“ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức”. Đây là một số cách giải khi gặp bài toán về chứng minh tỉ lệ thức, đáp ứng một phần nhu cầu giảng dạy và bồi dưỡng học sinh đại trà, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7.
TĨM TẮT SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong mơn tốn lớp nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làm cho em lúng túng, thường khó xác định hướng giải để làm công cụ tổng quát, đặc biệt gặp tốn khó Lí học sinh tiếp cận với dạng tốn đó, mặt khác SGK sách tham khảo khác đề cập cụ thể đến dạng toán Học sinh định hướng, khai thác sâu khơng củng cố nhiều dạng tốn Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức nội dung quan trọng để rèn luyện tư học sinh gợi hướng mở để giải toán liên quan số học, đại số, hình học Khơng áp dụng chương trình tốn mà áp dụng cho tốn 8, toán ( THCS ) em học Có nhiều sách có tập “ Chứng minh tỉ lệ thức”, song chưa có trình tự, hệ thống phương pháp để giúp học sinh có cơng cụ , hướng tư nhanh nhạy gặp dạng toán Để đáp ứng phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tơi nghiên cứu mạnh dạn trình bày kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức” Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Áp dụng dạy cho học sinh lớp học sinh lớp 8,9 thuộc nội dung có liên quan Đối tượng học sinh đại trà Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Nội dung sáng kiến: Trên sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng dẫn học sinh chứng minh tốn tỉ lệ thức Tơi viết sáng kiến " Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức" nhận nhiều ý kiến đóng góp q báu BGH, đồng chí đồng nghiệp, em học sinh nhiệt thành vận dụng Đã có nhiều ý kiến động viên, tán thành Mặt khác thực tế học sinh chưa xây dựng thói quen tư có cứ, xây dựng mối liên hệ yếu tố học, kiến thức học, nhằm giải tình đặt ra, nội dung yêu cầu toán Do việc xây dựng nội dung kiến thức phương pháp cụ thể , có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức học, giúp học sinh định hướng, nắm bắt nhanh nội dung kiến thức cụ thể quan trọng cần thiết Do vậy, nhận thấy chuyên đề cần bổ sung phát triển thêm Nên viết đề tài để sâu thêm bước nữa, nhằm khai thác toán chứng minh tỉ lệ thức đạt kết cao Đồng thời ý cho học sinh cách vận dụng phương pháp, vận dụng phù hợp với toán; để đưa lời giải chứng minh cho toán cách ngắn gọn, đơn giản đạt hiệu cao Trên hai mục đích rõ ràng: áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại trà áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi Được thể ví dụ áp dụng, hệ thống tập trình bày đề tài Sáng kiến áp dụng việc giảng dạy chuyên đề trường học, áp dụng cho tất đối tượng học sinh, áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp lớp 8; ( trường THCS ) Mỗi đối tượng áp dụng khai thác với mức độ khác cho phù hợp, đề tài đề cập đến toán chứng minh tỉ lệ thức Ngồi vận dụng để giải số tốn về: tính giá trị biểu thức, so sánh hai tỉ số, tốn tìm giá trị biến, tốn hình học có liên quan đến tỉ lệ thức mà đề tài chưa có điều kiện đề cập đến Để giúp học sinh tiếp thu nhanh, nắm vững kiến thức; phương pháp suy nghĩ khoa học, kinh nghiệm cá nhân tích luỹ học tập, phương pháp dạy thày để hình thành hướng suy nghĩ, tìm lời giải cho học sinh góp phần quan trọng Nhiệm vụ khó khăn đòi hỏi phải có thời gian kinh nghiệm sư phạm, có lòng tận tâm phương pháp đắn Kết sáng kiến Trong trình giảng dạy năm học trước, đặc biệt năm học 2015 2016 Ở lớp Bồi dưỡng đại trà, Bồi dưỡng đội tuyển Tôi hướng cho học sinh hướng chủ đạo, giúp em thuận lợi nhiều làm toán chứng minh tỉ lệ thức hay giải tốn có tính chất tương tự Phần lớn củng cố khắc sâu cho học sinh công cụ chứng minh tỉ lệ thức, phát triển tư duy, thao tác, kĩ học sinh, khả trình bày tốt với tốn chứng minh tỉ lệ thức Ngoài việc giải, nghiên cứu lời giải tốn khó chứng minh tỉ lệ thức Học sinh đội tuyển, học sinh khá, giỏi tiếp tục khai thác tốn khơng nằm phạm vi giới hạn đề tài Nhưng có tính chất tương tự hay lấy làm cơng cụ để giải tốn nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệ thức Học sinh chủ động, hứng thú giải tập, hiểu rõ nội dung, chất yêu cầu toán Nâng cao khả suy luận logic, tinh thần tích cực học hỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu cách rõ nét Sau thời gian áp dụng trường hai đối tượng: Học sinh đại trà học sinh khá, giỏi Tơi nhận thấy em có kĩ tốt trình bày, chứng minh nhiều tốn khó chun đề tỉ lệ thức - Toán Biểu ổn định rõ nét chấm kết trực tiếp khảo sát Khuyến nghị, đề xuất - Ở đây, thời gian có hạn nên tơi trình bày số dạng bài, số phương pháp để minh hoạ giúp học sinh có cơng cụ giải tốn chứng minh tỉ lệ thức Đồng thời dã đưa tập tự giải giáo viên em học sinh luyên tập, để làm tư liệu, củng cố kiến thức phương pháp - Nếu có điều kiện, nên đưa tốn có chứa giá trị tuyệt đối, chứa số, số vô tỉ Không áp dụng cho số mà mở rộng cho biểu thức đại số mà em học kì II - lớp Khơng dừng lại tốn chứng minh tỉ lệ thức đơn mà sâu vào tốn: tính giá trị, chứng minh, tìm biến mà thơng qua chứng minh tỉ lệ thức suy điều bước ngoặt tốn MƠ TẢ SÁNG KIẾN A ĐẶT VẤN ĐỀ I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học mơn học chiếm vị trí quan trọng trường THCS Dạy toán dạy phương pháp suy luận khoa học Học toán rèn luyện khả tư lơgíc Giải tốn biện pháp tốt để học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư lơgíc, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Trong mơn tốn lớp nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làm cho em lúng túng, thường khó xác định hướng giải để làm công cụ tổng quát, đặc biệt gặp tốn khó Lí học sinh tiếp cận với dạng tốn đó, mặt khác SGK sách tham khảo khác đề cập cụ thể đến dạng toán Học sinh định hướng, khai thác sâu khơng củng cố nhiều dạng tốn Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức nội dung quan trọng để rèn luyện tư học sinh gợi hướng mở để giải toán liên quan số học, đại số, hình học Khơng áp dụng chương trình tốn mà áp dụng cho tốn 8, toán ( THCS ) em học Có nhiều sách có tập “ Chứng minh tỉ lệ thức”, song chưa có trình tự, hệ thống phương pháp để giúp học sinh có cơng cụ , hướng tư nhanh nhạy gặp dạng toán Để đáp ứng phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tơi nghiên cứu mạnh dạn trình bày kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức” Đây số cách giải gặp toán chứng minh tỉ lệ thức, đáp ứng phần nhu cầu giảng dạy bồi dưỡng học sinh đại trà, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi toán Từ rèn luyện tư lơgíc, óc phân tích tổng hợp, sáng tạo, nhanh nhạy cần thiết học sinh học toán Tạo điều kiện tốt, giúp học sinh học giải tốn có liên quan Qua thời gian trực tiếp giảng dạy, thử nghiệm tơi thấy phương pháp có hiệu định trình giảng dạy học sinh II - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU Để đánh giá khả giải tốn có phương án tốt để truyền đạt phương pháp đến học sinh Tôi tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá, giỏi lớp trường, đề cho học sinh làm 30 phút sau: a c = ≠ ± 1, c ≠ CMR: b d ab a3 − b3 a − b a + b a) b) ÷ = ÷ = cd c − d3 c− d c+ d Bài 1: (6 điểm) Cho Bài 2: (4 điểm) Cho b2 = ac, c2 = bd, (b, c, d ≠ 0, b + c ≠ d, b3 + c3 ≠ d3) 3 a3 + b3 − c3 a + b − c = CMR: ÷ 3÷ b + c − d b+ c − d Kết cụ thể: Dưới điểm SL % 10 50 → 6đ SL % 30 7đ SL % 10 → 10 đ SL % 10 → 10 đ SL % 10 50 Qua kiểm tra thấy đa số học sinh không làm Có thể nói học sinh chưa có phương pháp chứng minh tỉ lệ thức cách rõ ràng, lời giải thường không chặt chẽ, thiếu định hướng Cũng với tốn trên, có định hướng, nắm rõ phương pháp chứng minh tỉ lệ thức học sinh giải tốn hiệu nhanh chóng xác III - CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP Trên sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng dẫn học sinh chứng minh toán tỉ lệ thức Tôi viết sáng kiến " Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức" nhận nhiều ý kiến đóng góp q báu BGH, đồng chí đồng nghiệp, em học sinh nhiệt thành vận dụng Đã có nhiều ý kiến động viên, tán thành Mặt khác thực tế học sinh chưa xây dựng thói quen tư có cứ, xây dựng mối liên hệ yếu tố học, kiến thức học, nhằm giải tình đặt ra, nội dung yêu cầu toán Do việc xây dựng nội dung kiến thức phương pháp cụ thể , có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức học, giúp học sinh định hướng, nắm bắt nhanh nội dung kiến thức cụ thể quan trọng cần thiết Do vậy, nhận thấy chuyên đề cần bổ sung phát triển thêm Nên viết đề tài để sâu thêm bước nữa, nhằm khai thác toán chứng minh tỉ lệ thức đạt kết cao Đồng thời ý cho học sinh cách vận dụng phương pháp, vận dụng phù hợp với toán; để đưa lời giải chứng minh cho toán cách ngắn gọn, đơn giản đạt hiệu cao Trên hai mục đích rõ ràng: áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại trà áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi Được thể ví dụ áp dụng, hệ thống tập trình bày đề tài IV - PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI Kinh nghiệm áp dụng việc giảng dạy chuyên đề trường học, áp dụng cho tất đối tượng học sinh, áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp lớp 8; ( trường THCS ) Mỗi đối tượng áp dụng khai thác với mức độ khác cho phù hợp, đề tài đề cập đến tốn chứng minh tỉ lệ thức Ngồi vận dụng để giải số tốn về: tính giá trị biểu thức, so sánh hai tỉ số, tốn tìm giá trị biến, tốn hình học có liên quan đến tỉ lệ thức mà đề tài chưa có điều kiện đề cập đến Để giúp học sinh tiếp thu nhanh, nắm vững kiến thức; phương pháp suy nghĩ khoa học, kinh nghiệm cá nhân tích luỹ học tập, phương pháp dạy thày để hình thành hướng suy nghĩ, tìm lời giải cho học sinh góp phần quan trọng Nhiệm vụ khó khăn đòi hỏi phải có thời gian kinh nghiệm sư phạm, có lòng tận tâm phương pháp đắn Mặc dù cố gắng cấp lãnh đạo, đồng chí đồng nghiệp nhiệt thành góp ý Nhưng kinh nghiệm, tuổi nghề hạn chế; nên đề tài khơng trách khỏi thiếu sót Tơi mong, tiếp tục nhận ý kiến đóng góp quí báu cấp lãnh đạo, đồng chí chuyên viên, bạn đồng nghiệp, để đề tài phát huy hiệu cao V - MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI - Khắc sâu cho học sinh kiến thức tỉ lệ thức Hình thành số phương pháp chứng minh tỉ lệ thức Ngồi hiểu vận dụng tốt tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số để chứng minh toán tỉ lệ thức (trong chương trình tốn 7) - Củng cố khắc sâu kiến thức cho học sinh đại trà; khai thác, nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi chuyên đề tỉ lệ thức - Giáo dục tinh thần tích cực học hỏi, tìm tòi sáng tạo học sinh, tăng niềm hứng thú say mê lao động học tập Giáo dục cho học sinh thấy vẻ đẹp mn màu tốn học VI - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đọc tài liệu: SGK, sách tham khảo, tạp chí tốn học Tập hợp, phân tích, khai thác vấn đề Tổng hợp vấn đề Chọn lọc, hình thành nội dung mới, nội dung cần diễn đạt B NỘI DUNG I - NHỮNG KIẾN THỨC CẦN SỬ DỤNG Tỉ lệ thức Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: a c = a : b = c : d b d Các số hạng: a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ Tính chất a) Tính chất bản: a c = ⇔ ad = bc (b, d ≠ 0) b d a c = ( a, b, c, d ≠ ) ta suy tỉ b d b) Tính chất hốn vị: Từ tỉ lệ thức lệ thức khác cách: - Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau: - Đổi chỗ trung tỉ cho nhau: - Đổi chỗ trung tỉ ngoại tỉ: d c = b a a b = c d d b = c a c) Tính chất dãy tỉ số nhau: a c e a+ c+ e a− c+ e a− c − e = = = k = = = = k b d f b+ d + f b− d + f b− d − f Nếu ( giả thiết tỉ số có nghĩa) Chú ý Các số x; y; z tỉ lệ với số a; b; c ta viết x y z = = hay x : y : z = a : b : c a b c Một số tính chất nâng cao a c e = = = k b d f ma + nc + pe ma − nc + pe ma − nc − pe = = = = k mb + nd + pf mb − nd + pf mb − nd − pf a c b) Nếu = b d a) Nếu a+ b c+ d a− b c− d a c a c = , = , = , = b d b d a+ b c+ d a− b c − d ( giả thiết tỉ số có nghĩa) II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP (KĨ THUẬT) CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC - Phương pháp: Giá trị chung * Cách làm: - Để chứng minh tỉ lệ thức, ta cần chứng minh hai tỉ số hai vế tỉ số thứ ba ( giá trị chung ) - Ta đặt giá trị chung hệ thức cho k - Từ tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức cần chứng minh theo k * Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho a c = ≠ 1, abcd ≠ b d Bài giải: CMR: a c = a− b c − d a c = = k ⇒ a = kb; c=kd ( k ≠ 1) b d a kb kb k = = = (1) Ta có: a − b kb − b (k − 1)b k − c kd kd k = = = (2) c − d kd − d (k − 1)d k − a c = Từ (1) (2) suy ra: a− b c− d Ta đặt Ví dụ 2: a+ b c+ d a c = ≠ suy tỉ lệ thức = b d a− b c − d ( Bài tập SGK- Toán 7) CMR: Từ tỉ lệ thức Bài giải: a c = = k (k ≠ 1) ⇒ a = kb, c = kd b d Vì k ≠ ⇒ kb - b ≠ 0, kd - d ≠ a + b kb + b b(k + 1) k + = = = (1) a − b kb − b b(k − 1) k − Ta có: c + d kd + d d(k + 1) k + = = = (2) c − d kd − d d(k − 1) k − a+ b c + d = Từ (1) (2), suy ra: a− b c − d Ta đặt Nhận xét: Điều ngược lại có khơng ? Ví dụ 3: Cho a+ b c+ d = ≠ b, d ≠ a− b c − d CMR: a c = b d Bài giải: a+ b c+ d = = k (k ≠ 1) Ta đặt: a − b c − d ⇒ a + b = k(a - b) c + d = k(c - d) ⇒ a + b = ka - kb c + d = kc - kd Suy ra: (1 + k)b = (k - 1)a (1 + k)d = (k - 1)c Với k ≠ b ≠ 0, d ≠ Ta có: a k+1 c = = b k−1 d * Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi) Bài Tập 1: Cho a) a c = b d pa + qb pc + qd = a c CMR: b) pa + qb pc + qd = pa − qb pc − qd ( p, q ∈ R tỉ số có nghĩa) Bài Tập 2: Cho a c = CMR: b d a2 + b2 (a + b)2 pak + qbk pck + dbk = = a) b) c + d2 (c + d)2 mak + nbk mck + ndk (giả sử tỉ số có nghĩa) - Phương pháp: Biến đổi áp dụng tính chất * Cách làm: - Hốn vị trung tỉ, ngoại tỉ cách hợp lí - Áp dụng tính chất dãy tỉ số - Có thể tiếp tục hốn vị trung tỉ, ngoại tỉ cách hợp lí để đến tỉ lệ thức cần chứng minh * Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho a c = ≠ 1, abcd ≠ b d CMR: a c = a− b c − d Bài giải: Theo bài: a c ≠ 1, ≠ ⇒ a ≠ b, c ≠ d hay a - b ≠ c - d ≠ b d Biến đổi áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có: a c a b a a− b a c = ⇒ = ⇒ = ⇒ = b d c d c c− d a− b c− d a c a− b c − d = Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức = ≠ −1 suy tỉ lệ thức b d a+ b c + d Bài giải: Theo bài: a c a b a c = ⇒ = , ≠ −1, ≠ −1⇒ a + b ≠ c + d ≠ b d c d b d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b a− b a+ b a− b a+ b a− b c− d = = = = ⇒ = Từ c d c− d c+ d c− d c+ d a+ b c + d Ví dụ 3: Cho Bài giải: a+ b c+ d = ≠ b, d ≠ a− b c − d CMR: a c = b d a+ b c+ d = Hoán vị hai trung tỉ áp dụng tính chất dãy tỉ a− b c− d số nhau, ta có: Từ tỉ lệ thức a + b c + d a + b a − b a + b + a − b 2a a = ⇒ = = = = a − b c − d c + d c − d c + d + c − d 2c c a + b a − b a + b − (a − b) 2b b a c = = = = Tương tự: Suy ra: = c + d c − d c + d + (c − d) 2d d b d * Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi) a c Bài tập 1: Cho tỉ lệ thức: = CMR: b d 5a + 7b 5c + 7d = a) 5a − 7b 5c − 7d 7a2 + 4ab 7c2 + 4cd = b) 11a2 − 8b2 11c2 − 8d2 (giả sử tỉ số có nghĩa) a c Bài tập 2: a) Cho tỉ lệ thức: = b d an + bn an − bn = CMR: n c + dn cn − dn (n∈ N ) b) CMR: Từ tỉ lệ thức 2k a2k + b2k a2k − b 2k = c2k − d2k c2k + d (k∈ N ) ta suy được: a c =± b d (giả sử tỉ số có nghĩa) - Phương pháp: Xét tích trung tỉ ngoại tỉ * Cách làm: Để chứng minh tỉ lệ thức A C = , ta chứng minh A.D = B.C B D * Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho a c = ≠ 1, abcd ≠ b d CMR: a c = a− b c− d Bài giải: Lời giải 1: Theo bài: Xét tích: a c ≠ 1, ≠ ⇒ a ≠ b, c ≠ d hay a - b ≠ c - d ≠ b d c(a - b) a(c - d) Ta có: a(c - d) = ac - ad, c(a - b) = ac - bc a c a c = = ⇒ ad = bc Từ đó, ta có: a(c - d) = c(a - b) ⇒ a− b c − d b d a c Lời giải 2: Theo bài: = ⇒ ad = bc ⇒ ac - ad = ac - bc b d Theo bài: ⇒ a(c - d) = c(a - b) Do Ta có: a c = ≠ ⇒ a - b ≠ c - d ≠ b d a c = a− b c− d * Nhận xét: - Đây phương pháp áp dụng tính chất tỉ lệ thức Học sinh vận dụng dễ dàng - Chỉ áp dụng với biểu thức không phức tạp, khơng cồng kềnh Nên tính tổng qt phương pháp không cao Học sinh phải ý vận dụng phương pháp Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức a c a− b c− d = ≠ −1 suy tỉ lệ thức = b d a+ b c+ d Bài giải: Lời giải 1: Từ a c = ⇒ ad = bc (1) b d b a− b = (*) d c− d b a+ b Từ (1) ⇒ ad + bd = bc + bd ⇒ d(a + b) = b(c + d) ⇒ = (**) d c+ d a− b a+ b a− b c − d = ⇒ = Từ (*) (**), suy ra: c− d c+ d a+ b c+ d Từ (1) ⇒ ad - bd = bc - bd ⇒ d(a - b) = b(c - d) ⇒ ( Vì theo giả thiết , ta có: a + b ≠ c + d ≠ 0) Lời giải 2: Xét tích: (a - b).(c + d) (a + b).(c - d) Ta có: (a - b).(c + d) = ac + ad - bc - bd = (ac - bd) + (ad - bc) (a + b).(c - d) = ac - ad + bc - bd = (ac - bd) + (- ad + bc) Theo bài: a c a− b c− d = = ⇒ ad = bc ⇒ (a - b).(c + d) = (a + b).(c - d) ⇒ a+ b c+ d b d ( Vì theo giả thiết , ta có: a + b ≠ c + d ≠ 0) Ví dụ 3: Cho a+ b c+ d = ≠ b, d ≠ a− b c − d 10 CMR: a c = b d Bài giải: Theo bài: a+ b c+ d = ⇒ (a + b).(c - d) = (a - b).(c + d) a− b c− d (theo t/c tỉ lệ thức) ⇒ ac - ad + bc - bd = ac + ad - bc - bd ⇒ 2ad = 2bc ⇒ ad = bc ( b, d ≠ 0) ⇒ a c = b d * Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi) a c = b d 7a + 21b 7c + 21d 3a − 7b 3c − 7d = = CMR: a) b) 3a + 7b 3c + 7d 21a − 7b 21c − 7d a c Bài tập 2: Cho = CMR: b d 7a2 − 3ab 7c2 − 3cd ma − nb mc − nd = = a) , b) ma + nb mc + nd 11a2 + 4b2 11c2 + 4d2 (giả sử tỉ số có nghĩa) Bài tập 1: Cho - Phương pháp: Biến đổi tỉ số vế thành tỉ số vế lại * Cách làm: - Thường dùng tính chất: Hốn vị, kết hợp, tính chất đẳng thức, tính chất dãy tỉ số nhau, để biến đổi vế thành vế - Chọn vế để biến đổi, vận dụng giả thiết tốn, nhứng tính chất phù hợp để tạo biểu thức mới, biểu thức vế lại * Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho a c = ≠ 1, abcd ≠ b d CMR: a c = a− b c − d Bài giải: Lời giải 1: Theo bài: a c = ⇒ ad = bc (abcd ≠ 0) a ≠ b, c ≠ d Do , ta b d có: 11 a ad ad bc bc c = = = = = a − b d(a − b) ad − bd bc − bd b(c − d) c − d Lời giải 2: Theo bài: a c = ⇒ ad = bc (abcd ≠ 0) a ≠ b, c ≠ d Do , ta có: b d c bc bc ad ad a = = = = = c − d b(c − d) bc − bd ad − bd d(a − b) a − b Ví dụ 2: CMR: Từ tỉ lệ thức a c a− b c− d = ≠ −1 suy tỉ lệ thức = b d a+ b c+ d Bài giải: Lời giải 1: a c = ≠ −1⇒ ad = bc a + b ≠ 0, c + d ≠ b d a − b cd(a − b) adc − bcd bc.c − bc.d bc(c − d) c − d = = = = = Do đó: a + b cd(a + b) adc + bcd bc.c + bc.d bc(c + d) c + d Theo bài: a c = ≠ −1⇒ ad = bc a + b ≠ 0, c + d ≠ b d c − d ab(c − d) a.bc − ad.b a.bc − bc.b bc(a − b) a − b = = = = = Do đó: c + d ab(c + d) abc + ad.b a.bc + bc.b bc(a + b) a + b Lời giải 2: Theo bài: Ví dụ 3: Cho ax + by cx + dy a c = = CMR: ( x, y ∈ R) ax − by cx − dy b d (giả sử tỉ số có nghĩa) Bài giải: Lời giải 1: Theo bài, ta có: a c = ⇒ ad = bc (các tỉ số có nghĩa) b d 12 Do đó: ax + by d(ax + by) adx + bdy bcx + bdy b(cx + dy) cx + dy = = = = = ax − by d(ax − by) adx − bdy bcx − bdy b(cx − dy) cx − dy Lời giải 2: Theo bài, ta có: a c = ⇒ ad = bc (các tỉ số có nghĩa) b d Do đó: cx + dy b(cx + dy) bcx + bdy adx + bdy d(ax + by) ax + by = = = = = cx − dy b(cx − dy) bcx − bdy adx − bdy d(ax − by) ax − by * Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi) Bài tập 1: Cho a c = , b + d ≠ b d ( a + c) b) ( b + d) a2 + c2 ac = , CMR: a) b + d2 bd Bài tập 2: 2 = ac bd a c = , c ≠ 0, c + d ≠ b d a2 + b2 ab a2 ac = , b) = CMR: a) c + d2 cd b bd Cho - Phương pháp: Tổng hợp (Vận dụng đồng thời nhiều phương pháp) * Cách làm: - Lựa chọn, vận dụng khéo léo, linh hoạt phương pháp chủ đạo nêu - Tuỳ thuộc vào giả thiết yêu cầu tốn Mà có cách chọn lựa phù hợp Thường áp dụng cho có tính tổng hợp, cần nhiều bước biến đổi Đặc biệt toán dành cho học sinh giỏi * Các ví dụ minh hoạ: a2 + c2 ( a + c) a c = = , b + d ≠ CMR: Ví dụ 1: Cho 2 b + d b d ( b + d) Bài giải: 13 a c = Áp dụng tính chất tỉ lệ thức áp dụng tính chất b d a c a c a+ c = ⇒ = = dãy tỉ số nhau, ta có: b d b d b+ d Theo bài: 2 a2 + c2 a c a+ c ⇒ ÷ = ÷ = ÷ = 2 b d b+ d b + d Ví dụ 2: Cho a c = ( a, b, c, d > ) CMR: b d 2a − 3b 2c − 3d = a) 2a + 3b 2c + 3d Bài giải: 3a2 + 10b2 − 17ab 3c2 + 10d2 − 17cd b) = 7a2 + b2 + 5ab 7c2 + d2 + 5cd (áp dụng tổng hợp cách) a) Cách 1: ( Gọi giá trị chung) Gọi giá trị chung a c = = k ⇒ a = kb, c = kd b d Ta có: 2a − 3b 2kb − 3b b(2k − 3) 2k − = = = (1) 2a + 3b 2kb + 3b b(2k + 3) 2k + 2c − 3d 2kd − 3d d(2k − 3) 2k − = = = (2) 2c + 3d 2kd + 3d d(2k + 3) 2k + 2a − 3b 2c − 3d = Từ (1) (2), ta có: 2a + 3b 2c + 3d Cách 2: ( Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau) a c a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b = ⇒ = = = = = b d c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d 2a − 3b 2c − 3d ⇒ = (Với a, b, c, d > ) 2a + 3b 2c + 3d Theo bài: Cách 3: ( Xét tích trung tỉ ngoại tỉ) 14 Ta xét tích: (2a - 3b)(2c + 3d) (2a + 3b).(2c - 3d) Ta có: (2a - 3b)(2c + 3d) = 4ac + 6ad - 6bc - 9bd (2a + 3b)(2c - 3d) = 4ac - 6ad + 6bc - 9bd a c Theo bài: = ⇒ ad = bc ⇒ (- 6ad + 6bc) = (6ad - 6bc) = b d ⇒ (2a - 3b).(2c + 3d) = (2a + 3b).(2c - 3d) ⇒ 2a − 3b 2c − 3d = 2a + 3b 2c + 3d ( a, b, c, d > ) Cách 4: ( Biến đổi tỉ số vế thành tỉ số vế lại) a c Theo bài: = ⇒ ad = bc b d 2a − 3b d(2a − 3b) 2ad − 3bd 2bc − 3bd b(2c − 3d) 2c − 3d = = = = = 2a + 3b d(2a + 3b) 2ad + 3bd 2bc + 3bd b(2c + 3d) 2c + 3d a c a b a2 b2 ab 3a2 10b2 17ab 3a2 + 10b2 − 17ab = = = = b) = ⇒ = ⇒ = = b d c d c d cd 3c2 10d2 17cd 3c2 + 10d2 − 17cd Mặt khác , ta lại có: a2 b2 5ab 7a2 7a2 + b2 + 5ab = = = = c2 d2 5cd 7c2 7c2 + d2 + 5cd Từ , suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho n số khác , thoả mãn: a22 = a1a3, a32 = a2a4, a42 = a3a5, , an2−1 = an−2an n CMR: Bài giải: a1n + a2n + a3n + + ann−1 a1 + a2 + a3 + + an−1 = ÷ a2n + a3n + a4n + + ann a2 + a3 + a4 + + an Từ giả thiết toán, ta suy ra: a a1 a2 a3 = = = = n−1 a2 a3 a4 an Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a a + a + a + + an−1 a1 a2 a3 = = = = n−1 = a2 a3 a4 an a2 + a3 + a4 + + an n a + a + a + + an−1 a a a a a1 ⇒ n−1 = = ÷ a2 a3 a4 an a2 + a3 + a4 + + an an (1) Mặt khác: theo giả thiết, ta lại có: ann−1 a1n + a2n + a3n + + ann−1 a1.a2.a3 an−1 a1 a1n a2n a3n = = = = n = n n n = = (2) a2n a3n a4n an a2 + a3 + a4 + + ann a2.a3.a4 an an 15 Từ (1) (2), suy ra: n a1n + a2n + a3n + + ann−1 a1 + a2 + a2 + + an−1 = ÷ a2n + a3n + a4n + + ann a2 + a3 + a4 + + an (điều phải chứng minh) * Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi) a c = Bài tập 1: : Cho ( a, b, c, d > ) b d CMR: ma + nb mc + nd = , , , , a) ma + nb mc + nd ma2 + nb2 + kab mc2 + nd2 + kcd b) , = , , ma + n,b2 + k,ab mc + n,d2 + kcd (giả sử tỉ số có nghĩa) a c = Chứng minh rằng: b d mam + nbn + kab mcm + ndn + kcd = , m, , , , m, , ma + n,bn + k,ab mc + n,dn + kcd Bài tập 2: Cho (giả sử tỉ số có nghĩa) III - BÀI TỐN LUYỆN TẬP ( có lời giải) Bài tốn 1: Cho bốn số khác 0: a1, a2, a3, a4 thoả mãn điều kiện: a22 = aa , a32 = a2a4 a13 + a23 + a33 a1 CMR : 3 = a2 + a3 + a4 a4 (giả sử tỉ số có nghĩa) Bài giải: Theo bài: a22 = aa ⇒ Từ (1) (2), ta có: a1 a2 = a2 a3 (1) a32 = a2a4 ⇒ a2 a3 = a3 a4 a1 a2 a3 = = a2 a3 a4 Lời giải 1: ( áp dụng linh hoạt tính dãy tỉ số nhau) a13 a23 a33 a1 a2 a3 a1 = = = = (3) Từ suy ra: a23 a33 a43 a2 a3 a4 a4 a13 a23 a33 a13 + a23 + a33 = = = (theo t / c) (4) Mặt khác: a23 a33 a43 a23 + a33 + a43 16 (2) a13 + a23 + a33 a1 CMR : 3 = a2 + a3 + a4 a4 Từ (3) (4), suy ra: Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung) Gọi giá trị chung của: a1 a2 a3 = = =k a2 a3 a4 ⇒ a1 = ka2; a2 = ka3; a3 = ka4 a1 k3a4 = = k3 (1) ⇒ a4 a4 ⇒ a1 = k ka3 = k ka4 = k a4 a13 + a23 + a33 k3a23 + k3a33 + k3a43 k3 (a23 + a33 + a43 ) = = = k3 (2) Mặt khác: 3 3 3 3 a2 + a3 + a4 a2 + a3 + a4 a2 + a3 + a4 a13 + a23 + a33 a1 CMR : 3 = Từ (1) (2), suy ra: a2 + a3 + a4 a4 Bài toán 2: Cho số khác là: x1, x2, , x6, thoả mãn điều kiện: x22 = x1x2 , x32 = x2 x4 , x42 = x3 x5 , x52 = x4 x6 x + x2 + x3 + x4 + x5 x1 Chứng minh rằng: ÷ = x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Bài giải: Theo bài: x22 = x1x2 ⇒ x1 x2 = x2 x3 (1) x32 = x2 x4 ⇒ x2 x3 = x3 x4 (2) x42 = x3 x5 ⇒ x3 x4 = x4 x5 (3) x52 = x4 x6 ⇒ x4 x5 = x5 x6 (4) Từ (1), (2), (3) (4), ta có: x1 x2 x3 x4 x5 = = = = x2 x3 x4 x5 x6 Lời giải 1: ( áp dụng linh hoạt tính dãy tỉ số nhau) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x1 x2 x3 x4 x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = = = = = x2 x3 x4 x5 x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x x x x x x + x2 + x3 + x4 + x5 ⇒ = ÷ x2 x3 x4 x5 x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 17 x + x2 + x3 + x4 + x5 x1 Hay: = ÷ x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung) Gọi giá trị chung của: x1 x2 x3 x4 x5 = = = = =k x2 x3 x4 x5 x6 x + x2 + x3 + x4 + x5 x ⇒ = k5 = ÷ x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Bài toán 3: số Giả sử k1, k2, k3 ba số nguyên dương, k1 + k2 + k3 số lẻ, x1, x2, x3 thoả mãn: x1 − x2 x −x x −x = = CMR: k1 k2 k3 x = x2 = x3 Bài giải: Do vai trò bình đẳng số x 1, x2, x3 , nên giả sử Khi tỉ số cho trở thành: x ≥ x2 ≥ x3 x1 − x2 x2 − x3 x3 − x1 = = =k k1 k2 k3 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x1 − x2 + x2 − x3 + x1 − x3 2(x1 − x3 ) = (1) k1 + k2 + k3 k1 + k2 + k3 x1 − x2 + x2 − x3 x1 − x3 = (2) và: k = k1 + k2 k1 + k2 2(x1 − x3 ) x1 − x3 = (3) Từ (1) (2), ta có: k1 + k2 + k3 k1 + k2 k= + Nếu x1 ≠ x3 ⇒ (3) ⇔ 2(k1 + k2) = k1 + k2 + k3 Điều vô lí, theo k1 + k2 + k3 số lẻ, mà 2(k1 + k2) số chẵn, (k1, k2, k3 ba số nguyên dương) Chứng tỏ: x1 = x3 ⇒ x1 = x2 = x3 (đpcm) Nhận xét: Nhiều học sinh nhầm lẫn x1 − x2 + x2 − x3 + x3 − x1 = (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x1 ) = ⇒ x1 = x2 = x3 Bài tốn 4: Có tốn sau: 18 x2 − yz y2 − zx z2 − xy = = CMR: Nếu có suy được: a b c a2 − bc b2 − ca c2 − ab = = x y z Có hai bạn Giang Sơn nhanh trí có lời giải sau: Bạn Giang giải sau: x2 − yz y2 − zx z2 − xy = = =k Đặt a b c x2 − yz y2 − zx z2 − xy ⇒ a= ; b= ; c= k k k x2 − yz y2 − zx z2 − xy − x3 + y3 + z3 − 3xyz Dẫn đến: a − bc k k k = = x x k2 b2 − ca c2 − ab x3 + y3 + z3 − 3xyz = = ⇒ (đpcm) Tương tự ta có: y z k Bạn Sơn giải sau: a b c = = x − yz y − zx z − xy a2 b2 c2 ⇒ = = = (x − yz)2 (y2 − zx)2 (z2 − xy)2 ab bc ac = = = 2 (x − yz)(y − zx) (y − zx)(z − xy) (x − yz)(z2 − xy) ab bc ac = = = (x − yz)(y2 − zx) (y2 − zx)(z2 − xy) (x2 − yz)(z2 − xy) a2 − bc b2 − ac ⇒ = = (x − yz)2 − (y2 − zx)(z2 − xy) (y2 − zx)2 − (x2 − yz)(z2 − xy) c2 − ab = (z − xy)2 − (x2 − yz)(y2 − zx) a2 − bc b2 − ac c2 − ab ⇒ = = x(x3 + y3 + z3 − 3xyz) y(x3 + y3 + z3 − 3xyz) z(x3 + y3 + z3 − 3xyz) 3 Nhân vế đa đa thức: x + y + z − 3xyz, ta suy điều phải Từ giả thiết ta suy ra: chứng minh ? Các bạn có nhận xét đề bài, lời giải hai bạn Giang Sơn IV - CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI ( dành cho học sinh khá, giỏi) Bài 1: Cho số: a, b, c, x, y, z, thoả mãn điều kiện 19 x y z = = CMR: a b c bz − cy cx − az ay − bx = = a b c Bài 2: Cho số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a b c d = = = 3b 3c 3d 3a a + b + c + d ≠ CMR: a = b = c = d Bài 3: Cho bốn số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: b+ c + d c + d + a d + a + b a + b+ c = = = a + b + c + d ≠ a b c d CMR: aa = bc = cd = da Bài 4: Giả sử k1, k2, , kn số nguyên, có tổng k1+ k2 + + kn số lẻ số x1, x2, , xn thoả mãn điều kiện: x1 − x2 x −x x −x x −x = = = n−1 n = n k1 k2 kn−1 kn CMR: x1 = x2 = = xn a c = Bài 5: Cho ( a, b, c, d > ) CMR: b d nak − mbk nck − mdk = a) nak + mbk nck + mdk naa + kba nca + kda b) = maa + ba mca + da (giả sử tỉ số có nghĩa) V - KẾT QUẢ CHUNG - Trong trình giảng dạy năm học trước, đặc biệt năm học 2015 2016 Ở lớp Bồi dưỡng đại trà, Bồi dưỡng đội tuyển Tôi hướng cho học sinh hướng chủ đạo, giúp em thuận lợi nhiều làm toán chứng minh tỉ lệ thức hay giải tốn có tính chất tương tự Phần lớn củng cố khắc sâu cho học sinh công cụ chứng minh tỉ lệ thức, phát triển tư duy, thao tác, kĩ học sinh, khả trình bày tốt với tốn chứng minh tỉ lệ thức - Ngồi việc giải, nghiên cứu lời giải tốn khó chứng minh tỉ lệ thức Học sinh đội tuyển, học sinh khá, giỏi tiếp tục khai thác tốn khơng nằm phạm vi giới hạn đề tài Nhưng có tính chất tương tự hay lấy làm cơng cụ để giải tốn nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệ thức - Học sinh chủ động, hứng thú giải tập, hiểu rõ nội dung, chất yêu cầu toán Nâng cao khả suy luận logic, tinh thần tích cực học hỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu cách rõ nét VI - KẾT QUẢ KHẢO SÁT 20 Sau thời gian áp dụng trường hai đối tượng: Học sinh đại trà học sinh khá, giỏi Tôi nhận thấy em có kĩ tốt trình bày, chứng minh nhiều tốn khó chuyên đề tỉ lệ thức - Toán Biểu ổn định rõ nét chấm kết trực tiếp khảo sát Tôi chọn 20 em học sinh có học lực khá, giỏi yêu cầu em làm thời gian 30 phút, với nội dung đề sau: a c = , chứng minh rằng: b d a ma + nc a) = , với m, n ∈ R, m ≠ 0, n ≠ 0; b mb + nd Câu 1: (5điểm) Cho Câu 2: (5điểm) Cho a + b ab b) ÷ = c + d cd a c = ≠ −1, chứng minh rằng: b d a2 + b2 (a + b)4 = a) c + d2 (c + d)4 4 a − b a + b b) ÷ = 4 c− d c + d Kết cụ thể: Dưới điểm → 6đ 7đ → 10 đ → 10 đ SL % SL % SL % SL % SL % 15 30 10 50 19 95 VII - ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG - Đề tài áp dụng cho học sinh, giáo viên bắt đầu học nội dung tỉ lệ thức ( chương trình tốn 7) Áp dụng cho bồi dưỡng đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi Tuỳ theo đối tượng mà học sinh chọn vận dụng khác nhau, giáo viên yêu cầu với mức độ khác - Đề tài trình bày hệ thống lí thuyết, tập áp dụng, tập tương tự ( tự giải), toán nâng cao, với mức độ khai thác cao dần Rất phù hợp cho bồi dưỡng đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tỉ lệ thức Hay áp dụng để giáo viên dạy tiếp luyện tập chứng minh tỉ lệ thức Sau tốn liên quan, thơng qua chứng minh tỉ lệ thức để giải toán VIII - NHỮNG HẠN CHẾ - Nhiều tốn có thêm nhiều cách giải hay, ngắn gọn Nhưng chưa phù hợp với lớp 7, nên chưa đưa vào nội dung trình bày - Nhiều tốn thêm nhiều yếu tố gây nhiễu như: Cho thêm hệ số vơ tỉ, thêm số có bậc hai, luỹ thừa Nhưng hạn chế đề tài nên tác giả chưa có dịp đưa vào nội dung trình bày, chưa có điều kiện khai thác sâu - Có thể phức hợp hay tổng qt hố số tốn thành hệ thống logic có tính tư cao phục vụ cho bồi dưỡng học sinh giỏi, chưa có điều kiện khai thác 21 IX - BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Dạy học theo chuyên đề phương pháp giúp học sinh khắc sâu kiến thức, khái quát vấn đề nhanh có tính lơgíc cao - Trang bị phương pháp giải tốn, khai thác sâu vấn đề toán phong cách dạy học hiệu Phù hợp với học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi - Nhiều học sinh có định hướng tốt chứng minh toán tỉ lệ thức, biểu ban đầu qua khảo sát biểu nắm bắt kiến thức từ học sinh Nhưng thực tế, phải xem thời gian từ lúc học, từ lúc bồi dưỡng đến lúc học sinh thi hay đến học sinh làm toán tương tự thời điểm nào? Nếu học xong kiểm tra kết bình thường Trên thực tế, có nhiều học sinh khơng làm tập ( đề khảo sát ), có học sinh Bởi vì, từ lúc em học, giáo viên trang bị cách làm trước thời gian dài Trong có em qn cách làm, chưa nói đến tốn phức tạp Chính vậy, theo tơi để học sinh nhớ lâu kiến thức, chủ động, sáng tạo, thi đạt kết cao giáo viên, nhà trường gia đình cần làm tốt việc khích lệ em tự giác học tập Có vậy, kiến thức sách, kinh nghiệm phương pháp truyền thụ kiến thức thày thành kiến thức học sinh X - HƯỚNG ĐỀ XUẤT - Ở đây, thời gian có hạn nên tơi trình bày số dạng bài, số phương pháp để minh hoạ giúp học sinh có cơng cụ giải toán chứng minh tỉ lệ thức Đồng thời dã đưa tập tự giải giáo viên em học sinh luyên tập, để làm tư liệu, củng cố kiến thức phương pháp - Nếu có điều kiện, nên đưa tốn có chứa giá trị tuyệt đối, chứa số, số vô tỉ Không áp dụng cho số mà mở rộng cho biểu thức đại số mà em học kì II - lớp Khơng dừng lại toán chứng minh tỉ lệ thức đơn mà sâu vào tốn: tính giá trị, chứng minh, tìm biến mà thơng qua chứng minh tỉ lệ thức suy điều bước ngoặt tốn - Khi người áp dụng, nhìn nhận theo nhiều góc độ Có thể tự chọn ví dụ cho phù hợp với trình độ học sinh Phương pháp định hướng bản, “kim nam” giúp em có cách nhìn tổng thể đứng trước tốn chứng minh tỉ lệ thức Với phương pháp vậy, giúp em có niềm say mê học tập, tự tin học toán, tăng niềm hứng thú, sáng tạo em học sinh Đó học kinh nghiệm mà rút từ đề tài 22 C - KẾT LUẬN Sau trình nghiên cứu, học hỏi Tơi viết hồn thành sáng kiến: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức” - Toán Mang đặc trưng toán học, áp dụng rộng với nhiều đối tượng học sinh giáo viên tham khảo Trong có phần kiến thức bản, cách giải phương pháp, có hướng dẫn gợi mở cho ví dụ Chú ý khai thác nhiều đến cách giải, mở rộng tốn, phát triển tốn Có nhiều tập gây cho học sinh hứng thú tìm hiểu, nhiều tập cho học sinh tự giải, tự vận dụng để chứng minh Thiết nghĩ, nội dung góp phần nhỏ bé trình dạy học Giúp em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư tích cực, đặc biệt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi cho huyện nhà Tuy vậy, trình độ hạn chế Rất kính mong cấp lãnh đạo, đồng chí chuyên viên bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng bổ sung ý kiến để đề tài hoàn chỉnh hơn, có tính hiệu cao Tơi xin chân thành cảm ơn! 23 MỤC LỤC Đề mục Thông tin chung sáng kiến Tóm tắt sáng kiến Mơ tả sáng kiến A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài II Điều tra thực trạng trước nghiên cứu III Cơ sở phương pháp IV Phạm vi áp dụng đề tài V Mục tiêu đề tài VI Phương pháp nghiên cứu B Nội dung I Những kiến thức cần sử dụng II Một số kĩ thuật (phương pháp) chứng minh tỷ lệ thức Phương pháp: Giá trị chung Phương pháp: Biến đổi áp dụng tính chất Phương pháp: Xét tích trung tỷ ngoại tỷ Phương pháp: Biến đổi tỷ số vế thành tỷ số vế lại Phương pháp: Tổng hợp III Bài tốn luyện tập (có lời giải) IV Các toán tự giải V Kết chung VI Kết khảo sát VII Điều kiện áp dụng VIII Những hạn chế IX Bài học kinh nghiệm X Hướng đề xuất C Kết luận 24 Trang 3-4 5 5 6 7 7 8 10 11 13 15 18 21 22 22 23 23 23 24 25 ... thiết tỉ số có nghĩa) II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP (KĨ THUẬT) CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC - Phương pháp: Giá trị chung * Cách làm: - Để chứng minh tỉ lệ thức, ta cần chứng minh hai tỉ số hai vế tỉ số thứ... Khắc sâu cho học sinh kiến thức tỉ lệ thức Hình thành số phương pháp chứng minh tỉ lệ thức Ngồi hiểu vận dụng tốt tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số để chứng minh toán tỉ lệ thức (trong chương trình... đặt ra, tơi nghiên cứu mạnh dạn trình bày kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức Đây số cách giải gặp toán chứng minh tỉ lệ thức, đáp ứng phần nhu cầu giảng dạy bồi dưỡng học sinh