Đề tài Giải bất phương trình chứa tham số trong chương trình toán THPT lớp 12

Trong chương trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toán tìm các giá trị của tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng trên một tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến và tương đối quan trọng. Nhưng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn, kể cả khi có những lời giải sẵn nhưng học sinh cũng không hiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế.

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toántìm các giá trị của tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúngtrên một tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến vàtương đối quan trọng Nhưng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiềukhó khăn, kể cả khi có những lời giải sẵn nhưng học sinh cũng khônghiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế

Giả sử ta xét các bài toán sau đây:

Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = (m 2 +1)x 2 + (2m - 1)x – 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-1 ; 1).

Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = -(m 2 +2)x 2 – 2mx +1 – m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2 ; +∞ ).

Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phương trình

f(x) = 2mx 2 – (1 – 5m)x +3m +1 > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2 ; 0).

Trên đây là 3 bài toán có đề bài hoàn toàn hợp lý

Khi giải bài toán 1 thì điều kiện đúng đưa ra là:af af( 1) 0(1) 0 





Với bài toán 2 thì khi gặp thường học sinh cũng bắt tay ngay

vào việc giải nó mà không biết nhận xét để đưa ra kết quả nhanh vàchính xác hơn Nếu để ý thì ta thấy hệ số a = -(m2 +2) < 0, m  R

nên không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện bài toán (bài toán

vô nghiệm)

Khi gặp bài toán 3 thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn, nếu

không cẩn thận thì sẽ dẫn đến thiếu nghiệm ngay Để giải bài toán 3thì ta phải xét 4 trường hợp sau:

TH1: a 00

 

 TH2:

0 0 ( 2) 0 2 2

a

a f s

a

a f s

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Nhưng chắc chắn rằng nhiều học sinh không hiểu được là tại sao

ta lại phải xét các trường hợp như thế Song nếu có sự giúp đỡ của đồ

thị thì việc giải bài toán 3 trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều và ít xảy ra

tình trạng thiếu nghiệm Thật vậy để tìm được các giá trị của tham sốthỏa mãn điều kiện bài toán thì (về mặt đồ thị) ta có các trường hợpsau (có thể) xảy ra giữa vị trí của đồ thị hàm số

f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x +3m +1

và trục Ox thỏa mãn bài toán như sau:

Nhìn vào đồ thị trong các trường hợp trên thì ta dễ dàng suy ra

điều kiện cho các trường hợp của bài toán 3:

Ứng với a) ta có điều kiện là TH1

Ứng với b) và c) ta có điều kiện chung là TH2

Ứng với d) và e) ta có điều kiện chung là TH3

Ứng với f) ta có điều kiện là TH4

Vì lý do đó mà tôi chọn đề tài: “Sử dụng đồ thị để giải một số

bài toán tìm các giá trị của tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng trên tập D ” nhằm giúp các em học sinh cũng như các

thầy cô giáo có những nhận xét đúng đắn để đưa ra lời giải đúng chonhững bài toán về dạng này

II THỰC TRẠNG CŨ VÀ GIẢI PHÁP MỚI:

1.Thực trạng cũ:

Khi gặp các bài toán dạng này thì học sinh rất lúng túng và gặpnhiều khó khăn trong vấn đề đưa ra các trường hợp đúng để từ đó đitìm được các giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện bài toán

2

( ) -2 0

( ) -2 0

( )

-2 0

( ) -2 0

( ) -2 0

2.Giải pháp mới:

Khi gặp bài toán dạng này thì học sinh nên vận dụng đồ thị đểđưa ra các trường hợp đúng của bài toán, từ đó tìm được các giá trịcủa tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán mà lại tránh được nhiềuthiếu sót

III NỘI DUNG:

Trong khi chúng ta đi giải dạng toán này, nhưng chúng ta rất ítkhi chú ý tới một kết quả rất đơn giản mà lại rất hữu ích sau đây:

Nếu hệ số a > 0 thì Parabol y = ax 2 + bx + c có bề lõm quay lên trên Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tương đối của Parabol y = ax 2 + bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau:

Nếu hệ số a < 0 thì Parabol y = ax 2 + bx + c có bề lõm quay xuống dưới Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu ta xét vị trí tương đối của Parabol y = ax 2 + bx + c với trục Ox thì có 3 khả năng sau:

*Chú ý: Trong các hình vẽ của các bài toán thì trục nằm

ngang là trục Ox và Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai.

Để tìm các giá trị của tham số m sao cho tam thức bậc haif(x,m) > 0 (hay f(x,m) < 0) trên tập D nào đó, có nghĩa là ta phải tìmcác giá trị của tham số m để cho đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía trên(hay nằm phía dưới) trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc tập D

Dựa vào những nhận xét đó thì việc giải các bài toán như đã nêutrong phần I là tương đối đơn giản

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Ta lần lượt xét một số bài toán sau đây:

Bài toán 4: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = x 2 + 2(2m+1)x + 4m 2 – 3 > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1).

Chỉ dẫn:

Nếu khi gặp bài toán này mà chúng ta không cẩn thận thì việcgiải nó thường rất dễ nhầm lẫn và dẫn đến thiếu nghiệm Nhưng nếudựa vào đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm các giá trị của tham số mthỏa mãn điều kiện bài toán, thì ta phải tìm các giá trị của tham số msao cho đồ thị của hàm số

f(x) = x2+2(2m+1)x +4m2 – 3 nằm phía trên trục hoành (trục Ox) với mọi x thuộc khoảng (0 ; 1)

Vì hệ số a = 1 > 0 nên ta có các trường hợp có thể xảy ra sauđây:

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: a 00

 



Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 (1) 0 1 2

a

af s

Với trường hợp d) và e) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 (0) 0 0 2

a

af s

Từ đó ta có lời giải bài toán này như sau:

a

a f s

(2 1) 1

m m m

a

a f s

4 3 0 (2 1) 0

m m m

Kết hợp kết quả của 3 trường hợp trên ta được m R đều thỏa

mãn điều kiện bài toán

Bài toán 5: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = x 2 – m(m-2)x + 2m 2 – 4 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [1 ; 2].

Chỉ dẫn:

Với bài toán này nếu chúng ta biết minh họa bằng đồ thị thì nó

có các trường hợp sau có thể xảy ra:

3 2

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là:

0 (1) 0 (2) 0

a af af

a af af

Với trường hợp c) thì tương ứng điều kiện là:

0 (1) 0 (2) 0

a af af

0 (1) 0 (2) 0

a af af

Giải hệ trên ta sẽ tìm được kết quả của bài toán

Bài toán 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = -2x 2 +(m-3)x +m-3 < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn [-1; 0].

Chỉ dẫn:

Đây là bất phương trình bậc hai có hệ số a < 0, nên khi giải tanên để ý rằng đồ thị của f(x) có thể có các khả năng sau đây xảy rathỏa mãn điều kiện bài toán:

-1 0 [ ]

-1 0 [ ]

-1 0 [ ]

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: a 00

 



Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 ( 1) 0 1 2

a

af s

a

af s

a

af s

a

af s

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Chỉ dẫn:

Đây là một bất phương trình mà hệ số a ta chưa biết là âm haydương, khi gặp bài toán này thường học sinh rất lúng túng Nhưng nếudựa vào đồ thị ta có nhận xét về các trường hợp có thể xảy ra như sau:

Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của f(x) quay bề lõm xuống dưới nênkhông có trường hợp nào xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán

Nếu hệ số a > 0 thì (về đồ thị) ta có các trường hợp (có thể) xảy

ra thỏa mãn điều kiện bài toán như sau:

c)

( -2 +∞

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là:a 00

 



Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 ( 2) 0 2 2

a

a f s

a

af s

Bài toán 9: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phương trình

f(x) = mx 2 +4(m-1)x + m – 1 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-∞ ; 1).

Nếu hệ số a < 0 thì (về đồ thị) ta có các trường hợp (có thể) xảy

ra thỏa mãn điều kiện bài toán là:

-∞ 1

)

-∞ 1 )

-∞ 1 )

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: a 00

 



Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 (1) 0 1 2

a

af s

a

af s

Bài toán 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

[ ) -1 1

[ ) -1 1 [ ) -1 1

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: a 00

 



Với trường hợp b) và c) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 (1) 0 1 2

a

af s

a

af s

a

af s

a

af s

Bài toán 11: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = x 2 +m(m+1)x +6m - 3 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc tập [-1 ; 0]  [2 ; 3].

Chỉ dẫn:

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Vì hệ số a = 1 > 0 nên (về đồ thị) ta có các trường hợp sau cóthể xảy ra thỏa mãn điều kiện bài toán:

Với trường hợp a) thì tương ứng điều kiện là: a 00

 



Với trường hợp b) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 ( 1) 0 1 2

a

af s

a

af s

2

a

af af s

af s

a

af s

2

a

af af s

Bài toán 12: Tìm các giá trị của tham số m ≠1 để bất phương trình

f(x) = (m -1)x 2 +2mx + 6m 2 - 3 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc tập [0 ; 1]  [4 ; 5].

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Với trường hợp b) thì tương ứng điều kiện là:

0 0 (0) 0 0 2

a

af s

a

af s

2

a

af af s

Với trường hợp này thì tương ứng điều kiện là:

0 (0) 0 (5) 0

a af af

a

af s

a

af s

TH4:

0 0 (1) 0 (4) 0

2

a

af af s

a af af

có các bài toán sau đây:

Bài toán 13: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = 3x 2 + (2m-1)x –m 2 +12 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (0; +∞).

Bài toán 14: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình

f(x) = -(2m 2 +1)x 2 + 2mx +m - 2 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-∞ ; 1).

Với hai bài toán 13; 14 và cũng giống như bài toán 2 đã nêu

trong phần I, thì đây là những bài toán vô nghiệm (nghĩa là không tồntại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán) Điềunày được giải thích dựa trên đồ thị của nó như sau:

Nếu hệ số a > 0 thì đồ thị của hàm số bậc hai chỉ có thể có mộtphần ứng với x  (x1 ; x2) nằm dưới trục Ox mà thôi Do đó với bài

toán 13 thì không thể tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn được

điều kiện bài toán

Nếu hệ số a < 0 thì đồ thị của hàm số bậc hai chỉ có thể có mộtphần ứng với x  (x1 ; x2) nằm trên trục Ox mà thôi Do đó với bài

toán 14 thì cũng không thể tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn

được điều kiện bài toán

(Với x1 và x2 nói trong 2 trường hợp trên là nghiệm của tam thức bậchai f(x) = 0)

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I

Với việc sử dụng đồ thị của một hàm số bậc hai đúng đắn, họcsinh có thể áp dụng nó để giải quyết các dạng bài toán đã nêu ở trên vàcác bài toán tương tự một cách hiệu quả./

16

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 18

V¬ng V¨n Phong_ Gv To¸n Trêng THPTDTNT T¬ng D¬ng I 20