SKKN Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trên n trong phân môn số học 6

Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 6 về tính chia hết trong tậphợp các số tự nhiên, để học sinh phát hiện, nhận dạng đúng các bài toán, từ đótìm ra phương pháp giải nhanh nhất, hợp l

PHÒNG GIÁO DỤC  ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU

Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trong giaiđoạn hiện nay được xác định là: “Phương pháp dạy học trong nhà trường cáccấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành

và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sángtạo của tư duy” Qua đó, giáo viên là người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn, điềukhiển quá trình học tập, còn học sinh là chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tựrèn luyện từ đó hình thành phát triển nhân cách và các năng lực cần thiết củangười lao động theo những mục tiêu mới đã đề ra

Trong chương trình Toán trung học cơ sở, tính chia hết là một nội dung

cơ bản và quan trọng Ở lớp 6, phần lớn các bài toán trong sách giáo khoa vềtính chia hết thường đơn giản và dễ dàng giải được Tuy nhiên trong nhiều bàitập nâng cao, việc tìm ra lời giải rất khó, đa dạng, đòi hỏi phải có khả năng tưduy toán học linh hoạt, sáng tạo, cần sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.Trong khi đó, tư duy toán học, khả năng phân tích, tổng hợp, suy nghĩ, lậpluận của học sinh còn hạn chế nên các em thường lúng túng, gặp khó khăntrong việc giải các bài toán này Mặt khác, để giải được các dạng toán trên,ngoài các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, học sinh cần phải nắm đượcmột số kiến thức mở rộng không được nêu trong chương trình học chínhkhoá Những kiến thức này nếu không được nắm chắc, khi vận dụng vào giảitoán các em thường gặp nhiều sai lầm dẫn đến giải sai như: Nếu ab  m thì a 

m (hoặc b  m) mà không xét điều kiện a, m (hoặc b, m) có nguyên tố cùngnhau hay không Hoặc khi thấy tổng chia hết cho một số thì kết luận các sốhạng của tổng đều chia hết cho số đó Hoặc khi thấy a  m, a  n thì kết luận a

 mn mà không xét điều kiện m, n nguyên tố cùng nhau

Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 6 về tính chia hết trong tậphợp các số tự nhiên, để học sinh phát hiện, nhận dạng đúng các bài toán, từ đótìm ra phương pháp giải nhanh nhất, hợp lý nhất; đồng thời giúp các em nắmchắc được một kiến thức mở rộng về tính chia hết, bản thân tôi đã rút ra đượcmột số kinh nghiệm Bên cạnh đó, từ năm học 2004 – 2005, Phòng giáo dục

và đào tạo TP Pleiku không tổ chức thi học sinh giỏi các lớp 6, 7, 8 Do đó,yêu cầu đặt ra cho các nhà trường là phải tạo nguồn học sinh Giỏi ngay từ cáclớp học dưới Để giúp học sinh học tập tốt môn Toán, tạo nền tảng vững chắc

về mặt kiến thức đòi hỏi người giáo viên không ngừng sáng tạo, tìm tòi,nghiên cứu những phương pháp giảng dạy sao cho hiệu quả nhất

Đây cũng chính là lý do tôi chọn đề tài: “ Phân loại và phương phápgiải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trên N trong phân môn số học6”

PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A HỆ THỐNG LẠI CÁC KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cốcho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức cóliên quan, đó là:

1/ Định nghĩa

Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b  0 Ta nói a chia hết cho b nếutồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq Khi đó ta còn nói a là bội của b, hoặc b làước của a

2/ Các tính chất chung

a Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

b Số 0 chia hết cho mọi số b  0

c Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

d Tính chất bắc cầu : Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chiahết cho c

3/ Tính chất chia hết của tổng và hiệu

a Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m, a – b chiahết cho m

Hệ quả:

Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho

m thì số còn lại cũng chia hết cho m

b Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m và số còn lại không chiahết cho m thì a + b không chia hết cho m, a - b không chia hết cho m

4/ Tính chất chia hết của tích

a Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

b Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn

Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn

5/ Một số dấu hiệu chia hết

a Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5:

Một số chia hết cho 2 (hoặc cho 5) khi và chỉ khi số đó có chữ số tậncùng là chữ số chẵn (hoặc là 0 hoặc 5)

b Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9:

Một số chia hết cho 3 (hoặc cho 9) khi và chỉ khi số đó có tổng cácchữ số chia hết cho 3 (hoặc cho 9)

c Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :

Một số chia hết cho 4 (hoặc cho 25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ sốtận cùng chia hết cho 4 ( hoặc chia hết cho 25).

d Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :

Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ sốtận cùng chia hết cho 8 ( hoặc chia hết cho 125)

e Dấu hiệu chia hết cho 10:

Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0

g Dấu hiệu chia hết cho 11 :

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở cáchàng lẻ và tổng các chữ số ở các hàng chẵn chia hết cho 11

6/ Toán về chia hết liên quan đến số nguyên tố, ƯCLN, BCNN

a Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số củatích chia hết cho p

Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p

b Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùngnhau thì a chia hết cho m

c Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n

Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chiahết cho tích mn

7/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN

a Thuật toán Ơclit :

+ Nếu a  b thì ƯCLN(a,b) = b

+ Nếu a  b Giả sử a = b.q + r thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r)

b ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = ab

8/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau

+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ước là 1 và chính nó

Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước

+ Hai hay nhiều số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN củachúng bằng 1

B PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI

I Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết

Dạng 1: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số

Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sửdụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết còn phải tuỳ theotừng trường hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác như: Các tínhchất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa, phépchia có dư, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau

* Chú ý: Để chứng minh A(n) chia hết cho t đôi khi ta còn viết A(n )thành một tổng, rồi chứng tỏ mỗi số hạng của tổng đó đều chia hết cho t

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết

* Khai thác: Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia

hết cho 3 Tổng quát: Chứng minh rằng tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chiahết cho n

Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết

cho 3

* Hướng giải quyết: Ba số tự nhiên liên tiếp có dạng là n, n+1, và n+2.

Ta tính tổng của ba số trên và đưa tổng về dạng tích trong đó có một thừa số

là 3

Giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 (n  N)

Ta có: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+3)3

Vậy, tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3

* Tổng quát: Chứng minh rằng tổng của n số tự nhiên liên tiếp thì chia

hết cho n, với n là số lẻ

Ví dụ 3: Cho C = 1 + 3 + 32+33 + … + 311 Chứng minh rằng C chia hếtcho 13

* Hướng giải quyết: Chia tổng C thành từng nhóm thích hợp để biến

đổi về dạng C = 13.K, rồi áp dụng tính chất : Nếu một thừa số của tích chiahết cho m thì tích chia hết cho m

Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên

c  0 có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho c

* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu diễn

a, b rồi tìm hiệu của chúng

Giải :

Ta có a = cq1 + r (0  r < c) ; b = cq2 + r (0  r < c)

Giả sử a > b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r

= cq1- cq2 = c(q1- q2) Vậy a – b  c

* Khai thác bài toán:

Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trongphép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9)

* Hướng giải quyết: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc

thành tổng của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b+ c

Giải:

Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c

= (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c)

Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 và abc chia hết cho 7

Do đó 2a + 3b +c chia hết cho 7

Ví dụ 7: Cho 10k - 119 với k > 1 Chứng minh rằng 102k - 119

* Hướng giải quyết: Biến đổi số 102k – 1 về dạng tổng của hai số hạngđều chia hết cho 19

* Hướng giải quyết: Biến đổi số đã cho thành tích của hai thừa số, một

thừa số chia hết cho 9 và một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất:Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn để làm

* Hướng giải quyết: Biến đổi làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai biểu

thức, trong đó một biểu thức chứa 3a + 2b và biểu thức còn lại chứa 10a + b.Khi tính tổng hoặc hiệu trên thì kết quả là bội của 17 Áp dụng hệ quả: Nếutổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì sốcòn lại cũng chia hết cho m

Giải:

Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y

Ta có: 2Y – X = 2 (10a + b) – (3a +2b) = 20a + 2b – 3a – 2b = 17a

Do đó 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hếtcho 17

Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia hết cho 17 hay 10a+ 6 chia hết cho 17

4 Chứng minh rằng abcabc chia hết cho 7, 11 và 13

5 Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số Chứng minh rằng nếu chuyển chữ

số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được số chia hết cho 7

+ Đôi khi cần biến đổi số có chứa các chữ số cần tìm về dạng tổngtrong đó có một số hạng phụ thuộc vào chữ số cần tìm, các số hạng còn lạithoả mãn điều kiện về chia hết.

Ví dụ 1: Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2*  36

Lập luận tương tự như trên ta cóù * = 5

+ Trường hợp 3 : A = 52*28, ta có * = 1

Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm được ở trên, ta có các số:

52020 ; 52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36

Để 1aaa1  11 thì 2 – a  11  a = 2Vậy với a = 2 thì ta được số 1222111

Ví dụ 3 : Tìm x  N để 2x78 17

* Hướng giải quyết: Đưa 2x78 về dạng tổng của hai số hạng trong đó

có một số hạng chia hết cho 17 và một số hạng có chứa x Để tổng chia hếtcho 17 thì số hạng có chứa x phải chia hết cho 17 Từ đó ta tìm được x

a Số 42ab chia hết cho cả 45 và 9

b Số 42a4b chia hết cho 72

c Số 25a1b chia hết cho 3, cho 5 và không chia hết cho2

2 Điền vào dấu * các chữ số thích hợp để:

a 4*77 chia hết cho 13

b 2*34*5 chia hết cho 1375

3 Biết số *7*8*9 chia hết cho 7, cho 11, cho 13 Tìm số đó

Dạng 3 : Tìm số tự nhiên theo điều kiện về chia hết

Phương pháp chung:

Giả sử tìm n sao cho A(n)  B(n)

Biến đổi điều kiện A(n) B(n)  k  B(n) với k  N và không phụthuộc vào n Từ đó tìm được n

Thử lại các giá trị tìm được của n để có A(n)  B(n)

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 3  n – 2

* Hướng giải quyết: Vì 2n + 3  n – 2 và 2(n - 2)  n – 2 nên ta biếnđổi điều kiện ban đầu đề bài cho thành [2n + 3 - 2(n - 2)]  n – 2 Suy ra 7n– 2 Từ đó tìm được n

Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n – 1 7

Vậy n = 7k + 1 (kN)

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên x biết x có ba chữ số và x + 2999 997

* Hướng giải quyết: Biến đổi số x + 2999 thành tổng của hai số hạng,

trong đó có một số hạng chia hết cho 997 Để tổng chia hết cho 997 thì sốhạng còn lại phải chia hết cho 997 Kết hợp với điều kiện x là số tự nhiên có

Mà 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau nên m  9

Theo bài ra ta có 4m  45  m  11 Và m  9 , m  0 nên m = 9.4m + 9n = 45  9n = 45 - 4m = 45 – 4.9 = 9  n = 1

Vậy với m = 9 và n = 1 thì 4m + 9n = 45

b Giả sử tồn tại hai số tự nhiên m, n khác 0 để 3m +9n = 29

Mà 3m 3, 9n3 nên 3m +9n 3  293 Vô lý vì 29 là số nguyên tố.Vậy không tồn tại hai số tự nhiên m, n khác 0 để 3m +9n = 29

* Bài tập áp dụng :

1 Tìm số tự nhiên n sao cho :

a n+ 5  n+2 b 2n+1  n-5 c n2+3n-13  n+3 d n+3  n2-72.Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ số sao cho n2 – n chia hết cho 5

3.Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.4.Tìm số có ba chữ số như nhau biết rằng số đó có thể viết được dưới dạngtổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1

5 Tìm tất cả các số tự nhiên n để 1.2.3 … (n-1) chia hết cho n

II Các dạng toán về chia hết có liên quan đến số nguyên tố, hợp số,

số nguyên tố cùng nhau

Dạng 1: Tìm số nguyên tố p theo các điều kiện cho trước của nó

Phương pháp chung: Xét các trường hợp có thể xảy ra của p, chọn các

giá trị p thoả mãn điều kiện đề bài

Ví dụ 1 :

Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 cũng là số nguyên tố

* Hướng giải quyết: Xét các trường hợp có thể xảy ra của p, thay vào

tính giá trị tương ứng của p+2 và p+4

Giải :

Xét các trường hợp :

Với p = 2 thì p + 2, p + 4 đều là hợp số, không thoả mãn

Với p = 3 thì p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố, thoả mãn.Với p > 3, do p là số nguyên tố nên p3 p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2+ Nếu p = 3k + 1  p + 2 = 3k + 3 là hợp số, không thoả mãn

+ Nếu p = 3k + 2  p + 4 = 3k + 6 là hợp số, không thoả mãn

Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm

Ví dụ 2 : Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p + p2 cũng là sốnguyên tố

* Hướng giải quyết: Xét các trường hợp có thể xẩy ra của p, thay vào

2p + p2, chọn giá trị p thoả mãn điều kiện đề bài

1 a Tìm các số nguyên tố p để các số sau là số nguyên tố: p+2, p+10

b Tìm các số nguyên tố p để các số sau là số nguyên tố: p+2, p+6, p+8,p+14

c Tìm các số nguyên tố p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số nguyên tố

2 Tìm ba số nguyên tố p, q, r sao cho: pq + qp = r

Dạng 3: Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

Phương pháp chung: đặt ƯCLN của hai số đã cho là d Khi đó, mỗi số

đều chia hết cho d Ta tìm cách chứng minh d=1

Ví dụ1: Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số

nguyên tố cùng nhau

* Hướng giải quyết: Gọi d là ước chung của hai số n và n+1 Hiệu hai

số bằng 1 chia hết cho d Vậy d = 1

Giải:

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1 (n0)

Giả sử d là ước chung của n và n + 1 Ta có: n d; n + 1d

Suy ra: (n+1) – n d hay 1d.

Do đó, d=1

Vậy, hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 (n  N) là hai số nguyên tốcùng nhau

* Hướng giải quyết: Giả sử d là ước chung của hai số đã cho Biến đổi

để hiệu hai biểu thức có chứa hai số đã cho bằng 1 chia hết cho d Vậy d = 1

Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Ví dụ 3 : Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng

ab và a + b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

* Hướng giải quyết: Chứng minh bằng phản chứng.

Giải :

Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d  tồn tại một thừa

số a hoặc b chia hết cho d

Giả sử ad

Mà a + b  d  bd  d là ước chung của a và b

Mặt khác : ƯCLN(a,b) = 1 nên điều đó trái với đề bài

Vậy ab và a + b là hai số nguyên tố cùng nhau

* Bài tập áp dụng :

1 Chứng minh rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

2 Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tốcùng nhau :

a 2n+1 và 3n+1

b 7n+10 và 5n+7