đợc xác định và x 3 0 ;
3
25
x >0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x 3 và
3
25
x ta có:
3
25 3 2
3
25 3
x
x x
x
3
25
x x
Vậy Min A8 10 x 4
Trang 8Bài toán 9: Cho x>1 Tìm GTNN của biểu thức
A
1
25 4
9
x x
1
25 1 4 1
25 4
x
x x
x
Vì x>1 nên x-1 >0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 4x 1 và
1
25
x ta có:
1
25 1 4 2 4 1
25 1
4
x
x x
x
Dấu “=” xảy ra
2
7 1
25 1
x x
Vậy Min A
2
7 24
9 x
Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 Tìm GTNN của biểu thức
A
y x
y xy x
2 2
10
2 , 1
Giải: Ta có : A
y x
y xy x
2 2
10
2 , 1
y x y x y
x
xy y
x
( vì x.y = 5 )
Vì x>y nên x-y>0 ; 16 0
y x
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng x-y và x 16y ta có:
A10 16 2 16 2 4 8
y x y x y
x y
x
Dấu “=” xảy ra 16 4
y x y
x kết hợp với điều kiện x.y=5
ta đợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5
Vậy Min A10 8 x 5 ,y 1 hoặc x=-1,y=-5
Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức : 3 3
( với 0 x 2 3 2 )
Giải : Vì 0 x 2 3 2 nên 3 0 ; 16 3 0
x
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có :
4
16 4
16
2 3 3
3 3
x
x
A
Dấu ‘=’ xảy ra 3 16 3 3 8 2
Vậy MaxA11 64 x 2
Trang 9Bài toán12 : Tìm GTLN của biểu thức : 2
( với 3 x 3)
Giải: Vì 3 x 3 nên 0 ; 9 2 0
x
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:
2
9 2
9 9
12 x x
x x x
x
A
Dấu “=” xảy ra
2
2 3
9 2 2
Vậy Max
2
2 3 2
9
12 x
A
Bài toán 13: Tìm GTLN của biểu thức : A13 1 x2x 1
Với 1
2
1
x
Giải: Vì 1
2
1
x nên 1-x 0 ; 2x 1 0
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:
8
1 1 8
1 4
1 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2
1 1 2
1
2
x x x
x
A
Dấu “=” xảy ra
4
3 1
2 2
Vậy Max
4
3 8
1
13 x
A
Bài toán 14: Cho 0<x<2 Tìm GTNN của biểu thức
A
x x
2
9
Giải: Ta có: A
x x
2
9
2
9
x x
x
Vì 0<x<2 nên 2-x>0 0 ;2 0
2
9
x
x x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
x
x
2
9
và
x
x
2
ta có:
2
9 2 1
2 2
9
x
x x
x x
x x
x
Dấu “=” xảy ra
2
1 2
2
9
x
x x
x
Vậy Min A
2
1 7
14 x
Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách
x
2
thành tổng 2 1
x x
hạng tử
x
x
2
nghịch đảo với
x
x
2 nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích của chúng là một hằng số
Trang 10Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức
A
x x
4 1
3
Giải: A
x x
4 1
3
1
3
x x
x
Vì 0<x<1 nên 1-x > 0 41 0
; 0 1
3
x
x x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng
x
x
1
3
và
x
x
1 4
ta có:
1
3 2 7 1
4 1
3
x
x x
x x
x x
3
2
Dấu “=” xảy ra 2
1 3 1
4 1
3
x
x x
x
Vậy Min A 2 2
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đợc :
41 7
1
3 4 1
3
x x
x x
Ta đặt c
x
x b x
ax x
1 4 1
3 4 1
3
Sau đó sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc:
a=b=1 ; c=7
Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A 3
4 16
16 3
x
x
Giải: Ta có A 3
4 16
16 3
x
x
x x x x
x
Vì x>0 nên 163 0
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số dơng x, x, x, 163
x ta có:
A 16 44 .16 4 4 16 4 2 8
3 3
x x x x x
x x
x
Dấu “=” xảy ra 163
x x x
x
x x (vì x>0) Vậy Min A16 8 x 2
Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 Tìm GTNN của biểu thức
Trang 11A
x
b x a
x
17
Giải : Ta có: A
x
b x a
x
x
ab
Vì a,b,x>0 nên 0
x
ab
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x ab
x
ab x b
a x
ab
2 abab a b
Dấu “=” xảy ra x ab x ab
x
ab
Vậy Min A17 a b2 x ab
B ph ơng pháp 2 :
Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó
Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A18 3x 5 7 3x
Giải: ĐKXĐ
3
7 3
5
x
Ta có:
A 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó:
A182 2 2 3x 5 7 3x 2 3x 5 7 3x=4
Dấu “=” xảy ra 3x 5 7 3x x 2
Vậy Max A182=4 MaxA18 2 x 2
Nhận xét : Biểu thức A18 đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy nếu ta bình phơng hai vế biểu thức A18thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức Đến đây ta có thể vận dụng BĐT Côsi : 2 ab ab
Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A19 x 5 23 x
Giải : ĐKXĐ : 5x 23
ta có A219 x 5 23 x 2 x 523 x
=18 2 x 5 23 x
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x-5 và 23-x ta có:
A219 18 2 x 523 x 18 x 5 23 x 36
Dấu “=” xảy ra x 5 23 x x 14
Vậy Max A21936 MaxA19 6 x14
Bài toán 20: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
A20 5 x x 1
Giải: ĐKXĐ: 1x 5
Trang 12Ta có A20 0 và A220 5 xx 1 2 5 xx 1
=4+2 5 xx 1 4
mà A20 0 nên A20 2
áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm 5-x và x-1 , ta có
2 5 xx 1 5 xx 1 4
Do đó A202 8 mà A20 0 nên A20 2 2
Vậy Min A20 2 x 5 hoặc x=1
Max A20 2 2 5 xx 1 x 3
C Ph ơng pháp 3 :
Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0
Bài toán 21: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
5
9 21
Giải: ĐKXĐ : x 9
A
30
1 10
3
9 9 5
3 3
9 2 1 5
3 3 9 5
9
x
x x
x x
x x
x
Dấu “=” xảy ra 3 18
3
9
30
1
21 x
Nhận xét: Trong cách giải trên, x-9 đợc biểu diễn thành 3
3
9
x
và ta đã gặp ở chỗ khi vận dụng BĐT Côsi , tích 3
3
9
x
đợc làm trội thành nửa tổng x x
3
1 3
3
9
có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dới mẫu, kết quả là một hằng số Còn số 3 ở trên tìm đợc bằng cách lấy căn bậc hai của 9 , số 9 này có trong đề bài
Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
2
4 22
D ph ơng pháp 4 :
Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2
Tìm GTNN của biểu thức : A x y
z x z
y z y x
2 2
2 23
Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số dơng
z y
x
2
và
4
z
y
ta đợc:
Trang 13y z x x
z y
x z
y
z
y
x
2 2
(1)
Tơng tự ta có : z x y
x z
y
2
(2)
x y z
y x
z
2
(3) Cộng vế với vế BĐT (1), (2), (3) ta đợc:
z y x z y x y x
z x
z
y
z
y
x
2 2
2
2 2
23 xyz xyz
z y
Dấu “=” xảy ra
3
2
y z x
Vậy Min A
3
2 1
23 xyz
Nhận xét : Ta đã thêm
4
z
y
vào hạng tử thứ nhất
z y
x
2
có trong đề bài ,
để khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y+z) cũng nh vậy đối với hạng tử thứ hai và thứ ba
Bài toán 24: Cho a, b, c >1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
A24 = 1 1 1
c c
b b
a
Giải:
Vì a,b,c>1 nên a 1 , b 1 , c 1 0
áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số dơng ta có
b
a
4 1 4
c
b
4 1 4
a
c
4 1 4
Cộng vế với vế các BĐT trên rồi thu gọn ta có A24 12 abc4
Vậy Min A24=12 abc 4
Bài toán 25: Cho a,b>1 Tìm GTNN của biểu thức : A
1 1
2 2
25
a
b b
a
V Các bài toán vận dụng
Bài toán 26: Với x>-1 Tìm GTNN của biểu thức : A
1
10 2
26
x
x x
Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN của biểu thức : A
x
x x
1
2000 1992
27