Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn qua các dạng bài tập

Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm A – ĐẶT VẤN ĐỀ I : Cơ sở lí luận Cùng với phát triển đất nước ta , nghiệp giáo dục không ngừng đổi Vì nhà trường phải ln trọng đế chất lượng học sinh cách tồn diện Bởi phải có đầu tư đích đáng cho nề giáo dục Với vai trò mơn học cơng cụ , mơn tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt thân mơn tốn mơn học khác Một vấn đề đặt dạy học để học sinh nắm vững nội dung kiến thức cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả tư lô gic , rèn luyện kỹ làm tập môn tốn mơn khoa học khác , có thái độ , quan điểm rõ ràng tập để tạo húng thú , say mê học tập , tiếp thu kiến thức đưa kiến thức áp dụng vào sống đời thường câu hỏi mà thầy ln phải đặt để truyền đạt kiến thức cách tốt cho học sinh thân yêu Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập em , trình giảng dạy phải biết chắt lọc nội dung kiến thức cách rõ ràng ngắn gọn đầy đủ nội dung , phải từ dễ đến khó , từ cụ thể đến trừu tượng phát triển rút nội dung kiến thức học đồng thời gợi mở , đặt vấn đề để học sinh phát triển tư kĩ phân tích nội dung làm tập toán học cáh chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống , đồng thời giúp cho em nhận dạng toán đẫ học cách nhanh Qua thời gian giảng dạy mơn tốn trường THCS Tứ Dân , thân cố gắng trọng rèn luyện tư cho học sinh qua trình học tốn đạt số kết , bước đầu trao đổi thành đề tài kinh nghiệm rèn tư học toán học sinh Tôi mạnh rạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ; “ Rèn kĩ giải bất phương trình bậc ẩn qua dạng tập “ để trao đổi Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm với đồng nghiệp nhằm mục đích trao đổi học hỏi lẫn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp cách tốt II : Cơ sở thực tiễn * Trường THCS Tứ Dân chất lượng cụ thể : - 75% mức độ đạt yêu cầu có 20% học sinh giỏi ( kết khảo sát chất lượng đầu năm ) * Đối với học sinh lớp : - Phân chia thành nhóm tiếp thu kiến thức sau + Nhóm em tiếp thu nhanh , giải vấn đề nhanh , linh hoạt : 25% + Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 50% + Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 25% ( Phân chia nhóm tiếp thu mơn Toán ) - Về tài liệu : SGK , SGV đầy đủ , sách nâng cao , sách tham khảo học sinh giáo viên hạn chế , phần lớn giáo viên học sinh tự mua sám - Qua qua trình trực tiếp giảng dạy khối lớp từ tiết luyện tập , kiểm tra , tiết bồi dưỡng học sinh giỏi , học sinh yếu tiết dự đồng nghiệp nhận thấy : Học sinh thường lúng túng , khơng tìm hướng giải tìm hướng giải khơng biết làm , làm từu đâu ,các làm kiểm tra lớp kiểm tra tiết thường không chặt chẽ , không hợp loogic làm cho lời giải em trở nên rời rạc , khơng hợp lí đặc biệt tốn khó , tình tốn học mang tính thực tiễn - Bên cạnh số lớn em học sinh phụ hynh làm ăn xa khơng có thời gian quan tâm đến việc học tập em , không đơn đóc em học làm cho em ngày mải chơi không chịu học làm cho kiến thức em bị hổng dẫn đến kết học tập làm cho cac em trỏ nên lười học B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm I : Các giải pháp thực Hình thành thái độ u thích mơn Tốn cho em học sinh Phân loại tập yêu cầu đối tượng học sinh qua dạng tập để phù hợp hiệu giải tập có liên quan đến bất phương trình bậc ẩn Rèn cho học sinh khả suy luận , tư , vận dụng kiến thức học vào tập liên quan Rèn kĩ giải toán cho học sinh Tham khảo tài liệu thư viện , báo chí thông qua mạng internet , ý kiến đồng nghiệp , chuyên gia ,điều tra , thống kê kết học tập em , hiệu công tác giảng dạy , đúc rút kinh nghiệm kịp thời … Về vấn hiên cứu số vấn đề liên quan II: Các biện pháp thực *: Hình thành thái độ học tập môn Học sinh cấp THCS lứa tuổi hiếu động , bồng bột , giải vấn đề dựa vào cảm tính nắm phát triển tâm lí , giáo viên cần phải tạo cho học sinh thái độ học tập đắn , nghiêm túc nhằm tạo cho học sinh có tính kỉ luật , khoa học … đồng thời kích thích hứng thú say mê học tập em q trình học mơn tốn Cho học sinh thấy tầm quan trọng mơn tốn thức tế sống môn học khác Để làm điều giáo viên cần có nhiều biện pháp : Cho học sinh tổ chức nhóm học tập để rèn luyện tính tập thể , tổ chức trò chơi , tiến hành đo đạc , giới thiệu học lí thú …Đặc biệt phải phân rõ dạng tập để học sinh dễ hình dung tiếp thu * Phân loại yêu cầu đối tượng học sinh qua tập cụ thể để phù hợp hiệu giải tập Được chia làm hai phần ; + Giới thiệu kiến thức + Các dạng tập áp dụng Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm Giáo tùy đối tượng học sinh mà cho tập có nội dung phù hợp để có hiệu giảng dạy * Rèn cho học sinh khả suy luận , tư , vận dụng kiến thức học vào tập liên quan Sau cho học sinh làm tập dạng tổng quát giáo viên cho tập tưng tự cách hỏi khác học sinh tư Hoắc đưa tập khơng có dạng tổng qt sử dụng kiến thức học để giải với mục đích làm cho em phải biết tư , phân tích để có hướng giải tạo cho em cảm giác vừa có thành cơng điều làm cho em hiểu sâu vấn đề biết vận dụng vấn đề cách thành thạo * Rèn luyện kĩ giải toán cho em qua dạng tập 1- Giới thiệu kiến thức a) Khái niệm bất phương trình bậc ẩn - Bất phương trình bậc ẩn phương trình có dạng : ax + b > ( ax + b < : ax + b  ; ax + b  ) x ẩn a , b số cho a 0 b) Bất phương trình tương đương ĐN : hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Các phép biến đổi tương đương + Định lí : Nếu cộng đa thức ẩn vào hai vế bất phương trình bất phương trình tương đương - Hệ ; Nếu xóa hai hạng tử giống hai vế bất phương trình bất phương trình tương đương - Hệ : Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu bất phương trình tương đương + Định lí : Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm - Nếu nhân hai vế bất phương trình với số dương bất phương trình tuơng đương - Nếu nhân hai vế bất phương trình với số âm đổi chiều bất phương trình bất phương đương 2- Các dạng tập Dạng : Giải bất phương trình bậc ẩn Bài : Giải bất phương trình sau a) x – < - b)x+3>-6 c ) -2x > -3x +d ) -4x -2 > -5x +6 Với tập học sinh giải rễ ràng cách sử dụng phếp biến đổi tương đương Giải a ) x – < - ↔ x < -8 + ↔ x < - Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = {x / x < - } b ) x + > - ↔ x > - – ↔ x > -9 Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình cho S = {x / x > - } c ) -2x > - 3x + ↔ -2x + 3x > ↔x > Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = {x / x > } d) – 4x – > -5x + ↔ - 4x + 5x > + ↔ x > Vậy bất phương trình cho có nghiệm : S = {x / x > } Bài : Giaỉ bất phương trình sau ; a ) (x + ) < 2x ( x + 2) +4 b ) (x + ) ( x + ) > ( x – ) (x + 8) + 26 Bài tập làm cho học sinh bối rối em thấy lũy thừa x khơng bậc nên làm giáo viên đưa gợi ý nhỏ cho em : Hãy thực phép tính hai vế thu gọn Giải Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm a) ( x + ) < 2x ( x + 2) + ↔ x2 + 4x + < x2 + 4x + ↔ x2 < x2 ↔ x2 > ↔ x > x < Sau giải đến bất phương trình x2 > có nhiều học sinh biến đổi sau ; x2 > ↔ x > kết luận nghiệm thiếu nghiệm bất phương trình cần nhắc lại cho em lũy thừa chẵn số , biểu thức lớn thay cho việc tìm gía trị x để x2 > ta đưa tìm x để x2 = giá trị lại x làm cho x2 > b ) ( x + 2) ( x + ) > ( x – ) ( x + ) + 26 ↔ x2 + 6x + > x2 + 6x -16 + 26 ↔0 > ( vơ lí ) → Bất phương trình vô nghiệm Khi làm xong tập giáo viên cho học sinh rút bước làm : Bước : Thực phép tính hai vế bất phương trình Bước : Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế , hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước : Giải bất phương trình sau thu gọn Bài : Giải bất phương trình sau :  x  x   x  x  b :    a : Giáo viên cho học sinh nhận xét bất phương trình có đặc điểm gợi ý học sinh quy đồng khử mẫu Giải  2x 1 5x  x  16  x 2     x  16   x 8   x  x  14   x  15 a; Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = {x / x ≤ 15} Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm b) x 1 x 1 x   12 x   96 1 8  12 12  x  x  100  15   x  115  x   115 Vậy tập nghiệm bất phương trình ; S = {x / x ≤ -115} Qua tập giáo viên cho học sinh rút cách giải bất phương trình có chứa mẫu : Bước : Quy đồng khử mẫu Bước : Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước : Giải bất phương trình sau thu gọn Bài : Giải bất phương trình : mx + ≥ m2 + x ( với m tham số ) Học sinh biến đổi tương đương bình thường mx   m  x  mx  x  m2    m  1 x   m  1 m  1 Đến bước có nhiều em vội vàng suy x ≥ ( m + ) bàng cách chia (m1)(m+1) cho (m-1) mà quên điều kiện để phép chia có nghĩa số chia phải khác không quy tắc chia hai vế bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất phương trình Vậy giáo viên phải hướng dẫn em phân chia trường hợp m- ( m-1) > ; (m – ) nghiệm bất phương trình x ≥ m + + Nếu x = bất phương trình có dạng 0x ≥ nghiệm với giá trị x Bài : Giải bất phương trình ( với a số ) x 1  ax a > x2  2x a Đây bất phương trình có chứa mẫu cần phải tìm điều kiện mẫu có nghĩa sau biến đổi rút gọn bất phương trình Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm Giải Bất phương trình có nghĩa a ≠ x 1  ax a  > x   ax a a  ax  2x > x2  2x a > x   2x a a  a a  (a  2) x  a - Nếu a > - : a ≠ nghiệm bất phương trình : x > - Nếu a < - nghiệm bất phương trình cho : x  a (a  2) a (a  2) - Nếu a = -2 bất phương trình có dạng 0x > - nghiệm với x Bài : Giải bất phương trình : x  x  x  x  11    89 86 83 80 Với tập phần lớn học sinh vận dụng cách làm cách máy móc quy đồng , rút gọn giải bất phương trình , làm em vất vả có em lại tách thành x x x x 11        89 89 86 86 83 83 80 80 Làm phức tạp nên giáo viên cho học sinh nhận xét mối quan hệ tử mẫu phân thức hướng dẫn học sinh tạo phân thức có tử giống cách cộng thêm vào phân thức với ta có : x  x  x  x  11    89 86 83 80 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm  x2   x5   x8   x  11    1    1    1    1  89   86   83   80  x  91 x  91 x  91 x  91     89 86 83 80 1     x  91      0  89 86 83 80   x  91   x   91 Bên cạnh toán với yêu cầu cụ thể giải bất phương trình tốn mà để giải phải đưa tốn giải bất phương trình Bài tốn đòi hỏi học sinh phải có tư logic , phân tích chặt chẽ Bài : Tìm giá trị x thỏa mãn hai bất phương trình x  x 3x    x  2x 3x    Học sinh phải hiểu giá trị cần tìm x nghiệm chung hai bất phương trình để tìm ta phải giải bất phương trình tìm phần chung tập nghiệm chúng 2x  2x 3x     12x  30  20x  45x  30 *  12x  20x  45x   53x   x  x  2x 3x   *  (1)  15 x  18  12 x  15 x  30   12 x   48 ( 2)  x4 Từ (1) (2) ta có x 0 Bài 8: Tìm số ngun x thỏa mãn hai bất phương trình 2x   x 3x  x    0,  Giải Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm Xét bất phương trình : 3x  x   0,8  6x   5x   6x  5x    x  12 Xét bất phương trình : (1) 2x   x  12  x  10   x 4 x  x   22  x  13 x  13 1   (2)   Từ (1) (2) ta có 12 ≤ x Giải x  1; x   1; x  Điều kiện 2  x    2x   x   x A   x2   x 1 a)  2x 1 b) A   2   2x 1   2x   x  2x 1 Kết hợp với điều kiện ta x < Vậy với x < 2 x ≠ -1 x ≠ -1 A > Giáo viên ý học sinh với biểu thức có liên quan đế giá trị biểu thức phải tìm điều kiện biểu thức có nghĩa : mẫu thức khác ; phân thức chia khác Sau tìm giá trị biến phải so sánh với điều kiện trước kết luận Bài 13 : Tìm số nguyên a b cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái bất đẳng thức sau đánh giá để tìm a , b Giải Do a , b nguyên ta cộng vào vế trái bất đẳng thức cho ta a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 13 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm  a  ab  2b  a    a  ab  4b  a  16   a2  4ab  4b2    a2 8a 16  2  a  2b   a  4   a  4; b   3x   x Bài 14: Tìm x biết     Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên : Phần nguyên a kí hiệu [a] số ngun lớn khơng vượt q a Ví d ụ ; [3,135] = ; [-1,47] = -2 0  a  b  - Nếu b phần ngun a ta có  b  Z Từ học sinh dựa vào để giải toán Giải Theo đề , x số nguyên lớn không vượt qua 3x  Do  3x   x 1 0   3x  5  x     x  Z Giải bất phương trình  3x   x  ta có 4 x     4 x   7   4 x  12    x  3 0 Ta lại có x € Z x = -2  34 x  19   2x 1 Bài 15: Tìm x biết   11  14 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm Ta có 2x +1 số ngun lớn khơng vượt 34 x  19 nên 11  34x 19  2x 11 0  34x 19  x   11   11  2x 1Z 34 x  19  x     12 x   11 11 Giải 1  8  12 x     x     x   3 0 Mặt khác 2x + € Z nên 2x + = 2x + = Suy x = - x = Bài 16 : Cho dãy số tự nhiên Người ta xóa số trung bình cộng số lại 35 Tìm số bị xóa 17 Giải Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ đến n : - Nếu xóa số trung bình cộng số lại     n   n  n  1  n   n 1  n  1 - Nếu xóa số n trung bình cộng số lại     (n  1) n  n  1 n   n 1  n  1 n n2  35  17  n  70  n  Ta có 17 14 14  68  n  70 17 17 Do n số tự nhiên nên n = 69 n = 70 15 Sáng kiến kinh nghiệm Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Nếu n = 70 tổng 69 số lại 35 69  N loại 17 Nếu n = 69 tổng 69 số lại 35 68  2408 số bị xóa 17 ( + + + … + 69 ) – 2408 = Dạng : Bất phương trình chúa ẩn dấu GTTĐ Với dạng tốn để giải bất phương trình loại ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối Ta nhớ lại : Giá trị tuyệt đối biểu thức biểu thức khơng âm , số đối biểu thức âm │A│= A A≥ -A A < Do để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị biến làm cho biểu thức âm hay không âm Nếu biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối nhị thức bậc ta cần nhớ định lí sau : Định lí dấu nhị thức bậc ax + b ( a ≠ ) Nhị thức ax + b ( a ≠ ) + Cùng dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức + Trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Bài : Giải bất phương trình sau a) │3x - 1│ > b) │3-2x│ < x + Giải a) │3x - 1│ > * Xét khoảng x < (1) ( 1) có dạng – 3x >  3x    3x   x  4 Nghiệm bất phương trình khoảng x < 4 16 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm * Xét khoảng x (1) có dạng 3x    3x    3x   x  Nghiệm bất phương trình khoảng x > Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho : x > : x < 4 b) │3-2x│ < x + * Xét khoảng x > ,(2) có dạng 2x   x 1  2x  x  1  x  Vậy bất phương trình có nghiệm khoảng * Xét khoảng x  3  x  , ( ) có dạng 3  2x  x 1 2x  x 1 3x  2  x   x  Vậy bất phương trình có nghiệm khoảng 2 Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho :  x  Bài : Giải bất phương trình a) │x│- x + ≤ 2│x - 4│ b) │x - 1│+│x - 5│> (1) (2) Giải a) Lập bảng xét dấu biểu thức x x - x x - + │ + x-4 - │ - + * Xét khoảng x < ; ( 1) có dạng - x – x + ≤ ( – x )  0x  17 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm Nghiệm với x thuộc khoảng xét x < * Xét khoảng ≤ x < ,(1) có dạng x – x + ≤ - 2x  x  Nghiệm bất phương trình xét khoảng ≤ x ≤ * Xét khoảng x ≥ , (1) có dạng x – x + ≤ 2x – ↔ x ≥ thỏa mãn x ≥ Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho x ≤ ; x ≥ b) Lập bảng xét dấu biểu thức ( x – ) ; ( x – ) x x-1 - + │ + x-5 - │ - + * Xét khoảng x < , (2) có dạng 1 x   x   2x   x  1 thỏa mãn x < * Xét khoảng ≤ x < , (2) có dạng x    x   x  không xảy với x phương trình vơ nghiệm khoảng xét * Xét khoảng x ≥ , ( 2) có dạng bất x 1 x 5 8 2x 14 x  nghiệm với x ≥ Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho x < - ; x > Nhận xét : Trong cách cách giải ta khử dấu GTTĐ cách xét khoảng giá trị biến Trong số trường hợp , giải nhanh cách dùng phương pháp chung nói biến đổi tương đương sau : Dạng a) Với a số dương , ta có : │f(x) │ < a   a  f ( x )  a b) │f(x) │ < g (x)   g ( x)  f ( x)  g ( x) Dạng :  f (x)  a a) Với số a dương ta có : │f(x) │ > a    f (x)  a  f ( x)   g ( x ) b) │f(x) │ > g (x)    f ( x)  g ( x ) 18 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Dạng : │f(x)│ > │g(x)│   f ( x)    g ( x)2 Sáng kiến kinh nghiệm Bài : Giải bất phương trình a) 3│2x - 1│ < 2x + (1) b) │5x - 3│ < 3x + ( 2) Giải a) Cách : (Theo phương pháp chung ) * Xét khoảng x < , (1) có dạng 3( – 2x ) Dạng : Bất phương trình tích , bất phương trình thương 19 Đỗ Thị Hương – THCS Tứ Dân Sáng kiến kinh nghiệm Với dạng tập học sinh lập bảng để xét dấu sử dụng phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần ý : - Tích (thương ) hai số dấu số dương - Tích ( thương ) hai số trái dấu số âm Bài : Tìm x cho a) (x – ) (x – ) > b) x2 x 5 Cách : Sử dụng phép biến đổi tương đương (x–2)(x–5)>0 x    x      x     x    x  x  x    x       x     x  Kết luận : Nghiệm bất phương trình : x > ; x < c) Lập bảng xét dấu nhị thức x -2 x+2 - + │ + x–5 - │ - + x2 x 5 + - ║ + Kết luận : Nghiệm bất phương trình x < -2 ; x > Bài : Giải bất phương trình sau 20 ... vận dụng vấn đề cách thành thạo * Rèn luyện kĩ giải toán cho em qua dạng tập 1- Giới thiệu kiến thức a) Khái niệm bất phương trình bậc ẩn - Bất phương trình bậc ẩn phương trình có dạng : ax + b... chiều bất phương trình bất phương đương 2- Các dạng tập Dạng : Giải bất phương trình bậc ẩn Bài : Giải bất phương trình sau a) x – < - b)x+3>-6 c ) -2x > -3x +d ) -4x -2 > -5x +6 Với tập học... sinh giải tiếp sau : + Nếu m < nghiệm bất phương trình x ≤ m + + Nếu m > nghiệm bất phương trình x ≥ m + + Nếu x = bất phương trình có dạng 0x ≥ nghiệm với giá trị x Bài : Giải bất phương trình