Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải
TĨM TẮT SÁNG KIẾN Hồn cảnh đời Hệ phương trình đại số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, thường gặp kì thi học sinh giỏi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Trong chương trình Đại số - học kì II, xác định hệ phương trình bậc hai ẩn kiến thức quan trọng Bởi lẽ nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng tài liệu SGD để ôn thi vào 10 THPT hàng năm Với tất lí nêu Tôi định chọn chuyên đề “Rèn kĩ giải hệ phương trình” khn khổ chương trình bậc THCS Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Để thực đề tài này, thực nghiên cứu đơn vị công tác Trường THCS Cụ thể học sinh lớp 9, HS tham gia đội tuyển học sinh giỏi Tốn trường Huyện, ơn thi vào THPT Nội dung sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm tơi mặt hình thức khơng Cái chính phân loại có tính chất xun suốt chương trình bám vào kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư học sinh Thêm vào đó, với tốn có phân tích, có tổng qt điều đặc biệt cho học sinh tìm gốc toán, toán từ đâu mà có, người ta tạo chúng cách Mỗi dạng tốn có phương pháp giải chung, hệ thống tập xếp từ dễ đến khó, nhằm mục đích làm tài liệu để học sinh luyện tập, bời dưỡng học sinh giỏi ôn tập thi vào trường THPT Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh thích nghi cách tốt, có tư sáng tạo, có lực làm tốn tạo tốn Học sinh thường hiểu sâu có kĩ giải tập hệ phương trình có hứng thú học phần Kết đạt sáng kiến Sáng kiến áp dụng mang lại cho cho học sinh có thói quen tổng qt tốn tìm tốn xuất phát Thơng qua việc tìm tốn gốc, việc tổng quát toán, việc tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập môn phát triển lực học sinh Đề xuất, kiến nghị để thực áp dụng sáng kiến Giáo viên phải tích cực đầu tư thời gian nghiên cứu phương pháp dạy học, kiến thức hệ phương trình, dạng tốn có liên quan tới hệ phương trình học sinh lớp để nâng cao hiệu dạy học, giúp học sinh giải thành thạo tốn hệ phương trình Ban giám hiệu phải quan tâm, đơn đốc sát q trình áp dụng sàng kiến kinh nghiệm Học sinh phải tích cực, chủ động tiếp thu kiến thức, chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập Tăng cường, khuyến khích sáng kiến cấp trường triển khai vào thực tế giảng dạy Phần 2: MÔ TẢ SÁNG KIẾN HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN Hệ phương trình đại số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, thường gặp kì thi học sinh giỏi học sinh giỏi cấp, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân vì: Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song chưa có phân loại dạng tốn, nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng qt hệ phương trình Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát tốn tìm tốn xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Để đảm bảo phù hợp với điều kiện thực tế nhà trường việc đạo hoạt động dạy học: Thực việc dạy chủ đề tự chọn bám sát cho mơn tốn tất khối lớp thông qua tứng chuyên đề gắn với trọn tâm kiến thức Trong chương trình Đại số - học kì II, xác định hệ phương trình bậc hai ẩn kiến thức quan trọng Bởi lẽ nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng tài liệu SGD để ôn thi vào 10 THPT hàng năm Với tất lí nêu Tôi định chọn chuyên đề “Rèn kĩ giải hệ phương trình” khn khổ chương trình bậc THCS Mặc dù có đầu tư thu thành cơng đáng kể song điều kiện thời gian hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong đóng góp bạn đờng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nâng cao chất lượng Giáo dục THCS Giúp em có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hệ phương trình kỳ thi học sinh giỏi cấp thi tuyển vào THPT, đồng thời bước đầu trang bị cho em kiến thức toán năm học THPT MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến nhằm mục đích tập hợp, xếp hệ thống phương pháp thường sử dụng để giải hệ phương trình Chỉ kiến thức hệ phương trình có liên quan mà HS cần nắm vững trước tiếp cận với dạng tập liên quan đến hệ phương trình Đưa hệ thống các dạng tập liên quan đến hệ phương trình có xếp hợp lơgíc mặt tư kiến thức môn Xây dựng hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh theo phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có hệ thống tập minh hoạ phong phú cho phương pháp CƠ SỞ NGHIÊN CỨU 3.1 Cơ sở tâm lí Theo tâm lí học lứa tuổi, học sinh trung học sở có thay đổi lớn tâm sinh lí Tính nết em thay đổi thất thường, tính tò mò, hiếu động, ham hiểu biết Các em bắt đầu “tập làm người lớn” nên tích cực tham gia vào hoạt động học tập sáng tạo, độc lập Đó chính tiền đề cho tự giác, tự khám phá phát kiến thức có định hướng khai thác giáo viên 3.2 Cơ sở thực tiễn Chúng ta biết, học sinh có sức học bình thường dều có khả nắm bắt kiến thức, kĩ chuẩn chương trình THCS Hiện tượng có khơng ít học sinh học toán sợ học toán nhiếu nguyên nhân: Phần lớn em chưa có phương pháp học tập tốt, chưa có điều kiện để học tập tốt, có nhiều lỗ hổng kiến thức, lực tư kém, … Và phần giáo viên chưa tìm phương pháp dạy học phù hợp dành cho đối tượng Do giáo viên phải có trách nhiêm cho học sinh nắm bắt kiến thức kĩ tối thiểu Để làm điều giáo viên phải lựa chọn nội dung, lựa chọn phương pháp giảng dạy cho phù hợp với tiết, đặc biệt tiết luyện tập Bởi tiết luyện tập giúp em củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện kĩ giải toán Nếu giáo viên thực tốt điều chắn khơng học sinh yếu tốn, chán học tốn sợ học toán 3.3 Cơ sở giáo dục Những kết nghiên cứu giáo dục học cho thấy kết giáo dục cao trình đào tạo biến thành trình tự đào tạo, trình giáo dục biến thành trình tự giáo dục PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp phân tích – Phương pháp quan sát – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 5 CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 5.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 5.1.1 Định nghĩa hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng �ax by c � �a ' x b ' y c ' Trong ax by c a ' x b ' y c ' phương trình bậc hai ẩn 5.1.2 Ví dụ: 2x y � � �x y 2 5.1.3 Nghiệm hệ phương trình - Nếu (x0; y0) nghiệm chung hai phương trình (x0; y0) gọi nghiệm hệ phương trình 5.1.4 Số nghiệm hệ phương trình * Hệ phương trình ax by c � � a'x b' y c' � (a; b; c; a’; b’; c’ khác ) a b c - Có vơ số nghiệm � a ' b ' c ' a b c � � a ' b' c' - Vô nghiệm a b � a ' b' � - Có nghiệm Chú ý: Nếu ab’ = a’b hệ phương trình vơ nghiệm có vơ số nghiệm 5.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƠNG THƯỜNG 5.2.1 Phương pháp Cách giải - Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ cho (coi phương trình thứ nhất) - Thế vào phương trình lại (phương trình thứ hai) ta phương trình (chỉ có ẩn) - Giải phương trình ẩn vừa có, rời suy nghiệm hệ cho 3x y � � Ví dụ Giải hệ phương trình �2 x y (1) (2) Hướng dẫn: - Ta thấy hệ số biến y phương trình (2) 1, nên từ phương trình (2) hệ, rút y theo x ta y x (*) - Thay (*) vào phương trình (1) hệ ta được: x x � x 14 - Theo quy tắc hệ phương trình cho tương đương với hệ phương trình x 14 � � sau: �y x - Trong hệ này, từ phương trình 7x = 14 ta tính x = lấy giá trị x = thay vào phương trình y = – 2x, ta có y = – 2.2 � y = – � y = 3x x 3x y x 10 x 14 � � � �x � �� �� �� �� � 2x y �y x �y x �y 1 �y x Lời giải: � x; y 2; 1 Vậy hệ có nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình x 5y � � 3x 2y � Hướng dẫn: x 5y � x 5y x 5y x 5y x2 � � � � �� �� �� �� � 5y 2y 3x 2y 21 17y y 1 y 1 � � � � � x; y 2; 1 Vậy hệ có nghiệm * Ta thường chọn ẩn có hệ số hay (-1) (nếu có) chọn ẩn có hệ số nhỏ để rút ẩn theo ẩn lại cho việc tính toán đơn giản 5.2.2 Phương pháp cộng đại số Cách giải - Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (Nếu cần) cho hệ số biến x (hoặc y) hai phương trình hệ đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) - Giải phương trình ẩn vừa thu được, rời suy nghiệm hệ cho 3x y � � Ví dụ Giải hệ phương trình �2 x y (1) (2) Hướng dẫn: - Ta thấy hệ số biến y hai phương trình nhỏ hơn, ta chọn hệ số biến y để cân hệ số - Vì BCNN(2; 1) = 2, nên nhân hai vế phương trình (2) với 2, ta 3x y � � hệ tương đương: �4 x y 10 - Cộng vế hai phương trình hệ, ta phương trình 7x = 14 ta x 14 � � đưa hệ cho hệ �2 x y Trong hệ này, từ phương trình 7x = 14 ta tính x = lấy giá trị x = thay vào phương trình 2x + y = 5, ta có 2.2 + y = � y = – � y = 3x y 3x y x 14 � � � �x �x � � �� �� �� � x y 10 2x y 2.2 y � � � �y 1 Lời giải: �2 x y Vậy hệ có nghiệm x; y 2; 1 * Chú ý: Trước thực phép nhân hai vế phương trình hệ với hệ số, ta cần quan sát để tìm số thích hợp Việc làm đơi giúp ta tìm cách giải ngắn gọn Chẳng hạn: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x 5y (1) � � 3x 2y (2) � Với hệ này, ta nhân hai vế (1) với x 5y 3x 15y 21 17y 17 y 1 � � � � � � �� �� � 3x 2y 3x 2y 3x 2y x2 � � � � Vậy hệ có nghiệm x; y 2; 1 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 18x 3y 21 (1) � � 12x 15y 99 (2) � Cách 1: Vì BCNN (18;12) = 36 nên ta cần nhân hai vế (1) với hai vế (2) với để có hệ 36x 6y 42 51y 255 y5 � � � � �� �� 36x 45y 297 12x 15y 99 x2 � � � Vậy hệ có nghiệm x; y 2; 5 Cách 2: Vì BCNN (3;15) = 15 nên ta nhân hai vế (1) với để có hệ: 90x 15y 105 102x 204 x2 x 2 x2 � � � � � �� �� �� �� � 12x 15y 99 18x 3y 21 18.2 3y 21 3y 15 y 5 � � � � � Vậy hệ có nghiệm x; y 2; 5 * Chú ý chung: - Khi giải hệ phương trình, ta cần quan sát kĩ hệ số để chọn phương pháp giải đơn giản nhanh chóng - Ý tưởng chung hai phương pháp cộng đại số phương pháp đưa từ việc giải hệ hai phương trình với hai ẩn việc giải hệ phương trình có phương trình với ẩn mà ta biết cách giải.Ý tưởng vận dụng việc giải hệ nhiều phương trình với nhiều ẩn số - Số nghiệm phương trình ẩn định số nghiệm hệ phương trình Trên sở giúp giải tốn hệ phương trình 5.3 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5.3.1 Dạng I: Xác định số nghiệm hệ phương trình Ví dụ 1: Đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau, giải thích? 2x y � � a) �x y 1 2x y � � b) � x y �x y � c) �3x y 3x y � � 6 x y 2 � d) Hướng dẫn: Vì tốn khơng giải hệ phương trình mà phải đốn số nghiệm hệ phương trình nên ta phải dựa vào hệ thức số a b c nghiệm hệ phương trình Muốn ta phải tính tỉ số a ' ; b ' c ' Rồi so sánh b 1 �a a 2 a' a) Ta có: a ' ; b ' 2 b� � b'� 1� � 2� Vậy hệ phương trình có nghiệm b a a � 2 a' b) Ta có: a ' 1 ; b' b 1 b' Vậy hệ phương trình có nghiệm a b c �1 � a b c � � � �1� a ' b ' c ' �3 � c) Ta có: a ' ; b ' ; c ' Vậy hệ phương trình vơ nghiệm a b c �1� c 1 a b 2 � � � a' b' c' � � ; c ' 2 2 ; b' d) Ta có: a ' 6 Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm mx y � � Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: �x my m a) Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm b) Với giá trị m hệ phương trình vơ nghiệm c) Với giá trị m hệ phương trình có vơ số nghiệm Hướng dẫn: Ta thấy với m = hệ phương trình có nghiệm Với m �0 thì: a) Hệ phương trình có nghiệm m � � m � m �1 � m ��1 Vậy với m ��1 hệ phương trình có nghiệm m 1 � b) Hệ phương trình vơ nghiệm � m m 10 m để nghiệm hệ phương trình số nguyên Hướng dẫn: * Rút x từ (2) rồi thay vào (1) rút gọn ta được: m m 2 y m 2 Với m �0 m � hệ phương trình có nghiệm nhất: �3m m � ; � � m � � m Với m = hệ phương trình vơ nghiệm Với m = hệ phương trình có vơ số nghiệm: * Với m = 2, hệ có nghiệm nguyên x; x x; x với x �R với x �R � x 3 � � m � �y m Với m �0 m � hệ phương trình có nghiệm nguyên � số nguyên � m ước 2, tức m = - 2; m = 1; m = - Khi với m = - hệ có nghiệm ngun (4; 2) m = - hệ có nghiệm ngun (5; 3) m = hệ có nghiệm nguyên (1; -1) *Kết luận:Với m=-2; m=-1; m=1; m=2 hệ phương trình có nghiệm ngun Ví dụ 4: Cho hệ phương trình � m 1 x y m � � �x m 1 y ; có nghiệm (x; y) 2x 3y Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên � m 1 x y m (1) � � x m 1 y (2) Hướng dẫn: Hệ PT � * Từ (1) � y = m - (m - 1)x = m - mx + x (*) Thay vào (2) ta x + (m - 1)(m - mx + x) = � x + m2 - m2x + mx - m + mx - x = � m2 - m2x + 2mx - m = � m2x - 2mx = m2 - m - � m(m - 2)x = (m + 1)(m - 2) ĐK: m �0 m �2 27 � x= m 1 m Thay vào (*) ta y m ( m 1) m 1 m m � m 1 x � � m � �y Do hệ phương trình có nghiệm � m ( m � m �2) 2x 3y x y * m 1 m m m 2m m 1 m 11 m2 m2 m m nhận giá trị nguyên �Z � m2 � m + ước Mà Ư(5) = {- 5; - 1; 1; 5} nên ta có: m+2 m -5 -7 -1 -3 -1 2x y Vậy m = - 7, - 3, - 1, biểu thức x y nhận giá trị nguyên 5.3.6 Dạng VI: Một số tốn quy hệ hai phương trình bậc hai ẩn +) Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng - Ba đường thẳng đồng quy Ví dụ 1: Tìm giá trị m để đờ thị hàm số y = (m + 2)x + m – 3; y = 2x – y = - 3x + đồng quy Hướng dẫn: Toạ độ giao điểm y = 2x -1; y = - 3x + nghiệm hệ �y = 2x -1 �y = 2x -1 �y = 2x -1 �x �� �� � � 5x - = �y = - 3x + �y = - 3x + � �y � Toạ độ giao điểm (1; 1) Để đồ thị hàm số y = 2x - 1; y = - 3x + y = (m + 2)x + m - đồng quy � y = (m + 2)x + m - qua điểm (1; 1) � = m + + m - � m = Vậy m = đờ thị hàm số y = 2x - 1; y = - 3x + y = 3x - đồng quy điểm (1; 1) Cách khác: Gọi toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m - 3; y = 2x - y = - 3x + (x0; y0) Ta có 28 y0 = 2x -1 �y0 = (m + 2)x + m - � �x0 �x0 � � � � �� 5x - = � �y0 � �y0 �y0 = 2x -1 �y = - 3x + � � � y0 = (m + 2)x + m - m m 3 1 m 1 �0 � � � Vậy m = đờ thị hàm số y = 2x -1; y = - 3x + y = 3x - đồng quy điểm (1; 1) Ví dụ 2: Tìm giá trị k để đường thẳng sau cắt điểm: y 6 x 4x y ; y = kx + k + Hướng dẫn: Toạ độ giao điểm hai đường thẳng y 6 x 4x y ; � 6 x y � � � �y x nghiệm hệ phương trình � Giải hệ phương trình ta (x; y) = (2; 1) Do hai đường thẳng y 6 x 4x y ; cắt điểm M(2; 1) Đường thẳng y = kx + k + qua M(2; 1) � = 2k + k + � k = Vậy k = ba đường thẳng cắt điểm M(2; 1) Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng ( d1 ): y = 2x + 5; ( d2 ): y = - 4x - cắt I Tìm m để đường thẳng ( d3 ): y = ( m + 1)x + 2m - qua điểm I Hướng dẫn: Do I giao điểm (d 1) (d2) nên toạ độ I nghiệm hệ phương trình: �y x � �y 4 x Giải hệ tìm I(- 1; 3) Do (d3) qua I nên ta có = (m + 1)(- 1) + 2m - Giải phương trình tìm m = Ví dụ 4: Tìm m để ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy Hướng dẫn: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = 29 x + 2y = nghiệm hệ phương trình: Vậy M(0,2 ; 1,25) Để ba đường thẳng đờng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2 - 1,25 = m m = - 0,85 Vậy m = - 0,85 ba đường thẳng đờng quy +) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm - Ba điểm thẳng hàng Ví dụ 1: Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(- 3; - 1) Hướng dẫn: * Hai điểm A(1; 3) B( - 3; - 1) thuộc (d) => ta có hệ ab 4a a 1 � � � �� �� � b2 * Giải hệ phương trình: �3a b 1 �a b � * Kết luận: a = 1; b = Đường thẳng (d) có phương trình y x2 Ví dụ 2: Chứng minh điểm A(2; 4); B(- 3; - 1) C(- 2; 1) không thẳng hàng Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng AB có dạng: y ax b d B 3; 1 Vì A 2; thuộc (d) nên ta có 5a a 1 � 2a b � � �� �� � 1 3a b b2 � �4 2a b � Vậy phương trình đường thẳng AB là: y x Ta có C(- 2; 1) � x = - 2; y = Thay vào phương trình đường thẳng AB ta được: 2 � (vô lí) Suy C 2;1 không thuộc đường thẳng AB Vậy ba điểm A(2; 4); B(- 3; - 1) C(- 2; 1) không thẳng hàng Ví dụ 3: Chứng minh điểm A(1; 3), B(- 2; - 3), C(3; 7) thẳng hàng Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng AB có dạng: y ax b d Vì A(1; 3) B(- 2; - 3) thuộc (d) nên ta có hệ phương trình : 30 3 ab 3a a2 a2 � � � � �� �� �� � 3 2a b ab 3 � 2b � b 1 � � Vậy phương trình đường thẳng AB là: y x Ta có C(3; 7) � x = 3; y = Thay vào phương trình đường thẳng AB ta được: = 2.3 + � = (luôn đúng) Suy C(3; 7) thuộc đường thẳng AB Vậy ba điểm A(1; 3), B(- 2; - 3), C(3; 7) thẳng hàng Ví dụ 4: Tìm m để ba điểm A(4; 5), B(2m ; m2), C(- ; - 2) thẳng hàng Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng AC có dạng: y ax b d Vì A(4; 5) C(- ; - 2) thuộc (d) nên ta có hệ phương trình: 4a b 7a a 1 a 1 � � � � �� �� �� � 2 3a b 4a b 4.1 b b 1 � � � � Vậy phương trình đường thẳng AB là: y x Để ba điểm A(4; 5), B(2m ; m2), C(- ; - 2) thẳng hàng đường thẳng AC phải qua B(2m ; m2) Hay B(2m ; m2) thuộc đường thẳng y x Ta có B(2m ; m2) � x = 2m; y = m2 Thay vào phương trình đường thẳng y x ta được: m2 = 2m - � m2 - 2m + = � (m – 1)2 = � m = Vậy m = ba điểm A(4; 5), B(2m ; m2), C(- ; - 2) thẳng hàng Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hệ phương trình (m tham số) a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương Bài 2: Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy 31 c) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m ngun cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Tìm m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (- 1; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = - Bài 6: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức Bài 7: Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 32 � m 1 x y m � � �x m 1 y ; có nghiệm (x; y) Bài 8: Cho hệ phương trình a) Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 - 7y = 2x 3y b) Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên Bài 9: Chứng minh ba điểm A(0; - 1); B(1; 1); C(- 2; - 5) thẳng hàng Bài 10: Tìm m để đường thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b m x – 3m y m – – m x – 2y m 2m – ; mx y m KẾT QUẢ THỰC HIỆN 6.1 Kết kiểm tra trước thực chuyên đề Để có kết đối chứng trước tiến hành triển khai nội dung sáng kiến “Rèn kĩ giải hệ phương trình” học sinh, tiến hành cho 30 học sinh lớp 9B trường với nội dung đề sau: ĐỀ BÀI: 1, Giải hệ phương trình sau: 2x y � � a) � x y �2 x y � � 12 � �x y b) � � �x 2y y 2x � � � 1 � c) �x 2y y 2x � m 1 x y m � � x m 1 y 2, Cho hệ phương trình: � (m tham số) Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 - 7y = ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM 1, Giải hệ phương trình �x � Kết quả: a) �y b) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm �m 1 � ; � � 2, Giải hệ phương trình theo m (x; y ) = � m m � điểm �1 � �; � c) (x; y) = �3 � (2 điểm) Thay giá trị x; y vào đẳng thức 2x2 - 7y = 1, rút gọn ta phương trình: 33 m2 m2 � � � m 1 � � m 1 m 3m � m m 1 � � � Vậy m = 2; m = … (1,5 điểm) (0,5 điểm) BẢNG THỚNG KÊ KẾT QUẢ Điểm Số học sinh (30 hs) Tỉ lệ % 0-2 3-4 30% 5-6 7-8 13 26,7% 43,3% - 10 0 0% 0% Dưới Trên trung trung bình bình 22 56,7% 43,3% 6.2 Kết kiểm tra sau thực chuyên đề Sau tiến hành triển khai nội dung sáng kiến “Rèn kĩ giải hệ phương trình” 30 học sinh lớp 9B, tơi tiến hành cho nhóm học sinh làm kiểm tra với nội dung đề sau: ĐỀ BÀI: 1, Giải hệ phương trình sau: �x y � a) �3x y �3x y x y x 1 � � � �2 x y x y y b) � c) � x2 2x y � � x 2x y � � � m 1 x y m � � x m 1 y 2, Cho hệ phương trình: � (m tham số) 2x 3y Tìm giá trị m để biểu thức x y nhận giá trị nguyên ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM 1, Giải hệ phương trình Kết quả: a) Hệ phương trình vơ nghiệm 34 điểm 3; b) (x; y) = c) (x; y) = 1;3 �m 1 � ; � � m m� � 2, Giải hệ phương trình theo m (x; y ) = Thay x (2 điểm) 2x 3y m 1 A ;y 2 x y , rút gọn ta A= m (1đ) m m vào biểu thức Tìm m = - 1; m = - 3; m = - 7; m = (1 điểm) BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ Điểm Số học sinh (30 hs) Tỉ lệ % 0-2 3-4 5-6 7-8 - 10 Dưới Trên trung trung bình bình 12 28 0% 10% 23,3% 40% 26,7% 10% 90% * Qua kết cho thấy việc áp dụng nội dung sáng kiến “Rèn kĩ giải hệ phương trình” vào giảng dạy cho học sinh tơi thấy học sinh lớp 9B vừa nắm kiến thức bản, vừa mở rộng dạng tốn ngồi sách giáo khoa, biết suy luận hợp lí có sở, khiến em ln phải tìm tòi, khám phá kiến thức mới, phù hợp với lực Học sinh xác định loại tốn cách làm, nhiều em học sinh có hứng thú học tốn Chất lượng mơn Tốn nâng lên Đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi gặt hái thành công lớn Đề tài giúp học sinh giải tốn giải hệ phương trình có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tập hệ phương trình nói riêng Điều kiện để sáng kiến nhân rộng - Sáng kiến áp dụng rộng rãi cho học sinh khối toán trường cách dễ dàng khơng cần phải có trang thiết bị máy móc đại 35 Phần 3: KẾT LUẬN KẾT LUẬN Sáng kiến giải vấn đề sau: - Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống hệ phương trình đại số, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề học sinh khơng cảm giác e sợ gặp hệ phương trình - Tạo cho học sinh có thói quen tổng qt tốn tìm tốn xuất phát Thơng qua việc tìm toán gốc, việc tổng quát toán, việc tạo tốn mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho 36 em niềm tin, hứng thú học tập môn phát triển lực học sinh Qua thực tế giảng dạy áp dụng sáng kiến thấy em học sinh nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào tốn cụ thể mà hứng thú học tập chuyên đề Khi học lớp qua lần thi thử, số học sinh làm giải hệ phương trình cao hẳn năm trước tốt nhiều so với em học không áp dụng sáng kiến BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua việc hướng dẫn học sinh làm tập cho thấy phần kiến thức chuyên đề “Rèn kĩ giải hệ phương trình” phần kiến thức mở giáo viên nên đưa vào cuối luyện tập, tự chọn, đặc biệt ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào THPT Cần đưa kiến thức, tập cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ơn tập, giao tập nhà, kiểm tra học sinh Cần đưa nội dung vào dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động mà đạt kết không mong muốn Sau hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện kỹ làm tập cho học sinh Cần phân dạng rõ ràng có phần giải mẫu Cần tạo không khí sôi nổi, tích cực làm việc, GV cần ý tới mức độ tiếp thu kĩ trình bày học sinh * Đối với học sinh cần nắm thật phương pháp giải hệ phương trình, hiểu phương pháp cần yếu tố nào, kiện nào, qua vận dụng phương pháp thích hợp vào giải toán KHUYẾN NGHỊ * Đối với giáo viên: Cần điều tra, nắm bắt trình độ tiếp thu học sinh, nắm vững chương trình mơn Tốn THCS, lên kế hoạch giảng dạy cách chi tiết, chuẩn mực, phải thường xuyên nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng 37 nghiệp để nâng cao trình độ chun mơn Phải coi trọng đổi phương pháp dạy học Đặc biệt phải kích thích em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy tố chất tốt em để công việc học tập em đạt hiệu cao * Đối với nhà trường: tăng số đầu sách (bao gồm SGK, SBT, loại sách tham khảo), cần tạo điều kiện thuận lợi thời gian phương tiện giảng dạy để giúp GV giảng dạy tốt Trang bị thêm đồ dùng dạy học bổ sung thiết bị hỏng để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy * Đối với cấp trên: Cần có giải pháp giảm bớt loại hồ sơ sổ sách không thực cần thiết, để giáo viên có thời gian tập trung sức lực, tâm huyết vào công việc nghiên cứu giảng dạy đạt hiệu tốt Tăng cường, khuyến khích sáng kiến cấp trường triển khai vào thực tế giảng dạy Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo hạn chế nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy, bạn đờng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm trình giảng dạy thời gian sau Tôi xin chân thành cảm ơn! 38 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO - SGK Đại số 9- Nhà xuất GD - Một số vấn đề phát triển Đại số - Nhà xuất GD 2001 - Tốn bời dưỡng Đại số - Nhà xuất GD 2002 - Toán nâng cao chuyên đề Đại số - Nhà xuất GD 1995 - Để học tốt Đại số - Nhà xuất GD 1999 - 23 chuyên đề toán sơ cấp - Nhà xuất trẻ 2000 - Những đề thi tài liệu khác có liên quan 39 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang Phần1: Thông tin chung sáng kiến Tóm tắt sáng kiến Phần 2: Mơ tả sáng kiến Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Mục đích sáng kiến 3.Cơ sở nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Các giải pháp biện pháp thực 5.1 Kiến thức 5.2 Phương pháp giải hệ phương trình thơng thường 5.3 Một số dạng tập hệ phương trình 10 40 5.3.1.Dạng I: Xác định số nghiệm hệ phương trình 10 5.3.2 Dạng II: Giải hệ pt …bằng hai phương pháp thông thường 11 5.3.3 Dạng III: Giải hệ phương trình đưa dạng hai pt bậc hai ẩn 13 5.3.4: Dạng IV: Giải biện luận số nghiệm hệ pt bậc 2ẩn 19 5.3.5 Dạng V: Một số toán đk nghiệm hệ pt… 20 5.3 Dạng VI: Một số toán quy hệ pt bậc hai ẩn 28 Kết thực 32 Điều kiện để sáng kiến nhân rộng 35 Phần 3: Kết luận 36 Kết luận 36 Bài học kinh nghiệm 36 Khuyến nghị 37 Phụ lục: Tài liệu tham khảo 39 Mục lục 40 41 ... cộng đại số phương pháp đưa từ việc giải hệ hai phương trình với hai ẩn việc giải hệ phương trình có phương trình với ẩn mà ta biết cách giải. Ý tưởng vận dụng việc giải hệ nhiều phương trình với... a’b hệ phương trình vơ nghiệm có vơ số nghiệm 5.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƠNG THƯỜNG 5.2.1 Phương pháp Cách giải - Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ cho (coi phương trình. .. Số nghiệm phương trình ẩn định số nghiệm hệ phương trình Trên sở giúp giải tốn hệ phương trình 5.3 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5.3.1 Dạng I: Xác định số nghiệm hệ phương trình Ví dụ