Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trên N trong phân môn số học 6
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU
TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG PHÂN MÔN
SỐ HỌC 6
GV: NGUYỄN THỊ THANH TÂM
THCS BÙI THỊ XUÂN
Trang 2NĂM HỌC: 2008 – 2009
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT TRÊN N TRONG PHÂN MÔN
SỐ HỌC 6 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một bộ môn khoa học; ngày nay Toán học đã và đang xâm nhập vào mọi ngành, mọi lĩnh vực Những tri thức cùng với những kỹ năng Toán học và những phương pháp suy nghĩ , lập luận trong Toán học sẽ trở thành những công cụ để học tập các môn khoa học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để tiến hành những hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần không thể thiếu trong nền văn hoá phổ thông của con người mới
Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trong giai đoạn hiện nay được xác định là: “Phương pháp dạy học trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy” Qua đó, giáo viên là người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập, còn học sinh là chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện từ đó hình thành phát triển nhân cách và các năng lực cần thiết của người lao động theo những mục tiêu mới đã đề ra
Trong chương trình Toán trung học cơ sở, tính chia hết là một nội dung cơ bản và quan trọng Ở lớp 6, phần lớn các bài toán trong sách giáo khoa về tính chia hết thường đơn giản và dễ dàng giải được Tuy nhiên trong nhiều bài tập nâng cao, việc tìm ra lời giải rất khó, đa dạng, đòi hỏi phải có khả năng tư duy toán học linh hoạt, sáng tạo, cần sử dụng nhiều phương pháp khác nhau Trong khi đó, tư duy toán học, khả năng phân tích, tổng hợp, suy nghĩ, lập luận của học sinh còn hạn chế nên các em thường lúng túng, gặp khó khăn trong việc giải các bài toán này Mặt khác, để giải được các dạng toán trên, ngoài các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, học sinh cần phải nắm được một số kiến thức mở rộng không được nêu trong chương trình học chính khoá Những kiến thức này nếu không được nắm chắc, khi vận dụng vào giải toán các em thường gặp nhiều sai lầm dẫn đến giải sai như: Nếu ab m thì a m (hoặc b m) mà không xét điều kiện a, m (hoặc b, m) có nguyên tố cùng nhau hay không Hoặc khi thấy tổng chia hết cho một số thì kết luận các số hạng của tổng
Trang 3đều chia hết cho số đó Hoặc khi thấy a m, a n thì kết luận a mn mà không xét điều kiện m, n nguyên tố cùng nhau
Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 6 về tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên, để học sinh phát hiện, nhận dạng đúng các bài toán, từ đó tìm ra phương pháp giải nhanh nhất, hợp lý nhất; đồng thời giúp các
em nắm chắc được một kiến thức mở rộng về tính chia hết, bản thân tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm Bên cạnh đó, từ năm học 2004 – 2005, Phòng giáo dục và đào tạo TP Pleiku không tổ chức thi học sinh giỏi các lớp 6, 7, 8 Do đó, yêu cầu đặt ra cho các nhà trường là phải tạo nguồn học sinh Giỏi ngay từ các lớp học dưới Để giúp học sinh học tập tốt môn Toán, tạo nền tảng vững chắc về mặt kiến thức đòi hỏi người giáo viên không ngừng sáng tạo, tìm tòi, nghiên cứu những phương pháp giảng dạy sao cho hiệu quả nhất
Đây cũng chính là lý do tôi chọn đề tài: “ Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trên N trong phân môn số học 6”
Trang 4PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A HỆ THỐNG LẠI CÁC KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó là:
1/ Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b 0 Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq Khi đó ta còn nói a là bội của b, hoặc b là ước của a
2/ Các tính chất chung
a Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó
b Số 0 chia hết cho mọi số b 0
c Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
d Tính chất bắc cầu : Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
3/ Tính chất chia hết của tổng và hiệu
a Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a – b chia hết cho m
Hệ quả:
Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
b Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m và số còn lại không chia hết cho m thì a + b không chia hết cho m, a - b không chia hết cho m
4/ Tính chất chia hết của tích
a Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
b Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn
5/ Một số dấu hiệu chia hết
a Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5:
Một số chia hết cho 2 (hoặc cho 5) khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (hoặc là 0 hoặc 5)
b Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc cho 9) khi và chỉ khi số đó có tổng các chữ số chia hết cho 3 (hoặc cho 9)
c Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :
Một số chia hết cho 4 (hoặc cho 25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc chia hết cho 25)
d Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :
Trang 5Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc chia hết cho 125)
e Dấu hiệu chia hết cho 10:
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0
g Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở các hàng lẻ và tổng các chữ số ở các hàng chẵn chia hết cho 11
6/ Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố, ƯCLN, BCNN
a Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p
Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p
b Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m
c Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho tích mn
7/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN
a Thuật toán Ơclit :
+ Nếu a b thì ƯCLN(a,b) = b
+ Nếu a b Giả sử a = b.q + r thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r)
b ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = ab
8/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ước là 1 và chính nó Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước
+ Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1
B PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
I Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số
Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết còn phải tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác như: Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có dư, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau
Phương pháp chung:
+ Để chứng tỏ A(n) chia hết cho số nguyên tố p, ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia cho p
Trang 6+ Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một hợp số m, ta phân tích m thành một tích các thừa số mà các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau Rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đó
* Chú ý: Để chứng minh A(n) chia hết cho t đôi khi ta còn viết A(n ) thành một tổng, rồi chứng tỏ mỗi số hạng của tổng đó đều chia hết cho t
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia
hết cho 2
* Hướng giải quyết: Xét hai trường hợp n 2 và n 2
Giải:
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1 (n N)
Nếu n 2 thì n(n + 1) 2
Nếu n 2 thì n = 2k +1 Do đó: n + 1 = 2k + 2 2 Vậy n(n + 1) 2
* Khai thác: Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì
chia hết cho 3 Tổng quát: Chứng minh rằng tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia
hết cho 3
* Hướng giải quyết: Ba số tự nhiên liên tiếp có dạng là n, n+1, và
n+2 Ta tính tổng của ba số trên và đưa tổng về dạng tích trong đó có một thừa số là 3
Giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 (n N)
Ta có: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+3)3
Vậy, tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3
* Tổng quát: Chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên liên tiếp thì
chia hết cho n, với n là số lẻ
Ví dụ 3: Cho C = 1 + 3 + 32+33 + … + 311 Chứng minh rằng C chia hết cho 13
* Hướng giải quyết: Chia tổng C thành từng nhóm thích hợp để biến
đổi về dạng C = 13.K, rồi áp dụng tính chất : Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
Giải:
C = (1 + 3 +32) + (33 + 34 + 35) + + (39 + 310 + 311)
= (1 + 3 +32) + 33(1 + 3 +32) + … + 39(1 + 3 +32)
= (1 + 3 +32)(1 + 33 + … +39) = 13(1 + 33 + … +39)
Vậy C 13
Ví dụ 4: Chứng minh rằng 8102 – 2102 10
* Hướng giải quyết: Tìm chữ số tận cùng của 8102 và 2102 , từ đó tìm chữ số tận cùng của hiệu 8102 - 2102 rồi sử dụng dấu hiệu chia hết cho 10
Giải :
Ta có: 8102 = (84)25.82 = (…6)25.82 = (…6).64 = …4
Trang 72102 = (24)25.82 = 1625.22 = (…6).64 = …4 Vậy 8102 – 2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự
nhiên c 0 có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho c
* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu
diễn a, b rồi tìm hiệu của chúng
Giải :
Ta có a = cq1 + r (0 r < c) ; b = cq2 + r (0 r < c)
Giả sử a > b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r
= cq1- cq2 = c(q1- q2) Vậy a – b c
* Khai thác bài toán:
Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho
3, cho 9) Từ đó rút ra nhận xét :
Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó luôn chia hết cho 3, cho 9
Ví dụ 6: Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c
chia hết cho 7
* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích
abc thành tổng của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c
Giải:
Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c) Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 và abc chia hết cho 7
Do đó 2a + 3b +c chia hết cho 7
Ví d ụ 7: Cho 10k - 119 với k > 1 Chứng minh rằng 102k - 119
* Hướng giải quyết: Biến đổi số 102k – 1 về dạng tổng của hai số hạng đều chia hết cho 19
Giải:
102k – 1 = 102k -10k + 10k – 1 = 10k(10k - 1) + (10k - 1)
Theo đề bài ta có: 10k - 119 nên 10k(10k - 1) + (10k - 1) 19
Hay 102k – 1 19
Ví d ụ 8: Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.
* Hướng giải quyết: Biến đổi số đã cho thành tích của hai thừa số,
một thừa số chia hết cho 9 và một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất: Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn để làm
Giải:
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1
Tổng các chữ số của B là 9 nên B9 (1)
Trang 8Lấy A chia B được thương là C = 100 0100 01 (dư 0)
8 chữ số 0 8 chữ số 0
Ta viết được : A = B.C
Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C3 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra B.C27 hay A27
Ví d ụ 9: Chứng minh rằng: 88…….8 – 9 + n 9
n chữ số 8
* Hướng giải quyết: Biển đổi số đã cho thành tổng của hai số hạng
đều chia hết cho 9
Giải :
88…….8 – 9 + n = 8 11 1 + 9n - 8n – 9 = 8.11… 1 - 8n + 9n -9
n chữ số 8 n chữ số 1 n chữ số 1
= 8(11… 1 - n) + 9(n - 1)
n chữ số 1
Mà tổng các chữ số của số 11…… 1 bằng 1 + 1 + … + 1 = n
n chữ số 1 n chữ số 1
Theo nhận xét của ví dụ 5 ta suy được 11…… 1 – n 9
n chữ số 1
Mặt khác : 9(n - 1) 9
Vậy 8(11… 1 - n) + 9(n - 1) 9 Hay 88… 8 – 9 + n 9
n chữ số 1 n chữ số 8
Ví dụ 10: Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,bN), chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17
* Hướng giải quyết: Biến đổi làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai
biểu thức, trong đó một biểu thức chứa 3a + 2b và biểu thức còn lại chứa 10a + b Khi tính tổng hoặc hiệu trên thì kết quả là bội của 17 Áp dụng hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
Giải:
Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y
Ta có: 2Y – X = 2 (10a + b) – (3a +2b) = 20a + 2b – 3a – 2b = 17a
Do đó 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết cho 17
Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia hết cho 17 hay 10a + 6 chia hết cho 17
* Bài tập vận dụng:
1 a Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho
2 và một số chia hết cho 3
Trang 9b Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
2 Chứng minh rằng:
a 94260 – 35137 5
b 995- 984 + 973 – 962 10
3 Cho n N, chứng minh rằng 5n – 1 4
4 Chứng minh rằng abcabc chia hết cho 7, 11 và 13
5 Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được số chia hết cho 7
6 Chứng minh rằng: 10n + 18n – 1 27
Dạng 2 : Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết.
Phương pháp chung:
+ Dựa vào các dấu hiệu chia hết và các điều kiện về chia hết mà đề bài cho biết để tìm được chữ số theo yêu cầu
+ Đôi khi cần biến đổi số có chứa các chữ số cần tìm về dạng tổng trong đó có một số hạng phụ thuộc vào chữ số cần tìm, các số hạng còn lại thoả mãn điều kiện về chia hết
Ví d ụ 1: Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* 36
* Hướng giải quyết: Số 36 = 4.9, mà 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng
nhau Nên để A 36 thì A4 và A 9, từ đó tìm ra các chữ số
Giải :
Để A 36 thì A 4 và A 9 Suy ra hai chữ số tận cùng của A chia hết cho 4 hay 2* 4 2* {20 ; 24 ; 28}
+ Trường hợp 1 : A = 52*20
Để A9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 9 hay 9 + * 9, do đó * { 0 ; 9 } + Trường hợp 2 : A = 52*24
Lập luận tương tự như trên ta cóù * = 5
+ Trường hợp 3 : A = 52*28, ta có * = 1
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm được ở trên, ta có các số: 52020 ; 52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36
Ví d ụ 2: Tìm chữ số a để 1aaa111
* Hướng giải quyết: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 11, xét hiệu của
tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng lẻ để tìm a
Giải :
Tổng các chữ số ở vị trí hàng lẻ là: 1 + a + 1 = a + 2
Tổng các chữ số ở vị trí hàngchẵn là: a + a = 2a
+ Nếu 2a ≥ a + 2, ta có 2a – (a + 2) = a - 2 Để 1aaa111 thì a - 211 a = 2
+ Nếu 2a < a + 2, ta có a + 2 – 2a = 2 - a Để 1aaa1 11 thì 2 – a 11 a = 2 Vậy với a = 2 thì ta được số 1222111
Trang 10Ví d ụ 3 : Tìm x N để 2x78 17.
* Hướng giải quyết: Đưa 2x78 về dạng tổng của hai số hạng trong đó
có một số hạng chia hết cho 17 và một số hạng có chứa x Để tổng chia hết cho 17 thì số hạng có chứa x phải chia hết cho 17 Từ đó ta tìm được x
Giải :
2x78 = 2078 + 100x = (17.122 +4) + (17.6x -2x)
= 17(122 + 6x) + (4 -2x) = 17(122 + 6x) + 2(2 -x)
Vì 17(122 + 6x) 17 nên để 2x78 17 thì (2 -x) 17
Vậy x = 2
* Bài tập áp dụng:
1 Tìm các chữ số a, b để:
a Số 42ab chia hết cho cả 45 và 9
b Số 42a4b chia hết cho 72
c Số 25a1b chia hết cho 3, cho 5 và không chia hết cho2
2 Điền vào dấu * các chữ số thích hợp để:
a 4*77 chia hết cho 13
b 2*34*5 chia hết cho 1375
3 Biết số *7*8*9 chia hết cho 7, cho 11, cho 13 Tìm số đó
Dạng 3 : Tìm số tự nhiên theo điều kiện về chia hết
Phương pháp chung:
Giả sử tìm n sao cho A(n) B(n)
Biến đổi điều kiện A(n) B(n) k B(n) với k N và không phụ thuộc vào n Từ đó tìm được n
Thử lại các giá trị tìm được của n để có A(n) B(n)
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 3 n – 2
* Hướng giải quyết: Vì 2n + 3 n – 2 và 2(n - 2) n – 2 nên ta biến đổi điều kiện ban đầu đề bài cho thành [2n + 3 - 2(n - 2)] n – 2 Suy ra 7
n – 2 Từ đó tìm được n
Giải:
2n + 3 n – 2 mà 2(n - 2) n – 2 nên [2n + 3 - 2(n - 2)] n – 2 Hay 7n – 2 n – 2 Ư(7) n – 2 {1 ; 7} n {3; 9}
Tương tự, ta có ví dụ 2:
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 7
Giải :
18n + 3 7, mà 21n 7 21n – (18n + 3) 7 21n – 18n - 3 7 3n - 37 3(n – 1) 7
Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n – 1 7
Vậy n = 7k + 1 (kN)
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên x biết x có ba chữ số và x + 2999 997