- Căn cứ vào tình hình thức tế giảng dạy môn đại số của tr-ờng THPT, tôi thấy việc số bài toán “Hớng ẫn học sinh tìm điều kiện cần và đủ của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất”
Trang 1A - Phần I: Phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài:
- Toán học là một ngành khoa học tự nhiên Ngoài công việcthực hiện tính toán ra toán học còn bổ trợ cho một số ngành khoahọc khác đặc biệt là trong các chơng trình học của phổ thông
- Nhằm đáp ứng đợc các kỹ năng tính toán và giải các bàitoán trong chơng trình phổ thông Học sinh cần phải rèn luyệncác kỹ năng, t duy logic và vận dụng các công thức để giải cácbài toán
- Căn cứ vào tình hình thức tế giảng dạy môn đại số của
tr-ờng THPT, tôi thấy việc số bài toán “Hớng ẫn học sinh tìm
điều kiện cần và đủ của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất” là một loại bài toán hay và phù hợp với tất cả
các học sinh từ trung bình trở lên
- Phơng pháp điều kiện cần và đủ chỉ là một trong nhữngphơng pháp để giải bài toán của lớp 10 và một số bài toán tìmtham số của lớp 12 Cho nên tôi đa ra dạng bài toán này với mục
đích cung cấp cho học sinh một hệ thống bài tập và rèn luyên tduy, kỹ năng giải toán
- Trờng THPT Mù Cang Chải nằm trên địa bàn miền núi và làmột vùng đặc biệt khó khăn, học sinh chủ yếu là ngời dân tộcthiểu số Vì vậy, nhận thức còn nhiều hạn chế, đặc biệt là khảnăng t duy về môn toán nói chung và các bài toán về điều kiệncần và đủ nói riêng Với những lý do trên, tôi chọn đề tài sáng
kiến kinh nghiệm là “Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện cầnGV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên1
Trang 2và đủ của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất” Chỉ bao gồm các phơng pháp cơ bản nhất ở chơng trình
Đại số lớp 10 Để giải quyết một số lớp bài toán cơ bản, giúp chomột số lớn học sinh có thể tham khảo và tự rèn luyện cho mình
II- Nhiệm vụ của đề tài:
Việc đa sáng kiến kinh nghiệm này với nhiệm vụ cụ thể
là:
- Giúp cho học sinh có một kỹ năng t duy logic về toán học.Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải bài toán tìm điềukiện cần và đủ của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duynhất
- Muốn vậy, giáo viên phải giúp học sinh nhận biết đợc cácdạng bài toán đó để vận dụng đúng phơng pháp khi giải
- Phơng pháp điều kiện cần và đủ trong bài toán tìm
điều kiện của tham số m sao cho hệ có nghiệm duy nhất có thể
coi là một việc chứng minh mệnh đề “Hệ có nghiệm duy
nhất khi và chỉ khi m = k” (k là hằng số)
- Việc tìm giá trị tham số m ở đây ta thực hiện theo giai
đoạn chứng minh:
+ Khi có nghiệm duy nhất thì m = k (đây là điệu kiện
cần)
+ Khi m = k thì hệ đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất
(đậy là điều kiện đủ)
Trang 3III- Phơng pháp nghiên cứu:
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp đại số lớp 10 tại trờngTHPT Mù Cang Chải - Yên Bái trong các năm học trớc
- Phơng pháp quan sát, phơng pháp thực nghiệm s phạm,khảo sát, điều tra, phân tích tổng hợp và đánh giá kết quả
- Vấn đáp tìm hiểu những giáo viên bộ môn, giáo viên chủnhiệm và phụ huynh học sinh
- Kết hợp với tình hình thực tế và đối tợng học sinh Để từ
đó đúc rút ra những phơng pháp giảng dạy phù hợp, khắc phụcthiếu xót nhằm giảm bớt học sinh yếu - kém
IV- Cơ sở nghiên cứu :
- Trong năm học 2007 - 2008 tôi đơc Tổ chuyên môn phâncông giảng dạy môn toán lớp 10 và lớp 11, phần lớn các em là ngờidân tộc thiểu số nh: Mông, Thái Vì vậy, trong quá trình giảngdạy bộ môn toán còn gắp rất nhiều khó khăn về khả năng t duy,lôgic và tính toán của các em còn chậm, nhiều em còn cha hiểu
đợc logic trong toán học
- Căn c vào việc đổi mới phơng pháp giảng dạy “Thầy chủ
đạo và trò chủ động”.
- Căn cứ vào trình độ chuyên môn, vào chức năng và nhiệm
vụ của trờng học
- Căn cứ vào tình hình thực tế của học sinh khi học môntoán nói chung và môn đại số nói riêng của lớp 10 Tôi mạnh dạn
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên3
Trang 4đa ra sáng kiến kinh nghiệm: “Hớng dẫn học sinh tìm kiện
cần và đủ của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất” trong chơng trình Đại số 10.
V- Đối tợng nghiên cứu - phạm vi nghiên cứu:
1 Đối tợng nghiên cứu:
- Học sinh khối 10, tại Trờng THPT huyện Mù Cang Chải
những năm học trớc và hiện tại
2 Phạm vi nghiên cứu:
- Đây là một sáng kiến nhỏ của bản thân tôi qua thời giangiảng dạy môn đại số 10 với mong muôn ngày một nâng cao chấtlợng dạy và học
- Chính vì vậy, phạm vi sáng kiến kinh nghiệm của tôi chỉ
đa ra trong chơng trình đại số 10
VI- Thời gian nghiên cứu:
- Thời gian nghiên cứu từ năm học 2002- 2003 đến nay,ngoài ra còn tìm hiểu học tập một số phơng pháp dạy thực tếcủa các giáo viên trong tổ ở các lớp 10, 11 và 12 thông qua cáctiết dự giờ và đánh giá rút kinh nghiệm
Trang 5B - Phần II: Nội dungI- Cơ sở lý luận của đề tài:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trờng học THPT là hoạt động
dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào
tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân
tài” Đợc xây dựng trên cơ sở ban đầu hình thành nhân cách
cho học sinh, để từ đó học sinh có thể kết hợp giữa lý luận vớithực tiễn lao động hoặc học lên những bậc học cao hơn Bêncạnh đó còn giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông
đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong
đời sống của con ngời
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên5
Trang 6- Vậy vấn đề đặt ra là cần làm cho học sinh nắm vững
những tri thức khoa học ở các bộ môn toán học một cách có hệthống, cơ bản có kỹ năng cần thiết trong học tập và rèn luyện trítuệ của học sinh, thể hiện ở việc học đi đôi với hành
- Đặc trng của bộ môn Toán học là một môn tự nhiên rất khó,
đòi hỏi học sinh phải có t duy Logic và tính toán cản thận Dovậy chú trọng và định hớng cho học sinh học và nghiên cứu môntoán học một cách nghiêm túc hơn trong chơng trình học phổthông
- Do vậy, tôi mạnh dạn đa ra sáng kiến kinh nghiệm này vớimục đính giúp cho học sinh THPT năm học 2007 - 2008 vận dụng
và tìm ra nhng giải pháp tối u nhất khi gặp các bài toàn tìm
điều kiện của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Cụ thể là các tiêu chuẩn sau:
Tiêu chuẩn 1: Học sinh biết đâu là điều kiện cần của bài
toán tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệmduy nhất: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất là cặp số (x0; y0), bằngcách dựa vào đặc điểm, tính chất của hệ và cách suy luận
đúng ta tìm đợc m = k (k là hằng số)
Tiêu chuẩn 2: điều kiện cần trong giá trị của m dã tìm đợc
trong điều kiện cần của hệ, giải hệ kiểm tra tính duy nhất củanghiệm và kết luận
II- Thực trạng hiện nay:
Trang 7Việc giảng dạy Toán học nói chung và Đại số 10 nói riêng hiệnnay gặp rất nhiều khó khăn đặc biệt là đối tợng học sinh trờngTHPT huyện Mù Cang Chải vì những lý do sau:
- Đối tợng học sinh đa số là dân tộc, nhận thức chậm, khảnăng t duy và lôgíc còn hạn chế Phần lớn học sinh rỗng kiến thức
từ lớp dới cha biết vận dụng các định lý, tính chất và các côngthức vào việc giải các bài toán nói chung và các bài toán tìm
điều kiện của tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhấtnói riêng
Ví dụ nh giải bài toán hệ phơng trình dạng thuần nhất hai
ẩn có nghiệm duy nhất sau:
Cho hệ phơng trình: mx + (m – 1)y = m + 1
2x + my = 2Học sinh gần nh không biết vận dụng công thức Crame vàotìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Hoặc là, khi giáo viên ra dạng bài toán về hệ phơng trìnhchứa dấu giái trị tuyệt đối sau:
Yêu cầu học sinh tìm điều kiện của tham số để hệ cónghiệm duy nhất thì học sinh giải và biện luận hệ phơngtrình
- Trong khi đó sách giáo khoa chỉ đa ra các công thức, ví dụ
và các bài toán dạng cơ bản chứ không giải cặn kẽ nên học sinhgặp rất nhiều khó khăn
- Tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh còn hạn chế,cha có nhiều thể loại Việc vận dụng sách giáo khoa, sách giáo
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên7
Trang 8viên với tinh thần nghiêm túc là đều hết sức quan trọng và cầnthiết.
Chính vì vậy, tôi đã nghiên cứu và đa ra một số giải phápthực hiện cụ thể một số dạng bài toán về tìm điều kiện để hệphơng trình có nghiệm duy nhất sau:
III- Giải pháp:
1 Kiến thức cần nhớ:
a Khái niệm điều kiện cần và điều kiện đủ:
Cho mệnh đề đúng “A B” Ta nói: A là điều kiện
dủa của B và B là điều kiện cần của A
b Khái về điều kiện cần và đủ:
Cho mệnh đề đúng “A B” Ta nói: A là điều kiện cần và
đủ của B và ngợc lại B là điều kiện cần và đủ của A
c Phơng pháp: Điều kiện cần và đủ trong bài toán tìm điều
kiện của tham số m sao cho hệ có nghiệm duy nhất có thể coi là
việc chứng minh mệnh đề “Hệ có nghiệm duy nhất khi và
+ Khi m = k thì hệ đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất
(đây là điều kiện đủ).
d Cách giải:
Trang 9* Điều kiện cần:
- Giả sử hệ có nghiệm duy nhất là căp số (x0; y0)
- bằng cách dựa vào đặc điểm, tính chất của hệ và các
Ta thờng gặp bài toán này trong một số dạng sau:
a Giải pháp 1: Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện để hệ thuần nhất bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất:
a1x + b1x = c1
a2x + b2x = c2Chú ý: a12 + b12 + a22 + b22 ≠ 0
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi D ≠ 0
Ta thấy các hệ số của các ẩn không đồng thời bằng 0 nên hệ
có nghiệm duy nhất khi:
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên9
6ax + (2-a)y
= 3 (a-1)x – ay =
Trang 10Vậy nghiệm duy nhất :
Ví dụ 2: (Bài tập trắc nghiệm khách quan)
Cho hệ phơng trình: mx + 2y = m +1
2x + my = 2m + 5Tìm tham số m để hệ có nghiệm duy nhất?
A) m ≠ 2 và m ≠ -2 B) m = 2 C) m = - 2
D) m = 2
Đáp án: A
b Giải pháp 2: Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện để hệ
đối xứng hai ẩn có nghiệm duy nhất:
* Tính chất của nghiệm: Nếu hệ có nghiệm duy nhất là
cặp số (x; y) thì cũng có nghiệm duy nhất là (y; x)
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình sau:
Nghiệm duy nhất của hệ là
Trang 11- Điều kiện cần: Giải sử hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì (y;x) cũng là nghiệm Do đó hệ có nghiệm duy nhất là (x; x) với x =y
x2 + y2 = 32 Nghiệm duy nhất là (4; 4) Vậy điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm duy nhất là a =
Trang 12- Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì
hệ cũng có nghiệm duy nhất là (y; x) Do đó để hệ cónghiệm duy nhất thì x = y
Ta có : 2x + x2 = m + 1 (1)
2x3 = m (2) Thế (2) vào (1) ta đợc: x = 1 hoặc x =
Ví dụ 3: Cho hệ phơng trình sau:
Trang 13- Điều kiện cần: Nhận thấy nếu hệ có nghiệm duy nhất là(x0; y0) thì hệ cũng có nghiệm duy nhất là (y0; x0).
+ Với m = 8: Giải hệ ta thấy có nghiệm duy nhất là (2;2)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 8
- Nhận xét: Đối với hệ phơng trình đối xứng phơng phápnày không phải là duy nhất Có nhiều bài toán ta có thể vận dụngmột số phơng pháp khác nh dùng đồ thị, phơng pháp nghiệmkép… Đôi khi có thể dựa vào đặc điểm riêng của hệ đã cho
Ví dụ 4: ( Bài tập dạng trắc nghiệm khách quan)
Cho hệ phơng trình
x + y +xy = 2m + 1xy(x + y) = m2 + m Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất?A) m ≠ 1 B) m = 1 C) m = -1 D) m = 1
Đáp án : B
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên13
Trang 14- Nhận xét: Bài toán này nếu không tìm ra đặc điểm trên
mà vẫn làm giống nh VD1, VD2 thì việc kiểm tra điều kiện đủrất phức tạp
c Giải pháp 3: Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện để hệ bậc chẵn một ẩn số có nghiệm duy nhất:
* Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0), thì hệcũng có nghiệm duy nhấtlà (-x0; y0) nếu hệ là chẵn đối với ẩn x,còn có nghiệm duy nhất là (x0; -y0) nếu hệ là chẵn đối với ẩn y
Ví dụ 1: Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
Trang 15Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất?
Do đó không có để hệ có nghiệm duy nhất
d Giải pháp 4: Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện để hệ bậc chẵn đối với hai ẩn có nghiệm duy nhất:
* Tính chất: Nếu hệ có nghiệm duy nhất là (x0; y0) thì hệcũng có nghiệm duy nhất là (-x0; -y0)
Ví dụ : Cho hệ phơng trình :
x2 + y2 = m
x4 + y4 = 2m + 1 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất?
Bài giải:
- Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0; y0) thì
hệ cũng có nghiệm duy nhất là (-x0; -y0) Do đó hệ có nghiệmduy nhất khi và chỉ khi x0 = y0 = 0
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên15
Trang 16Từ đó ta có ngay không tồn tại m để hệ có nghiệm duynhất.
e Giải pháp 5: Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện để hệ chứa căn thức có nghiệm duy nhất:
* Đối với hện chứa căn thức ta sử dụng phơng pháp điềukiện cần và đủ thì điều mấu chốt là phải tìm ra điều kiệncần bằng cách nhận xét về các ẩn của hệ, loại hệ này tìm ra giátrị của tham số
Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình
= a
x + y = 2a + 1 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất?
Trang 17Vậy hệ đã cho chó nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 2 +.
Ví dụ 2: Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
+ Với a = 3 thì hệ có nghiệm duy nhất là
+ Với a = 3 Hệ có nghiệm duy nhất là
Vậy với a = 3 hệ có nghiệm duy nhất
- Nhận xét : Đối với hệ chứa căn thức thì phơng pháp điềukiện cần và đủ tỏ ra khá hiệu quả
f Giải pháp 6: Hớng dẫn học sinh tìm điều kiện để hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất:
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên17
Trang 18Ví dụ 1: Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
ax2 + a = y + 1 + y2 = 1
- Điều kiện cần: Nhận thấy nếu hệ có nghiệm duy nhất là(x0; y0),thì cũng có nghiệm duy nhất là (-x0;y0) Để hệ có nghiêmduy nhất thì x0 = 0 a = 0 hoặc a=2
- Điều kiện đủ:
+ Với a = 0: Hệ có nghiệm duy nhất là (0; -1)+ Với a = 2: Hệ có nghiệm duy nhất (0; 1) Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 0 hoặn
Trang 19C- Phần III: Kết luận và kiến nghịI- Kết luận :
- Qua thực tiễn giảng dạy chơng trình toán lớp 10 và quátrình đi dự giờ, đánh giá rút kinh nghiệm giờ dạy từ các đồngnghiệp trong trờng tôi thấy đã đem lại những kết quả cụ thể nhsau:
- Trong một giờ học phần nào học sinh đã hiểu và giải
đợc một số bài toán tìm điều kiện cần và đủ tìm điều kiệncủa tham số để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
- Gây đợc hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt là đốivới những học sinh còn nhận thức yếu
- Thu hút và sử dụng đợc tối đa tính tích cực của học sinhqua các tiết học và lấy học sinh làm trung tâm của tiết học, giáoviên chỉ là ngời hớng dẫn và quản lý
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên19
Trang 20- Học sinh phần nào làm tốt các bài tập tìm điều kiện cần
và đủ tìm điều kiện của tham số để hệ phơng trình cónghiệm duy nhất ở nhà và đã biết ứng dụng giải các bài toántrong sách giáo khoa
- Kết quả của học sinh khá tăng rõ rệt, học sinh yếu - kémgiảm hơn so với các năm trớc
II- Kiến nghị và đề xuất:
- Để nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn đại số nói chung
và bộ môn toán học nói riêng nhất là đối với đối tợng học sinh ờng THPT Huyện Mù Cang Chải tôi xin đề xuất một số ý kiến nhsau
tr-1 Đối với nhà trờng:
- Tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên một tàiliệu, sách giáo khoa tham khảo
- Tổ chức các hội thảo chuyên đề về nội dung, phơngpháp mới để phục vụ cho công tác giảng dạy của từng bộ môn, tổchức các hoạt động ngoại khóa để qua đó các em có cơ hội họchỏi từ bạn bè đặc biệt là bộ môn toán học nó còn giúp các em tựtin hơn và không ngại khi học môn toàn và các môn tự nhiên khác
2 Đối với giáo viên :
- Cần thờng xuyên nghiên cứu và tham gia các lớp bồi ỡng về chuyên môn, nghiệp vụ để có những phơng pháp phù hợpvới từng đối tợng học sinh
d Tích cực kiểm tra mức độ hiểu bài, kiểm tra và đánh giáchất lợng học sinh trong môn học
Trang 213 Đối với học sinh :
- Cần tích cực học tập , không ngại khó và phải phấn đấu tốthơn nữa
- Ngoài giờ học ở trên lớp các em có thể tổ chức các buổihọc nhóm
- Tích cực làm và tham khảo các dạng bài tập khó
D- Phần iv: Tài liệu tham khảo
1 Đại số lớp 10
2 Bài tập đại số 10
3 Sách nâng cao đại số 10
4 Các bài tập nâng cao môn toán 10
GV: Bùi Đăng Khoa - Tổ tự nhiên21