SKKN Vận dụng bất đẳng thức Cô si để tìm cực trị

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ" 1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lí luận. Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, Quân sự trong cuộc sống . Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học,là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các bài toán. Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa , đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ . Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua 2 việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn , tỉ mỉ , để tự tìm ra đáp số của chúng Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải , mỗi bài toán thường nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp Các dạng toán ở trường trìnhTHCS thật đa dạng và phong phú như: Bất đẳng thức, Tìm cực trị … “ Tìm cực trị” là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải chung. Hơn nữa “ Tìm cực trị” có rất nhiều trong các đề thi như: Thi vào THPH, trong các đề thi học sinh giỏi huyện , học sinh giỏi tỉnh,… Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán tìm cực trị, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập là điều hết sức cần thiết. 2. Cơ sở thực tiễn Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9 tôi thấy không chỉ học sinh gặp khó khăn trong giải toán mà bản thân tôi khi dạy phần “ Tìm cực trị” cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc hướng dẩn học sinh giải bài toán phần này.Chính vì vậy tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của mình. Từ thực tiễn giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc , lúng túng về cách xác định dạng toán Từ những thận lợi , khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy . Tôi chọn đề tài 3 “vËn dông bÊt ®¼ng thøc c«si ®Ó t×m cùc trÞ” B.PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 1. Phạm vi của đề tài: - Áp dụng với đối tượng học sinh khá – giỏi lớp 9 2. Mục đích của đề tài: -Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm cực trị. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao .Giúp cho học sinh có hứng thú học và yêu thích môn Toán - Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn đề linh hoạt hơn. - Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9 PHẦN II: NỘI DUNG I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm a+b ab2≥ (1) Chứng minh: Do a, b 0 ≥ nên a và b xác định Ta có : ( ) 0 2 ≥− ba 02 ≥+−⇔ baba 02 ≥−+⇔ abba 4 abba 2≥+⇔ Dấu “=” xảy ra ba =⇔ II. Bất đẳng thức này còn được mở rộng 1. Với 3 số a, b, c không âm a+b+c 3 3 abc≥ Dấu “=” xảy ra cba ==⇔ 2. Với 4 số a, b, c ,d không âm a+b+c+d 4 4 abcd≥ Dấu “=” xảy ra dcba ===⇔ 3. Đối với n số không âm: a 1 , n aaa , ,, 32 0 ≥ Ta có: n nn aaaanaaaa 321321 ≥++++ Dấu “=” xảy ra n aaaa ====⇔ 321 III. HỆ QUẢ 1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra: • Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2 k (khi và chỉ khi a=b) • Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) = 4 2 k (khi và chỉ khi a=b) 2. Kết quả trên được mở rộng với: 5 • Ba số a, b, c không âm: + Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3 3 k (khi và chỉ khi a=b=c) +Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)= 3 3       k (khi và chỉ khi a=b=c) *Bốn số a, b, c, d không âm: + Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =4 4 k (khi và chỉ khi a=b=c=d ) + Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) = 4 4       k ( khi và chỉ khi a=b=c=d ) *Với n số không âm : 0, ,,, 321 ≥ n aaaa + Nếu kaaaa n = 321 (không đổi ) thì Min ( n n knaaaa =++++ ) 321 (khi và chỉ khi n aaaa ==== 321 ) + Nếu kaaaa n =++++ 321 (không đổi ) thì Max( n n n k aaaa       =) 321 (khi và chỉ khi n aaaa ==== 321 ) IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 6 A. Phương pháp 1: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm GTLN Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A 1 = a+ a 1 Giải: Vì a > 0 nên 0 1 > a , Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và a 1 Ta có : a+ a a a 1 .2 1 ≥ =2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= a 1 ⇔ 11 2 =⇔= aa (vì a > 0) Vậy Min A 12 1 =⇔= a Nhận xét: Hai số dương a và a 1 có tích là một hằng số Bài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức: A 2 = 1 2 2 2 + + a a Giải: Ta có a ( ) 112 2 22 ++=+ a nên: 7 A ( ) 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 + ++ = + + = a a a a = 1 1 1 2 2 + ++ a a Vì 01 2 >+a với mọi a nên Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương 1 2 +a và 1 1 2 +a ta có: 1 1 1 2 2 + ++ a a 2 1 1 .12 2 2 = + +≥ a a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 +a = 1 1 2 +a 0=⇔ a Vậy Min A 02 2 =⇔= a • Nhận xét: Phân tích ( ) 11112 2 222 ++=++=+ aaa để có tích hai số dương 1 2 +a với 1 1 2 +a là một hằng số Bài toán 3: Với x không âm , tìm GTNN của biểu thức A 1 8 3 + + = x x Gi¶i: Ta cã : A 1 8 3 + + = x x = 1 9)1( 2 + +− x x 8 = 2 1 9 1 1 9 1 + ++= + + x x x x Vì x 0 nên x đợc xác định và 01 >+x , 0 1 9 > +x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 1+x và 1 9 +x ta có : A = 3 ( ) 2 1 9 .122 1 9 1 + + + ++ x x x x =2.3 2=4 Dấu = xảy ra 1 9 1 + =+ x x 4= x Vậy Min A 44 3 == x Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức A 2 3 4 272 x x + = Giải : Ta có A 222 3 4 2727 2 272 x xx x x x x ++=+= + = Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x, x, 2 27 x ta có: x+x+ 93.3 27 3 27 3 22 == x xx x Dấu = xảy ra 2 27 x xx == 327 3 == xx 9 Vậy Min A 39 4 == x Nhận xét: Hai số dơng 2x và 2 27 x có tích không phải là một hằng số. Muốn khử đợc x 2 thì tử phải có x xx. 2 = do đó phải biểu diễn 2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức A x x 2000 3 5 + = Giải: A xx x x x 100010002000 2 3 5 ++= + = Vì x>0 nên x 0 2 > ; 0 1000 > x áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x xx 1000 ; 1000 ; 2 ta có: A 300100.3 1000 . 1000 .3 10001000 3 22 5 ==++= xx x xx x Dấu = xảy ra 101000 10001000 32 ==== xx xx x Vậy Min A 10300 5 == x Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức A x xx 2 562 2 6 + = 10 [...]... 5 >0 2x áp dụng bất ẳng thức c si cho 2 số dơng x và A6= x + 5 2x ta có: 5 5 5 3 2 x 3 = 2 3 = 10 3 2x 2x 2 Dấu = xảy ra Vậy Min A 6 = x= 5 10 x= 2x 2 10 3 x = 10 2 Bài toán 7 : Cho x 0 Tìm GTNN của biểu thức A7= Giải: Ta có: Vì x 0 nên A7= x 2 + 2 x + 17 2( x + 1) x 2 + 2 x + 17 ( x + 1) 2 + 16 x + 1 8 = + = 2( x + 1) 2( x + 1) 2 x +1 x +1 8 > 0; >0 2 x +1 áp dụng bất đẳng thức c si cho 2 số... của biểu thức A 17 = Giải : Ta có: A 17 = Vì a,b,x>0 nên Ta có: A 17 = x + ( x + a ).( x + b ) x ( x + a ).( x + b ) x ab >0 x =x+ ab + ( a + b) x áp dụng bất đẳng thức c si cho 2 số dơng x và ab ab + ( a + b ) 2 x + ( a + b ) = 2 ab + a + b = x x Dấu = xảy ra x= a+ b ) a+ b ) 2 ab x 2 = ab x = ab x Vậy Min A 17 = ( ( ab x 2 x = ab B phơng pháp 2: Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của... x áp dụng bất đẳng thức c si cho 2 số dơng 9x 2x và 2x x ta có: 15 A 14 = 9x 2 x 9x 2 x + +1 2 + 1 = 2.3 + 1 = 7 2 x x 2 x x Dấu = xảy ra 9x 2 x 1 = x= 2 x x 2 1 Vậy Min A 14 = 7 x = 2 2 x Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách hạng tử 2x x x 2x nghịch đảo với thành tổng 2x +1 x nên khi vận dụng BĐT C si ta đợc tích của chúng là một hằng số Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức. .. Cho a,b>1 Tìm GTNN của biểu thức : a2 b2 + A 25 = b 1 a 1 V Các bài toán vận dụng Bài toán 26: Với x>-1 Tìm GTNN của biểu thức : A 26 = Bài toán 27: Với x>0 .Tìm GTNN của biểu thức : A 27 = ( x + 2)( x + 10) ( x + 1) x + 1992 x + 2000 Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A 28 = 1+ x x y z + + y z x Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1 Tìm GTLN của biểu thức : A... xảy ra Nhận xét : Ta đã thêm y+z 4 vào hạng tử thứ nhất x2 y+z có trong đề bài , để khi vận dụng BĐT C si có thể khử đợc (y+z) cũng nh vậy đối với hạng tử thứ hai và thứ ba Bài toán 24: Cho a, b, c >1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A 24 = a b 1 + b c 1 + c a 1 Giải: Vì a,b,c>1 nên a 1, b 1, c 1 > 0 áp dụng bất đẳng thức C SI với 2 số dơng ta có a b 1 b c 1 ( ) ( ) + 4 b 1 4 a + 4 c 1 4 b 22 c a 1 (... 3x 5) + ( 7 3 x ) =4 MaxA18 = 2 x = 2 Nhận xét : Biểu thức A 18 đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy nếu ta bình phơng hai vế biểu thức A 18 thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức Đến đây ta có thể vận dụng BĐT C si : 2 ab a + b Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A 19 = x 5 + 23 x Giải : ĐKXĐ : 5 x 23 ta có A 219... Cho A8= Tìm GTNN của biểu thức x + 6 x + 34 x +3 x + 6 x + 34 Giải: Ta có A 8 = x +3 ( = ) x +3 =( Vì x0 nên ) x +3 + đợc xác định và x 2 x + 3 + 25 25 x +3 x +3> 0 áp dụng bất đẳng thức c si cho 2 số dơng A8= ( ) x +3 + 25 x +3 Dấu = xảy ra 2 ( ) x +3 x +3= 25 x +3 25 x +3 ; 25 x +3 x +3 >0 và 25 x +3 ta có: = 2.5 = 10 x=4 Vậy Min A 8 = 10 x = 4 12 Bài toán 9: Cho x>1 Tìm GTNN của biểu thức A 9... ta tìm đợc: a=b=1 ; c=7 Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức A 16 = Giải: Ta có A 16 = Vì x>0 nên 3 x 4 + 16 x3 3 x 4 + 16 =3x x3 16 >0 x3 + 16 16 = x+x+x+ 3 3 x x áp dụng bất đẳng thức c si cho 4 số dơng x, x, x, A 16 = x + x + x + 16 x3 ta có: 16 16 44 x.x.x 3 = 4.4 16 = 4.2 = 8 3 x x Dấu = xảy ra x=x=x= 16 x 4 = 16 x = 2 x3 (vì x>0) Vậy Min A 16 = 8 x = 2 17 Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 Tìm. .. dới mẫu, kết quả là một hằng số Còn số 3 ở trên tìm đợc bằng cách lấy căn bậc hai của 9 , số 9 này có trong đề bài Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A 22 = x4 2x D phơng pháp 4 : Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2 Tìm GTNN của biểu thức : x2 y2 z2 + + 23 = y+z z+x x+ y A Giải: áp dụng BĐT C si với 2 số dơng x2 y+z và y+z 4 ta đợc: x2 y+z x2... ab x 2 x = ab B phơng pháp 2: Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A 18 = Giải: ĐKXĐ 3 x 5 + 7 3x 5 7 x 3 3 Ta có: A 18 2 = ( 3 x 5) + ( 7 3 x ) + 2 ( 3 x 5).( 7 3 x ) = 2 + 2 ( 3x 5).( 7 3x ) 18 áp dụng bất đẳng thức c si cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó: A 18 2 = 2 + 2 ( 3x 5).( 7 3x ) Dấu = xảy ra 3x 5 = 7 . SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ" 1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lí luận. Thực. dạng và phong phú như: Bất đẳng thức, Tìm cực trị … “ Tìm cực trị là một dạng toán có trong SGK lớp 9 nhưng chưa đưa ra phương pháp giải chung. Hơn nữa “ Tìm cực trị có rất nhiều trong các đề. của chúng là một hằng số để tìm GTLN Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A 1 = a+ a 1 Giải: Vì a > 0 nên 0 1 > a , Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và a 1