Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức trong chương trình toán 10 SKKN THPT

Ngày nay, bất đẳng thức(BĐT) được đề cập đến nhiều hơn trong chương trình do tầm quan trọng và cách giải độc đáo của chúng. BĐT là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học mơn: TỐN Phương pháp giáo dục   Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011-2012 -1-  Hiện vật khác SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐỖ TẤT THẮNG Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 149/7 Khu phố phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai Điện thoại: 0918.306.113 E-mail: thangtatdo@yahoo.com Chức vụ: Gíao viên Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THPT Ngơ Quyền II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Dạy học Tốn - Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: -2- ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Ngày nay, bất đẳng thức(BĐT) đề cập đến nhiều chương trình tầm quan trọng cách giải độc đáo chúng BĐT kiến thức khơng thể thiếu kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi BĐT áp dụng nhiều trong sống nói chung tốn học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, toán cực trị - Đa số học sinh gặp BĐT thường hay lúng túng, nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải nào? Với vai trị giáo viên dạy mơn Tốn, tơi muốn học sinh lớp 10 tiếp cận số đề thi cao đẳng, đại học, BĐT hay từ kiến thức bình thường, dễ hiểu - Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN chứng minh BĐT phương pháp đơn giản, dễ hiểu so với đa số phương pháp khác, phù hợp với học sinh lớp 10 II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế dạy học từ ghi nhận nhận thấy chương trình lớp 10 phần BĐT, số tập sách giáo khoa hạn chế thời lượng dành cho Do đó, tơi mạnh dạn làm SKKN với mong muốn tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn gặp số BĐT có dạng III NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức -3- Bất đẳng thức phụ: Cho số dương a, b ta có: 11 1 1 1 ≤  + ÷  Hay  + ÷ ≥  a+b 4a b  a b a +b Đẳng thức xẩy a = b Khi gặp số toán BĐT mà ta áp dụng BĐT phụ, lời giải trở nên ngắn gọn, dễ hiểu so với cách làm khác Để khách quan xét tốn sau: Ví dụ 1.Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 + ≥ 16 ac bc Chứng minh rằng: Lời giải 1: (Không dùng BĐT phụ) Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski ta     ( ac ) + ( bc ) ÷  ac ÷ +     1 4 ⇔ + ≥ = ac bc ac + bc (a + b)c    2 Ta chứng minh 2   ÷   ÷ ÷≥   bc  ÷    = (1 − c)c ≥ 16 (1 − c)c ⇔ ≥ 16(1 − c)c ⇔ 4(2c − 1) ≥ (đpcm) Vậy 1 + ≥ 16 ac bc -4-   ( ac )  ac ÷ +   ( bc )    ÷÷ =  bc  ÷   a = b = Đẳng thức xẩy ⇔  c =  Lời giải 2: (Áp dụng BĐT phụ) Áp dụng BĐT  ta có: 1 11 1 4 + =  + ÷≥ ≥ = 16 ac bc c  a b  c(a + b)  c + a + b 2  ÷   Đẳng thức xảy ⇔ c = 1 ,a=b= Bảng so sánh ưu, nhược điểm Lời giải Lời giải 2: Kiến thức sử dụng BĐT Bunnhiacốpski LG1 Biến đổi tương đương Hàng đẳng thức đáng nhớ LG2 BĐT phụ Qua bảng so sánh ta thấy : Phạm vi kiến thức Khó khăn hay thuận lợi HS 10 Ngồi chương trình SGK phổ thơng Lớp 10 Khó khăn Lớp Lớp 8,9,10 Thuận lợi + Áp dụng LG1 phải dùng tới kiến thức ngồi chương trình(BĐT Bunnhiacốpski), lời giải dài dịng, gây khó hiểu đối với HS lớp 10 + Áp dụng LG2 dùng BĐT phụ chương trình, lời giải ngắn gọn, dễ hiểu đối với HS lớp 10 Từ BĐT phụ chứng minh tốn BĐT khó Sau số ví dụ minh họa -5- Ví dụ Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) a+b b+c c+a a b c Lời giải: Áp dụng BĐT ta có 11 1 ≤  + ÷ (1) a+b 4a b 11 1 ≤  + ÷ (2) b+c 4b c  11 1 ≤  + ÷ (3) c+a 4c a  Cộng (1)+(2)+(3) ta 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (đpcm) a+b b+c c+a a b c Đẳng thức xẩy ⇔ a = b = c Ví dụ 3.Với a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a b c Lời giải: Áp dụng BĐT ta có 1 1 1 1 1 1    = ≤ ( + ) ≤  ( + ) + ( + ) =  + + ÷ a + 2b + c ( a + b ) + ( b + c ) a + b b + c  a b b c  16  a b c  ⇒ 1 1 1 ≤  + + ÷ (1) a + 2b + c 16  a b c  tương tự: 1 1 2 ≤  + + ÷ (2) b + 2c + a 16  a b c  1 2 1 ≤  + + ÷(3) c + 2a + b 16  a b c  -6- Cộng (1)+(2)+(3) ta được: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (đpcm) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a b c Đẳng thức xẩy a=b=c Nhận xét: + Trong Ví dụ cho 1 + + = đổi biến a,b,c thành x,y,z tốn a b c trở thành đề thi đại học năm 2005 khối A Cho x, y , z số dương thỏa mãn 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z + Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ ta có: 1 1   ( + + ) ≥ 2 + + ÷ a b c  a+b b+c c+a  Nếu áp dụng liên tiếp BĐT 2n lần -7- 1 + + = Chứng minh rằng: x y z 1 1   ( + + ) ≥ 21  + + ÷ a b c  a +b b+c c +a  1   ≥ 22  + + ÷  a + 2b + c a + b + 2c 2a + b + c  1   ≥ 23  + + ÷  2a + 3b + 3c 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c  1   ≥ 24  + + ÷  5a + 5b + 6c 6a + 5b + 5c 5a + 6b + 5c  1   ≥ 25  + + ÷  11a + 10b + 11c 11a + 11b + 10c 10a + 11b + 11c  1   ≥ 26  + + ÷  22a + 21b + 21c 21a + 22b + 21c 21a + 21b + 22c  ≥    ÷ 1 ≥ 22 n  n + 2n + 2n ÷ 2n 2n 2n 2n 2n 2n  + a + −1 b + −1 c −1 a + + b + −1 c −1 a + −1 b + + c ÷  ÷ 3 3 3 3   Từ quan sát tổng quát hóa ta có BĐT mở rộng : Cho ba số dương a, b, c , ∀n ∈ N *    ÷ 1 2n 1 + + ≥  2n + 2n + 2n ÷ + 22 n − 22 n − − 2 n + 2 n − − 2 n − 2 n + ÷ a b c  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c÷  3 3 3 3   Có thể chứng minh BĐT BĐT VD2 kết hợp với phương pháp chứng minh qui nạp + Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ ta có: 1 1 1 + + ≤ ( + + ) a+b b+c c+a a b c Nếu áp dụng liên tiếp BĐT 2n+1 lần -8- 1 1   ( + + ) ≥ 21  + + ÷ a b c a+b b+c c+a 1   ≥ 22  + + ÷  a + 2b + c a + b + 2c 2a + b + c  1   ≥ 23  + + ÷  2a + 3b + 3c 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c  1   ≥ 24  + + ÷ 5a + 5b + 6c 6a + 5b + 5c 5a + 6b + 5c   1   ≥ 25  + + ÷ 11a + 10b + 11c 11a + 11b + 10c 10a + 11b + 11c   ≥    ÷ 1 ≥ 22 n +1  n +1 + n+1 + n +1 ÷ n +1 n +1 n +1 n +1 n +1 n +1  − a + +1b + +1c +1 a + − b + +1c +1 a + +1b + − c ÷  ÷ 3 3 3 3   BĐT mở rộng 2: Cho ba số dương a, b, c , ∀n ∈ N * , ta    ÷ 1 2n+ 1 1 + + ≥  2n+ + 2n + + 2n + ÷ − 22 n + + 22 n + + + 2 n + − 22 n + + + 2 n + + 2 n + − ÷ a b c  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c÷  3 3 3 3   Từ BĐT mở rộng ta nhận thấy, áp dụng BĐT VD2 nhiều lần vế phải nhỏ dần Bằng cách áp dụng BĐT VD2 phương pháp qui nạp thu BĐT mở rộng 3, theo hay sau BĐT mở rộng 3a: -9- Cho ba số dương a, b, c , ∀n, k ∈ N * : k ≤ n , ta có:    ÷ 1 22 k  k + 2k + 2k ÷ + 2 k − 2 k − − 2 k + 22 k − − 2 k − 2 k + ÷  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c÷  3 3 3 3      ÷ 1 2n ≥  2n + 2n + 2n ÷ 2n 2n 2n 2n 2n 2n  + a + − 1b + − 1c − 1a + + b + − c − a + − 1b + + c ÷  ÷ 3 3 3 3   BĐT mở rộng 3b: Cho ba số dương a, b, c , ∀n, k ∈ N * : k ≤ n , ta có:    ÷ 1 22 k +  k + + 2k +1 + 2k+1 ÷ 2k + 2k + 2k + 2k +1 2k +1 2k +1  − a + + 1b + + 1c + a + − b + + 1c + 1a + + 1b + − c ÷  ÷ 3 3 3 3      ÷ 1 ≥ 22 n +  n + + 2n + + 2n + ÷ 2n+ 2n + 2n + 2n + 2n + n+  − a + + 1b + + 1c + a + − b + + 1c + a + + 1b + − c ÷  ÷ 3 3 3 3   BĐT mở rộng 3c: - 10 - * Cho ba số dương a, b, c , ∀n, k ∈ N : k ≤ n , ta có:    ÷ 1 22 k  k + 2k + 2k ÷ 2k 2k 2k 2k 2k 2k  + a + − 1b + − 1c − 1a + + b + − 1c − a + − 1b + + c ÷  ÷ 3 3 3 3      ÷ 1 ≥ 22 n +  n + + 2n+ + 2n+ ÷ 2n + 2n+ n+ n+ n+ 2n+  − a + + 1b + + 1c + a + − b + + c + a + + 1b + − c ÷  ÷ 3 3 3 3   BĐT mở rộng 3d: * Cho ba số dương a, b, c , ∀n, k ∈ N : k < n , ta có:    ÷ 1 22 k +  k + + 2k + + 2k + ÷ 2k + 2k + 2k + 2k + 2k + 2k +  − a + + 1b + + 1c + 1a + − b + + 1c + 1a + + 1b + − c ÷  ÷ 3 3 3 3      ÷ 1 ≥ 22 n  n + 2n + 2n ÷ 2n 2n 2n 2n 2n 2n  + a + − 1b + − 1c − 1a + + b + − 1c − a + − 1b + + c ÷  ÷ 3 3 3 3   Tất BĐT mở rộng 1,2,3a,3b,3c,3d chứng minh BĐT VD2 kết hợp với phương pháp qui nạp Ví dụ 4.Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 + + ≤ + + a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a + 3b b + 3c c + 3a Lời giải: - 11 - Vận dụng BĐT  ta có: 1 + ≥ = a + 3b b + 2c + a (a + 3b) + (b + 2c + a) a + 2b + c 1 + ≥ = b + 3c c + 2a + b (b + 3c) + (c + 2a + b) b + 2c + a 1 + ≥ = c + 3a a + 2b + c (c + 3a ) + (a + 2b + c) c + 2a + b Cộng vế theo vế BĐT rút gọn ta có BĐT cần phải chứng minh a + 3b = b + 2c + a  Đẳng thức xảy khi: b + 3c = c + 2a + b ⇔ a = b = c c + 3a = a + 2b + c  Sau số tập tương tự để luyện tập: Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ( p nửa chu vi) Chứng minh rằng:  1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p−a p−b p−c a b c (Đề HK2 Khối 10A Trường Ngô Quyền 2007-2008) Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≤ + + 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b 4a 4b 4c Bài Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa abc = ab + bc + ca thì: 1 17 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 96 Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1   + + ≥ 4 + + ÷ 2a + 3(b + c) 2b + 3(c + a) 2c + 3( a + b)  10 a + 11b + 11c 11a + 10b + 11c 11a + 11b + 10c  - 12 - Bài Cho ba số dương a, b, c , ∀n ∈ N * cmr   ÷ 1 2n  1 + + ≥  2n + 2n + 2n ÷ + 22 n − 22 n − − 2 n + 2 n − − 2 n − 2 n + ÷ a b c  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c÷  3 3 3 3   Bài Cho ba số dương a, b, c , ∀n ∈ N * cmr    ÷ 1 2n+ 1 1 + + ≥  2n+ + n+ + n+1 ÷ − 22 n + + 2 n + + + 22 n + − 2 n + + + 2 n + + 2 n + − ÷ a b c  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c÷  3 3 3 3   1 + a b Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: + 1 + b c + 1 + c a ≤ a+b+c ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a Bài Cho x, y, z > thoả x + y + z = 12 Chứng minh: xy 8yz xz + + ≤ x + y y + 4z 4z + x Bài 10 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a+c b+d c+a d +b + + + ≥4 a+b b+c c+d d +a B) Sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức Trong nhiều trường hợp áp dụng BĐT phụ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đem lại hiệu cao, lời giải ngắn gọn, xúc tích, phù hợp với học sinh lớp 10 THCS - 13 - Ví dụ Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y≤1 Tìm giá 1 trị nhỏ biểu thức A = x + xy (Đề Cao Đẳng 2010) Lời giải 1:(Không dùng BĐT phụ) 3x + y ≤  y ≤ − x 1 1   ⇒ Ta có  x > Do A = x + xy ≥ x + x(1 − 3x) y > 0 < x <   1 1 + ≥ + = + Áp dụng BĐT Côsi số x x(1 − x) x x + − x x − x Xét hàm số f ( x ) = + , x ∈ (0; ) x 1− 2x Ta có f '( x) = − x + ( 1− 2x) = 4x −1 x2 ( − x ) Lập BBT x −∞ f’(x) +∞ - + f(x) Ta có Min f(x)=8 x = 1 Vậy Min A=8 x = y = 4 Lời giải 2:(Áp dụng BĐT phụ) 1 4 + ≥ ≥ ≥ ≥8 Áp dụng BĐT  ta có x xy x + xy x + x + y 3x + y - 14 - +∞ Vậy Min A= x = y = Bảng so sánh ưu, nhược điểm Lời giải Lời giải Kiến thức sử dụng Phạm vi kiến thức Khó khăn hay thuận lợi HS 10 BĐT Côsi số LG1 LG2 Lớp 10 Ngồi chương trình Điểm rơi BĐT Cơsi Địi hỏi khả phân Khó khăn Ứng dụng đạo hàm BĐT phụ tích tổng hợp HS Lớp 12 Lớp 8,9,10 Thuận lợi Qua bảng so sánh ta thấy toán trên: + Áp dụng LG1 phải dùng tới kiến thức lớp 12(Ứng dụng đạo hàm) kiến thức ngồi chương trình(Điểm rơi BĐT Cơ si địi hỏi khả phân tích tổng hợp cao học sinh dự đoán điểm rơi), dài dịng Do gây khó hiểu HS lớp 10 + Áp dụng LG2 dùng BĐT phụ chương trình, lời giải ngắn gọn Do đó, dễ hiểu HS lớp 10 Ví dụ Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + > 0, z + > Hãy tìm giá trị lớn Lời giải: a = x + >  x = a −   Đặt b = y + > ⇒  y = b − c = z + >  z = c −   - 15 - Q= x y z + + x +1 y +1 z + Ta có: a + b + c = Q = a −1 b −1 c − 1 4 + + = 3− + + ÷ a b c a b c Theo bất đẳng thức  ta có: 1 4 16 ( + )+ ≥ + ≥ = a b c a +b c a +b+c Vậy MaxQ = ⇒ Q ≤ 3− = 3  x = y =   z = −1  Sau số tập tương tự để luyện tập: Bài Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ của: A= + + xy x + y xy Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= x −1 − y y − z z − x + + + t + y y+ z z + x x+t Bài Cho a, b, c > thỏa: a+b+c= Tìm GTLN biểu thức: C = ab bc ca + + a+b b+c c+a Bài Cho x, y, z > thoả x + y + 4z = 12 Tìm GTLN biểu thức: D= xy 8yz xz + + x + y y + 4z 4z + x E= a+c b+d c+a d +b + + + a+b b+c c+d d +a Bài Cho a, b, c, d > Tìm GTLN biểu thức: IV KẾT QUẢ - 16 - Khi áp dụng chuyên đề cho HS 10 tơi thấy HS thích thú, đồng thời em đỡ lúng túng gặp dạng tập V BÀI HỌC KINH NGHIỆM Nếu có thêm thời gian mở rộng tơi nghĩ đề tài trở nên có nhiều tác dụng hỗ trợ thiết thực việc rèn luyện phát triển tư góp phần giải nhiều dạng tốn q trình dạy học sinh nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nói riêng VI KẾT LUẬN - Sử dụng BĐT phụ, đổi biến phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu, hiệu cho lớp toán rộng BĐT, phù hợp với học sinh lớp 10 thi đại học - Phương pháp giải cho HS cách giải khác tư duy, sáng tạo Tạo động lực cho HS đam mê Toán - Tuy nhiên, dạng phương pháp lựa chọn chưa hẳn tối ưu đầy đủ, chắn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt Rất mong có đóng góp q đồng nghiệp VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số trang web như: www.maths.vn , www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre Nguyễn Minh Nhiên, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức có chứa biến mẫu, trang số 393 tháng năm 2010, Báo Toán học với tuổi trẻ VIII LỜI KẾT Để hoàn tất chuyên đề Ngoài nỗ lực thân cịn phải kể đến góp ý thầy Tổ Tốn Trường THPT Ngơ Quyền Đặc biệt, cô Lê Thanh Hà tổ trưởng Thầy Lê Văn Đắc Mai tổ phó nhiệt tình giúp đỡ, tư vấn để tơi hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm NGƯỜI THỰC HIỆN - 17 - ĐỖ TẤT THẮNG - 18 - SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đơn vị Độc lập - Tự - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ tên tác giả: Đơn vị (Tổ): Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học môn:  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  Tính - Có giải pháp hồn tồn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Hồn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng - 19 - - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Đạt  THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ - 20 - ... Bài 10 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a+c b+d c+a d +b + + + ≥4 a+b b+c c+d d +a B) Sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức Trong nhiều trường hợp áp dụng BĐT phụ để tìm giá trị lớn nhất, . .. nghiệm có năm gần đây: -2- ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Ngày nay, bất đẳng thức( BĐT) đề cập đến nhiều chương trình tầm quan trọng cách... mạnh dạn làm SKKN với mong muốn tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn gặp số BĐT có dạng III NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức -3- Bất đẳng thức phụ: Cho số