ÁP DỤNG bất ĐẲNG THỨC cô SI và BUNHIA CÔPXKI GIẢI các bài tập cơ học sơ cấp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN ********** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI VÀ BUNHIA CÔPXKI GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC SƠ CẤP Người thực : Nguyễn Thọ Tuấn Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Triệu Sơn SKKN thuộc môn : Vật lý THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .2 Cơ sở lý thuyết sáng kiến kinh nghiệm .2 1.1 Bất đẳng thức Cô-si 1.2 Bất đẳng thức Bunhia côpxki 1.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giải toán Cơ học sơ cấp .2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải .3 3.1 Các toán áp dụng Bất đẳng thức Cô-si 3.2 Các tốn áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Cơpxki 10 3.3 Các toán luyện tập kiểm tra lực tiếp thu học sinh 15 Kết nghiên cứu 20 III KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 20 Kết luận 20 Kiến nghị 20 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài - Phương pháp dùng bất đẳng thức (BĐT) phương pháp quan trọng việc giải nhiều tốn Vật lý, có tốn Cơ học sơ cấp Đặc biệt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi, dùng BĐT để giải toán phương pháp với nhiều tốn khó, lạ Tuy nhiên thực tế lại khơng có nhiều giáo viên học sinh biết sử dụng sử dụng thành thạo cách - Trong kỳ thi, đặc biệt thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia kì thi Olympic xuất nhiều tốn tính giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng Vật lý Hầu hết học sinh tham gia giải tốn Vật lý có liên quan đến phương pháp dùng BĐT để tính giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng vật lý chưa thành thạo, có làm làm cách máy móc mà chưa nắm chất vấn đề, hiểu sai chất, áp dụng cách máy móc Khi biến đổi vài kiện toán để chuyển thành toán khác học sinh lại gặp phải nhiều lúng túng - Bằng học hỏi kinh nghiệm giảng dạy mình, tơi mạnh dạn kiên trì nghiên cứu phương pháp giải tốn hay, có phương pháp dùng BĐT để tìm nghiệm Vật lý Mục đích phục vụ cho việc giảng dạy hiệu hơn, nâng cao chất lượng dạy thầy học trò Đồng thời mong muốn đồng nghiệp có thêm tài liệu hay để phục vụ tốt cơng tác giảng dạy Vì lí trên, định chọn đề tài “Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Bunhia côpxki giải tập Cơ học sơ cấp” Mục đích nghiên cứu Thực đề tài này, người viết muốn chia sẻ với đồng nghiệp, em học sinh ôn thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, thi THPT Quốc gia môn vật lý kinh nghiệm sử dụng BĐT để giải tốn Cơ học hiệu Đó kinh nghiệm mà chúng tơi đúc kết từ thực tiễn ôn luyện đội tuyển HSG môn Vật lí ơn thi THPT Quốc gia trường THPT Triệu Sơn nhiều năm qua Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng tốn tìm giá trị lớn nhỏ (hoặc giá trị giới hạn) đại lượng Vật lý toán Cơ học sơ cấp THPT Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tổng hợp tài liệu - Tổng hợp kinh nghiệm thực tế Trang II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý thuyết sáng kiến kinh nghiệm 1.1 Bất đẳng thức Cơsi Cho hai số a b, có : a + b  ab Mở rộng cho số : (a, b dương) a + b + c  3 abc (a, b, c dương) + Hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích chúng có giá trị lớn hai chúng + Tích hai số khơng âm có giá trị khơng đổi tổng chúng có giá trị nhỏ chúng Hệ : Dấu “=” xảy số : a = b a = b = c 1.2 Bất đẳng thức Bunhia côpxki Với số a1, b1, a1 b2 ta có : (a1b1 + a2b2)2  (a1 + a2)2.(b1 + b2)2 a1 a2 a1 b1  Hệ : Dấu “=” xảy  b1 b2 a2 b2 1.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giải toán Cơ học sơ cấp Phương pháp sử dụng bất đẳng thức (BĐT) thường dùng để tìm giới hạn đại lượng vật lý (lớn nhất, nhỏ điều kiện giới hạn đó) Đề nói rõ yêu cầu tính giá trị lớn nhỏ Để giải toán Cơ học liên quan đến áp dụng BĐT, trước tiên ta phải đọc kĩ đề Sau dựa vào kiện đề cho, phân tích điều kiện tốn, áp dụng định luật, định lí vật lý có để viết biểu thức đại lượng cần tính cực trị Biểu thức đại lượng phải chứa thông số biến đổi không biến đổi mà sử dụng BĐT cho giới hạn số Nếu biểu thức đơn giản mà thấy ta áp dụng BĐT ngay, biểu thức phức tạp chưa rõ ràng ta biến đổi thêm để đưa biểu thức dạng đơn giản dễ thấy để áp dụng BĐT Lưu ý số tốn có kết cần tìm suy từ hệ BĐT Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT (cấp Tỉnh, cấp Quốc gia đề thi Olympic,…), nhìn chung có nhiều tập học cần phải giải cách áp dụng BĐT Trang - Trong tình hình chung chưa có tài liệu chuẩn hệ thống tập phương pháp việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi THPT Quôc gia, nên giáo viên phân công bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi THPT Quôc gia phải mò mẫm thiếu tính hệ thống - Áp dụng BĐT để giải tốn học khó khăn cho học sinh số giáo viên, lẽ tốn mang tính đơn lẻ, lại phải qua nhiều bước tính tốn Nhiều giáo viên học sinh chưa nắm vững sử dụng BĐT cho giải toán vật lý Với phương pháp hệ thống tập phong phú đây, hi vọng giúp cho giáo viên em học sinh hiểu rõ chất giải tốt toán dạng Hệ thống toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải 3.1 Các tốn áp dụng Bất đẳng thức Cơ-si Bài 1: Một hành khách cách xe buyt đứng yên đoạn L = 25 m xe đột ngột chuyển động phía trước (ra xa người) với gia tốc a = 0,5 m/s Hành khách chạy đuổi theo với vận tốc không đổi v Hỏi người phải chạy với vận tốc tối thiểu v để đuổi kịp xe buyt ? Tính thời gian đuổi kịp xe buyt Hướng giải: + Vận tốc tối thiểu người gặp xe lần at + Quảng đường người phải chạy gặp s = L + s L at + + Vận tốc người : v = = t t L at L at + Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cô-si : + �2 = 2aL = số (hs) t t + Vận tốc tối thiểu : v = 2aL = m/s L at 2L = �t= = 10 s t a Bài 2: Một người trượt băng khoảng cách l = 500 m ban đầu với vận tốc v không đổi, sau người hãm lại với gia tốc có độ lớn a = 0,05 m/s Hỏi với vận tốc v thời gian người chuyển động dừng lại bé ? Hướng giải: + Thời gian chuyển động gồm hai số hạng : thời gian chuyển động với vận tốc không đổi thời gian chuyển động chậm dần dừng hẳn lại l v + Ta có tổng thời gian: t = + v a l v l v l + Áp dụng BĐT Cô – si: t = + �2 = = hs v a v a a * Vận tốc tối thiểu đạt Trang + Suy thời gian chuyển động nhỏ : t = l = 200 s a l v = � v = l.a = m/s v a Bài 3: Một đá ném lên từ mặt đất theo phương hợp với phương ngang góc α Cần phải ném đá với vận tốc ban đầu tối thiểu v để đạt tới độ cao h ? Tính thời gian để đá đạt độ cao Hướng giải: + Đặt gốc O trục tọa độ Oy thẳng đứng điểm ném Khi phương trình gt chuyển động đá theo phương thẳng đứng y = v tsinα + Tại thời điểm đá đạt tới độ cao theo yêu cầu đề bài, ta có y = h Thay vào biểu gt h + thức rút v0 : v = 2sinα tsinα + Vì 0α�� 90� sinα 2gh gt h gt h + �2 = + Áp dụng BĐT Cô-si : v0 = = hs 2sinα tsinα 2sinα tsinα sinα 2gh + Suy vận tốc ban đầu cực tiểu đá : v 0min = sinα gt h = + Đồng thời cực tiểu đạt với điều kiện : 2sinα tsinα 2h + Từ suy thời gian đá đạt tới độ cao h : t = g Bài 4: Hai vật có khối lượng m trượt m m không ma sát nằm ngang, nối với sợi dây nhẹ, không giãn, có α 2m chiều dài 2l Một vật khác khối lượng 2m gắn l l vào trung điểm sợi dây Thả nhẹ cho hệ chuyển động, tính vận tốc cực đại vật tính góc α Hướng giải: + Gọi u vận tốc cầu 2m v vận tốc cầu m (hai cầu m có độ lớn vận tốc thời điểm), hợp với phương ngang góc α + Vì dây ln căng nên ta có : v.cosα = u.sinα (1) 1 + Định luật bảo toàn : 2mu + mv = 2mglsinα (2) 2 2 + Suy : v = 2glsinα - u �2glsinα (3) + Khi hai cầu chạm α = 90 , tức sinα = cosα = + Thời gian nhỏ khi: Trang + Suy hai cầu chạm vận tốc hai cầu m cực đại : v max = 2gl α = 900 + Từ (1) ta có v = utanα (α  900), vào (2) ta : 2 u2(tan2α + 1) = 2glsinα � u = 2glcosαsinα = 2glcos α - cos α - cos α2 = 2gl + Áp dụng BĐT Cô-si : u = 2glcosα 2 - 2cos α .cos α.c osα 2 �2 - 2cosα2 + cos α2 + cos α2 � � 2gl � = gl = hs � � � + Dấu “=” xảy – 2cos2α = cos2α  cosα = 3gl α = 35,260 + Vận tốc cực đại cầu 2m : u max = Bài 5: Một khối lăng trụ tam giác có khối lượng m 1, với góc α, trượt theo đường thẳng đứng tựa lên khối lập phương có khối lượng m2, khối lập phương trượt mặt phẳng nằm ngang Bỏ qua tất ma sát Xác định giá trị góc α cho gia tốc khối m2 có giá trị lớn Tính gia tốc khối trường hợp Hướng giải: + Các lực tác dụng lên vật hình vẽ + Phương trình chuyển động vật : P1 – Nsinα = m1a1 (1) Ncosα = m2a2 (2) + Hệ thức gia tốc : a2 = a1.tanα (3) + Từ (1), (2) (3) suy : m1gtanα m1g a2 = = m1 + Gia tốc m2 : m1 + m tanα + m tanα tanα + Áp dụng BĐT Cô-si cho biểu thức a2 : m1 + m tanα �2 m m = hs tanα m1 m2 = m tanα � tanα = + Dấu “=” xảy : tanα m1 m2 g g a1 = m1 Bài 6: Thanh AB cứng, nhẹ, chiều dài l, đầu gắn cầu nhỏ khối lượng tựa vào tường thẳng đứng hình vẽ m1 α m2 + Khi a2 lớn : a 2max = A Trang B Truyền cho cầu B vận tốc nhỏ theo phương ngang để trượt mặt sàn nằm ngang Giả thiết trình chuyển động AB ln nằm mặt phẳng vng góc với tường sàn Bỏ qua ma sát cầu với tường sàn Gia tốc trọng trường g a) Xác định góc α hợp với sàn vào thời điểm mà cầu A bắt đầu rời khỏi tường b) Tính vận tốc cầu B cầu A bắt đầu rời khỏi tường Hướng giải: a) Vào thời điểm cầu A tựa vào tường, AB hợp với r r phương ngang góc α Vận tốc A B v A v B , lúc đầu A A xuống đoạn x = l(1 - sinα) + Định luật bảo toàn : G 1 2 2 mgx = m  vA + vB  � mgl  1- sinα  = m  vA + vB  (1) 2 B α + Vì AB cứng nên theo định lí hình chiếu hai điểm A B vật rắn : vAsinα = vBcosα (2) + Từ (1) (2) suy : 1 gl  1- sinα  = v 2B � v 2B = 2gl  - sinα  sin 2α (3) sinα + Khi A chưa rời khỏi tường lực gây gia tốc vận tốc theo phương ngang phản lực tường tác dụng lên A theo phương ngang Lực làm vận tốc trọng tâm v Gx tăng dần, nên đầu A rời tường, tức N = aGx = vGx đạt giá trị cực đại + Mà vB = 2vGx nên vB đạt giá trị cực đại sinα sinα + Xét biểu thức v 2B = 2gl  - sinα  sin 2α = 8gl  - sinα  2 sinα sinα � sinα sinα � � � + = + Áp dụng BĐT Cô-si :  1- sinα   1- sinα  + 2 27 � 2 � � 27 sinα �sinα = α 420 + Do vB đạt giá trị cực đại 1- sinα = b) Thay sinα = vào (3) ta v B = gt 27 Bài 7: Hai hạt A B có khối lượng m A mB, với mA > mB Hạt A chuyển động tới va chạm hoàn toàn đàn hồi với hạt B, lúc đầu hạt B đứng yên Sau va chạm vận tốc hạt A lệch so với hướng vận tốc trước va chạm  Tính giá trị lớn sin Hướng giải: Bảo toàn động lượng: Trang r r r p A = p'A + p'B � p'B2 = p A2 + p'A2 - 2p A p'A cosθ p 2A p'2A p'2B = + + Bảo toàn lượng: 2m A 2m A 2m B + Rút p'B từ phương trình (2) vào (1) ta có : m m 2p A p'A cosθ = p 2A (1- B ) + p'A2 (1 + B ) mA mA m m p'A v' = A , ta có: 2.cos = (1 - B ) + x(1 + B ) + Đặt x = x mA mA pA vA + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : mB m m m ) + x(1 + B ) ≥ (1 - B ).(1 + B ) = 2.cos = (1 x mA mA mA mA mB * Vậy: [sin]max = mA (1) (2) (3) (4) mB m B2  sin  mA mA Bài 8: Một nêm khối lượng M giữ 2M mặt phẳng nghiêng cố định với góc nghiêng  so với đường nằm ngang Góc nghiêng nêm M  bố trí cho mặt nêm nằm ngang hình vẽ Trên mặt nằm ngang nêm có đặt khối hộp lập  phương có khối lượng 2M nằm yên Nêm thả bắt đầu trượt xuống Cho g = 10 m/s Bỏ qua ma sát mặt tiếp xúc Hỏi với giá trị  gia tốc nêm đạt giá trị cực đại ? Tính giá trị cực đại gia tốc nêm Hướng giải: Phương trình nêm khối hộp : ( Mg + N) sinα = Ma 2Mg - N = 2Masinα 3gsinα 3g a= = + Suy gia tốc nêm : 2sinα+1 2sinα+ sinα � � 2sinα + � + Để amax � � � sinα � � + Áp dụng BĐT Cô-si : 2sin   �2 sin  Trang + Dấu “=” xảy 2sin   * Suy ra: a max = 1  sin a = � a =45 sin  3g = 10,4 m/s2 2 Bài 9: Xác định hệ số ma sát cực tiểu  mảnh đồng chất với nhà để dựng chậm (khơng trượt) tới phương thẳng đứng cách tác dụng vào đầu lực vng góc với A Hướng giải: + Điều kiện để không trượt : Fms  N, hay α Fms μ� N F + Ta tìm phụ thuộc ms vào góc nâng α N + Chọn trục quay vng góc với mặt phẳng hình vẽ rđi r α qua A giao điểm hai giá lực Fr trọng lực P C B r Đối với trục quay này, mômen lực F r P Đoạn AB cánh ta đòn lực ma sát Fms , đoạn CB r cánh tay đòn phản lực N + Gọi chiều dài l, ta có điều kiện cân trục quay chọn : l l� � N.CB = Fms AB � N cosα = Fms � sinα + � 2� sinα � Fms cosα.sinα cosα.sinα tanα = = = = 2 2 + Từ ta rút : N sinα+1 2sin α+cos α 2tan α+1 2tanα+ tanα + Phân số đạt cực đại mẫu số cực tiểu 1 �2 2tanα = 2 = hs + Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số : 2tanα + tanα tanα F �0,35 + Đo ms � N 2 * Vậy trình nâng chậm thanh, để khơng bị trượt giá trị  thỏa mãn :   0,35 Bài 10: Hai chất điểm dao động điều hòa hai đường thẳng song song kề có vị trí cân nằm đường thẳng vng góc với quỹ đạo chúng có tần số góc , biên độ A1, A2 Biết A1 + A2 = cm Tại thời điểm Trang vật vật có li độ vận tốc x 1, v1, x2, v2 thỏa mãn x1v2 + x2v1 = cm2/s Tính giá trị nhỏ  Hướng giải: � AA �x1 = A1cos(ωt + φ1 ) � x1x = [ cos(2ωt + j + j )+cos(j - j )] + Ta có: � �x = A 2cos(ωt + φ2 ) A A 2ω sin(2ωt + j + j ) = + Mặt khác: x1v2 + x2v1 = (x1x2)’ = 2 �ω = (1) A1A sin(2ωt + j + j ) + Theo BĐT Cô - si: (A1 + A2)  4A1A2 ‫ ޣ‬A1A (A +A ) + Thay (2) vào (1) được: min = 0,5 sin(2t + 1 + 2) = = 16 = hs (2) Bài 11: Hai chất điểm dao động điều hòa tần số hai đường thẳng song song với song song với trục Ox, có phương trình x = A1cos(ωt + φ1) x2 = A2cos(ωt + φ2) Giả sử x = x1 + x2 y = x1 – x2 Biết biên độ dao động x hai lần biên độ dao động y Tính độ lệch pha cực đại x1 x2 r r Hướng giải: Đặt φ = φ2 – φ1 Biểu diễn biên độ x A y B hình vẽ A = A12 + A 22 + 2A1A 2cosΔφ � + Ta có : � 2 �B = A1 + A - 2A1A 2cosΔφ r + Suy ra: 2(A12 + A22) = A2 + B2 B A - B2 cosΔφ = 4A1A + Áp dụng bất đẳng thức Cô – si : 4A1A �2  A12 + A 22  , suy : A - B2 A - B2 A - B2 4B2 - B2 cosΔφ = � = = = 0,6 4A1A 2  A12 + A 22  A + B2 4B2 + B2 * Vậy : φmax = 53,130 Bài 12: Một lắc vật lí làm nặng, thẳng, đồng chất, tiết diện đều, chiều dài l0 Người ta cho dao động với trục quay qua điểm Tìm vị trí trục quay cho chu kì nhỏ Hướng giải: Gọi l khoảng cách từ khối tâm G đến vị trí trục quay O + Chu kì dao động lắc vật lí : Trang O α G T = 2π I I + ml2 l02 l = 2π = 2π + mgl mgl 12gl g + Với : I = I0 + ml mơmen qn tính trục quay I0 = ml0 mơmen qn tính trục quay qua khối tâm G song song với 12 trục quay l02 l l02 l + Áp dụng BĐT Cô-si : + �2 = = hs 12gl g 12 l0 l02 l = l�l = + Suy Tmin = 2π Khi 12l g 3 + Vậy có hai vị trí O1 O2 đối xứng qua G cách khoảng l l = chu kì dao động cực tiểu 3.2 Các tốn áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Cơpxki Bài 1: Một khúc gỗ khối lượng m = 0,5 kg đặt sàn nhà Người ta buộc khúc gỗ vào r sợi dây nhẹ không dãn kéo lực F hướng chếch lên, hợp với phương nằm ngang góc α Biết hệ số ma sát trượt gỗ sàn  = 0,2 Lấy g = 9,8 m/s Để kéo khúc gỗ trượt với lực kéo nhỏ góc  ? Tính lực kéo Hướng giải: ur uur r ur Các lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực P , phản lực N , lực ma sát Fms lực kéo F , biểu diễn hình r vẽ u r ur r r + Định luật II Niutơn: Fms  P  N  F  ma (*) y u r + Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ ur x F N + Chiếu lên (*) lên Ox ta có: Fms  Fcos   ma (1)  O + Chiếu lên (*) lên Oy ta có: r N  P  Fsin    N  P  Fsin  (2) u r F ms � Fms  N    P  Fsin   P + Thế vào (1) có:   P  Fsin    Fcos   ma �   P  Fsin    ma  Fcos  P  ma � Fcos   Fsin   P  ma � F  cos    sin  P + Khi vật chuyển động thẳng a = nên: F  cos    sin  2 2 + Theo Bất đẳng thức Bunhia cơpxki ta có:  a.c  bd  � a  c   b  d  Trang 10 2 2 2   1.cos    sin   �     cos   sin      � Fmin  P 12   �0,96 N + Dấu “=” xảy khi: a b   �  � tan    �  �11,31o c d cos  sin  Bài 2: Hai tàu thuỷ chuyển động hai đường OA OB, ban đầu AB = 40 km; vận tốc hai  tàu vA = 40 km/h, vB = 40 km/h Chiều chuyển động tàu biểu diễn hình vẽ Tính khoảng cách ngắn tàu Biết α = 300, β = uur VA A  600 Hướng giải: Ta có : α +  = β   = 300 A' α α' β B b' B' + Đặt : AO = d1; BO = d2 + Trong tam giác OAB : � d1 d AB   sin sin sin � d1  AB 3 40 3(km) d1 d2 AB �   � � sin600 sin300 sin300 � d2  AB  40(km) + Khi tàu A đến A' d1' = d1 - v1t = 40 - 40t ; d2 = d2+ v2t = 40 + 40 t d' d1' d'2   + Khoảng cách tàu d' = A'B' Có sin sin ' sin ' d' 120-40 3t 40+40 3t 160 = = = ( ' '1500) sin' sin' 3sin ' 3sin'+sin' 80 � d' � d'min y 3sin '  sin ' ymax 3sin ' sin ' � + Áp dụng BĐT Bunhia côpxki : 3' y 3sin ' sin(1500  ') sin ' cos '� 2 80  30,2 km * Suy : yMax  7� d'min  Trang 11 uur VB Bài 3: Hai vật chuyển động AO BO hướng v O Với v2 = , α = 300 Khi khoảng cách hai A vật cực tiểu dmin khoảng cách vật thứ đến O d1'  30 m Hãy tìm khoảng cách vật thứ hai đến O lúc B A' b  B' d1' a d2' Hướng giải: Gọi d1, d2 khoảng cách vật vật đến lúc đầu ta xét (t = 0) ta có: d d1  v1t d2  v2t   sin sin sin v d d v t 3d2  v1t d 3d2  d1  1  �  + Vì v2   sin sin sin 3sin 3sin sin + Với sinβ = sin(1800 - β) = sin (α +  ) = sin (300 +  ) d 3d2  d1 3d2  d1 3d2  d1  � d   sin30 y 3cos  sin cos  sin 2 + Ta thấy : dmin ymax + Áp dụng BĐT Bunhia côpxki  y  (3 1)  (sin2   cos2 )  sin   tg �   300 1200 ymax =  cos d1' d'2 sin1200 ' ' * Lúc :  � d  d1  3d1'  90 m 0 sin30 sin120 sin30 Bài 4: Cho hệ hình vẽ Hệ số ma sát M sàn u r 2 Hệ số ma sát M m 1 Tác dụng lực F lên M theo phương hợp với phương ngang góc α (α thay đổi) Hãy tìm lực nhỏ Fmin để m khỏi M Tính α tương ứng Hướng giải: uu r uur u r uu r Vật m: P1  N1  F ms21  ma1 Chi� u l� n Ox: E ms21  ma1 Chi� u l� n Oy: N1  P1  (1)  a1 = Fms21 m Trang 12 m M ur F α  a1  1g (*) Khi m bắt đầu trượt a1 = 1g u r uu r uu r uur u r uuu r uu r + Xét vật M: F  P2  P1  N2  F ms12  Fms  Ma2 (2) F cos  Fms12  Fms + Chiếu lên Ox: F cosa - Fms12 - Fms = Ma2  a2 = M Oy: F sina - (P1 + P2) + N2 =  N2 = P1 + P2 - Fsinα Fcos 1mg (P1  P2  Fsin) + Mà Fms = 2N2  a2 = (**) M Fcos 1mg (P1  P2  Fsin) + Ta có a1  a2  1g  M (m M)(1  2)g (m M)(1  2)g F cos  sin y + Fmin yMax Theo Bất đẳng thức Bunhia côpxki y  (a12  a22)(b12  b22)  122 � yMax  122 (m M)(1 2 )g cos  � tg  * Vậy Fmin = , lúc sin  122 r Bài 5: Người ta quấn sợi không giản vào khối trụ Kéo trụ lực F Tìm lực cực tiểu Fmin để trụ lăn không trượt chỗ Xác định góc α lúc đó, biết hệ số ma sát  Hướng giải: Khi trụ lăn chỗ không trượt khối tâm G trụ đứng n (Lúc vật quay, không chuyển động tịnh tiến) u r ur u r uuu r + Ta có F  N  P  Fms   F cos  Fms  � �F  F cos � � ms + Chiếu lên trục x, y: �  Fsin  N  P  �N  P - Fsin � + Mà Fms = N  (P - Fsina) = F cosa P �F = cos  sin (1) (2) r F G + Đặt y = cosa + sina y r N x α + Ta có : F cực tiểu y = yMax r P + Theo BĐT Bunhia côpxki : y  1 � yMax  12 Trang 13 Fms P Lúc  cos hay tg   sin 1 r r Bài 6: Vật khối lượng m kéo lên mặt phẳng nghiêng với lực F , F hợp với mặt phẳng nghiêng góc β Mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt phẳng ngang Hệ số ma sát trượt vật mặt phẳng nghiêng  a) Tìm biểu thức tính F vật lên theo mặt phẳng nghiêng b) Với m = kg, α = 450,  = 0,5, lấy g = 10 m/s2 Xét vật lên đều, tìm β để F nhỏ nhất, tìm giá trị lực F nhỏ Hướng giải: r a) Các lực tác dụng lên vật F r hình r vẽ r r r N + Vật chuyển động nên: F + P + Fmst + N = (1)  y + Chiếu (1) lên Ox : Fcosβ - Psinα - Fmst = (2) x r Oy : Fsinβ + N - Pcosα = (3) Fmst O + Thay Fmst = μN = μ  Pcosα - Fsinβ  vào (2) ta được: r P  sinα + μcosα F=P cosβ + μsinβ (4) b) Vì P = mg,  α xác định nên từ (4) F = F mẫu số y = cosβ + μsinβ cực đại + Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki: cosβ + μsinβ � sin 2β + cos2β + μ = + μ * Vậy FMin =      + Dấu ‘=’ xảy � tanβ = μ = 0,5 � β = 26,56o sinα + μcosα = 47,43 N * Vậy β = 26,56o F = Fmin = P 1+μ Bài (Trích đề thi chọn HSG Tỉnh Thanh Hóa 2019): Khung dây cứng có dạng hình tam giác vng với α = 300 đặt mặt phẳng thẳng đứng Hai vật m = 0,1 kg m2 = 0,3 kg nối với sợi dây nhẹ trượt không ma sát dọc theo hai cạnh khung dây hình vẽ Tính lực căng dây nối góc β hai vật vị trí cân ? Cân hệ vật bền hay không bền ? Vì ? Lấy g = 10 m/s2 Hướng giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ uur uur uur uur + Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: N1 , N , P1 , P2 uur uur ur uur r + Khi hệ cân bằng: N1 +N +P1 + P2 =0 Trang 14 m1 β α Hình m2 - Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy: y + Trên Ox: N1sinα = N2cosα  N2 = N1tanα + Trên Oy: N1cosα + N2sinα = P1 + P2  N1(cosα + tanα.sinα) = P1 + P2  N1 = (m1 + m2).g.cosα = (N) uur ur ur r uur uur ur + Xét với vật m1: N1 +P1 +T1 = � T1 = - (N1 + P1 ) (1) � T12 = N12 + P12 + 2N1P1.cos(1800 - α)  T2 = T1 = uur N1 m1 α O a β L u r x m2 r ur T uu r P1 T2 uu P2 ≈ 2,65(N) + Chiếu (1) lên phương thanh: P1sinα = T1cosβ  cosβ =  β ≈ 79,10 14 + Gọi khoảng cách từ m1 đến O a, chiều dài sợi dây hệ cân L Cân hệ hai vật bền tọa độ trọng tâm trục y thấp + Trên Oy, ta có: + Vật m1y1 =- a.sinα Vật m2 : y2= - L2 - a cosα + Tọa độ trọng tâm hệ vật : yG = m1y1 + m y a.sinα L2 - a =-( + cosα) m1 + m 4 + Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cơpxki, ta có : a.sinα + 3.cosα L2 - a ≤ (a + L2 - a ).(sinα2 + 9cos α) =L + Dấu xảy   yG a = a L L2 - a = a= sin  14 3cosα L L  cosβ =  β = 79,10 14 14 * Vậ y cân bền G vị trị thấp 3.3 Các toán luyện tập kiểm tra lực tiếp thu học sinh Bài 1: Một cầu nhỏ rơi từ điểm A đến A chắn đặt nghiêng góc α = 45 so với mặt phẳng ngang hình vẽ Sau va chạm α đàn hồi chắn, cầu rơi xuống mặt đất điểm C nằm cách đường thẳng đứng AB H (AB = H) đoạn s Hỏi phải đặt chắn h độ cao h (không thay đổi hướng nó) để khoảng cách s đạt cực đại Tính B khoảng cách cực đại Bỏ qua sức cản khơng s khí Trang 15 C HD: + Gọi s tầm bay xa, ta viết biểu thức s dang : s = h  H - h  + Áp dụng BĐT Cô-si ta kết H ĐS: smax = H h = H – h, suy h  Bài (Đề thi Olympic Vật Lý toàn Liên Bang Nga lần thứ XLI): Một đoàn tàu khách dài l đỗ sân ga Anh N ngồi toa cuối đợi thư người yêu chó Lulu mang tới Vào thời L điểm tàu chuyển bánh, Lulu suất đối diện với đầu tàu l hình Hỏi chó phải chạy với vận tốc tối thiểu v theo hướng để chuyển thư cho anh N Biết tàu chuyển động với gia tốc a không đổi khoảng cách từ chó đến toa cuối L HD: + Viết biểu thức vận tốc chó dạng: L2 a t 2 v0 = + - al t + Áp dụng BĐT Cơ-si ta kết L-l ĐS: Con chó cần chạy hướng AD với góc α = arctan 2 tốc độ nhỏ : L -l v 0min = a  L - l  Bài 3: Một máng có khối lượng m, bán kính R, có dạng hình bán trụ, đứng n mặt phẳng nằm ngang hình vẽ Một vật nhỏ có khối lượng với máng thả không vận tốc ban đầu từ mép máng cho bắt đầu trượt khơng ma sát lòng máng Giữa máng mặt ngang có ma sát với hệ số ma sát  Tìm điều kiện  để máng ln ln đứng yên trình vật chuyển động Coi vật chuyển động tiết diện thẳng đứng hình trụ HD: 3sinαcosα = 1+ 3sinα 4tanα + cotanα + Tìm ĐK  : μ � + Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số ta kết ĐS: μ � Bài 4: Bạn An bạn Bình tham gia trò chơi sau : An Bình đứng hai điểm A B cách 34 m bãi sông Khoảng cách từ A đến bờ sông 12 m, từ B đến bờ sông 28 m Nhiệm vụ An bắt đầu chạy không vận tốc đầu từ A Trang 16 đến bờ sông, múc nước sông chạy đến B dừng lại đưa cho Bình Coi đoạn sơng thẳng, chuyển động An liên tục (tốc độ An không thay đổi múc nước) gồm hai giai đoạn : chuyển động thẳng nhanh dần chuyển động thẳng chậm dần đều, thời gian múc nước không đáng kể Tìm thời gian ngắn đê An hồn thành nhiệm vụ, biết suốt trình chuyển động, độ lớn gia tốc An không 0,5 m/s2 HD: Gọi S quảng đường An chạy Ta viết biểu thức thời gian An chạy từ A đến B dạng : a2 a1 2S � a a1 � �  �, sau áp dụng BĐT Cơ-si cho số a a a1 + a � a1 a2 � kết ĐS: tmin = 20 s Bài 5: Một người khối lượng M đứng đầu mép A bè khối lượng m dài l đặt mặt nước hình vẽ Người bắt đầu thực cú nhảy xa để cho rơi xuống B A chạm vào mép B bè Bỏ qua sức cản nước a) Hãy tìm vận tốc tối thiểu người để cú nhảy thành công b) Để cú nhảy thành công lại muốn lượng tiêu tốn người phải thực cú nhảy với góc nhảy ? Tìm lượng tiêu tốn nhỏ để thực cú nhảy ml gt HD: a) Viết biểu thức v x = v y =  m + M t 2 2 Sau áp dụng BĐT Cơ-si : v = v x + v y �2 v x v y để kết t= ĐS: v = mgl  m + M b) Viết biểu thức lượng cần thiết để thực cú nhảy dạng : 2 �M + m � � m ��gl � W = M� v x + M � � �� � � m � �M + m ��2 � v 2x Sau Sau áp dụng BĐT Cơ-si để kết m+M Mgl m ĐS: Góc nhảy α với tanα = Wmin = m M+m Bài 6: Hai vật ném đồng thời từ điểm với vận tốc nhau, v Một vật ném lên theo phương thẳng đứng, vật ném lên góc so với phương ngang Hỏi góc phải để khoảng cách hai vật cực đại ? Khoảng cách cực đại ? Xem rơi xuống đất, vận tốc vật triệt tiêu Trang 17 2v 0sinα HD: Do t � nên biểu thức khoảng cách hai vật : g 32v02 sinα sinα d �  - sinα  g 2 sinα sinα Áp dụng BĐT Cô-si cho số : , – sinα Từ suy kết 2 v 02 ĐS: d max = sinα  3 g Bài 7: Hai máng nhẵn AB CD nằm mặt A phẳng thẳng đứng hợp với phương ngang góc nhau, CD = CB Hai vật nhỏ thả đồng thời không C vận tốc đầu từ A C Thời gian để vật trượt từ A đến B t1 thời gian để vật trượt từ C đến D t Sau kể B từ thả, khoảng cách hai vật ngắn ? Tính D α khoảng cách ngắn HD: Biểu thức khoảng cách hai vật : L2 = AC -  + cos2α   AC - x  x Áp dụng BĐT Cô-si biến đổi ta kết t12 - t 22 ĐS: t = L = ACsinα Bài 8: Một hộp chứa cát ban đầu đứng yên, kéo sàn sợi dây với lực kéo F = 1000 N Hệ số ma sát hộp với sàn nhà 0,35 a) Hỏi góc dây phương ngang phải kéo lượng cát lớn ? b) Khối lượng cát hộp trường hợp ? Lấy g = 10 m/s2 F  cosα + μsinα  HD: a) Viết biểu thức khối lượng : m = μg + a + Áp dụng BĐT Bunhia côpxki cho tử số ta kết (lưu ý kết hợp mẫu số a = 0) ĐS : tanα =  F + μ2 b) ĐS: Khối lượng cát lớn : m = r μg F Bài 9: Vật có khối lượng m kéo lên dốc nghiêng r α so với  phương ngang lực kéo F có độ lớn khơng đổi, F hợp với mặt phẳng nghiêng góc β Hệ số ma sát vật mặt nghiêng  Tính trị số góc β để vật có gia tốc lớn HD: + Viết biểu thức gia tốc dạng :  Trang 18 F  cosβ + μsinβ  - g  sinα + μcosα  m + Áp dụng BĐT Bunhia côpxki cho cosβ + μsinβ ta kết ĐS: amax  tanβ =  Bài 10: Khung dây cứng có dạng hình tam giác B vng với góc nhọn α đặt mặt phẳng thẳng m1 đứng Hai vật m1 m2 kg nối với β m2 nhẹ, dài l (l < AC) trượt khơng l ma sát dọc theo hai cạnh khung dây (hình α vẽ) Ban đầu thả nhẹ hai viên bi từ đỉnh góc vng B Khi nhẹ nối hai vật hợp với A C cạnh AB góc β hệ vật đạt trạng thái cân bền Tìm hệ thức liên hệ m1, m2, α β m 2lcosα  bcosβ + sinβ  HD: Viết biểu thức tọa độ khối tâm G : yG = a.sinα m1 + m m1 tanα Áp dụng BĐT Bunhia côpxki cho Với b = m2 bcosβ + sinβ su y kết m1 A tanα ĐS: Hệ trạng thái cân bền : cotβ = m2 Bài 11: Hai cầu bán kính R, khối lượng m dựa vào tường Do cầu bị đẩy nhẹ bên phải nên cầu trượt xuống theo phương thẳng đứng Hệ hai cầu bắt đầu chuyển động Tìm vận tốc cuối cầu Bỏ qua B ma sát HD: Viết biểu thức vận tốc cầu bên : v 22 = 4gRcosα 1 - cosα  = 2gR.cosα.cosα 2 - 2cosα  Với α góc hợp tâm O1O2 phương thẳng đứng + Áp dụng BĐT Cô-si cho số : cosα, cosα - 2cosα suy kết 16gR ĐS: v 2max = lúc cosα  27 Bài 12 (Trích đề thi chọn HGS tỉnh Thanh Hóa 2018): Một vật nhỏ trượt không ma sát, không vận tốc ban đầu từ H đỉnh nêm cao H 80 cm văng theo phương ngang độ cao h rơi xuống mặt bàn nằm ngang hình vẽ Hỏi độ cao h vật rơi xuống mặt bàn h vị trí xa nêm ? Biết nêm gắn cố định vào mặt bàn HD: Biểu thức tầm bay xa vật so với nêm : Trang 19 a= L = h  H - h  Áp dụng BĐT Cô-si ta kết ĐS: h = H/2 L = H Kết nghiên cứu Với nội dung kiến thức áp dụng vào giảng dạy chuyên đề cho học sinh trường THPT Triệu Sơn Cụ thể học sinh lớp ban KHTN từ khoá học 20172018 Đa số em tiếp thu tốt tự tin áp dụng vào giải tập dạng này, đặc biệt em đội tuyển HSG cấp tỉnh Đội tuyển học sinh giỏi Vật lí trường THPT Triệu Sơn ln đạt kết cao kì thi học sinh giỏi văn hóa Sở GD ĐT tổ chức, cụ thể sau: TT Năm học Nhất Nhì Ba KK Tổng số giải Năm học 2016- 2017 Năm học 2017- 2018 3 Năm học 2018- 2019 III KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Kết luận Cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi cơng việc đào tạo bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Vì giáo viên phải khơng ngừng tự học tập, trau dồi chun mơn, tích lũy học tập kinh nghiệm đồng nghiệp để vận dụng phù hợp vào thực tiễn cơng tác Tơi mong hệ thống tốn mà tơi chia sẻ khn khổ SKKN giúp ích cho đồng nghiệm q trình ơn thi HSG ơn luyện thi THPT Quốc gia mơn Vật lí Phương pháp sử dụng BĐT mở rộng để giải toán Điện học, Quang học, Từ học phương pháp hay để giải tốn lạ khó tìm giới hạn đại lượng Vật lý Kiến nghị Ôn luyện HSG cơng tác đòi hỏi nhiều nỗ lực hy sinh giáo viên đứng đội tuyển Tuy nhiên, chế độ đãi ngộ giáo viên đứng đội tuyển nhiều trường chưa tương xứng Tơi kính đề nghị Sở GD ĐT, ban, ngành, nhà trường cần có hỗ trợ tài nhiều cho công tác ôn thi HSG, đặc biệt giáo viên trực tiếp đứng đội tuyển Vì điều kiện thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm tơi chưa thể nêu hết vấn đề Kính mong người đọc góp ý bổ sung để tác giả ngày hoàn thiện phương pháp nghiên cứu khoa học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN Trang 20 viết, không chép nội dung người khác Tác giả Nguyễn Thọ Tuấn Trang 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa vật lý 10 (Nâng cao), NXB GD 2015 [2] Sách giáo khoa vật lý 10 chương trình Chuẩn, NXB GD 2015 [3] Các tốn Hay lạ khó, Chu Văn Biên [4] Thư viện vật lý [5] Thư viện violet.vn [6] Tuyển tập đề “Olympic 30 tháng 4” từ năm 1996 đến năm 2018 [7] Tuyển tập đề “Trại hè Hùng Vương” năm từ 2010 đến năm 2017 [8] Tuyển tập đề “Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng bắc bộ” [9] Giải toán vật lý 10, Bùi Quang Hân, NXB Giáo dục 2000 [10] Tài liệu Internet khác DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ LOẠI Tên đề tài Số, ngày, tháng, năm định Năm cấp Xếp loại Sáng kiến công nhận, quan ban hành QĐ Sử dụng hình vẽ để chứng minh công thức độ bội giác dụng cụ quang học Một số giải pháp giáo viên chủ nhiệm việc giáo dục đạo đức học sinh nhằm ngăn ngừa tình trạng học sinh đánh mang tính bạo lực Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp độ lệch pha để giải số toán giao thoa sóng, sóng dừng Tích hợp có hiệu giáo dục ứng phó với biến đổi khí hậu số học Vật Lý THPT Hướng dẫn học sinh đọc giải toán đồ thị 2007 C /QĐ-SGD&ĐT năm 2007 2012 C /QĐ-SGD&ĐT năm 2012 2013 C /QĐ-SGD&ĐT năm 2013 2014 C 753/QĐ-SGD&ĐT ngày 13/11/2014 2016 C 972/QĐ-SGD&ĐT ngày 24/11/2016 ... pháp sử dụng bất đẳng thức giải toán Cơ học sơ cấp .2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải .3 3.1 Các toán áp dụng Bất. .. thống tập phong phú đây, hi vọng giúp cho giáo viên em học sinh hiểu rõ chất giải tốt toán dạng Hệ thống toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải 3.1 Các toán áp dụng Bất đẳng thức Cơ -si Bài 1:... cực đại sinα sinα + Xét biểu thức v 2B = 2gl  - sinα  sin 2α = 8gl  - sinα  2 sinα sinα � sinα sinα � � � + = + Áp dụng BĐT Cô- si :  1- sinα   1- sinα  + 2 27 � 2 � � 27 sinα �sinα