Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10

Nghiên cứu để làm rõ nội dung của phương pháp điều kiện cần và đủ, trên cơ sở đó vận dụng vào việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số trong phạm vi chương trình Đại số 10. Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số ở lớp 10. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT

SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 4

1.1.Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 4

1.2.Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 4

1.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ 5

Chương 2 Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số 6

2.1 Một số kiến thức liên quan 6

2.1.1 Bất đẳng thức tam giác 6

2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số > , > và ú , ú 6

2.2 Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ 6

2.2.1 Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác định điều kiện cần 6

2.2.2 Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần 13

2.2.3 Một số phương pháp khác để tìm điều kiện cần 17

Kết luận ……… …22

Tài liệu tham khảo……… 24

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập Để đáp ứng nhu cầu công

nghiệp hoá-hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học-công nghệ, giáo dục-đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu, nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài

Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị trí đặc biệt quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic…

Phương trình đặc biệt là phương trình chứa tham số chiếm một khối lượng không nhỏ trong chương trình toán phổ thông nhất là đối với chương trình đại số

10 Vì vậy, việc đưa ra những phương pháp cụ thể để giải các dạng toán ở nội dung này là hết sức cần thiết Có khá nhiều tài liệu nghiên cứu về nội dung này song chỉ trình bày tổng hợp nhiều phương pháp nên mức độ của mỗi phương pháp thực sự chưa được làm sâu

Phương pháp điều kiện cần và đủ có lẽ đã quen thuộc đối với giáo viên, sinh viên ngành toán song đối với nhiều học sinh cấp III đây còn là một vấn đề khá mới

mẻ Tuy nhiên, phương pháp điều kiện cần và đủ lại tỏ ra khá hiệu quả đối với việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số Bằng phương pháp này, học sinh

có thể vận dụng vào giải các bài toán về phương trình chứa tham số một cách đơn giản và dễ hiểu, nhất là đối với một số phương trình đặc biệt sẽ được đề cập đến trong phần sau Xuất phát từ vị trí và tính hiệu quả của phương pháp điều kiện cần

và đủ đối với kỹ năng giải toán của học sinh, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Vận

dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình đại số 10” với mong muốn cung cấp cho

học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu trong học toán và giải toán, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân

Hy vọng đề tài này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi vào các trường Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu để làm rõ nội dung của phương pháp điều kiện cần và đủ, trên cơ

sở đó vận dụng vào việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số trong phạm vi chương trình đại số 10

- Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số ở lớp 10

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng hợp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương trình phục vụ cho đề tài

- Trình bày phương pháp điều kiện cần và đủ

- Vận dụng điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương pháp điều kiện cần và đủ cùng với một số bài

toán phương trình chứa tham số giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ trong chương trình đại số 10

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phương trình chứa tham số và phương pháp điều kiện cần và đủ

- Trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, khái quát…rút ra những vấn đề cần thực hiện trong đề tài

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài bao gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài

Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10

Theo sách giáo khoa đại số 10 thì các nội dung về phương trình được đề cập đến bao gồm:

-Phương trình bậc hai một ẩn

-Phương trình qui về được phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

Ngoài ra, trong đề tài này tôi cũng xin trình bày một số bài toán về phương trình chứa tham số nhưng không nằm trong nội dung sách giáo khoa nhằm phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh khối lớp 10

1.2 Đặc điểm của các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10

Trong một phương trình ngoài ẩn số ra còn có chữ khác mà chữ này được xem như là hằng số thì phương trình đó được gọi là phương trình chứa tham số, chữ cái khác ở trên được gọi là tham số

Các bài toán về phương trình chứa tham số trong đại số 10 chủ yếu được phân theo 2 dạng:

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình theo giá trị của tham số

Dạng 2: Xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Các bài toán được đề cập đến trong đề tài này tập trung vào dạng thứ 2, tức là xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước nào đó, chẳng hạn như, xác định tham số để phương trình có nghiệm, có duy nhất nghiệm, hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc một khoảng nào đó

1.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ

Cho phương trình chứa tham số N 2, = 0 (I) với 2 ∈ , ∈ , trong đó

2 là biến, là tham số, , lần lượt là miền của 2, đang xét

Phương pháp điều kiện cần và đủ được chia làm 2 bước:

Bước 1 (Điều kiện cần): Giả sử (I) thỏa mãn tính chất P mà đầu bài đòi hỏi Dựa

vào tính chất P, hàm số N 2, và miền đang xét ta tìm ra một điều kiện ràng buộc nào đó của Điều kiện đó chính là điều kiện cần để bài toán đã cho có tính chất P

Khi đó ∈ ⊂ và sẽ chứa các giá trị của để làm cho bài toán thỏa mãn tính chất P Nếu ∉ thì ứng với , (I) không có tính chất P Nghĩa là những giá trị cần tìm chỉ chứa trong tập này Trong tập có thể có những giá trị không làm cho bài toán thỏa mãn tính chất P nên để loại những giá trị đó

ta cần đến bước thứ 2, bước: điều kiện đủ

Bước 2 (Điều kiện đủ): Giả sử ∈ Ta cần tìm xem trong những giá trị đó giá trị nào của làm cho (I) thỏa mãn tính chất P Khi đó ta có điều kiện đủ để (I) thỏa mãn tính chất P

Nếu là tập hữu hạn các giá trị thì ta lần lượt thay từng giá trị , rồi giải bài toán để xem nó có thỏa mãn tính chất P hay không, nếu thỏa mãn thì nhận còn không thì loại Nếu là một khoảng hay một đoạn giá trị thì ta dựa vào đặc trưng của bài toán và một số kiến thức liên quan về lí thuyết phương trình để giải chúng Kết quả của phép giải sẽ loại đi những giá trị không thích hợp của

Chương 2

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

2.1 Một số kiến thức liên quan

2.1.1 Bất đẳng thức tam giác

Với mọi >, ú ∈ ℝ ta luôn có: |> + ú| ≤ |>| + |ú|

Dấu “=” xảy ra khi >ú ≥ 0

2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 bộ số > , > và ú , ú

Với 2 bộ số > , > và ú , ú ta có:

> ú + > ú ≤ > + > ú + ú

Dấu “=” xảy ra khi =

2.2 Hệ thống bài tập giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ

2.2.1 Tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán đối với việc xác định điều kiện cần

Trong phần này tôi xin trình bày các bài toán có chung một yêu cầu đó là tìm

tham số để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Các phương trình đưa ra đều

có một đặc điểm chung đó là nếu 2 là một nghiệm của phương trình thì − 2 cũng

là nghiệm của phương trình đó Lợi dụng đặc điểm đó mà ta có phương pháp chung để giải các bài toán này như sau:

Giả sử phương trình có nghiệm 2 lúc đó nó còn có một nghiệm khác là −

2 , do tính duy nhất nghiệm nên 2 nghiệm này phải bằng nhau, từ đây ta tính được

2 Thế 2 vào phương trình đầu để tìm tham số Sau đó thế ngược những tham số tìm được vào phương trình đầu để giải Nếu ứng với tham số nào mà phương trình không thỏa mãn tính duy nhất nghiệm thì ta sẽ loại giá trị tham số đó Những giá trị tham số còn lại chính là kết quả cần tìm của bài toán

Một số bài toán sau đây được giải bằng phương pháp trên:

Bài toán 1: Tìm để phương trình sau có nghiệm duy nhất

Thay 2 = 2 = − vào (1) ta được = 3√2

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất 2 = −

Tóm lại, = 3√2 là điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất

Nhận xét:

Trong lời giải này, điểm khó nhất có lẽ là việc nhận ra 2 = − 1 − 2 cũng là nghiệm của phương trình đã cho, thực sự công việc này cũng không hề đơn giản, cái cơ bản là phải tiếp xúc với nhiều bài tập dạng này mới hình thành được kỹ năng

Giả sử phương trình (2) có nghiệm duy nhất 2 = 2

Vì 2 là nghiệm của (2) nên ta có

|2 − >| + |2 − ú| = | > + ú − 2 − >| + | > + ú − 2 − ú| =

Do đó 2 = > + ú − 2 cũng là nghiệm của (2)

Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra 2 = > + ú − 2 2 =

Thay 2 = 2 = vào (2) ta được |> − ú| =

Vậy |> − ú| = chính là điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm duy nhất

2 Điều kiện đủ:

Giả sử |> − ú| = , khi đó (2) trở thành

|2 − >| + |2 − ú| = |> − ú| |2 − >| + |2 − ú| = | 2 − ú − 2 − > |

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

| 2 − ú − 2 − > | = | 2 − ú + > − 2 | ≤ |2 − ú| + |> − 2|

= |2 − ú| + |2 − >|

Dấu “=” xảy ra khi 2 − ú > − 2 ≥ 0 2 − > 2 − ú ≤ 0

*Nếu > ≠ ú bất phương trình này có chứa 2 nghiệm 2 = >, 2 = ú nên không thỏa tính duy nhất nghiệm

*Nếu > = ú thì bất phương trình trở thành 2 − > ≤ 0 2 = > Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 = > Từ > = ú suy ra = |> − ú| = 0

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là > = ú, = 0

Bài toán 3: Tìm để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√3 + 2 + √6 − 2 − 3 + 2 6 − 2 = (3)

Giải:

Tập xác định của (3) là = − 3; 6

1 Điều kiện cần:

Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất 2 = 2

Do 2 là nghiệm của (3) nên ta có

3 + 2 + 6 − 2 − 3 + 2 6 − 2 =

3 + 3 − 2 + 6 − 3 − 2 − 3 + 3 − 2 6 − 3 − 2 = Suy ra 2 = 3 − 2 cũng là nghiệm của (3)

Do tính duy nhất nghiệm nên ta phải có 2 = 3 − 2 2 =

Thay 2 = 2 = vào (3) ta được = √ 1

Vậy = √ 1 là điều kiện cần để phương trình (3) có nghiệm duy nhất

Với = 3√2, ta có: √3 + 2 + √6 − 2 = 3√2 9 + 2 3 + 2 6 − 2 = 18

3 + 2 6 − 2 = 1 3 + 2 6 − 2 = 

2 − 32 + 1 = 0 2 = ∈

Suy ra 2 = là nghiệm duy nhất của phương trình (3.1)

Tóm lại, = √ 1 là điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Nhận xét:

Với bài toán này, nếu sử dụng bằng phương pháp tam thức bậc hai để giải thì có thể không giải được, hoặc nếu được thì công việc đó không hề đơn giản đặc biệt là đối với học sinh lớp 10 Song với phương pháp điều kiện cần và đủ như trình bày ở

trên thì lời giải khá gọn gàng và dễ hiểu Điều này cho thấy, trong một số bài toán phương pháp điều kiện cần và đủ tỏ rõ được thế mạnh của mình

Bài toán 4: Tìm >, ú để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 + >|2| + ú = 0 (4)

Giải:

1 Điều kiện cần:

Giả sử (4) có nghiệm duy nhất 2 = 2

Nhận thấy rằng nếu 2 là nghiệm của (4) thì − 2 cũng là nghiệm của (4) Do tính duy nhất nghiệm nên ta phải có 2 = − 2 2 = 0

Thay 2 = 2 = 0 vào (4) ta được ú = 0

Vậy ú = 0 là điều kiện cần để phương trình (4) có nghiệm duy nhất

2 Điều kiện đủ:

Với ú = 0, phương trình (4) trở thành

2 + >|2| = 0 |2| |2| + > = 0

Nếu > ≥ 0 thì (4) có nghiệm duy nhất 2 = 0

Nếu > < 0 thì (4) luôn có 3 nghiệm đó là 2 = 0 và 2 = ± >

Do đó điều kiện cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là > ≥ 0 và

ú = 0

Bài toán 5: Tìm để phương trình sau có nghiệm duy nhất

√2 + 1 = |2| + (5)

Giải:

1 Điều kiện cần:

Giả sử (5) có nghiệm duy nhất 2 = 2

Nhận thấy rằng 2 là nghiệm của phương trình (5) thì − 2 cũng là nghiệm của nó

Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra 2 = − 2 2 = 0

Thay 2 = 2 = 0 vào (5) ta được = 1

Do đó = 1 là điều kiện cần để (5)có nghiệm duy nhất

2 Điều kiện đủ:

Với = 1, phương trình (5) trở thành

√2 + 1 = |2| + 1 2 + 1 = |2| + 1 2 + 1 = 2 + 2|2| + 1

2|2| = 0 2 = 0

Suy ra 2 = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (5)

Vậy = 1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (5) có nghiệm duy nhất

Nhận xét:

Các phương trình chứa tham số được đưa ra trong phần này đều có một đặc điểm chung đó là nếu 2 là nghiệm của phương trình đã cho thì − 2 cũng là nghiệm của nó Chính vì lợi dụng điểm này cùng với yêu cầu duy nhất nghiệm của bài toán ta mới tìm được giá trị của tham số

Khi dạy học phần này cho học sinh lớp 10, giáo viên có thể thực hiện theo trình

tự sau:

-Giới thiệu phương pháp cho học sinh

-Trình bày đặc điểm chung của dạng toán sắp giới thiệu

-Đưa ra ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo phương pháp đã nêu, cụ thể:

+ Giả sử 2 là một nghiệm của phương trình, yêu cầu học sinh tìm một nghiệm khác của phương trình mà biểu thị theo 2

+ Từ tính duy nhất nghiệm, gợi ý cho học sinh tìm cách tính 2

+ Thay ngược giá trị 2 lại phương trình đầu, yêu cầu học sinh xác định các giá trị tham số

+ Đối với mỗi giá trị tham số cho học sinh giải phương trình để loại những giá trị tham số không thỏa mãn

Chú ý rằng, điểm khó nhất trong dạy học phần này đó là làm sao cho học sinh thấy được 2 là nghiệm của phương trình thì − 2 cũng là nghiệm của nó Giáo viên cần làm rõ để học sinh có thể xác định được số đó

2.2.2 Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần

Trong phần này, tôi xin giới thiệu các bài toán về phương trình chứa tham số có dấu hiệu sau đây: các bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số làm cho phương trình được thỏa mãn với mọi giá trị của biến số thuộc một miền cho trước nào

đó

Với những loại bài toán này, phương pháp giải chúng như sau:

Vì phương trình đã cho đúng ∀2 ∈ , nên khi thế một vài giá trị cụ thể nào đó của tập , ta sẽ được các giá trị của tham số mà trong đó chắc chắn chứa các giá trị tham số cần tìm Từ những giá trị tham số tìm được ở bước trên ta thế lại vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không, từ đó để loại những giá trị tham số không thỏa mãn Tất nhiên cái khó ở đây là nên chọn từ tập những giá trị nào để thay vào phương trình ban đầu? Câu trả lời là không có qui tắc nào để chọn cả, tuy nhiên những giá trị được chọn phải làm sao cho thuận lợi đến việc giải bài toán nhất Việc chọn những giá trị này thường dựa trên trực giác

và kinh nghiệm tích lũy được, những trực giác và kinh nghiệm này đương nhiên không tự dưng mà có, mà phải được rèn luyện đúc rút ra thông qua việc giải toán Mong rằng qua các bài toán được trình bày trong phần này có thể giúp học sinh