SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM“Sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của một biểu thức,hàm số” (Dành cho ban cơ bản)(Là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học rất hay)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “Sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thức,hàm số” (Dành cho ban bản) I.Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn lớp 10 hầu hết mục kiến thức học sinh tương đối dễ học có nhiều em giới thiệu chương trình tốn cấp 2.Nhưng qua nhiều năm giảng dạy thấy hầu hết học sinh đặc biệt em ban ngại học bất đẳng thức Các em cho bất đẳng thức chuyên đề khó,đối với em học sinh TB,yếu,kém khó hơn,một dạng tốn áp dụng bất đẳng thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức (hàm số) kể đến phương pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giá thông thường phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trong phương pháp nêu phương pháp sử dụng bất đẳng thức coi phương pháp thông dụng hiệu để tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức hàm số Đối với phương pháp này, ta sử dụng bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số f ( x1 , x2 , , xn ) ), từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cần tìm Lĩnh vực bất đẳng thức tương đối rộng thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên tơi xin trao đổi góc nhỏ bất đẳng thức “Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thức,hàm số” với mong muốn giúp em học sinh ban loại bỏ suy nghĩ ngại ngần hay lảng tránh nói bất đẳng thức II.Mục đích,cơ sở,đối tượng,phạm vi phương pháp nghiên cứu 1.Mục đích Giúp học sinh hiểu làm dạng toán ứng dụng bất đẳng thức Cơsi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức,hàm số 2.Đối tượng,phạm vi nghiên cứu Bất đẳng thức Côsi ứng dụng (mức độ đơn giản dành cho học sinh Ban bản) 3.Phương pháp nghiên cứu Tìm tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích tập giải minh họa 4.Cơ sở lí luận Phương pháp nghiên cứu SKKN dựa sở +/ Bất đẳng thức Cô si ứng dụng +/ Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số,biểu thức 5.Cơ sở thực tiễn Trong q trình giảng dạy lớp 10 tơi thấy đụng chạm tới dạng toán bất đẳng thức học sinh thường có cảm giác ngại ngùng lảng tránh em nghĩ dạng tốn khó trừu tượng,qua nhiều năm giảng dạy tơi cho em có tâm lí em chưa có phương pháp học tập nghiên cứu khoa học,chưa phân loại tập bất đẳng thức theo dạng từ dễ tới khó cách hệ thống.Từ suy nghĩ tơi mạnh dạn trình bày kinh nghiệm nhỏ “Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thức,hàm số” mục đích để trao đổi với đồng nghiệp phần giúp em học sinh khắc phục tồn nêu III.Nội dung A.Bất đẳng thức Cơ si Trung bình nhân số khơng âm nhỏ trung bình cộng chúng ab ≤ a+b ∀a, b ≥ Đẳng thức ab = a+b ⇔a=b */Mở rộng: Cho n số không âm a1 , a2 , , an ( n ≥ ) , ta ln có: a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n Dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = = an B.Ví dụ minh họa Ví dụ 1.Tìm giá trị nhỏ hàm số a/ f ( x ) = x + ,x > x−2 x2 f x = x + + + ÷ , x ≠ −1 ) b/ ( ) ( x +1 c/ f ( x,y ) = x + y với x,y>0 x+y= d/ f ( x ) = x + , x > x Giải a/ ∀x > ⇒ x − > ⇒ Áp dụng Bđt Cơ si ta có 3 = x−2+ +2≥2 3+2 x−2 x−2 ⇔ x = 2± ⇒ Min f ( x ) = + ⇔ x − = x−2 (2; +∞ ) f ( x) = x + b/ 2 x2 f ( x ) = ( x + 1) + + ÷ = ( x + 1) + x + + ÷ x +1 x +1 2 = ( x + 1) + +2≥2 2+2 , ( x + 1) > 0, ∀x ≠ −1 ( x + 1) ⇒ Min f ( x) = 2 + ⇔ x = −1 ± R \{ 1} c/Ta có f ( x,y ) = 4 + = + 4x + + y − ≥ x + y − = x 4y x 4y x 4y ⇒ Min f ( x, y ) = ⇔ x = 1, y = x > 0, y > 1 1 1 d/ Ta có: f ( x ) = x + x + x + + ≥ 5 x ÷ = ( BĐT Cơsi) 3 x x 27 3 x Dấu “ =” xảy ⇔ x = ⇔ x5 = ⇔ x = 3 x x = 27 (0; +∞ ) Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Min f ( x) = Vậy c a b P = 1 + 1 + 1 + b c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1+ a a ≥2 b b b b 1+ ≥ c c 1+ Suy abc c a b =8 1 + 1 + 1 + ≥ abc b c a Hay P≥8 c c ≥2 a a Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy Pmin = Ví dụ 3.Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Giải: Đặt: x = b + c, ⇒ a +b+ c = Và a= y = c + a, a b c + + b+c c+a a +b z = a+b ( x+ y+ z ) y+z−x , b= z+x− y , c= x+ y−z Từ ta có: P= y+z−x z+x− y x+ y−z 1 y+ z z+ x x+ y + + = + + − 3÷ 2x 2y 2z 2 x y z y = + x x z x z + + + ÷+ y x z ÷ y y ÷− 3 z (*) ≥ [ + + − 3] = 2 ( Bất đẳng thức Côsi) y x x = y z x Dấu “=” xảy ⇔ = ⇔ x = y = z x z z y y = z Từ (*) ta có a = b = c Vậy Pmin = với số thực dương a, b, c thỏa a = b = c Ví dụ 4.Tìm giá trị lớn hàm số a/ f ( x ) = ( x + ) ( − x ) , −5 ≤ x ≤ b/ f ( x ) = x x +2 ,x >0 c/ f ( x ) = + x + − x x ∈ [ −3;6] Giải a/Ta có ∀x ∈ [ −5; 2] ⇒ x + ≥ 0, − x ≥ ⇒ AD BĐT Cô si ta có f ( x ) = ( x + 5) ( − x ) ≤ ⇒ Max f ( x) = [ −5;2] 49 49 ⇔x=− x b/Ta có x>0 ⇒ AD BĐT Cơ si ta có x + ≥ 2 x ⇒ x + ≤ 2 ⇒ Max f ( x) = (0;+∞ ) ⇔x= c/Ta có f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ −3;6 ⇒ f ( x ) Max f ( x ) Max f ( x) = + ( + x ) ( − x ) ≤ 18 ⇒ Max f ( x ) = 18 = ⇔ x = −3;6 Ví dụ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức S = abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Giải: Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số dương, ta có: a + b + c ≥ 33 abc ⇔ ≥ 33 abc (1) ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ≥ 33 ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Và ⇔ ≥ 33 ( a + b) ( b + c) ( c + a) (2) Từ (1) (2) nhân vế với vế ta được: ≥ abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = S ⇔ ≥ 93 S ⇔ S ≤ 729 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy Smax = 729 Ví dụ 6.Tìm giá trị lớn biểu thức P= a b−2 +b a−3 , a ≥ 3, b ≥ ab Giải Ta có P = a b−2 +b a−3 b−2 a −3 2 b−2 a −3 = + = + ab b a 2b 3a AD BĐT Cô si: ⇒P≤ 2 + 2 b−2 ≤ 2+b−2 =b a −3 ≤ 3+ a −3 = a = a − a = 1 1 ⇒ PMax = + ⇔ ⇔ ÷ 2 3 b = = b − C.Bài tập vân dụng Bài 1.Tìm giá trị nhỏ hàm số sau x a/ f ( x ) = x + , x > 1 b/ f ( x ) = ( + x ) 1 + ÷, x > x c/ f ( x ) = x3 + ,x >0 x2 x3 + 1 x x = x+ = + + ≥ x x 2 x HD: ⇒ Min f ( x) = ⇔ x = (0; +∞ ) f ( x) = x d/ f ( x ) = + 27 ,x > x e/ f ( x ) = x + ( x + 1) , x > −1 f/ f ( x ) = x + ,0 < x x−2 x2 + x + ,x >0 x x m/ f ( x ) = + ,x > 2x −1 Bài Cho hàm số f ( x) = ( + x ) + + 1÷ x x Tìm giá trị nhỏ f ( x) với x > HD: Ta có: f ( x) = ( + x ) + + 1÷ = ( + x ) + 1÷ x x x 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 1 f ( x) ≥ x ÷ = 16 x Dấu “=” xảy ⇔ x = > f ( x) = 16 x = Vậy x >0 Bài 3.Cho a,b,c>0.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ( a + b + c ) + + ÷ a b c 1 Bài 4: Cho ba số thức dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 1 1 a b c A = ( abc + 1) + + ÷+ + + − ( a + b + c ) a b c b c a HD: a b c 1 A = ab + ÷+ bc + ÷+ ac + ÷+ + + − ( a + b + c ) b c a a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: ab + a ≥ 2a , b bc + b ≥ 2b , c a ac + b c ≥ 2c a c Từ suy ra: A ≥ 2a + 2b + 2c + + + − ( a + b + c ) ⇔ A ≥ a+b+c+ 1 1 1 1 + + = a + ÷+ b + ÷+ c + ÷ a b c a b c 1 ⇔ A ≥ a + b + c = a b c (BĐT Côsi) Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = Vậy MinA = a = b = c = Bài 5.Tìm giá trị lớn hàm số sau a/y=x(3-x) , ≤ x ≤ b/y=(x+1)(7-2x) , −1 ≤ x ≤ c/y=(6x+3)(5-2x) d/y=(2x+5)(5-x) e/ y = (x 2 ,− ≤ x ≤ − 5 ≤ x≤5 x2 + 2) HD: x2 + = x2 + + ≥ 3 x2 ⇔ ( x + ) ≥ 27 x 1 ⇒ Max y = ⇔ x = ±1 R 27 27 0< x< f/y=x2(1-2x) ⇔ y≤ x Bài 6/ Tìm giá trị lớn hàm số f ( x) = + − x − x 1 2 miền D = x ∈ R : −1 ≤ x ≤ HD: Nhận thấy D miền xác định f ( x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: − x − x = ( − x − x 2 )≤ x + ( − x − 2x f ( x) ≤ + 2 Do đó: + ( − x − 2x2 ) ∀x ∈ D ) ⇔ f ( x) ≤ − x Từ suy ra: f ( x) ≤ ∀x ∈ D Mặt khác để dấu “=” xảy 1 = − x − x ⇔ x = 0∈D 1 − x = −1 ≤ x ≤ Ta lại có: f (0) = f ( x) = Vậy max x∈D Bài 7.Áp dụng BĐT Cơ si tìm giá trị lớn biểu thức P = a4 + 1 HD:Ta có = a + ≥ ⇒ P ≤ a a Bài Cho ba số thực a, b, c ≥ thỏa a2 a4 + ,a ≠ 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c Tìm giá trị lớn biểu thức M = abc HD: Ta có: 1 1 1 + + ≥2⇒ ≥ 2− − 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c ⇔ 1 b c ≥ 1 − ≥ + + 1 − ⇔ 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: bc b c + ≥2 1+ b 1+ c (1 + b )(1 + c ) ⇒ ≥2 1+ a bc ( + b) ( + c) (1) Tương tự, ta có: ac ≥2 1+ b (1 + a )(1 + c ) (2) ab ≥2 1+ c (1 + a )(1 + b ) (3) Từ (1) , (2) (3) nhân vế với vế ta được: ÷ ÷ ÷≥ + a + b + c ⇔ Suy ra: a 2b c 2 2 ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) abc ≥8 ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c ) ( 1+ a ) ( 1+ b) ( 1+ c ) M = abc ≤ Dấu “=” xảy 1 1 = = ⇔ a=b=c= 1+ a 1+ b 1+ c (thỏa điều kiện ban đầu) Vậy M max = a = b = c = IV Áp dụng thực tế giảng dạy Phương pháp khai thác triển khai để dạy học sinh lớp 10A2 10A4 năm học 2015-2016 bước đầu đạt kết tốt Các em học sinh sau học vận dụng giải toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số,biểu thức,các em nhận dạng cách giải, đảm bảo yêu cầu xác, tiết kiệm thời gian tìm lời giải Khi dạy trước hết tơi đưa tốn để học sinh tìm lời giải, sau tổng hợp cách làm dạng để học sinh nắm phương pháp, có nhìn tổng qt giải tốn Khi dạy tránh trình bày dạng phương pháp giải trước sau đưa tập cho học sinh làm, tốn cịn thay số, dần làm cho học sinh lười suy nghĩ thụ động làm toán V.Kết luận Mặc dù thời gian đầu tư cho SKKN chưa nhiều,tài liệu tham khảo hạn chế,nhưng qua thực nghiệm giảng dạy thấy để học sinh nắm vững phương pháp Áp dụng định lí Cơ si giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số,biểu thức người giáo viên phải khơng ngừng tìm tịi nghiên cứu,hệ thống tập hay phong phú,tìm cách thức ôn tập phù hợp với đối tượng học sinh giúp em tăng thêm cảm hứng,hứng thú học tập từ giúp em chủ động tích cực học tập hơn.Thông qua việc triển khai SKKN đầu học kì II năm học 2015-2016 tơi thấy SKKN giúp chủ động dạy học cảm thấy học sinh tự tin học giải toán bất đẳng thức ứng dụng VI Một số kiến nghị : Theo việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải tiến hành thường xuyên, liên tục, trước hết việc tự bồi dưỡng thể kết giảng dạy tài liệu thu thập Vì nhà trường, tổ, nhóm chun mơn nên phân công cụ thể người viết báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm phần tuỳ theo sở trường trình bày hàng tháng, hàng q sau kì mà khơng thiết để cuối năm học Các báo cáo photo cho người tổ, nhóm để đọc, bổ sung, trình bày trước tổ sửa chữa, hồn thiện làm tài liệu giảng dạy chung cần Các tài liệu có chất lượng hỗ trợ kinh phí thưởng đánh giá thi đua người viết Nếu làm vừa mang tính động viên, khích lệ, vừa mang tính ràng buộc việc tự học hội tốt để giáo viên học hỏi lẫn nhau, đặc biệt giúp cho giáo viên trẻ học hỏi nhiều kinh nghiệm thầy trước, vừa có tài liệu tốt để giảng dạy Các báo cáo mang tính đặc thù mơn nên trình bày tổ, nhóm; báo cáo phương pháp trình bày trước hội đồng GD nhà trường Phủ lý,ngày 21 tháng 03 năm 2016 Người viết Nguyễn Tiến Diệp 10 Mục lục I Lí chọn đề tài ………………………………………… II Mục đích,cơ sở,đối tượng,phạm vi phương pháp nghiên cứu ……… III Nội dung A Bất đẳng thức Cô si …… B Ví dụ minh họa ……………………………………… C Bài tập vân dụng ………………………………………… IV Áp dụng thực tế giảng dạy ………………………………………… V Kết luận VI Một số kiến nghị 1 2 9 Tài liệu tham khảo 500 Bài toán mở rộng 10 (Nhà xuất ĐH Quốc gia Hà nội-Tác giả:Dương Đức Kim-Đỗ Duy Đồng) Tuyển chọn 400 Bài tập Toán 10 (Nhà xuất ĐH Quốc gia TP.Hồ Chí MinhTác giả:Đậu Thế Cấp-Nguyễn Văn Lộc) Phân loại phương pháp giải toán đại số lớp 10 (Nhà xuất ĐH Quốc gia TP.Hồ Chí Minh-Tác giả:Trần Văn Kỷ) Học ơn tập Tốn Đại số 10 (Nhà xuất ĐH Quốc gia Hà nội-Tác giả:Lê Hồng Đức(Chủ biên)-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí) Tốn nâng cao Tự luận Trắc nghiệm Đại số 10(Nhà xuất ĐH Sư PhạmTác giả:PGS.TS.Nguyễn Văn Lộc) Bồi dưỡng Toán 10.Tập (Nhà xuất ĐH Sư Phạm-Tác giả:Đỗ Đức Thái-Đỗ Thị Hồng Anh) 11 12 ... qua thực nghiệm giảng dạy thấy để học sinh nắm vững phương pháp Áp dụng định lí Cơ si giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ hàm số,biểu thức người giáo viên phải khơng ngừng tìm tịi nghiên... IV Áp dụng thực tế giảng dạy Phương pháp khai thác triển khai để dạy học sinh lớp 10A2 10A4 năm học 2015-2016 bước đầu đạt kết tốt Các em học sinh sau học vận dụng giải tốn tìm giá trị lớn nhất ,giá. .. x∈D Bài 7 .Áp dụng BĐT Cơ si tìm giá trị lớn biểu thức P = a4 + 1 HD:Ta có = a + ≥ ⇒ P ≤ a a Bài Cho ba số thực a, b, c ≥ thỏa a2 a4 + ,a ≠ 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c Tìm giá trị lớn biểu thức M =