Sang kien kinh nghiem phan tich da thuc thanh nhan tu (PP new)

Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Phßng GD-§T Ch¬ng Mü Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam Trêng THCS Trung Hoµ §éc lËp - tù do - h¹nh phóc ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm PhÇn I : S¬ yÕu lý lÞch Hä vµ tªn: NguyÔn ThÞ Mïi Sinh n¨m: 23 - 08 - 1979 N¨m vµo ngµnh: 23 - 09 - 2001 §¬n vÞ c«ng t¸c: Trêng THCS Trung Hoµ-Ch¬ng Mü-Hµ T©y Chuyªn ngµnh ®µo t¹o: To¸n-Tin HÖ ®µo t¹o: ChÝnh qui Bé m«n ®îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y: To¸n 6A+6B PhÇn II : Néi dung ®Ò tµi Tªn ®Ò tµi " híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö " A §Æt vÊn ®Ò 1 Lý do chän ®Ò tµi a Lý do chñ quan T«i lµ mét gi¸o viªn míi ra trêng cßn h¹n chÕ nhiÒu vÒ chuyªn m«n, nghiÖp vô nªn viÖc häc hái trau dåi kinh nghiÖm lµ ®iÒu rÊt cÇn thiÕt Trong giai ®o¹n cha æn ®Þnh vÒ mÆt ph¬ng ph¸p nh hiÖn nay, b¶n th©n t«i lu«n ph¶i thÓ nghiÖm c¸c ph¬ng ph¸p, nhãm ph¬ng ph¸p ®Ó ®óc rót kinh nghiÖm cho m×nh tõ ®ã n©ng cao hiÖu qu¶ gi¶ng d¹y cho b¶n th©n Häc sinh trêng THCS Trung Hoµ Ýt cã ®iÒu kiÖn vµ kh¶ n¨ng tù häc C¸c em cßn yÕu vµ cßn thiÕu vÒ kiÕn thøc c¬ b¶n còng nh vÒ kü n¨ng nh×n nhËn t×m híng ®i cho mét bµi to¸n b Lý do kh¸ch quan §¹i sè 8 nãi chung vµ bµi to¸n ph©n tÝch thµnh nh©n tö lµ mét néi dung rÊt hay vµ phong phó, nã rÌn kü n¨ng tÝnh to¸n vµ ãc t duy linh ho¹t cho häc sinh §©y lµ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n lµm nÒn mãng cho viÖc tiÕp thu kiÕn thøc ë c¸c líp trªn ViÖc gi¶i quyÕt tèt bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö sÏ hç trî ®¾c lùc cho viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh sau nµy Do yªu cÇu ®æi míi SGK, ®æi míi ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y ®èi víi bé m«n to¸n 8 theo tinh thÇn " lÊy häc sinh lµm trung t©m ", nªn viÖc tæ chøc híng dÉn ®Ó c¸c em t×m tßi c¸ch gi¶i to¸n lµ yªu cÇu cÇn thiÕt cña ngêi thÇy NguyÔn ThÞ Mïi 1 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö MÆt kh¸c, kiÕn thøc SGK rÊt c¬ b¶n nªn viÖc ph¸t hiÖn bæ xung kiÕn thøc, t×m tßi c¸c ph¬ng ph¸p míi trªn c¬ së nÒn t¶ng kiÕn thøc SGK lµ ®iÒu cÇn thiÕt, nã t¹o cho c¸c em tÝnh “tß mß khoa häc”, “ tÝnh tù lËp” vµ h×nh thµnh thãi quen tù häc H¬n thÕ n÷a, to¸n 8 lµ mét m¾t xÝch quan träng trong trôc ch¬ng tr×nh, kh«ng nh÷ng nã gióp c¸c em häc to¸n tèt h¬n ë nh÷ng n¨m häc sau nµy, mµ cßn gióp c¸c em häc tèt h¬n c¶ nh÷ng m«n häc tù nhiªn kh¸c Khi gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò nµy, ®ång thêi c¸c em còng gi¶i quyÕt ®îc nhiÒu mÆt kh¸c nh : + Cñng cè kiÕn thøc + RÌn kü n¨ng tÝnh to¸n, ph©n tÝch, tæng hîp, + Ph¸t triÓn t duy + T¹o ra mét lng vèn kiÕn thøc cho nh÷ng n¨m häc sau nµy Tõ nh÷ng t©m huyÕt vµ tr¨n trë nªu trªn, t«i ®· x©y dùng mét ®Ò tµi mang tªn “Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö “ 2 Thêi gian thùc hiÖn vµ ph¹m vi ®Ò tµi a Thêi gian Häc kú I n¨m häc 2002 - 2003 b Ph¹m vi thùc hiÖn Líp 8D trêng THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü - Hµ T©y 3 Kh¶o s¸t tríc khi thùc hiÖn ®Ò tµi C¸c em chØ hiÓu vµ lµm ®îc c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n trªn c¬ së mét vµi phÐp biÕn ®æi thuÇn tuý, cha cã kh¶ n¨ng ph¸n ®o¸n, ®Þnh híng ®óng cho viÖc gi¶i bµi to¸n VÒ mÆt ph¬ng ph¸p c¸c em cßn hiÓu rÊt s¬ sµi mµ chñ yÕu, c¸c ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc vµ nhãm nhiÒu h¹ng tö ViÖc vËn dông c¸c ph¬ng ph¸p cßn mang tÝnh nhá lÎ thiÕu ®ång bé vµ kh«ng hÖ thèng Tríc khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy t«i cho c¸c em lµm bµi kiÓm tra kh¶o s¸t chÊt lîng nh sau : LÇn 1: (15’) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1 A = 8x3 + 1 2 B = x + y + xy + y2 KÕt qu¶ nh sau Tæng sè §iÓm häc sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB 39 5 27 6 1 0 7 NguyÔn ThÞ Mïi 2 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö LÇn 2: (20’) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1 A = (x+2)2 - 6(x+2) + 9 2 B = x3 - 2x2 - x+2 KÕt qu¶ nh sau Tæng sè §iÓm häc sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB 39 4 25 8 2 0 10 Qua hai bµi kiÓm tra t«i thÊy chÊt lîng cã ®i lªn nhng rÊt chËm, cha ®¸p øng ®îc yªu cÇu ngµy cµng cao vÒ chÊt lîng cña c¸c m«n häc thay s¸ch Tõ thùc tr¹ng trªn, t«i ®a ra mét sè gi¶i ph¸p sau: B Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò I KiÕn thøc c¬ b¶n : ViÖc n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n lµ mét ®iÒu rÊt cÇn thiÕt sÏ gióp c¸c em gi¶i quyÕt bµi to¸n mét c¸ch thuËn lîi vµ dÔ dµng h¬n KiÕn thøc c¬ b¶n lµ x¬ng sèng ®Ó tõ ®ã ph¸t triÓn më réng c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp Tõ nh÷ng quan ®iÓm trªn t«i trang bÞ cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc sau ®©y 1 C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí 2 C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (SKG to¸n 8 - tËp 1) - Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung - Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc - Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö 3 NghiÖm cña ®a thøc NÕu f(a)=0 th× x-a lµ nh©n tö cña ®a thøc f(x) Ta cã f(x)=(x-a)g(x), trong ®ã f(x), g(x) lµ c¸c ®a thøc 4 §ång nhÊt hÖ sè NÕu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1 th× a n bn  a n  1 bn    1   a1 b 1 5 NÕu thay x1=a1 hoÆc x2=a2 mµ A(x1,x2, ,xn)=0 th× A(x1,x2, ,xn) (x1  a1 ),(x2  a2 ), VËy A(x1,x2, ,xn) = K(x1-a1)(x2-a2) 6 Tam thøc bËc hai NguyÔn ThÞ Mïi 3 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Tam thøc ax2+bx+c ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö khi b2-4ac  0 (thõa nhËn dÊu hiÖu nµy) II C¸c d¹ng bµi tËp vµ c¸ch gi¶i D¹ng 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p “t¸ch mét sè h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö” C¬ së : NÕu f(a) = 0 th× f(x) = (x-a)g(x) víi f(x) vµ g(x) lµ c¸c ®a thøc Quy t¾c: t¸ch mét sè h¹ng tö thµnh mét sè h¹ng tö kh¸c lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung hoÆc h»ng ®¼ng thøc tõ ®ã bµi to¸n ®îc gi¶i quyÕt 1 C¸c bµi to¸n Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = x2 - 4x+3 Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: Ta ph¶i t¸ch mét trong ba h¹ng tö thµnh c¸c h¹ng tö míi ®Ó gép víi hai h¹ng tö cßn l¹i trë thµnh c¸c nhãm, mçi nhãm xuÊt hiÖn nh©n tö chung gièng nhau, nhê thÕ bµi to¸n ®îc gi¶i quyÕt Lêi gi¶i C¸ch 1: (T¸ch h¹ng tö gi÷a) A = x2 - x - 3x +3 = x(x-1)-3(x-1) =(x-1)(x-3) C¸ch 2: (T¸ch h¹ng tö cuèi) A =x2-4x-1+4 =x2-1-4x+4 =(x-1)(x+1)-4(x-1) =(x-1)(x+1-4) =(x-1)(x-3) C¸ch 3: (T¸ch h¹ng tö cuèi) A =x2-4x+4-1 =(x-2)2-1 =(x-2+1)(x-2-1) =(x-1)(x-3) C¸ch 4: (T¸ch h¹ng tö cuèi) A =x2-4x-9+12 =x2-9-4x+12 NguyÔn ThÞ Mïi 4 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö =(x-3)(x+3)-4(x-3) =(x-3)(x+3-4) =(x-3)(x-1) C¸ch 5: (T¸ch h¹ng tö gi÷a vµ h¹ng tö cuèi) A =x2-2x-2x+3 =x2-2x+1-2x+2 =(x-1)2-2(x-1) =(x-1)(x-1-2) =(x-1)(x-3) Bµi to¸n trªn kh«ng phøc t¹p c¸c em cã thÓ dÔ dµng tiÕp thu T«i muèn ®a ra bµi to¸n nµy ®Ó gióp c¸c em cã häc lùc yÕu còng cã thÓ nhËn thøc ®- îc ViÖc gi¶i bµi to¸n theo nhiÒu c¸ch gióp c¸c em biÕt xem xÐt bµi to¸n ë nhiÒu gãc c¹nh tõ ®ã c¸c em cã c¸i nh×n phong phó h¬n Bµi to¸n 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö B = 4x2 - 4x-3 Lêi gi¶i C¸ch 1 :(T¸ch h¹ng tö thø hai) B =4x2+2x-6x-3 =2x(2x+1)-3(2x+1) =(2x+1)(2x-3) C¸ch 2 :(T¸ch h¹ng tö thø ba) B =4x2-4x+1-4 =(2x-1)2-4 =(2x-1-2)(2x-1+2) = (2x+1)(2x-3) NhËn xÐt : ViÖc t¸ch h¹ng tö víi môc ®Ých t¹o ra c¸c hÖ sè tû lÖ tõ ®ã xuÊt hiÖn c¸c thõa sè chung, nh©n tö chung hoÆc c¸c h»ng ®¼ng thøc 2 Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2-6x+8 b) 9x2+6x-8 Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) -c2(a-b)+b2(a-c)-a2(b-c) Gîi ý: t¸ch a-c=(a-b)+(b-c) NguyÔn ThÞ Mïi 5 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b) (x-y)-x3(1-y)+y3(1-x) Gîi ý: t¸ch 1-y=(x-y)+(1-x) D¹ng 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p “thªm vµ bít cïng mét sè h¹ng” C¬ së thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö vµo ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö hoÆc h»ng ®¼ng thøc tõ ®ã cho ra kÕt qu¶ 1 C¸c bµi to¸n Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 4x4+81 Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: ë bµi to¸n nµy chóng ta cha thÓ sö dông ®îc bÊt kú h»ng ®¼ng thøc nµo, mÆt kh¸c còng cha cã nh©n tö chung v× thÕ cÇn thªm bít nh thÕ nµo ®ã ®Ó cã h»ng ®¼ng thøc §Õn ®©y, t«i ®Æt c©u hái cho häc sinh : “NÕu sö dông h»ng ®¼ng thøc a2+2ab+b2 th× thiÕu bé phËn nµo” Lêi gi¶i: 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 =(2x2+9)2-(6x)2 =(2x2+9-6x)(2x2+9+6x) =(2x2-6x+9)(2x2+6x+9) ViÖc gi¶i bµi to¸n lµ mét phÐp thªm bít ®¬n gi¶n vµ dÔ dµng cho kÕt qu¶ nhng cha ®îc híng dÉn th× qu¶ lµ mét vÊn ®Ò khã ®èi víi c¸c em Qua bµi to¸n nµy c¸c em sÏ cã nh÷ng kiÕn thøc vµ kinh nghiÖm míi cho viÖc gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Bµi to¸n 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x6-1 Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : Ta thÊy x6-1 cã thÓ ph©n tÝch thµnh (x3)2 - 1 hoÆc (x2)3-1 ®Ó sö dông ngay h»ng ®¼ng thøc mÆt kh¸c ta còng cã thÓ thªm bít ®Ó xuÊt hiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc hoÆc ®Ó nhãm Lêi gi¶i : C¸ch 1: (Nèi tõ x6 ®Õn 1) x6-1 =x6-x5+x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1 =x5(x-1)+ x4(x-1)+ x3(x-1)+ x2(x-1)+ x(x-1)+(x-1) =(x-1)(x5+ x4+ x3+ x2+ x+1) =(x-1)[x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)] =(x-1)(x+1)(x4+x2+1) NguyÔn ThÞ Mïi 6 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö C¸ch 2: =(x-1)(x+1)[x4+2x2+1-x2] x6-1 = (x-1)(x+1)[(x2+1)2-x2] = (x-1)(x+1)(x2+1-x)(x2+1+x) C¸ch 3: = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) x6-1 =x6+x3-x3-1 C¸ch 4: =x3(x3+1)-(x3+1) x6-1 =(x3+1)(x3-1) =(x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) C¸ch 5: x6-1 =x6+x4+x2-x4-x2-1 =x2(x4+x2+1)-(x4+x2+1) C¸ch 6: =(x4+x2+1)(x2-1) x6-1 =( x4+2x2+1-x2)(x-1)(x+1) = (x2-x+1) (x2+x+1) (x-1) (x+1) C¸ch 7: x6-1 =(x3)2-1 =(x3-1)(x3+1) = (x+1)(x2-x+1) (x-1)(x2+x+1) =(x2)3-1 =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) =x6-3x4+3x2-1+3x4-3x2 =(x2-1)3+3x2(x2-1) =(x2-1)[(x2-1)2+3x2] =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) =x6-x2+x2-1 =[(x3)2-x2]+(x2-1) =(x3-x)(x3+x)+(x2-1) NguyÔn ThÞ Mïi 7 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) C¸ch 8: x6-1 =x6-x2+x2-1 =x2(x4-1)+(x2-1) =x2(x2-1)(x2+1)+(x2-1) =(x2-1)[x2(x2+1)+1] = (x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) C¸ch 9: x6-1 =x6-x4+x4-1 =x4(x2-1)+(x2-1)(x2+1) =(x2-1)(x4+x2+1) = (x-1)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1) C¸c c¸ch lµm trªn cã nh÷ng c¸ch rÊt ®¬n gi¶n nhng còng cã nh÷ng c¸ch phøc t¹p song t«i muèn dÉn d¾t c¸c em theo nhiÒu híng kh¸c nhau víi môc ®Ých ®Ó c¸c em sÏ cã c¸i nh×n phong phó h¬n, khi ®øng tríc mét bµi to¸n c¸c em cã kü n¨ng nhËn biÕt c¸ch nµo ®¬n gi¶n nhÊt, tõ ®ã cã ®Þnh híng ®óng cho viÖc gi¶ bµi tËp MÆt kh¸c, viÖc ®a ra nhiÒu c¸ch lµm lµ t¹o cho c¸c em cã mét “lng vèn kiÕn thøc” ®Ó khi gÆp mét bµi to¸n cã thÓ “lµm c¸ch nµy kh«ng ®îc th× lµm c¸ch kh¸c” 2 Bµi tËp tù luyÖn Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : a) x5+x4+1 b) x8+x+1 c) 4x4+1 d) x8+98x2+1 D¹ng 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p “®æi biÕn sè ” C¬ së Khi gÆp mét bµi to¸n cã mét sè biÓu thøc lÆp ®i lÆp l¹i trong c¸c h¹ng tö nhng luü thõa kh¸c nhau ®Ó ®¬n gi¶n ho¸ bµi to¸n ta cã thÓ ®Æt biÓu thøc ®ã thµnh mét biÕn míi råi gi¶i quyÕt b×nh thêng Sau khi gi¶i bµi to¸n víi biÕn míi, ta ph¶i thay vÒ biÕn ban ®Çu 1 C¸c bµi to¸n NguyÔn ThÞ Mïi 8 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a (x2+x)2+4(x2+x)-12 b (x2+x+1)(x2+x+2)-12 Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: a) DÔ dµng nhËn thÊy, x2+x lÆp ®i lÆp l¹i b) x2+x+2 = (x2+x+1)+1 Lêi gi¶i a §Æt x2+x=y (x2+x)2+4(x2+x)-12 =y2+4y+12 =y2-2y+6y-12 =y(y-2)+6(y-2) =(y-2)(y+6) Thay y = x2+x = (x2+x-2)(x2+x+6) =(x-1)(x+2)(x2+x+6) b §Æt x2+x+1=t (x2+x+1)(x2+x+2)-12 =t(t+1)-12 =t2+t-12 =t2-9+t-3 =(t-3)(t+3)+(t-3) =(t-3)(t+4) Thay t=x2+x+1 = (x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5) Bµi to¸n 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A=x4+6x3+7x2-6x+1 Lêi gi¶i : A = x2(x2+6x+7- 6x  x2 1 ) x2[(x2  x2 1 )  6(x  1x)  7] (*) §Æt x  1x y  y2 x2  2  x2 1  y2  2 x2  x2 1 Thay vµo (*), ta cã: x2(y2+2+6y+7) =x2(y2+6y+9) =x2(y+3)2 NguyÔn ThÞ Mïi 9 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö =(xy+3x)2 Thay y x  1 x [x(x  1 )  3x]2 x ( x 2  3x  1)2 C¸ch 2: x4+6x3+7x2-6x+1 =x4+6x3-2x2+9x2-6x+1 =x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 =(x2+3x-1)2 NÕu lµm phÐp so s¸nh gi÷a c¸ch 2 vµ c¸ch 1 th× râ rµng c¸ch 2 ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu VËy ph¶i ch¨ng c¸ch t«i ®· lµm phøc t¹p ho¸ vÊn ®Ò mét c¸ch kh«ng cÇn thiÕt ? T«i muèn ®a ra bµi to¸n trªn cho häc sinh kh«ng ph¶i chØ ®Ó lµm phong phó c¸ch lµm to¸n mµ nh»m môc ®Ých trang bÞ cho c¸c em kiÕn thøc ®Ó sau nµy khi gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng ®èi xøng c¸c em cã thÓ gi¶i quyÕt nhanh gän 2 Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x(x+1)(x+2)(x+3)+1 Gîi ý: x(x+1)(x+2)(x+3) = x(x+3)(x+1)(x+2) =(x2+3x)(x2+3x+2) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x2+y2+z2)-(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 Gîi ý: §Æt x2+y2+z2=a xy+yz+zx=b D¹ng 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p “hÖ sè bÊt ®Þnh” C¬ së NÕu anxn + an-1xn-1 + + a1 = bnxn + bn-1xn-1 + + b1 th× a n bn  a n  1 bn    1   a1 b 1 1 C¸c bµi to¸n NguyÔn ThÞ Mïi 10 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x4-6x3+12x2-14x+3 (1) Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: Ta thÊy, 3 cã c¸c íc 1, 3 nhng kh«ng lµ nghiÖm cña 1, vËy viÖc t×m ra nghiÖm rÊt khã kh¨n vµ còng cã thÓ kh«ng cã nghiÖm, v× thÕ viÖc ®Þnh híng ®Ó ph©n tÝch ra nh©n tö bËc 1 rÊt khã kh¨n NÕu (1) ph©n tÝch ®îc th× sÏ cã d¹ng (x2+ax+b)(x2+cx+d) Lêi gi¶i Gi¶ sö (1) ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö, ta cã x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d) a c  6   a c b d  12   a d  bc  14  bd 3 Cho b=3 -> d=1 ->a=-2;c=-4 VËy ta cã d¹ng ®· ph©n tÝch cña (1) lµ (x2-2x+3)(x2-4x+1) §©y lµ bµi to¸n khã, d¹ng to¸n phøc t¹p chØ cã mét sè Ýt c¸c em lµm ®- îc Môc ®Ých t«i ®a ra bµi to¸n nµy lµ gióp häc sinh kh¸ giái gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n t¬ng tù, tõ ®ã më ra mét ®Þnh híng míi cho viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö bµi to¸n cã ý nghÜa nh mét ch×a kho¸ cho viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n khã ph©n tÝch MÆt kh¸c viÖc lµm tèt ph¬ng ph¸p nµy, t¹o thuËn lîi cho c¸c em häc tèt h¬n ë c¸c líp häc tiÕp theo V× ®©y lµ d¹ng to¸n khã, nªn ®¹i bé phËn häc sinh trong líp kh«ng lµm ®îc, nÕu tiÕp tôc ®a vµo c¸c bµi tËp d¹ng nµy sÏ g©y t©m lý hoang mang, cho¸ng v¸ng cho häc sinh cã lùc häc trung b×nh vµ yÕu V× thÕ t«i nhanh chãng chuyÓn sang d¹ng to¸n kh¸c 2 Bµi tËp tù luyÖn Dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 4x4+4x3+5x2+2x+1 b) 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10 D¹ng 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p “xÐt gi¸ trÞ riªng” C¬ së: NÕu thay x1=a1 hoÆc x2=a2 mµ A(x1,x2, ,xn)=0 th× A(x1,x2, ,xn) (x1  a1 ), (x2  a2 ), VËy A(x1,x2, ,xn) = K(x1-a1)(x2-a2) 1 C¸c bµi to¸n Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö P = ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) (1) NguyÔn ThÞ Mïi 11 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Lêi gi¶i  a b NÕu thay  b c vµo (1) th× P = 0 -> a-b, b-c, c-a lµ nh÷ng nh©n tö  c a cña P MÆt kh¸c P cã bËc 3 VËy P = K(a-b)(b-c)(c-a) (2) víi K lµ h»ng sè NÕu thay a = 1, b = 2, c = 0 vµ biÓu thøc ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c- a)= K(a-b)(b-c)(c-a), ta cã K = 1 §©y lµ d¹ng to¸n phøc t¹p nhng t«i cè g¾ng chän ra bµi to¸n thËt ®¬n gi¶n v× ®Æc thï häc sinh ë trêng t«i, c¸c em nhËn thøc chËm, nÕu ®a bµi to¸n phøc t¹p th× võa mÊt thêi gian l¹i kh«ng hiÖu qu¶ 2 Bµi tËp tù luyÖn Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) M = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) b) a(b+c-a)2+b(c+a-b)2+c(a+b-c)2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) D¹ng 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p “t×m nghiÖm cña ®a thøc” C¬ së: - NÕu f(a)=0 th× x-a lµ nh©n tö cña ®a thøc f(x) Ta cã f(x)=(x-a)g(x), trong ®ã f(x), g(x) lµ c¸c ®a thøc - NÕu tam thøc ax2+bx+c cã hai nghiÖm a', b' th× ph©n tÝch ®îc thµnh a(x-a')(x-b') 1 C¸c bµi to¸n Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x3+3x2-4 Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: DÔ nhÈm thÊy x=1 lµ nghiÖm cña ®a thøc -> ®a thøc chøa nh©n tö x-1, vËy ta ph¶i biÕn ®æi ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö x-1 Lêi gi¶i x3+3x2-4 =x3-1+3x2-3 =(x-1)(x2+x+1)+3(x2-1) =(x-1)[x2+x+1+3(x+1)] =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 Bµi to¸n 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö NguyÔn ThÞ Mïi 12 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2+3x+2 (1) b) x2-x+12 (2) Gîi ý: H·y t×m nghiÖm cña ®a thøc Lêi gi¶i a) DÔ thÊy x=-1 vµ x=-2 lµ nghiÖm cña ®a thøc (1) VËy x2+3x+2=(x+1)(x+2) Trªn c¬ së c¸c em hiÓu thËt kü phÇn a, t«i cho c¸c em vÒ nhµ tù lµm phÇn b Bµi to¸n trªn rÊt ®¬n gi¶n, nhng l¹i më ra mét híng míi cho viÖc suy luËn t×m lêi gi¶i, nã cã t¸c dông ®Þnh híng cho viÖc ph©n tÝch lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung MÆt kh¸c, t«i muèn ®a ra d¹ng to¸n nµy ®Ó c¸c em sím tiÕp cËn vµ lµm quen víi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc biÖt lµ ph¬ng tr×nh bËc hai mµ c¸c em sÏ häc rÊt nhiÒu ë líp 9 vµ c¸c n¨m häc sau nµy VÊn ®Ò cña bµi to¸n tuy kh«ng “to t¸t” song bµi to¸n ®· hÐ më cho c¸c em mét ý tëng míi 2 Bµi tËp tù luyÖn Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö c) x3-x2+1 d) 2x3-2x2-x+1 e) x2-4x+3 f) 2x2+3x-2 D¹ng 7: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p 1 C¸c bµi to¸n Bµi to¸n 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b) Lêi gi¶i A = b2c+bc2+ac2-a2c-a2b-ab2 =(abc- a2b)+(ac2-a2c)+(b2c-ab2)+(bc2-abc) (thªm bít abc) = ab(c-a)+ac(c-a)+b2(c-a)+bc(c-a) =(c-a)(ab+ac+b2+bc) =(c-a)[a(b+c)+b(b+c)] =(c-a)(b+c)(a+b) NguyÔn ThÞ Mïi 13 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Bµi to¸n trªn cã vai trß cñng cè c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, mÆt kh¸c nã lµ sù tæng hîp c¸c kiÕn thøc gióp c¸c em cã sù nh×n nhËn thÊu ®¸o h¬n khi lµm to¸n Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng A n  n2  n3 lµ sè nguyªn 32 6 Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i: Ta quy ®ång biÓu thøc thµnh mét ph©n thøc nÕu ph©n thøc lµ sè nguyªn th× tö chi a hÕt cho mÉu VËy bµi to¸n trë vÒ viÖc chøng minh tö chia hÕt cho mÉu sau khi ®· quy ®ång Lêi gi¶i: n  n   2 n3 2n  3n2  n3 Ta cã 32 6 6 2n+3n2+n3 =n(2+3n+n2) =n[(n2+n)+(2n+2)] =n[n(n+1)+2(n+1)] =n(n+1)(n+2) V× nZ nªn n(n+1)(n+2) lµ tÝch cña ba s« nguyªn liªn tiÕp -> cã mét thõa sè chia hÕt cho 2, mét thõa sè chia hÕt cho 3 -> n(n+1)(n+2) chia hÕt cho 6 VËy 2n  3n  2  n3 Z hay A  Z (®pcm) 6 Bµi to¸n gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò míi ®ång thêi cã sù liªn hÖ víi kiÕn thøc cò qua ®ã c¸c em ®îc cñng cè kiÕn thøc thÊy ®îc sù liªn hÖ, tÝnh hÖ thèng, mãc xÝch vµ thèng nhÊt cña ch¬ng tr×nh Ch¾c ch¾n r»ng qua c¸c bµi tËp trªn, c¸c em sÏ hiÓu s©u s¾c h¬n, cã c¸i nh×n toµn diÖn vµ ®Æc biÖt cã hÖ thèng ph¬ng ph¸p tèt ®Ó lµm bµi tËp, tõ ®ã t«i cho c¸c em lµm c¸c bµi tËp sau: 2 Bµi tËp tù luyÖn Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a4+5a3+15a-9 Bµi 2 : TÝnh nhanh a3-a2b-ab2+b3 víi a=5,75; b=4,25 Bµi 3 : T×m x biÕt a) x2+x=6 b) 6x3+x2=2x Trªn ®©y lµ hÖ thèng c¸c bµi tËp tõ dÏ ®Õn khã mµ t«i ®· cung cÊp cho häc sinh Qua ®ã, t«i thÊy tr×nh ®é tiÕp thu kiÕn thøc cña c¸c em kh¸ lªn rÊt NguyÔn ThÞ Mïi 14 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nhiÒu, viÖc gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nãi riªng vµ gi¶i c¸c bµi to¸n nãi chung c¸c em ®· tiÕn hµnh cã hÖ thèng, cã ®Þnh híng ®óng vµ ®Æc biÖt ®èi tîng häc sinh cã häc lùc yÕu ®· biÕt lµm c¸c bµi tËp d¹ng t¬ng tù §Ó x¸c minh tÝnh ch©n thùc vµ kiÓm ®Þnh l¹i suy nghÜ cña m×nh t«i ®· tiÕn hµnh kh¶o s¸t nh sau : III Kh¶o s¸t sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi §Ò bµi: (25') Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 6x2-11x+3 b) x3-7x+6 c) a6+a4+a2b2+b4-b6 KÕt qu¶ Tæng sè §iÓm häc sinh 0 -> 2 3 -> 4 5 -> 6 7 -> 8 9 -> 10 TB 39 1 4 13 16 5 34 Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy, t«i thÊy c¸c em ®îc më mang kiÕn thøc ViÖc tiÕp thu kiÕn thøc ®îc c¶i thiÖn, v× thÕ mµ c¸c em häc kh¸ h¬n, thÝch häc m«n to¸n h¬n vµ tõ ®ã c¸c em cã phÇn quý t«i h¬n, tin tëng t«i h¬n tríc Tõ chç c¸c em ham häc h¬n, nªn c¸c em ®· cã ý thøc h¬n T«i thÊy chuyªn ®Ò nµy kh«ng chØ gióp c¸c em th¸o gì khã kh¨n khi häc bµi mµ cßn mang ý nghÜa gi¸o dôc lín VÒ phÝa b¶n th©n, t«i thÊy c¸c em quý t«i h¬n, tõ ®ã t«i thªm yªu nghÒ, thªm tin vµo sù nghiÖp gi¸o dôc vµ “lý tëng trång ngêi” §©y lµ lêi ®éng viªn thiÕt thùc, lµ mãn quµ phÊn khÝch t«i lµm tèt h¬n n÷a C KÕt thóc vÊn ®Ò I Bµi häc kinh nghiÖm Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy, t«i thÊy viÖc thùc hiÖn c¸c chuyªn ®Ò lµ rÊt cÇn thiÕt Kh«ng ph¶i chØ cÇn thiÕt ®èi víi trß mµ cßn rÊt cã ý nghÜa ®èi víi thÇy, ®©y lµ mét trong nh÷ng h×nh thøc tù båi dìng chuyªn m«n nghiÖp vô, ®Æc biÖt víi t«i - mét gi¸o viªn míi ra trêng, th× ®iÒu nµy l¹i cµng cã ý nghÜa KiÕn thøc SGK rÊt c¬ b¶n vµ bao qu¸t, song kh«ng thÓ “lét t¶” hÕt c¸c ngâ ng¸ch kiÕn thøc, v× thÕ ngêi thÇy cÇn ph¶i biÕt khai th¸c “c¸c m¾t” kiÕn thøc t¹o chiÒu s©u trong bµi gi¶ng Trong gi¶ng d¹y, ngêi thÇy tr¸nh ch÷a bµi tËp mét c¸ch trµn lan, mµ cÇn cã sù hÖ thèng, ph©n d¹ng bµi tËp vµ ®Æc biÖt híng dÉn cho c¸c em vÒ mÆt ph¬ng ph¸p Ngêi thÇy tr¸nh lµm thay c¸c em mµ ph¶i tæ chøc cho c¸c em t×m tßi ph¸t hiÖn kiÕn thøc, tõ ®ã t¹o dùng ý thøc tù häc cho häc sinh NguyÔn ThÞ Mïi 15 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö §Ó cã chuyªn ®Ò hay, ph¬ng ph¸p d¹y häc tèt ngêi thÇy cÇn cã sù ®Çu t thêi gian c«ng søc vµ t©m huyÕt II Tµi liÖu tham kh¶o 1 To¸n båi dìng häc sinh líp 8 ®¹i sè vµ h×nh häc (Vò H÷u B×nh - T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu) 2 255 bµi to¸n chän läc (Vò D¬ng Thuþ - Tr¬ng C«ng Thµnh - NguyÔn Ngäc §¹m) 3 ¤n tËp ®¹i sè 8 (Vò H÷u B×nh - T«n Th©n) 4 To¸n c¬ b¶n vµ n©ng cao ®¹i sè 8 (Vò H÷u B×nh ) 5 To¸n båi dìng häc sinh ®ai sè 8 (Vò H÷u B×nh - T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu) III Lêi kÕt T«i lµm ®Ò tµi nµy víi mong muèn c¶i thiÖn chuyªn m«n bæ tóc nghiÖp vô, b¶n th©n t«i lµ mét gi¸o viªn míi ra trêng, tuæi ®êi vµ tuæi nghÒ cßn Ýt, n¨ng lùc l¹i h¹n chÕ, ch¾c ch¾n ®Ò tµi nµy cßn nhiÒu sai sãt Víi quan ®iÓm häc hái vµ cÇu thÞ tiÕn bé, t«i tha thiÕt mong c¸c ®ång chÝ, chØ gi¸o ®Ó t«i lµm tèt h¬n c¸c ®Ò tµi sau nµy Trung Hoµ, ngµy 24 th¸ng 04 n¨m 2005 Ngêi viÕt NguyÔn ThÞ Mïi NguyÔn ThÞ Mïi 16 THCS Trung Hoµ - Ch¬ng Mü – Hµ T©y Hµ T©y ... tập dạng gây tâm lý hoang mang, cho¸ng v¸ng cho häc sinh cã lùc häc trung bình yếu Vì nhanh chóng chuyển sang dạng toán khác Bài tập tự luyện Dùng phơng pháp hệ số bất định, phân tích đa thức... Tôi làm đề tài với mong muốn cải thiện chuyên môn bổ túc nghiệp vụ, thân giáo viên trờng, tu? ??i đời tu? ??i nghề ít, lực lại hạn chế, chắn đề tài nhiều sai sót Với quan điểm học hỏi cầu thị tiến... toán mà nhằm mục đích trang bị cho em kiến thức để sau giải phơng trình bậc dạng đối xứng em giải nhanh gọn Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư x(x+1)(x+2)(x+3)+1 Gỵi ý: x(x+1)(x+2)(x+3)