SKKN Vận dụng bất đẳng thức Cô si để tìm cực trị

Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó,đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức chomình.. Qua cách

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ"

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.Cơ sở lí luận.

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạnnăng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự trong cuộc sống

Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó,đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức chomình Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại

có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lýthuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng đểgiải từng loại toán Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạngbài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn

Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc củamình một cách sáng tạo Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suynghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biếttìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán

Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chươngtrình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa , đó mới chỉ lànhững điều kiện cần nhưng chưa đủ Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua

việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để

tự tìm ra đáp số của chúng

Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khácnhau để tạo hứng thú cho học sinh Một bài toán có thể có nhiều cách giải , mỗi bài toánthường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trongnhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào chophù hợp

Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bất đẳng thức, Tìmcực trị …

“ Tìm cực trị” là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giảichung Hơn nữa “ Tìm cực trị” có rất nhiều trong các đề thi như: Thi vào THPH, trongcác đề thi học sinh giỏi huyện , học sinh giỏi tỉnh,…

Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực trị, ngoài việc nắm lýthuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồngthời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập là điều hết sứccần thiết

2 Cơ sở thực tiễn

Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9 tôi thấy không chỉ học sinh gặp khókhăn trong giải toán mà bản thân tôi khi dạy phần “ Tìm cực trị” cũng gặp rất nhiều khókhăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần này.Chính vì vậy tôi luôn suynghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của mình

Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc , lúng túng về cách xác định dạng toán

Từ những thận lợi , khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy Tôi chọn đề tài

“vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị”

- Giỳp học sinh biết hướng khai thỏc kết quả một bài toỏn để giải quyết vấn đề linh hoạthơn

- Trao đổi với giỏo viờn hướng khai thỏc một bài toỏn trong chương trỡnh bồi dưỡng họcsinh khỏ giỏi lớp 9

PHẦN II: NỘI DUNG

I Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b khụng õm

 ab 2 ab

Dấu “=” xảy ra  a  b

II Bất đẳng thức này còn được mở rộng

1 Với 3 số a, b, c không âm

a a

a1 2  3   1 2 3

Dấu “=” xảy ra  a1a2 a3  a n

III HỆ QUẢ

1 Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:

 Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2 k (khi và chỉ khi a=b)

 Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) = k42 (khi và chỉ khi a=b)

2 Kết quả trên được mở rộng với:

 Ba số a, b, c không âm:

+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =33 k(khi và chỉ khi a=b=c)

+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)= 33

+ Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =44 k

(khi và chỉ khi a=b=c=d )

+ Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) = 44

( khi và chỉ khi a=b=c=d )

*Với n số không âm : a1,a2,a3, ,a n  0

+ Nếu a1.a2.a3 a n k (không đổi ) thì

Min ( n

n n k a

a a

a a

. 2 3

1

(khi và chỉ khi a1 a2 a3  a n)

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

A. Phương pháp 1 :

Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN

Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:

1

 =2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= a1  a2  1  a 1(vì a > 0)





a a

2

2

2 2 2

a

= 1 1 1

2 2







a a

Vì 2 1 0





a với mọi a nên

Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương 2 1

2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1







x x

= 2

1

9 1 1

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x 1 và 9 1

2 1

2 27 2

x x x x

x x

Dấu “=” xảy ra 2

27

x x

2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng

Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức

x x

A 3 10 3

2

5 2 3 2

5 2 3 2

5

x

x x

x

Dấu “=” xảy ra  25  x 210

x x

Vậy Min A6 10  3  x 210

Bài toán 7 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức

A7

 12

17 2

Giải: Ta có: A7

 12

17 2

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x21 và x81 ta có:

1

8 2

1 2 1

8 2

x

1

8 2

Vậy Min A7 4  x 3

Bài toán 8 : Cho x  0 Tìm GTNN của biểu thức

25 3 3

x x

= 

3

25 3







x x

Vì x  0 nên x đợc xác định và x 3  0 ; 25 3



x >0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x 3 và x253 ta có:

3

25 3 2

3

25 3

1

25 1 4 1

25 4

x

Vì x>1 nên x-1 >0

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 4x 1  và x25 1 ta có:

A     4 2 10 4 24

1

25 1 4 2 4 1

25 1

x

Dấu “=” xảy ra  

2

7 1

25 1

Vậy Min A9 24  x27

Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 Tìm GTNN của biểu thức

A x xxy yy

2 2

10

2 , 1

Giải: Ta có : A x xxy yy

2 2

10

2 , 1

y x y x y

x

xy y

áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng x-y và x 16y ta có:

x y

x kết hợp với điều kiện x.y=5

ta đợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5

Vậy Min A10  8  x 5 ,y 1 hoặc x=-1,y=-5

Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức : 3 3

11 x 16 x

( với 0 x 2 3 2 )

16 16

2 2 3 3

3 3

11    x   x  

x x

9 9

x x x

         

8

1 1 8

1 4

1 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2

1 1 2

1

2

13         x  x  

x x x

2 2

x x

x x

x

Vậy Min A14 7  x21

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách 2x thành tổng 2  1

x x

4 1

x x

x x

4 1

x x

Ta đặt   c

x

x b x

ax x

3 4 1

Gi¶i: Ta cã A16 4 3

16 3

x

x 

16 16

x x x x

x x x x x

x x

x

16

x x x

Bµi to¸n 17 :Cho a,b,x>0 T×m GTNN cña biÓu thøc

a x

B ph ơng pháp 2 :

Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó

Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A18 3x 5  7  3x

=18  2 x 5  23  x

¸p dông B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m x-5 vµ 23-x ta cã:

A219  18  2 x 523  x  18 x 5  23  x 36

DÊu “=” x¶y ra  x 5  23  x x 14

VËy Max A21936 MaxA19 6 x14

Bµi to¸n 20: T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc

Bài toán 21: Tìm GTLN của biểu thức : A21 x5x9

3

9 9 5

3 3

9 2 1 5

3 3 9 5

x x

x x

Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho

Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2

z x z

y z y x

2 23

Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số dơng y x2z và y 4 z

ta đợc:

z y

x z

(1)

Tơng tự ta có : z x y

x z

z y x z y x y x

z x

2

2 2

23     xyz xyz 

z y

b b

a

Giải:

Vì a,b,c>1 nên

áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số dơng ta có

b

a

4 1 4

a

V Các bài toán vận dụng

Bài toán 26: Với x>-1 Tìm GTNN của biểu thức : A26  2 110

Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN của biểu thức : A x x x

27

Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A28y x z y  x z

Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1

Tìm GTLN của biểu thức : A29=xyz(x+y)(y+z)(z+x)

Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với 3 số không âm ta đợc

1=x+y+z3 xyz3 (1)

2=(x+y)+(y+z)+(z+x) (2)

Nhân từng vế (1) và (2) (do hai vế đều không âm ) đợc:

Bài toán 32: Cho a,b, c là ba cạnh của một tam giác

Tìm GTLN của biểu thức : A32 a b cb3abc c ac a b

Gợi ý: a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a,b,c >0

Ta có a+b >c , b+c>a, c+a>b

Do đó a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0

áp dụng BĐT Côsi với hai số dơng , ta có:

Bµi to¸n 34: Cho x,y >0 vµ x+y  6 T×m GTNN cña biÓu thøc:

A34 3x 2y x64y

Gîi ý: A34 3x 2y6x 4y=  

y

y x

x y

2

6 2

3 2

3 2 6 2

5

1 108 108

5 3 3 3 2

z y z

y x x

z z

y y

y x z

4 4

2 2 2

Bµi to¸n 37: Cho a,b,c,d >0 vµ tháa m·n a+b+c+d=1

T×m GTNN cña biÓu thøc

A

a d

d d c

c c b

b b a

2 2 37

Bµi to¸n 38: T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc:A38 x 2  6  x

x t x

t y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y

2 2

2 2

2

x y

x y

t x

t x

y t

y x y x

t y

x t x t

y x

t y

2 2

2 2

y x

Max A 42 = 39694 : 63 = 634  





 5 , 3 5 , 4

y x

Bài toán 43:

Tìm GTNN của A43 = 3a + 4 1 a 2 với -1 a 1

Gợi ý: