Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông

Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học phổ thông Bùi Thị Thanh Hoa Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS.. Tìm

Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học phổ thông

Bùi Thị Thanh Hoa

Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)

Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: TS Phạm Văn Quốc

Năm bảo vệ: 2012

Abstract Hệ thống hoá và làm rõ hơn lý luận về phương pháp dạy học tự học Các

biểu hiện năng lực tự học, kỹ năng tự học Điều tra, tìm hiểu thực trạng tự học của

200 học sinh ở các lớp tại 2 trường THPT của Hải Phòng Tìm các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông Thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết

quả thực nghiệm

Keywords Toán học; Kỹ năng tự học

Content

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cuộc sống luôn đòi hỏi con người không ngừng mở rộng sự hiểu biết Để người học

có thể cập nhật được tri thức của nhân loại, hoạt động đạt hiệu quả và tiếp tục học ngay cả khi không còn ngồi trên ghế nhà trường thì cần phải được rèn luyện năng lực tự học thường xuyên

Muốn vậy, quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học, phải biến quá trình dạy học thành quá trình tự học Người GV phải đổi mới phương pháp dạy học, rèn luyện năng lực tự học cho HS, để rút ngắn thời gian học tập trên lớp mà vẫn đạt hiệu quả cao

Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức là một nội dung rất hay, có khả năng rèn luyện rất tốt tư duy cho học sinh, có nhiều ứng dụng trong giải toán Tuy nhiên, số lượng tiết học trên lớp còn ít, nhiều học sinh chưa biết cách tự học hiệu quả Vì vậy, tôi chọn đề tài

nghiên cứu “Rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông”

2 Lịch sử nghiên cứu

Chủ tịch Hồ Chí Minh là người nêu cao tấm gương sáng ngời về tinh thần và phương

pháp tự học Bàn về việc học, Bác Hồ đã viết: “Cách học tập, phải lấy tự học làm cốt, phải biết tự động học tập ”

Những năm tám mươi, nhóm nghiên cứu của GS Nguyễn Cảnh Toàn cũng đã đưa ra phương pháp dạy – tự học

Gần đây, có nhiều công trình của các nhà khoa học, nhiều luận văn thạc sĩ cũng đã nghiên cứu, khai thác thêm và vận dụng vào thực tế những biện pháp tổ chức hoạt động tự học cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

3 Mục đích nghiên cứu

Tìm các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Học sinh và giáo viên trường THPT Ngô Quyền, THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông

5 Câu hỏi nghiên cứu

Các biện pháp nào rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông?

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu giáo viên biết gợi động cơ học tập cho học sinh; hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu, tổng kết kiến thức; xây dựng hệ thống các bài tập theo chủ đề cho học sinh thì có thể rèn luyện năng lực tự học cho học sinh

7 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hoá về phương pháp dạy học tự học, kỹ năng tự học, năng lực tự học

- Tìm hiểu thực trạng tự học của học sinh ở 2 trường THPT của Hải Phòng - Tìm các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông

- Thực nghiệm sư phạm và đánh giá kết quả thực nghiệm

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Nghiên cứu lí luận

8.2 Điều tra, quan sát

8.3 Thực nghiệm sư phạm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Các biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình toán trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm tự học, năng lực tự học

1.1.1 Khái niệm tự học

Có nhiều quan niệm về tự học:

- Theo Hồ Chủ Tịch, tự học là học một cách tự động

- Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn: “Tự học là tự mình động não, suy nghĩ…để chiếm lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình”

- Theo nghĩa từ điển: “Tự học là quá trình chủ thể nhận thức tự mình hoạt động lĩnh hội tri thức và rèn luyện kĩ năng thực hành, không có sự hướng dẫn trực tiếp của giáo viên và

sự quản lí trực tiếp của cơ sở giáo dục đào tạo”

1.1.2 Ý nghĩa của tự học

Tự học là cách hữu hiệu để chuẩn bị cho mỗi người có năng lực học tập suốt đời Đồng thời, phương pháp tự học là cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học

1.1.3 Mối quan hệ giữa dạy học và tự học

Giữa dạy học và tự học tồn tại mối quan hệ biện chứng Thực chất đó là mối quan hệ giữa ngoại lực và nội lực Nội lực - năng lực tự học là yếu tố quyết định, còn ngoại lực - tác động dạy của thầy, của môi trường xã hội sẽ thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển đó Bởi vậy, muốn bản thân người học phát triển cao nhất thì tác động của người thầy phải “cộng hưởng” với năng lực tự học của trò

1.1.4 Những kỹ năng cần thiết của người tự học môn Toán

a) Đào sâu suy nghĩ, lật đi lật lại vấn đề, tìm ví dụ và phản ví dụ, khai thác bài toán, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán, Chẳng hạn, tập trung thời gian vào một

số bài lí thú, suy nghĩ về đường lối giải bài toán đó,

b) Tự mình cố gắng hết sức để giải các bài toán, nếu bài toán có nhiều hướng giải cần suy nghĩ để tìm lời giải hay, mới, độc đáo Đồng thời, học xong một chủ đề hay một chương nào đó cần phải tự tổng kết các vấn đề Chẳng hạn: các câu hỏi phụ của bài toán khảo sát, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức,

c) Biết ghi chép sau khi đọc một tài liệu, một quyển sách, một vấn đề

1.1.5 Các biểu hiện năng lực tự học của học sinh

1.1.5.1 Năng lực nhận biết, tìm tòi và phát hiện vấn đề

1.1.5.2 Năng lực giải quyết vấn đề

1.1.5.3 Năng lực tư duy quyết định đúng

1.1.5.4 Năng lực vận dụng phương pháp tư duy biện chứng, tư duy logic vào việc phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề và quyết định đúng, năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn 1.1.5.5 Năng lực đánh giá và tự đánh giá

1.2 Một số hình thức tự học

Có thể nêu lên ba hình thức tự học cơ bản sau đây:

Một là, người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tự suy nghĩ, tự xoay sở giải quyết vấn đề,

tự rút ra kinh nghiệm và không cần có sự điều khiển của giáo viên

Hai là, học sinh tự sắp xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự đào sâu những

tri thức và tự hình thành những kỹ năng, kỹ xảo theo yêu cầu của giáo viên

Ba là, hoạt động tự học của HS diễn ra dưới sự điều khiển trực tiếp của GV

1.3 Thực trạng dạy học tự học hiện nay

Học sinh bị lệ thuộc vào giáo viên, chỉ biết giải quyết các dạng bài mà giáo viên giao cho, không biết tổng kết kiến thức đã học theo quan điểm của riêng mình

Đại đa số còn lại các em không có khả năng tự học; cách học tập còn thụ động, thiên

về ghi nhớ, ít chịu khó suy nghĩ, không có khả năng liên kết những kiến thức toán học thành

hệ thống

1.4 Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh

- Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học của học sinh

- Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu, tự tổng kết những tri thức, kĩ năng đã học

- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Nội dung bất đẳng thức ở trường THPT

2.1.1 Khái niệm BĐT

2.1.2 Các tính chất của BĐT

2.1.3 Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông

2.1.3.1 Các BĐT gốc

x12m + x22m + …+ xn2m  0 (*) với  x1, x2,…, xn  R;

m, n  N* Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x1 = x2 =….= xn = 0

2.1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy và các hệ quả

Với a1, a2,…, an là các số thực không âm, ta có: n

n n

a a a n

a a a

2 1 2

1    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a1 =….= an

2.1.3.3 Bất đẳng thức BunhiaCôpxki và các hệ quả

* Bất đẳng thức BunhiaCôpxki đối với 2n số thực

Cho hai dãy số a1, a2, …, an và b1, b2,…, bn ta có

(a1b1+a2b2+ …+ anbn)2 ≤ (a12

+ a22 + …+a2n)(b12 +b22+…+b2

n) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1:a2: :a n b b1: 2: :b n

 Hệ quả: Với x1, x2, , xn là các số dương, ta có:

  

2 2

2 2

1 2

1 2

n n

a

a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1:a2: :a nx1:x2: :x n

2.1.3.4 Một số BĐT hình học

 Cho hai véc tơ u , v

ta luôn có: u v   u + v Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v

  cùng hướng

 Cho hai véc tơ u , v

ta luôn có: uv  u v Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v

  cùng phương

2.1.3.5 Một số BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối

0;  ;  

x x x x x

    

x a a x a (với a > 0)

 



   



x a

x a

x a (với a > 0)

    

a b a b a b

2.2 Vị trí và vai trò của bài tập chứng minh bất đẳng thức

Bài tập chứng minh BĐT có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập

có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

2.3 Một số biện pháp rèn luyện năng lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức

2.3.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học của học sinh

Thứ nhất, GV cần tác động đến tình cảm của học sinh GV bồi dưỡng cho học sinh ý

chí vươn lên trong học tập Theo GS TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ …rồi cả động cơ, tình cảm, cả nhân sinh quan, thế giới quan (như trung thực, khách quan, có chí tiến thủ, không ngại khó ngại khổ, lòng say mê khoa học, ý muốn thi đỗ, biết biến khó khăn thành thuận lợi,…) để chiếm lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của mình”

Thứ hai, gợi động cơ xuất phát từ nội bộ toán học và thực tiễn GV hướng dẫn cho HS

thấy ý nghĩa của môn toán Với mỗi phần toán học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh các ứng dụng của nội dung đó trong các nội dung toán học khác hoặc ứng dụng trong thực tiễn

Thứ ba, yêu cầu của GV phải vừa sức với từng đối tượng học sinh

2.3.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu

2.3.2.1 Hướng dẫn HS sử dụng sách giáo khoa trong giờ học bất đẳng thức

Để rèn luyện phương pháp tự đọc cho học sinh, cần có những hoạt động sau:

- Xác định rõ mục tiêu: Đọc một nội dung nào đó để nắm được những vấn đề gì? Trả lời được những câu hỏi nào? Làm được việc gì?

- Hoạt động làm mẫu: Giáo viên có thể hướng dẫn tại lớp cách đọc, cách ghi chép một chương, một bài nào đó trong sách giáo khoa

- Rèn luyện các kỹ năng: đào sâu suy nghĩ, tự tổng kết; biết ghi chép sau khi đọc,… Rèn luyện năng lực tự đọc thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập sẽ giúp học sinh nhận biết và lựa chọn được những kiến thức cần ghi nhớ, đồng thời các em cũng đánh giá được kiến thức trọng tâm của từng bài học

Chẳng hạn, khi dạy bài “Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức” giáo viên có

thể yêu cầu học sinh đọc nội dung phần đầu rồi ghi những nội dung mà mình cho là cần thiết

ra giấy Sau đó, giáo viên phát cho mỗi học sinh hệ thống câu hỏi và bài tập dưới đây và yêu cầu học sinh trả lời và giải các bài tập đó bằng những kiến thức mà các em đã ghi lại:

Câu 1: Hãy nêu các tính chất của bất đẳng thức? Phát biểu thành lời các tính chất?

Câu 2: Để chứng minh bất đẳng thức x2 1 x 1

  

có bạn đã làm như sau:

 

2

2

               

Hãy nhận xét tính đúng, sai của lời giải trên?

Câu 3: Hãy chứng minh rằng với mọi số thực x, 4x2 2 2x 1  

Câu 4: Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì 1 1

a b Câu 5: Không dùng bảng số hay máy tính, hãy so sánh:

2010 2015 và 2012 2013

2.3.2.2 Hướng dẫn HS chọn tài liệu tham khảo

Phải biết chọn sách để đọc

Sau khi đã chọn sách, chúng ta cần có thêm kỹ năng và phương pháp đọc sách

Sau khi đọc sách, HS viết kinh nghiệm theo từng mức độ:

2.3.2.4 Hướng dẫn học sinh tổng kết những tri thức đã học

GV có thể phát phiếu học tập cho HS tự học ở nhà Nội dung phiếu học tập bao gồm các yêu cầu cụ thể, những lý thuyết cần hệ thống, các câu hỏi, các bài tập với phương pháp giải cần tổng hợp Học sinh khắc sâu được kiến thức đã học, lập được mối liên hệ hữu cơ các kiến thức toán học với nhau

2.3.3 Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm rèn luyện năng lực tự học cho học sinh

2.3.3.1 Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề

Chủ đề 1: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Việc giải quyết các bài tập trong hệ thống này một mặt giúp học sinh nắm được cách

sử dụng bất đẳng thức Cauchy, mặt khác cũng giúp học sinh củng cố các tính chất của bất đẳng thức Các em được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, so sánh, tổng hợp, Đồng thời, thông qua việc giải quyết từng bài tập trong hệ thống, học sinh cần phải linh hoạt,

điều chỉnh cách thêm bớt hằng số, cách nhóm các số hạng… sao cho đẳng thức xảy ra Do đó góp phần bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề, năng lực vận dụng phương pháp tư duy biện

chứng, tư duy logic

Phương pháp 1: Thêm bớt hằng số khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Ví dụ: Cho a, b, c là những số dương, thỏa mãn a b c 3

4

   Chứng minh rằng:

3a  3b  3 b 3c   3c 3a   3

Phân tích: Nhận xét giả thiết a, b, c dương nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy Có căn bậc 3 nên sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

4, khi đó a+3b=1 nên ta sử dụng hằng số 1

Các bài tập tương tự Bài 1: Cho a, b, c là những số dương, thỏa mãn a b c 3   Chứng minh rằng:

5a3b 5b 3c  5c 3a 6

Bài 2: Cho x2; y3;z 1 Chứng minh:

1

Bài 3: Cho a, b, c là những số dương, thỏa mãn a b c 3

4

   Chứng minh rằng:

2

Bài 4: Cho   1 x 1 Chứng minh 41 x 2 41 x  41 x 3

Bài 5: Cho ba số dương x, y, z và x+y+z=1 Chứng minh:

3

Bài 6: Với a, b, c là các số dương, 2a+2b+ab=12, chứng minh rằng 3 3

16

a b 

Bài 7: Với a, b, c là các số dương, a+4b+27c=90, chứng minh rằng 2 3

32

a b c 

Bài 8: Cho a, b, c0 và a+b+c = 3 Chứng minh rằng: a +b +c5 5 5 a +b +c3 3 3

Bài 9: Cho a, b, c dương, chứng minh:

3 3 3

      

     

     

Bài 10: Cho a, b, c dương, chứng minh:

3 3 3

2 2 2

      

     

Tổng kết về phương pháp:

Thông qua việc giải các bài tập trên đây học sinh có thể nhận thấy rằng:

- Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giả thiết cho a, b, c là những số không âm

- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiêu số tùy thuộc vào dấu căn trong bất đẳng thức cần chứng minh

- Để sử dụng phương pháp thêm bớt hằng số ta cần chú ý đẳng thức xảy ra khi nào để chọn hằng số cho phù hợp

Phương pháp 2: Thêm bớt biến khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cũng như phương pháp 1, việc thêm bớt biến nào, bậc bao nhiêu, cần khéo léo, sao cho đẳng thức xảy ra

Ví dụ: Với a, b, c là các số dương, abc=1, chứng minh rằng

1 41   1 41   1 41 3

Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Ta xét từng biểu thức Với

3

4

1 1

a

b c cần thêm bớt biểu thức (1+b) và (1+c) để khử

mẫu Tuy nhiên, để đảm bảo đẳng thức xảy ra, ta cần khéo léo chọn biểu thức cho cân bằng giá trị Khi a=b=c=1 thì

3

4

1

a

1 

1 2





b

, 1 

1 2





c

, vì vậy ta chọn thêm bớt

1 

2

b

, 1 

2

c

Các bài tập tương tự Bài 1: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng 5 5 5 3 3 3

2 2 2

b c a   

Bài 2: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

4

 

Bài 3: Cho a, b, c là các số dương, a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

Bài 4: Cho x>0, y>0, z>0 và xyz=1 Chứng minh x2 y2 z2 3

1 y1 z 1 x 2

Tổng kết về phương pháp:

Thông qua việc giải các bài tập trên đây học sinh có thể nhận thấy rằng:

- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi giả thiết cho a, b, c là những số không âm

- Chọn biến để thêm bớt cần căn cứ vào những yếu tố: Bậc của biến, giá trị của biểu thức khi đẳng thức xảy ra

Phương pháp 3: Nhóm các số hạng khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Khi chứng minh bất đẳng thức, có khi ta cần tách, nhóm các số hạng, chứng minh nhiều bất đẳng thức phụ Để dấu bằng trong bất đẳng thức chính xảy ra, ta cần đồng thời có dấu bằng trong các bất đẳng thức phụ Việc nhóm các số hạng trong biểu thức của bất đẳng thức ban đầu phải đảm bảo được tiêu chí này

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2005)

Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có 12 15 20 3 4 5

        

     

     

Phân tích: Nếu áp dụng bđt Cauchy cho ba số 12 15 20 3 60

      

     

     

x , chưa được đpcm Ta thử nhóm hai số theo vòng tròn, áp dụng bđt Cauchy cho hai số không âm

,

   

   

   

ta có

   

       

         

   

x

Viết tương tự, cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta có đpcm

Các bài tập tương tự Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2005)

Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

3 3

x y  y z   z x 

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối A năm 2007)

Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

2

P

y y z z z z x x x x y y

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2007)

Cho x, y, z dương Chứng minh rằng

         

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2010)

Cho x, y dương thỏa mãn 3x+y≤1 Chứng minh rằng P 1 1 8

x xy

Bài 5: Cho x, y, z là các số không âm Chứng minh rằng

3x2y4z xy3 yz5 zx

Bài 6: Cho ba số dương x, y, z Chứng minh

S

Bài 7: Cho x > 0, y > 0 và 2 2

x y 1 Chứng minh

         

Bài 8: Cho a > 0, b > 0 và a + b  4 Chứng minh

2

Bài 9: Cho a > b > 0 Chứng minh

4

Bài 10: Cho x > 0, y > 0 và x+y=1 Chứng minh 31 3  1  4 2 3



x y xy

Bài 11: Cho x > 0, y > 0 và x+y=1 Chứng minh 2

Bài 12: Cho ba số không âm x, y, z và 1 1 1 2

1 x1 y1 z 

1 xyz 8



Bài 13: Cho ba số dương a, b, c và 2 2 2

a b c 1 Chứng minh

Bài 14: Cho x, y, z là các số dương Chứng minh

Tổng kết phương pháp:

Thông qua giải các bài tập trên, HS nhận xét :

- Tùy theo bậc của ẩn để lực chọn chiều bất đẳng thức phù hợp

- Việc tách nhóm, cần đảm bảo các đẳng thức phụ cũng xảy ra đồng thời

Chủ đề 2: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki

Để chứng minh bất đẳng thức, trong nhiều bài toán ta cần sử dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki Tuy nhiên, sử dụng trực tiếp bđt Bunhia Côpxki hay hệ quả của nó lại tùy thuộc vào đặc điểm của bất đẳng thức Từ đó, rèn luyện được năng lực giải quyết vấn đề, năng lực đánh giá, năng lực tư duy quyết định đúng cho học sinh

Ví dụ 1: Cho x, y thỏa mãn 2 2

1

x y , chứng minh rằng 3x4y5

Phân tích: Để sử dụng giả thiết 2 2

1

x y , từ biểu thức 3x4y ta nghĩ đến bất đẳng thức

Bunhia Côpxki để xuất hiện bình phương

Ví dụ 2: Cho a, b dương thỏa mãn a+b = 1, chứng minh rằng: 2

Phân tích: Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức có chứa ẩn ở mẫu Giả thiết a, b dương thỏa mãn a+b = 1

Khi đó, xuất hiện biểu thức dạng 1  1

x y Liên hệ với hệ quả bất đẳng thức Bunhia Côpxki

 



x y x y (với x>0, y>0)

Các bài tập tương tự Bài 1: Cho x, y là hai số thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện x2

+ y2 = 1 Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức Ax y 1 y x 1

Bài 2: Cho x, y là hai số thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện 2  2   

x 4y 2x 8y 4 Chứng minh rằng  20 3x 8y 10  

Bài 3: Cho x>0, y>0 và x+y = 5

4 Chứng minh

5 4

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối A năm 2005)

Cho x, y, z dương thỏa mãn 1 1 1 4

x  y z CMR

1 2x y z  x 2y z x y 2z 

Bài 5: Cho x>0, y>0, z>0 và x+y+z=1 Chứng minh 3

Bài 6: Cho x>0, y>0 và x+y≤1 Chứng minh 2 2 1 5

Bài 7: Cho x, y z là các số dương, 3

2

x  y z Chứng minh rằng:

Bài 8: Cho các số dương x, y, z Chứng minh x y z 1

y 2z z 2x  x 2y

Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh

6 2

Bài 10: Cho a, b, c dương thỏa mãn a2

+b2+c2 =3 CMR

Bài 11: Cho x, y, z dương thỏa mãn 2 2 2

x y z xyz CMR

x yz  y xzz xy2

Chủ đề 3: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số

Trong quá trình giải quyết các bài tập trong hệ thống học sinh có thể gặp khó khăn, mâu thuẫn trong việc chọn hàm số, chọn ẩn, tìm điều kiện Do đó cần phải điều chỉnh lại cách xem xét vấn đề, giải quyết vấn đề để giải quyết được bài toán Và như vậy học sinh được bồi dưỡng các năng lực giải quyết vấn đề, năng lực đánh giá và tự đánh giá, năng lực vận dụng tư duy logic, tư duy biện chứng vào việc phát hiện và giải quyết vấn đề

Phương pháp 1: Sử dụng bảng biến thiên của hàm số

Ví dụ 1: Cho x, y không âm, x+y=1 Chứng minh 2 x y 1

3 y 1x 1

Phân tích: Từ giả thiết được y=1-x Khi đó A=   x 1 x

f x



 

Do x, y không âm nên 0   x 1 Khảo sát hàm số f(x) trên [0;1], ta có đpcm

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2009)

Cho các số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x+y=1 Chứng minh

Phân tích:  2  2 

A 4x 3y 4y 3x 25xy

Nhận xét từ x+y=1 có y=1-x, thay vào biểu thức A sẽ đưa A về hàm bậc 4 đối với x,

x[0;1], sau đó dùng đạo hàm Cách này dài vì biểu thức của S không thuận lợi lập bảng biến thiên Biến đổi cách khác:

2 2

2 2

Đặt t=xy, A là hàm biến t Vì  2

Các bài tập tương tự Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2003)

Chứng minh    2 x 4  x2  2 2

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2010)