SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh

Mot so bai toan dien hinh ve phep chi het trong phan mon so hoc 6 SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh Phần thứ nhất MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí do lý luận Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người Với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa h.

SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí lý luận: Như biết, mơn Tốn học môn khoa học tự nhiên thiếu đời sống mặt người Với xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày phát triển mơn tốn lại đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu khoa học nói riêng Để thực nhiệm vụ môn khoa học bản, tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học sở phải gắn liền việc dạy học kiến thức, kĩ với việc giáo dục, rèn luyện người, song hành việc phát triển trí tuệ học sinh kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tế Như vậy, người giáo viên đóng vị trí quan trọng việc hướng dẫn, tổ chức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức nhân loại Khi thơng qua hoạt động dạy học nói chung, qua việc học tốn nói riêng, đặc biệt qua hoạt động giải tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ tái kiến thức Nghĩa học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp vận dụng kiến thức học cách phù hợp việc giải tốn Qua rèn trí thơng minh, sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển lực trí tuệ tồn diện cho học sinh Lí thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn THCS nói chung mơn Tốn lớp 8, nói riêng, mơn Tốn ln tạo những điều thú vị đầy bí ẩn riêng biệt Để am hiểu cặn kẽ điều này, địi hỏi người học phải ln có đam mê khám phá, tìm hiểu Những kiến thức mức độ môn thường yêu cầu tất người học phải nắm Những kiến thức mở rộng, nâng cao, tạo nhiều hội cho tất có lịng say mê mơn, có tính kiên trì, nghị lực, có lĩnh vượt khó tìm hiểu chinh phục Đối với học sinh THCS bất đẳng thức nói chung mảng khó chương trình tốn Phần lớn học sinh chưa nắm phương pháp giải trình bày tốn bất đẳng thức Ngun nhân khó khăn mà học sinh gặp phải giải tập bất đẳng thức lập luận (suy luận) từ kiến thức lí thuyết trừu tượng đến điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải tốn Trong điều việc dạy cách giải tập toán dạy cho học sinh tự giải tập quen thuộc, để từ học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào tập liên quan dạng Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ lực hoạt động sáng tạo học sinh nhiệm vụ trọng tâm giáo viên trường học Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi đội tuyển khâu quan trọng việc chọn lựa chuyên đề bồi việc làm quan trọng Chính điều này, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” chương trình Tốn lớp 8, nói riêng vận dụng Tốn học nói chung với mong muốn tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm cho thân trình giảng dạy, đồng thời nhận thật nhiều ý kiến góp ý thầy đồng nghiệp nhà trường để SKKN trọn vẹn Có lẽ nhiều ý kiến nêu cũ, quen thuộc, song tơi ln hy vọng góp điều nhỏ bé cho trình giảng dạy mảng kiến thức Đây mong muốn lí giúp tơi chọn nghiên cứu SKKN II Mục đích ngun cứu Trước thực SKKN nhận thấy trường nhiều em học sinh giỏi dự thi kì thi cấp tỉnh đạt kết thấp kì vọng thầy học sinh dự thi khơng mong đợi dẫn đến em khóa sau ngại thi mơn tốn thành tích trường khơng cao so môn khác Các em thấy thầy có dạy qua mà khơng làm cảm thấy ngại với thầy thầy bỏ tâm huyết công sức bồi dưỡng năm trời không thu lại thành Xuất phát từ nguyên nhân tơi thống kê lại ngun nhân sau em thất bại hình thành cho đường công tác bồi giỏi Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ơn tập hết khơng có thời gian xuất phát từ tơi nhận cấu trúc đề thi không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung số chủ đề mà SKKN trước mang tính chun sâu nội dung chủ đề việc người học tiếp thu vấn đề khó khăn tơi xếp lại cấu trúc vừa sức học sinh khơng q khó theo dạng đặc biệt dạng gần gủi với em nên việc tiếp thu khơng q khó theo mảng theo chun đề dẫn đến em hào hứng học tập với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán Trường THCS Lương Thế Vinh phải đạt giải cao kì thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh mà tốn bất đẳng thức ln có mục đích nguyên cứu đề tài Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề Kiến thức bất đẳng thức giới thiệu chương III đại số Đây sở lý luận để nhận biết bất đẳng thức Nó cịn vận dụng để giải lượng không nhỏ tập liên quan đến bất đẳng thức Giả sử A B hai biểu thức số chữ Khi A > B; A < B; A ≥ B; A ≤ B gọi bất đẳng thức Các bất đẳng thức viết lại sau A − B > 0; A − B < 0; A − B ≥ 0; A − B ≤ Một bất đẳng thức đúng, sai Quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức Tính chất bất đẳng thức Tính chất giao hốn: Cho số thực A B bất kì, ta ln có A≤B⇔B≥A Tính chất bắc cầu: Cho số thực A, B, C bất kì, ta ln có A ≤ B, B ≤ C ⇒ A ≤ C Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho số thực A, B M bất kì, ta ln có A ≤B ⇔A ±M ≤B±M Cho số thực A, B, C, D , ta ln có A ≤ B; C ≤ D ⇒ A + C ≤ B + D A ≤ B; C ≤ D ⇒ A − D ≤ B − C Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho số thực A, B bất kì, ta ln có A ≤ B; M > ⇒ A.M ≤ B.M A ≤ B; M < ⇒ A.M ≥ B.M Cho số thực A, B, C, D , ta ln có 0 < A < B    ⇒ < A.C < B.D  0 < C < D Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo: Cho số thực dương A, B bất kì, ta ln có A ≥ B ⇔ 1 ≤ A B Để giải tập học sinh phải nắm hệ thống lý thuyết bất đẳng thức, biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt, hợp lí, qua học sinh có khả phát triển tư duy, đặc biệt tư sáng tạo giải toán Kiến thức bất đẳng thức không ứng dụng thi học sinh giỏi cấp, kì thi đại học mà tốn đề kiểm tra tiết, học kì thường xuyên gặp Vì muốn nắm hệ thống lý thuyết bất đẳng thức học sinh vận dụng để giải nhiều tập chương trình THCS Qua tham khảo số tài liệu cố gắng hệ thống lại số dạng tập liên quan đến bất đẳng thức Ngoài ra, mở rộng số toán lớp 8; phần tập nhằm giúp em có tư sáng tạo suy nghĩ Mỗi dạng tập có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng Mặc dù cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải sai sót trình bày, diễn đạt … điều tránh khỏi Tôi mong nhận góp ý, bổ sung q thầy giáo, đồng nghiệp bạn đọc để SKKN tơi hồn thiện II Thực trạng vấn đề Sau mười năm công tác, thân tích lũy kiến thức học hỏi từ đồng nghiệp nhiều kinh nghiệm quý báu, điều giúp tơi có nhiều thuận lợi trình thực nhiệm vụ giảng dạy phân công Trong năm gần phân công dạy lớp 8,9 Từ năm học 2015 – 2016, tơi bắt đầu có ý tưởng tích lũy số kiến thức bất đẳng thức áp dụng vào dạy năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019 Qua thời gian nghiên cứu, thực viết áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”, thân tiếp tục trao đổi với giáo viên giảng dạy khối 8, để tích lũy thêm cho SKKN Qua đó, tơi thấy: Trước tiến hành nguyên cứu đề tài tiến hành khảo sát đội ngủ học sinh giỏi dự thi cấp huyện khảo sát toán bất đẳng thức 100% học sinh khơng làm được, lấy ý kiến em cịn mơ hồ bất đẳng thức hầu hết đề thi cấp huyện có bất đẳng thức, đặc biệt đề thi cấp tỉnh ln có tốn bất đẳng thức lý mà cá nhân mạnh dạn thực đề tài nguyên cứu nhằm giúp em đạt giải cao kì thi huyện tỉnh gần chiếm trọn vẹn điểm mảng bất đẳng thức SKKN chuẩn bị, thử nghiệm hoàn thành khoảng thời gian tương đối dài, trao đổi kiến thức kinh nghiệm với đồng nghiệp, nên thân tơi phần tự tích lũy cho vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hôm Với lượng kiến thức chưa đầy đủ song đáp ứng mục tiêu SKKN đề Đồng thời thu hút thêm đóng góp ý kiến, nhận xét người để SKKN hồn thiện Trong q trình nghiên cứu hoàn thành SKKN, bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn phải kể đến Trước hết, trọng rèn luyện nhiều phương pháp dạy học Theo thời gian, việc tiếp tục nghiên cứu nội dung có phần khó khăn cơng tác bồi năm khối lớp khác Do việc thử nghiệm, so sánh kết SKKN có phần khơng thuận lợi mong muốn Mặt khác, em học sinh tính tự giác học tập đối tự rèn chưa cao, muốn em áp dụng kiến thức học vào tập cụ thể giáo viên phải trình bày tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có em hiểu nắm kiến thức học cách có hệ thống, giúp em tự làm tập tương tự tốt SKKN áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi nhiều tiết theo chuyên đề mảng kiến thức (những dạng tập bản) trường đạt kết tốt Học sinh nắm kiến thức chắn hơn, xác kĩ trình bày làm cải thiện rõ rệt Đây tiền đề vững chắc, thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết bồi dưỡng HSG nội dung kiến thức thân thời gian vừa qua Học sinh khối bắt đầu làm quen bất đẳng thức Vì thế, lực tư logic em chưa phát triển cao, em phải làm quen với nhiều kí hiệu tốn học thuật ngữ lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều Do vậy, việc áp lý thuyết để làm tập tốn bất đẳng thức nói riêng em điều khó Hầu hết có học sinh giỏi tự làm hướng trọn vẹn yêu cầu toán Cịn hầu hết học sinh lúng túng khơng biết cách làm, cách thức thực trình bày lời giải giáo viên hướng dẫn trình bày tập mẫu Đây vấn đề hay toán học, vận dụng rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu Nội dung phần kiến thức ngắn gọn song bao hàm áp dụng trực tiếp vào giảng dạy lớp dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản dễ mắc sai lầm suy nghĩ, lời giải, trình bày, …Vì vậy, ý để thật thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho thân với mục đích cuối đạt kết cao nội dung SKKN đề Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên khó khăn, hạn chế nêu Trước hết phải kể đến ý thức tự giác học tập người học chưa cao, khả tự học, tự rèn học sinh giảm sút nhiều Nhiều học sinh thông minh ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao Các em có suy nghĩ, trăn trở làm tập khó làm tập sai động lực để em tâm tự làm lại cho chưa nhiều Một điều việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái (trình bày lời viết) học sinh chưa tốt, em lười làm tập nhà, Trong mảng kiến thức bất đẳng thức, em tỏ lúng túng lập luận, trình bày số dạng tập nêu Vì mà em quên nhanh nhiều kiến thức phần dẫn đến ngại làm tập Trong đó, để học mơn tốn tốt, nhớ lâu kiến thức đường vô hiệu luyện giải tập III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh chia sẻ số kinh nghiệm đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi tốn địa bàn Krơng Ana Để đạt kết mong muốn dạy kiến thức bất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan thân, suy nghĩ thực sau: III.1 Trước hết, truyền đạt xác, đầy đủ kiến thức bất đẳng thức sách giáo khoa * Một số bất đẳng thức cần nhớ A ≥ với ∀ A A 2k ≥ với ∀ A k số tự nhiên A ≥0 với ∀A A+B ≥ A + B A−B ≤ A − B ∀x1, x2, x3 , ,xn khơng âm ta có: Dạng 1: x1 + x2 + xn ≥ n n x1 x2 xn Dạng 2: x1 + x2 + xn ≥ n n x1 x2 xn Dạng 3:  x1 + x2 + xn   ÷ n   ≥ x1 x2 xn n Dấu “ = ” xảy khi: x1 = x2 = = xn Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức tốt Giáo dục ý thức ham học nghiêm túc học tập, nghiêm khắc với thân cho học sinh từ đầu thói quen xấu khó bỏ nề nếp chặt chẽ mau vững bền III.2 Đưa dạng tập thường hay gặp Ví dụ : ( ) ( ) a2 + b2 ≥ 2ab; a2 + b2 ≥ a + b a2 + b2 − ab ≥ ( ) a+ b ≥ 4ab a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( ) ( ( ) ( ) ( ) a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ ab + bc + ca ) a4 + b4 + c4 ≥ ab + bc + ca ( ) ≥ 3abc a + b + c Yêu cầu bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng bất đẳng thức thường gặp để từ hình thành tư duy, kỹ nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại để đưa cách giải hợp lí đở tốn thời gian Mục đích cho em làm tập áp dụng tiết dạy lý thuyết tiết dạy luyện tập với dạng tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở giáo viên, trình bày ngắn gọn có rõ ràng Ngồi ra, tổ chức thi làm nhanh em, để kích thích tính tích cực, ganh đua học tập Giao tập nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học làm nhà học sinh để đảm bảo chất lượng dạy để tiến hành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển III.3 Đưa dạng có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng làm kì thi học sinh giỏi cấp Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c + + ≥ (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019) 2 1+ b 1+ c 1+ a Bài giải: Ta ln có : −3 3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c ) ⇔ ab + bc + ca ≤ ⇔ − (ab + bc + ca ) ≥ 2 Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: + b ≥ 2b nên a ab ab ab = a − ≥ a − = a − (1) 2 1+ b 1+ b 2b Hoàn toàn tương tự ta có: b bc c ca ≥ b − (2); ≥ c − (3) 2 1+ c 1+ a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: a b c + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a (Dấu "=" xảy a=b=c=1 Bài Chứng minh số dương a, b, c có a+b+c=3 ta có: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 + b2 + c2 + a Ta có: 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c) = ⇒ a + b + c − ab − bc − ac ≥0 Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: + b ≥ 2b nên a +1 b (a + 1) b (a + 1) ab + b = a + − ≥ a + − = a +1− (1) 2 1+ b 1+ b 2b Hoàn tồn tương tự ta có: b +1 bc + c c +1 ac + a ≥ b +1− (2) ; ≥ c +1− (3) 2 1+ c 1+ a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta có: a +1 b +1 c +1 a + b + c − ab − bc − ca + + ≥ + ≥3 + b2 + c2 + a 2 Dấu "=" xảy a=b=c=1 10  bcd ≥3  1+ b ( 1+ c ) 1+ d 1 + a  cda  1 + b ≥ 3 + c + d + a ( ) ( )   dca  1 + c ≥ 3 + d + c + a ( )( )   abc  ≥3 1 + d ( 1+ a ) + b ( 1+ c )  ( ) ( ( ( ) ) ( ⇒ abcd ≤ ) ) ≥0 ≥0 ⇒ ≥0 ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ d ) ≥ 81 abcd ( + a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) ( 1+ d ) ≥0 81 Từ tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua toán tổng quát 1: Cho:  x1 , x2 , x3 , , xn >  1  + + + + ≥ n −1 1 + x + x + x + x n  CMR : x1 x2 x3 xn ≤ ( n − 1) n Đối với tốn có điều kiện biểu thức đối xứng biến việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng giúp ta xử lí tốn chứng minh BĐT dễ dàng a, b, c > Bài Cho  a + b + c = 1     CMR :  −1÷ − 1÷ − 1÷≥ (1) a   b  c  Giải VT (1) = 1− a 1− b 1− c b + c c + a a + b = a b c a b c Côsi ≥ bc ca ab = (đpcm) a b c Từ tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua toán tổng quát 2: 66 Cho:  x1 , x2 , x3 , ., xn >   x1 + x2 + x3 + + xn = 1 CMR :    x1 −1÷ ÷  x2  −1÷÷   x3  1   xn −1÷÷   −1÷÷ ≥ ( n − 1) n  Bài CMR: 3   a + b + c  1÷ 1 + ÷ ≥ ÷  ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) ≥ ( 1+ abc )   2÷   3 ÷ ≥ abc ∀a, b, c ≥ Giải  Ta có: 1 +  a +b+c  ÷ ÷ (  ( 1+ a) + 1+ b =   ) + ( + c ) ÷ Cơsi ÷  ≥ ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) (1) Ta có: ( + a ) ( + b ) ( + c ) = 1 + ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) + abc  ( Côsi ) ( ≥ + 33 a 2b2c + 33 abc + abc = + abc ( Ta có: + abc ) Côsi  ≥   abc ÷ =   ) abc Dấu “ = ” (1) xảy ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c Dấu “ = ” (2) xảy ⇔ ab = bc = ca a = b = c ⇔ a = b= c Dấu “ = ” (3) xảy ⇔ abc =1 ⇔ abc = Từ tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua toán tổng quát Cho x1, x2, x3, , xn ≥ CMR: 67 (2) (3)  1+   n   ÷ ÷       ÷ ÷  x1 + x2 + + xn  ÷ ≥ ( 1+ x1 ) ( 1+ x2 ) ( 1+ xn ) ≥ 1+ n x1x2 .xn ÷ n  ( )   n 3÷÷ ≥ 2n x1x2 xn Bài toán tổng quát thường sử dụng cho số, áp dụng cho toán BĐT lượng giác tam giác sau Mục đích phải ln tạo tình có vấn đề toán lạ mà quen, từ nâng dần mức độ, buộc em phải tự tìm cách tháo gỡ có phát triển lực tư sáng tạo học sinh Rèn cho học sinh kỹ phân tích tốn, nắm điều kiện tốn để nhìn thấy dạng tập quen thuộc hay lạ, thấy vấn đề tổng quát từ vấn đề cụ thể III.7 Tạo hứng thú, đam mê, u thích dạng tốn bất đẳng thức, thơng qua tốn có tính tư duy, thơng qua tốn đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn THCS, THPT kì thi tuyển sinh lớp 10 chun tốn năm gần Bài a) Cho số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng:     ( a + b + c)  a1 + b1 + 1c ÷ ≥ b) Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming rằng: 2009 + ≥ 670 2 a + b + c ab + bc + ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Hải Phịng năm 2009 - 2010 Lời giải 68 a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a + b + c ≥ abc; 1 1 + + ≥3 a b c abc 1 a Suy ( a + b + c)  + 1 + ÷≥ b c Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c b) Ta có Suy ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 ( a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ ≤3 2007 ≥ 669 ab + bc + ca Áp dụng bất đẳng thức câu a, ta có   1 2 + +  ÷ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 2  a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca  ( 1 ) ≥1 Suy a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≥ ( a + b + c) Do ta 2009 + ≥ 670 2 a + b + c ab + bc + ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = 1 Bài Với số tự nhiên n ≥ Chúng minh Sn < Với Sn = ( + ) 5( 1+ 2+ ) + + ( 2n + 1) ( ) n + n+1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 69 Lời giải Với n ≥ , ta có ( 2n + 1) ( ) n + n+1 = < n + 1− n = 2n + 4n2 + 4n + n + 1− n n +1- n 4n2 + 4n n + 1− n = n + n = 1 1  −  ÷ 2 n n + 1 Do ta Sn < 1 1 1  1  + − + + − 1− ÷ =  1− ÷< 2 2 n n + 1 n + 1  Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab + bc + ca a2b + b2c + c2a P = a2 + b2 + c2 + Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c = giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≥4 a2b + b2c + c2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có ( ) ( )( a2 + b2 + c2 = a + b + c a2 + b2 + c2 ) = a + b + c + a b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 3 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có 70 a3 + ab2 ≥ 2a2b;b3 + bc2 ≥ 2b2c;  c3 + ca2 ≥ 2c2a ( ) ( ) a2 + b2 + c2 ≥  3 a2b + b2c + c2a > Suy Do ta a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ab + bc + ca ≥ a2 + b2 + c2 + 2 2 a b+ b c+ c a a + b2 + c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≥4 a2 + b2 + c2 Hay a +b +c + 2 ( − a2 + b2 + c2 ( a2 + b2 + c2 ) ) ≥4 Đặt t = a2 + b2 + c2 Từ giả thiết a + b + c = ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ , ta t ≥ Bất đẳng thức trở thành t+ 9− t ≥ ⇔ 2t2 + − t ≥ 8t ⇔ t − 2t − ≥ 2t ( )( ) Bất đẳng thức cuối ln t ≥ Vậy tốn chứng minh xong Bài a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau:  1  < 2 − ÷ k k + 1  k ( k + 1) b) Chứng minh rằng: 1 1 88 + + +L + < 2010 2009 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 71 ( ) k+1 k < k + 1− k k k + ( ) ⇔ 2k + − k k + > ⇔ ( k + 1− k ) >0 Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT = + + +L + 2010 2009    1    < 2 − − − ÷ + 2 ÷ + L + 2 ÷ 2 3 2010     2009     88 = 2 − = VP ÷ < 2 − ÷ = 45  45 2010    Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Mục đích để em thấy đề bất đẳng thức khơng khó em khơng nản lịng thấy thích thú dạng tốn cịn liên quan đến dãy số Các em cảm thấy thú vị từ tạo động lực niêm đam mê bất đẳng thức cho em Trên giải pháp chọn thông qua việc áp dụng dụng số bất đẳng thức để giải tập, học sinh nắm kiến thức cách chắn, rèn luyện cho học sinh khả tư tốn học cách logic, có cứ, đồng thời gây hứng thú học tập, thúc đẩy khả tìm tịi sáng tạo học sinh mơn tốn nói riêng mơn học khác nói chung Đồng thời giúp em biết cách xử lý 72 cách linh hoạt, tối ưu tình đời sống hàng ngày vận dụng kiến thức học vào thực tế Việc chọn bất đẳng thức tất đề thi học sinh giỏi có bất đẳng thức nên việc chọn chủ đề công tác bồi giỏi việc làm tất yếu IV Tính giải pháp Việc chọn bất đẳng thức tất đề thi học sinh giỏi có bất đẳng thức nên việc chọn chủ đề công tác bồi giỏi việc làm tất yếu, học sinh nắm vững có điểm chắn phần làm em tự tin qua trình làm Các giải pháp có tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn Giải pháp (1) tiền đề cho trình dạy - học Giải pháp (2) tạo bền vững cho kết sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp (3) nhân tố tác động có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu cho người học người học có ý thức tự giác cố gắng Giải pháp (4) dạng tốn hay gặp kì thi gần giải pháp tối ưu cho kì thi học sinh giỏi năm gần giúp hoc sinh có điểm cao kì thi học sinh giỏi cấp Giải pháp (5) giúp học sinh nhận thấy sai lầm mắc phải hình thành kinh nghiệm cho thân Giải pháp (6) cho học sinh cách nhìn sáng tạo nhận dạng nhanh cho cách giải cần thiết Giải pháp (7) tạo động lực hứng thú tìm tịi sáng tạo cách giải bất đẳng thức Nhìn chung giải pháp đan xen, tương tác với nhau, tạo nên nghệ thuật dạy học riêng, đem lại hiệu riêng cho giáo viên Các giải pháp nêu thực trực tiếp trình dạy – học giáo viên – học sinh Trên sở tích lũy giáo viên chuẩn bị chu đáo cho nội dung dạy hiệu đề khả quan Bên cạnh đó, có kiểm tra đánh giá học sinh sau mổi chuyên đề làm sở loại học sinh không theo kịp khỏi đội tuyển 73 Khi tổ chức ôn tập cần nắm vững phương châm: dạy nâng cao; thông qua luyện cụ thể để dạy phương pháp tư duy; dạy kiểu dạng có quy luật trước, loại có tính đơn lẻ, đặc biệt sau Bởi lẽ để giải toán dành cho học sinh giỏi, học sinh cần phải hiểu kiến thức cách bản, hệ thống, vững chắc, sâu sắc có khả vận dụng linh hoạt Đối với học sinh giỏi số bước làm nhanh, cho tự làm phải kiểm tra biết chắn nâng cao, bỏ qua bước trình độ học sinh không ổn định không vững Mỗi dạng cần thông qua hai điển hình, cần phải coi trọng loại có nguyên tắc chính, phải rút phương pháp cho thêm số cho học sinh tự vận dụng cho thành thạo phương pháp Hầu hết quy dạng nhiều khác có quy tắc giải chung, dạng tốn có loại ngun tắc, xác định loại bài, sử dụng nguyên tắc giải Nhưng cá biệt có khơng theo nguyên tắc chung, thuộc tình cá biệt, sử dụng cách riêng, thường khơng rõ quy luật, giải nhanh V Hiệu SKKN SKKN áp dụng thực tiển trường THCS Lương Thế Vinh Huyện Krông Ana năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018 – 2019 Đối tượng đội tuyển học sinh lớp 8, bậc trung học sở Trường THCS Lương Thế Vinh - Huyện Krông Ana năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018 – 2019 Qua q trình tích lũy thực sáng kiến kinh nghiệm này, thân thấy trước hết tơi tích lũy cho vốn kiến thức nho nhỏ bất đẳng thức để vận dụng vào vấn đề liên quan Đối với học sinh, sau năm 74 bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lớp 8, tơi nhận thấy em có tiến rõ rệt lập luận, trình bày lời giải tốn bất dẳng thức Đa số em biết tích lũy kiến thức bản, nhiều em số đạt kết cao học tập, đạt giải cao thi học sinh giỏi mơn Tốn học, mà đặc biệt toán bất đẳng thức em có thích thú say sưa nghiên cứu Cụ thể năm qua, kết chủ đề tốn bất đẳng thức mà tơi bổ trợ cho học sinh đạt kết sau: Năm học Năm học Năm học Năm học 2015 – 2016 2016 – 2017 2017– 2018 2018– 2019 Các em đội Các em đội Các em đội Các em đội tuyển bồi dưỡng tuyển bồi dưỡng tuyển tơi bồi dưỡng tuyển tơi thích thú với rèn cách trình rèn cách trình dưỡng hứng thú dạng tập tính bày tốn toán đơn giản bất dẳng thức bày toán, bình phản xạ đạt yêu Kết em đạt tĩnh suy nghĩ tìm cầu với giải giải khuyến hướng giải cẩn thận dạng tập nêu Kết em đạt khích, cơng nhận giải khuyến khích cấp cấp huyện bồi huyện Kết em đạt mơn giải giải giải Tốn 8; Kết em đạt khuyến khích cấp giải ba cấp huyện khuyến khích cấp em đạt ba, em huyện mơn Tốn tỉnh mơn Tốn ; đạt giải khuyến em đạt giải khuyến khích cấp huyện khích cấp huyện em đạt giải nhì, giải khuyến khích em đạt giải ba, em cấp tỉnh mơn giải đạt giải khuyến tốn Máy tính khích cấp cấp tỉnh cầm tay mơn giải tốn 75 giải khuyến khích cấp tỉnh mơn Tốn Máy tính cầm tay Sau thực SKKN 80% đội tuyển học sinh giỏi chiếm trọn vẹn điểm mảng bất đẳng thức Theo nghĩ nội dung nghiên cứu đáp ứng lượng kiến thức cần thiết cho em học sinh tự học, tự rèn luyện thêm, đồng thời giáo viên, tạo cho nhiều suy nghĩ để người tự tích lũy thêm cho thân vốn kiến thức ngày trọn vẹn để ngày dạy tốt hơn, có nhiều kinh nghiệm, sáng kiến sau hay giá trị ý tưởng có trước Phần thứ ba: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Nội dung kiến thức bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng lớp 8, nói riêng bậc trung học sở nói chung Nhưng nhiều em nắm lý thuyết lại chưa biết áp dụng vào tập cụ thể nào, em chưa biết tư để từ kiến thức tổng quát vào tập cụ thể, em chưa thành thạo suy luận trình bày lời giải Do vậy, giáo viên trình giảng dạy, cần thường xuyên tích lũy kiến thức cảm nhận mức độ nắm kiến thức học sinh kết giảng dạy để kịp thời hướng dẫn, điều chỉnh để em hiểu áp dụng tính chất học vào làm tập cụ thể cách phù hợp Mảng kiến thức bất đẳng thức nói riêng chương trình tốn THCS học lớp 8, với nội dung học tương đối đơn giản Song làm để phát huy tính tư tích cực, sáng tạo cho học sinh vấn đề không đơn giản! Để đạt điều đòi hỏi người giáo viên nắm vững kiến thức bản, mở rộng, tập nâng cao cách xác bền vững mà đòi hỏi họ phải nắm kỹ kỹ xảo, kỹ truyền thụ kiến thức thức cách hiệu Đồng thời, giáo viên phải biết động 76 viên, khích lệ, tạo ý học sinh với nội dung dạy, phát huy tính tự lập, tích cực sáng tạo học sinh Kiến nghị Qua trình giảng dạy trường trung học sở, qua thực tế tìm hiểu trình dạy học học sinh Tôi xin mạnh dạn đề xuất ý kiến sau: * Với nhà trường Ở trường nên tăng thêm vài hoạt động ngoại khóa tồn trường theo mơn để học sinh có hội giao lưu, học hỏi khẳng định thân, giúp em hăng say học tập đam mê nghiên cứu để thể ngoại khóa vui học tốn học, khám phá ẩn số, số bí ẩn… * Với Cụm chun mơn Chúng ta cần có buổi chun đề bàn sâu nội dung, trọng điểm hay vấn đề cụ thể Toán học để thu hút đơng đảo tham gia tồn giáo viên trường, cụm huyện (tùy vào phạm vị tổ chức) Trên nội dung sáng kiến “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh” Một lần xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành SKKN Do lực kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô, đồng nghiệp quý bạn đọc để SKKN hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Buôn Trấp, ngày 06 tháng năm 2019 Người viết 77 Đồn Cơng Nam 78 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU 1-2 I Đặt vấn đề 1-2 II Mục đich nguyên cứu Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2-28 I Cơ sở lý luận vấn đề 2-4 II Thực trạng vấn đề 4-5 III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 5-25 IV Tính giải pháp 25-26 V Hiệu SKKN 26-28 Phần thứ ba: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 28-29 I Kết luận 28-29 II Kiến nghị 29 Mục lục 30 Tài liệu tham khảo 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Các chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi bất đẳng thức – Tác giả Võ Quốc Bá Cẩn - Sách giáo khoa toán 8; Sách giáo viên toán 8,9; Sách tập toán (tập 2) - Sách Nâng cao phát triển tốn 8,9 – Tác giả Vũ Hữu Bình - Một số toán chứng minh bất đẳng thức Tạp chí Tốn tuổi thơ - Bộ đề HSG huyện năm qua - Nguồn tài liệu mạng 79 80 ... sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu ? ?Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh? ?? chương trình Tốn lớp 8, nói riêng vận dụng Tốn học nói... mạng 39 40 SKKN Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí lý luận: Như biết, mơn Tốn học. .. Qua thời gian nghiên cứu, thực viết áp dụng SKKN ? ?Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”,