SKKN: Rèn kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn qua các dạng bài tập cho HS lớp 8

Qua một thời gian giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS Tứ Dân , bản thân tôi đã cố gắng chú trọng rèn luyện tư duy cho học sinh trong qua trình học toán và đạt được một số kết quả , có thể đây là bước đầu trao đổi thành một đề tài về kinh nghiệm rèn tư duy trong học toán của học sinh . Tôi mạnh rạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ; “ Rèn kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn qua các dạng bài tập “ của mình để cùng trao đổi với các đồng nghiệp nhằm mục đích cùng trao đổi học hỏi lẫn nhau trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 một cách tốt hơn .

A – ĐẶT VẤN ĐỀ

I : Cơ sở lí luận

Cùng với sự phát triển của đất nước ta , sự nghiệp giáo dục cũng khôngngừng đổi mới Vì thế các nhà trường phải luôn chú trọng đế chất lượng củahọc sinh một cách toàn diện Bởi vậy phải có sự đầu tư đích đáng cho nề giáodục Với vai trò là môn học công cụ , bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiệncho các em học tốt bản thân môn toán và các môn học khác

Một vấn đề được đặt ra là dạy học như thế nào để học sinh không nhữngnắm vững nội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyệnkhả năng tư duy lô gic , rèn luyện kỹ năng làm bài tập của bộ môn toán cũngnhư các môn khoa học khác , có thái độ , quan điểm rõ ràng trong các bài tậpcủa mình để tạo được sự húng thú , say mê trong học tập , tiếp thu kiến thức và

có thể đưa các kiến thức đó ra áp dụng vào cuộc sống đời thường là câu hỏi màmỗi thầy cô luôn phải đặt ra để có thể truyền đạt kiến thức một cách tốt nhấtcho học sinh thân yêu của mình

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập củacác em trong , quá trình giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc ra những nộidung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung , phải đi

từ dễ đến khó , từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển rút ra những nội dungkiến thức chính trong bài học đồng thời có thể gợi mở , đặt vấn đề để học sinhphát triển tư duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học mộtcáh chặt chẽ, rõ ràng và có hệ thống , đồng thời giúp cho các em nhận ra cácdạng bài toán đẫ học một cách nhanh nhất

Qua một thời gian giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS Tứ Dân , bảnthân tôi đã cố gắng chú trọng rèn luyện tư duy cho học sinh trong qua trình họctoán và đạt được một số kết quả , có thể đây là bước đầu trao đổi thành một đềtài về kinh nghiệm rèn tư duy trong học toán của học sinh Tôi mạnh rạn viếtthành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ; “ Rèn kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn qua các dạng bài tập “ của mình để cùng trao đổi

dưỡng học sinh giỏi lớp 8 một cách tốt hơn

II : Cơ sở thực tiễn

* Trường THCS Tứ Dân chất lượng cụ thể là :

- 75% mức độ đạt yêu cầu trong đó có 20% học sinh khá giỏi

( kết quả khảo sát chất lượng đầu năm )

* Đối với học sinh lớp 8 :

- Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau

+ Nhóm những em tiếp thu nhanh , giải quyết vấn đề nhanh , linh hoạt :25%

+ Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 50%

+ Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 25%

( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ môn Toán )

- Về tài liệu : SGK , SGV đầy đủ , sách nâng cao , sách tham khảo củahọc sinh và giáo viên còn hạn chế , phần lớn là do giáo viên và học sinh tựmua sám

- Qua qua trình trực tiếp giảng dạy các khối lớp từ các tiết luyện tập ,kiểm tra , các tiết bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh yếu kém và các tiết dự giờcủa các đồng nghiệp tôi nhận thấy : Học sinh thường lúng túng , không tìm rahướng giải quyết hoặc tìm ra hướng giải quyết nhưng không biết làm thế nào ,làm từu đâu ,các bài làm của các trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng như cácbài kiểm tra một tiết thường không chặt chẽ , không hợp loogic làm cho lờigiải của các em trở nên rời rạc , không hợp lí đặc biệt là những bài toán khó ,những tình huống toán học mang tính thực tiễn

- Bên cạnh đó một số khá lớn các em học sinh phụ hynh đi làm ăn xakhông có thời gian quan tâm đến việc học tập của các em , không đôn đóc các

em học được làm cho các em ngày càng mải chơi và không chịu học làm chokiến thức của các em bị hổng dẫn đến kết quả học tập kém và làm cho cac emcàng trỏ nên lười học

B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Hình thành thái độ yêu thích bộ môn Toán cho các em học sinh

2 Phân loại bài tập và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng dạng bài tập

để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập có liên quan đến bất phương trình bậcnhất một ẩn

3 Rèn cho học sinh khả năng suy luận , tư duy , vận dụng các kiến thức

đã học vào các bài tập liên quan

4 Rèn kĩ năng giải toán cho học sinh

5 Tham khảo các tài liệu trong thư viện , trên báo chí cũng như thôngqua mạng internet , ý kiến của các đồng nghiệp , các chuyên gia ,điều tra ,thống kê kết quả học tập của các em , hiệu quả công tác giảng dạy , đúc rútkinh nghiệm kịp thời … Về các vấn hiên cứu và một số vấn đề liên quan

II: Các biện pháp thực hiện

*: Hình thành thái độ học tập bộ môn

Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động , bồng bột , giải quyếtvấn đề hầu như dựa vào cảm tính nắm được sự phát triển tâm lí này , giáoviên cần phải tạo cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn , nghiêm túc nhằmtạo cho học sinh có tính kỉ luật , khoa học … đồng thời kích thích sự hứng thúsay mê học tập của các em trong quá trình học môn toán Cho học sinh thấyđược tầm quan trọng của môn toán trong thức tế cuộc sống và trong các mônhọc khác

Để làm được điều này là một giáo viên cần có nhiều biện pháp như : Chohọc sinh tổ chức các nhóm học tập để rèn luyện tính tập thể , tổ chức trò chơi ,tiến hành đo đạc , giới thiệu các bài học lí thú …Đặc biệt là phải phân rõ dạngbài tập để học sinh dễ hình dung và tiếp thu nó

* Phân loại và yêu cầu các đối tượng học sinh qua từng bài tập cụ thể để

phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập

Được chia làm hai phần ;

+ Giới thiệu kiến thức cơ bản

+ Các dạng bài tập áp dụng

hiệu quả khi giảng dạy

* Rèn cho học sinh khả năng suy luận , tư duy , vận dụng các kiến thức

đã học vào các bài tập liên quan

Sau khi đã cho học sinh làm các bài tập ở dạng tổng quát thì giáo viêncho những bài tập tưng tự nhưng cách hỏi khác nhau để cho học sinh tư duy Hoắc có thể đưa những bài tập không có dạng tổng quát nhưng có thể sử dụngkiến thức cơ bản đã học để giải quyết nó với mục đích làm cho các em phảibiết tư duy , phân tích để có hướng giải quyết đúng tạo cho các em cảm giácnhư mình vừa có được một thành công và chính điều đó làm cho các em hiểusâu vấn đề và biết vận dụng vấn đề một cách thành thạo

* Rèn luyện kĩ năng giải toán cho các em qua các dạng bài tập

1- Giới thiệu kiến thức cơ bản

a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng : ax + b > 0( hoặc ax + b < 0 : ax + b  0 ; ax + b  0) trong đó x là ẩn a , b là các số đãcho a  0

b) Bất phương trình tương đương

ĐN : hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng một

tập hợp nghiệm

Các phép biến đổi tương đương

+ Định lí 1 : Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất

phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương

- Hệ quả 1 ; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương

trình thì được một bất phương trình tương đương

- Hệ quả 2 : Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó

thì được một bất phương trình tương đương

+ Định lí 2 :

- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì được mộtbất phương trình tuơng đương

- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi chiều củabất phương trình thì được một bất phương đương

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là : S = {x / x > 8 }

Bài 2 : Giaỉ các bất phương trình sau ;

a ) (x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) +4

b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x + 8) + 26

Bài tập này sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của xkhông là bậc nhất nên không biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra mộtgợi ý nhỏ cho các em : Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn

Giải

↔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4

↔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0 ↔ x > 0 hoặc x < 0

Sau khi giải đến bất phương trình x2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi nhưsau ; x2 > 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu nghiệm củabất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số ,biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm cácgía trị của x để x2 > 0 ta đưa về tìm x để x2 = 0 khi đó những giá trị còn lạicủa x sẽ làm cho x2 > 0

b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26

↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26

↔0 > 2 ( vô lí )

→ Bất phương trình vô nghiệm

Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm : Bước 1 : Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình

Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế , các hạng tử bằng sốsang một vế rồi thu gọn bất phương trình

Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn

Bài 3 : Giải các bất phương trình sau :

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; S = {x / x ≤ -115}

Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình cóchứa mẫu :

Bước 1 : Quy đồng và khử mẫu

Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng sốsang một vế và thu gọn bất phương trình

Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn

Bài 4 : Giải bất phương trình :

(m-có thể giải tiếp như sau :

+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1

+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1

+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giátrị của x

Bài 5 : Giải bất phương trình ( với a là hằng số )

Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0

- Nếu a > - 2 : a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là : x >a a ( 1 2)

- Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là :x ( 1 2)

a a





- Nếu a = -2 thì bất phương trình có dạng 0x > -12 nghiệm đúng với mọi x

Bài 6 : Giải bất phương trình :

2 5 8 11

x x x x

Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc

đó là quy đồng , rút gọn rồi mới giải bất phương trình , làm như vậy thì các em

2 5 8 11

Bài 7 : Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình

x x

Bài 9 : tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau

Học sinh khi làm đến đây có nhiều em sẽ không biết vậy x sẽ nhận giái trịnào thì giáo viên có thể gợi ý : Số nguyên nhỏ hơn -19 và gần với -19 nhất làbao nhiêu thì học sinh sẽ tìm được đó là -20

b) 1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) < 4,4

1, 2 2,1 0, 2 4, 4

0, 2 4, 4 0,926,5

x x

x

Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26

Bài 10: Với giá trị nào của x thì

Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức

5 nhỏ hơn giá trị phân thức

Bài 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau dương

1 1

1

m

m x

Bài 12: Cho biểu thức 2 2

Vậy với x < 12 và x ≠ -1 thì A > 0

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế giá trịcủa biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa :các mẫu thức khác 0 ; phân thức chia khác 0 Sau khi tìm được các giá trị củabiến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết luận

Bài 13 : Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0

Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất đẳng thức sau

x x

Bài 16 : Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 Người ta xóa đi một số thì

trung bình cộng của các số còn lại bằng 35 7

17 Tìm số bị xóa

Giải

Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n :

- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là 35 7 .69

17 N loại

Nếu n = 69 thì tổng của 69 số còn lại là 35 68 2408

17  số bị xóa là ( 1 + 2 + 3 + … + 69 ) – 2408 = 7

Dạng 2 : Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ

Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trịtuyệt đối Ta nhớ lại rằng : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nónếu biểu thức không âm , bằng số đối của nó nếu biểu thức âm

│A│= A nếu A≥ 0

-A nếu A < 0

Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức

âm hay không âm Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thứcbậc nhất ta cần nhớ định lí sau :

Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 )

Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 )

+ Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức

+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau

* Xét khoảng x 1 thì (1) có dạng

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x > 2 : x <34

x      1 x 5 8 2 x  14   x 7 nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1 ; x > 7.

Nhận xét : Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng

khoảng giá trị của biến Trong một số trường hợp , có thể giải nhanh hơn cáchdùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau :

a) Cách 1 : (Theo phương pháp chung )

1

1 4

4 1

x

x x

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 18 hoặc x > 52

Dạng 3 : Bất phương trình tích , bất phương trình thương

Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể

sử dụng các phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tươngđương cần chú ý :

- Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương

Bài 1 : Tìm x sao cho a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0

b) x x25

 < 0

Giải

a) Cách 1 : lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5

x 2 5

x – 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

(x – 2) ( x – 5 ) + 0 - 0 +

Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5 Cách 2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương ( x – 2 ) ( x – 5 ) > 0 2 0 2 5 0 5 5 2 2 0 2 5 0 5 x x x x x x x x x x                                        Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là : x > 5 ; x < 2 c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức x -2 5

x + 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

2 5 x x   + 0 - ║ + Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x < -2 ; x > 5

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau

a) x2 - 2x + 1 < 9 b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0 Giải

a) Cách 1 :

a) x2 - 2x + 1 < 9  (x 1)2  9 x 1 9

Cách 2 : Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích

    2 2 1 9 2 2 8 0 2 4 0 x x x x x x            Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ) , ( x – 4 ) x -2 4

x + 2 - 0 + │ +

x – 4 - │ - 0 +

(x + 2) ( x – 4 ) + 0 - 0 +

Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4 b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

                      2 2 2 2 2 3 3 9 1 1 3 1 0 3 1 3 0 3 1 0 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x                           Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3 , x = - 1 Bài 3 : Giải bất phương trình sau a) 3 2 3 2 4 5 20 0 10 8 x x x x x x        b) 2 2 2 2 4 5 1 1 2 x x x x x x         Giải a) 3 2 2 3 2 4 5 20 ( 4) 5( 4) 0 0 10 8 ( 2)( 1)( 4) x x x x x x x x x x x x                (1)

ĐK ; x ≠ -1 ; x ≠ -2 ; x ≠ 4 (1)

                2 2 4 5 5 0 0 1 2 4 1 2 ( 1)( 2) 0 x x x x x x x x x x                 x -2 -1

x + 2 - 0 + │ +

x + 1 - │ - 0 +

(x + 2) ( x + 1 ) + ║ - ║ +