skkn kinh nghiệm hướng dẫn học sinh phương pháp sử dụng bất đẳng thức cô si dạng nghịch đảo

PHÒNG GIÁO DỤC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ****************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI DẠNG NGHỊCH ĐẢO” NGƯỜI THỰC HIỆN : Trường Trung học cơ sở H . - T . tháng 4 năm 2008. A- PHẦN MỞ ĐẦU I/ Lý do chọn đề tài: Trong thời kỳ đổi mới của đất nước thì một trong những yêu cầu của nền giáo dục là phải tạo ra một lớp người mới, năng động sáng tạo. Họ sẵn sàng tiếp nhận cái mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học vào thực tiễn đất nước. Vậy làm thế nào để phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh đây là một trong những yêu cầu trước mắt, nhằm tập dượt khả năng sáng tạo của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường. Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới được biên soạn theo hướng đổi mới, phương pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh. Sách giáo khoa mới có những bài toán mở, mục có thể em chưa biết nhằm khơi dậy và định hướng cho các em sự sáng tạo. Tuy nhiên sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của người thày là rất cần thiết. Nội dung kiến thức về bất đẳng thức được trình bày trong chương IV - Đại số 8 . Đây là một phần kiến thức hay nhưng khó đối với học sinh . Bất đẳng thức Cô-Si được giới thiệu trong mục " Có thể bạn chưa biết". Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi, khám phá và sử dụng nó. Vậy để giúp các em làm việc này thì trước hết người thày phải nghiên cứu, hướng dẫn về mặt phương pháp, cung cấp và hướng dẫn cho học sinh thực hiện trên các bài toán điển hình cơ bản tạo cho học sinh tiền đề để các em tự học, tự nghiên cứu. Đứng trước yêu cầu trên tôi xin trình bày một phần nhỏ trong chương trình dạy về bất đẳng thức đó là: "Hướng dẫn học sinh một số phương pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo" 2 II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ ra một số phương pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Hướng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (đối với học sinh khá giỏi lớp 8-9 ) . III- Phương pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trường hợp với hai số không âm. +Áp dụng đối với hai số dương có dạng nghịch đảo. +Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phương pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo . +Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trường. +Áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh. +Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm sau. IV- Phạm vi và đối tượng nghiên cứu +Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng . +Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 8; 9 diện khá, giỏi. B - PHẦN NỘI DUNG I/Bất đẳng thức Cô-Si: 1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm) +Với hai số không âm a và b ta có : ab ba ≥ + 2 (1) Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu. +Chứng minh: Với hai số a và b không âm ta có : 0)( 2 ≥− ba  02 ≥+− baba  abba 2≥+ Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra  a = b . 3 2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo +Ta có : 2≥+ x y y x Với x.y > 0 Thật vậy : áp dụng (1) với a = y x và b = x y là hai số dương ta có : 2≥+ x y y x 2. = x y y x Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra  x y y x =  x 2 = y 2  x = y (Vì x và y cùng dấu ) *Chú ý: a = y x và b = x y là hai số nghịch đảo của nhau . II/ áp dụng : Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có dạng nghịch đảo " hoàn toàn" hoặc “ không hoàn toàn “ tuỳ thuộc vào cái đích mà bài toán cần đạt tới . Vậy biến đổi như thế nào ? có những phương pháp nào ?. 1/Phưong pháp biến đổi đồng nhất: a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là xuất hiện dạng nghịch đảo. +Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dương , CM rằng : 8)1)(1)(1( ≥+++ a c c b b a (1) Giải: Ta có VT = b a c b ++1( )1)( a c c a ++ = 11 +++++++ c a b c b a a b c b a c = )()()(2 b c c b a c c a a b b a ++++++ VP b c c b a c c a a b b a ==+++=+++≥ 82222.2.2.22 Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra  a = b = c . 4 * Với phương pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau: +Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dương , CM rằng : 9) 111 )(( ≥++++ cba cba . * Bài này mời các em tự thực hiện . +Bài toán 3: Cho x là số dương, tìm GTNN của : A = x xx 42 2 ++ . -Nhận xét: Với x dương ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện dạng nghịch đảo. -Giải: Có : A = 2 442 2 ++=++ x x xx x x x Ta có : 4 4 .2 4 =≥+ x x x x Nên 62 4 ≥++ x x Hay A 6≥ dấu đẳng thức sảy ra  x x 4 =  x = 2 (vì x > 0 ) Vậy A min = 6  x = 2. +Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: 2≥ + + + + + + + + ba abc ac cab cb bca . - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có: ba bcac ac cbab cb caba VT + ++ + + ++ + + ++ = ))(())(())(( áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có )(2 ))(())(( ba ac cbab cb caba +≥ + ++ + + ++ 5 )(2 ))(())(( )(2 ))(())(( cb ba bcac ca cbab ca ba bcac cb caba +≥ + ++ + + ++ +≥ + ++ + + ++ Vậy 2. VT 4)(4 =++≥ cba hay ⇒≥ 2VT ĐPCM Đẳng thức xảy ra  a = b = c = 3 1 * Mời các em làm tiếp bài toán sau: +Bài toán4 : Tìm GTNN của : B = x xx 3 1615 2 ++ (với x dương ) . C = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx . Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta được : C = 52 256 )52.(4 2 2 ++ +++ xx xx . b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện được dạng nghịch đảo. +Bài toán5 : Tìm GTNN của : D = 2 22 )2712)(4816( x xxxx ++++ (với x là số dương ) . -Nhận xét: Nếu chia ngay thì D = )12 27 )(16 48 ( ++++ x x x x Sau đó áp dung (1) thì dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng x 48 và x 27 . Nên ta phải tìm cách "cào bằng" hai số 48 và 27 . May thay cả hai đa thức trên tử đều phân tích được thành nhân tử !. -Giải : Ta có : D = xx xxxx . )4)(9)(3)(12( ++++ 6 = xx xxxx . )36.13)(36.15( 22 ++++ = )13 36 )(15 36 ( ++++ x x x x Việc làm tiếp theo là rất đơn giản ! +Bài toán 6 : Tìm GTNN của : E = 2 22 )12022)(3011( x xxxx ++++ (với x là số dương ) * Bài này mời các em tự thực hiện . 2/Phương pháp thêm bớt : a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng nghịch đảo. . +Bài toán 1 : Tìm GTNN của : A = xx x 5 1 + − ( Với 0 < x < 1 ) . Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dương. Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai Ta có x x x )1(5 5 5 − =− Giải : Ta có : A = 55 5 1 +−+ − xx x 5 55 1 + − + − = x x x x Ta có 52 )1(5 . 1 2 )1(5 1 = − − ≥ − + − x x x x x x x x Nên A 552 +≥ dấu đẳng thức sảy ra  x x x x )1(5 1 − = −  x 2 = 5( 1 - x ) 2  x = 4 55 − Vậy A min = 552 +  x = 4 55 − . 7 +Bài toán 2 : Tìm GTNN của : B = xx 1 1 2 + − ( Với 0 < x < 1 ) Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x ) dưới mẫu. Có x x x − =− − 1 2 2 1 2 Còn x x x − =− 1 1 1 Giải : Ta có B = 31 1 2 1 2 +−+− − xx = 3 1 1 2 + − + − x x x x Ta có 22 1 . 1 2 2 1 1 2 = − − ≥ − + − x x x x x x x x Nên có B 322 +≥ dấu đẳng thức sảy ra  x x x x − = − 1 1 2  x = 12 − Vậy B min = 322 +  x = 12 − . Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dương CM rằng : 1 3 )1( 1 )1( 1 )1( 1 + ≥ + + + + + abcaccbba +Hướng dẫn: 61 )1( 1 1 )1( 1 1 )1( 1 )1( ≥       + + + +       + + + +       + + + ⇔ ac abc cb abc ba abc 6 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 ≥       + + + + + +       + + + + + +       + + + + + ⇔ a ba ac c c ac cb b b cb ba a 6 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 1 )1( )1( 1 ⇔ ≥       + + + + + +       + + + + + +       + + + + + ⇔ c ac ac c b cb cb b a ba ba a 8 *Tương tự mời các em giải bài toán sau: +Bài toán 4 : Tìm GTNN của : C = 1 4 3 + + x x (với x > - 1 ) D = 1 2 2 − + x x ( với x > 1 ) E = 2 2 2 2 1 )1(       + + ++ x x x ( với x 1−≠ ) Hướng dẫn : E = 2 2 2 1 22 )1(       + ++ ++ x xx x = 2 2 1 1 )1()1(       + ++++ x xx = 2 )1( 1 )1(2 2 2 + + ++ x x b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị). Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dương CM rằng : dcba a d d c c b b a +++≥+++ 2222 Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d . Khi ấy : b b a = 2 Giải : Ta có : b b a + 2 ab b a 2.2 2 =≥ Tương tự ta có : ≥+ c c b 2 2b ≥+ d d c 2 2c ≥+ a a d 2 2d 9 Như vậy : )(2 2222 dcbadcba a d d c c b b a +++≥+++++++ Hay dcba a d d c c b b a +++≥+++ 2222 Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra  a = b = c = d . Bài2: Cho a ; b ; c là các số dương CM rằng : 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + . Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c . Khi ấy : 4 2 cb cb a + = + Giải : Ta có : a cb cb acb cb a = + + ≥ + + + 4 .2 4 22 Tương tự ta có : ≥ + + + 4 2 ca ca b b ≥ + + + 4 2 ba ba c c Vậy có : cba cba ba c ca b cb a ++≥ ++ + + + + + + 2 222 Hay : 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + . Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra  a = b = c . * Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau : Bài3: Cho a ; b ; c là các số dương . CM rằng: a, . 333 bcacab a c c b b a ++≥++ 10 [...]... kiến thức mở , tôi luôn hướng dẫn học sinh theo hướng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hướng áp dụng kiến thức Đặc biệt trong phần kiến thức về bất đẳng thức ở lớp 8 và 9 , xác định đây là phần kiến thức khó đối với học sinh , nhưng nó rất quan trọng trong việc rèn khả năng tư duy sáng tạo , phát triển khả năng tự học tự nghiên cưú cho học sinh Tôi đã triển khai theo từng bước ,đối với từng đối tượng học. .. học sinh Cụ thể : Năm học 2006- 2007: -Từ 7/2006 đến 3/2006 : Giáo viên nghiên cứu hoàn thiện Kết hợp với việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và nhà trường - Từ 3/2007 đến 4/2007 : Triển khai hướng dẫn học sinh - Từ 4/2007 đến 15/5/2007 : Tổ chức dạy nâng cao cho học sinh khá giỏi , kết hợp với việc kiểm tra đánh giá học sinh Năm học 2007-2008: - Từ 7/ 2007 đến 10/2007: Chỉnh sửa... thi HSG cấp tỉnh năm học 2007- 2008 đã có 3 em đạt giải trong đó có hai giải ba E /KẾT LUẬN 19 Trong việc dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng Sau đó việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết Cho nên ở mỗi đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trước hết người... kiến thức mở trước hết người dạy phải đầu tư thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phương pháp hướng dẫn cho học sinh học tập một cách tích cực chủ động Có như vậy thì việc dạy và học mới đạt hiệu quả cao, và trước hết là rèn cho học sinh những phẩm chất của người lao động mới năng động sáng tạo Tuy nhiên với kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, tôi mong nhận được các ý kiến đóng góp của tất cả... thoả mãn : a ≥ 5; ab ≥ 20; abc ≥ 60 CMrằng : a = 5 ; b = 4 ; c = 3 Bài 10 : Cho : a ≥ 3; b ≥ 4; abc ≥ 24 CMrằng : a + b + c ≥ 9 4/ Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp này được áp dụng cho các bài toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ và biến đổi mới xuất hiện dạng nghịch đảo Bài toán 1: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác tìm GTNN của: A= Hd : Đặt 4a 9b 16c + + b+c−a a+c−b a +b−c thì có... 3 3 6 y 8 D ≥ 6 + 2 x + 2 = = 19 dấu đẳng thức xảy ra  x = 2 ; y = 4 2 2 x 2 y Vậy Dmin = 19  x = 2 ; y = 4 Bài 7: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình : x2 - 4x +7 - m = 0 (1) 1 với m là tham số Tìm GTLN của : P = x1 x 2 − 7 x x 2 2 Nhận xét: Trước hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác định điểm rơi Giải : Ptrình (1) có nghiệm  ∆ ≥ 0  4 −7 + m ≥ 0 m ≥ 3 Khi...b, bc ac ab + + ≥ a+b+c a b c 3, Phương pháp tách : Phương pháp này được áp dụng cho loại bài : tưởng như đã có thể áp dụng được (1) ngay, nhưng dấu bằng lại không thể xảy ra Do vậy trước hết chúng ta phải xác định được điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng được Loại bài tập này khá phổ biến , ta sẽ dành nhiều thời lượng hơn cho loại bài... đã thu được một số kết quả đáng khích lệ: + Học sinh đã tự tin và chủ động hơn trong việc học phần kiến thức này + Đa số các em đã tự giải quyết được các bài toán về BĐT và các bài toán có liên quan trong chương trình + Các em ở đối tượng khá, giỏi đã giải được các bài toán trong các sách tham khảo + Khích lệ hơn nữa khả năng chủ động sáng tạo trong việc học tập bộ môn + Kết quả khảo sát : - Loại Giỏi... a+b 2 III Hướng khai thác mở rộng: 1 /Hướng1 : Sử dụng các BĐT hệ quả a/ Ta có :     a b + ≥ 2 với a b dương b a a b +1+ +1 ≥ 4 b a a+b a+b + ≥4 b a 1 1 (a + b)( + ) ≥ 4 a b 1 1 4 + ≥ (2) a b a+b b/ Tổng quát hoá bài toán ta có: 1 a 1 b 1 c + (a + b + c)( + + ) ≥ 9 với a , b , c là các số dương 1 1 1 2 + (a1 + a 2 + + a n )( a + a + + a ) ≥ n với mọi ai > 0 ; i = 1;2;…;n 1 2 n c/áp dụng giải... +c Dự đoán điểm rơi là a = b = c = 1 2 khi đó a+ 1 ≥ 4b 1 c+ Tương tự 1 ≥ 4c 1 1 1 ;b = ;c = 4a 4b 4c 1 1 ≥ 2 a =1 4a 4a b+ Giải :Ta có: a= 1 3 1 1 1 9 ( + + )≥ 4 a b c 2 Còn Vậy A≥ Amin = 15 1 dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c = 2 2 15 2 1 2  a=b=c= *Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dương a ; b ; c ta có : 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ 9 a b c Nên : a + b + c ≤ 3  2 1 1 1 + + ≥6 . TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ ****************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ -SI DẠNG NGHỊCH ĐẢO” NGƯỜI THỰC HIỆN : Trường Trung học cơ sở. bất đẳng thức đó là: " ;Hướng dẫn học sinh một số phương pháp sử dung bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo& quot; 2 II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ ra một số phương pháp cơ bản để áp dụng bất. bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Hướng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (đối với học