Những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ và cách khắc phục_SKKN Toán THPT

A - ĐẶT VẤN ĐỀI-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀIBất phương trình vô tỉ là một trong những phần quan trọng của lớp 10.Bấtphương trình vô tỉ thường được dùng để ra đề trong thi đại học và thi học sinhgiỏ

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

"NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ"

GV: ĐỖ THỊ MAI

Tổ : TOÁN Trường: THPT ĐẶNG THAI MAI Năm học: 2011-2012

Quảng Xương, tháng 5 năm 2012

Trang 2

A - ĐẶT VẤN ĐỀI-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Bất phương trình vô tỉ là một trong những phần quan trọng của lớp 10.Bấtphương trình vô tỉ thường được dùng để ra đề trong thi đại học và thi học sinhgiỏi cấp tỉnh Để giải được bất phương trình vô tỉ thì học sinh phải nắm vữngđịnh nghĩa về bất phương trình,định nghĩa về bất phương trình vô tỉ ,hai bấtphương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương

Trong thực tế giảng dạy ở trường THPT, đặc biệt là học sinh lớp 10 củatrường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao,điểm đầu vào môntoán thấp.Nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bấtphương trình vô tỉ Các em hay mắc phải sai lầm khi kết hợp nghiệm của bấtphương trình vô tỉ hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế mà khôngxét dấu của hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương

Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số sai lầm họcsinh thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ dạng cơ bản và một số bàitập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải về bất phương trình vô tỉ đúng hơn Giúphọc sinh khắc phục được những sai lầm của mình khi giải bất phương trình vô tỉ

Qua đề tài (Những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ) tôi muốn

giúp học sinh hiểu sâu thêm về các phép biến đổi tương đương khi giải bấtphương trình vô tỉ, có tư duy tốt hơn khi giải bất phương trình vô tỉ để tìm ra lờigiải đúng cho bài toán

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng :

Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 10 phần bất phương trình vô tỉ ởtrường tôi Tôi nhận thấy một số vấn đề nổi cộm như sau:

Vấn đề thứ nhất:Trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản phần bất phương trình vô

tỉ trình bày rất sơ lược và tóm tắt,sách giáo khoa 10 nâng cao thì trình bày rõ

Trang 3

ràng hơn song chỉ nêu hai dạng cơ bản Những khái niệm về các phép biến đổitương đương trong giải bất phương trình thì trừu tượng làm học sinh khó nắm bắtđược sâu sắc bản chất của vấn đề.Đặc biệt theo phân phối chương trình của lớp

10 CB thì bài "bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn " dạy trong 2 tiếtcòn theo phân phối của chương trình nâng cao thì bài ''Đại cương về bất phươngtrình" dạy trong 1 tiết với lượng kiến thức khá nhiều.Do đó giáo viên khó có thểdiễn giải chi tiết, cặn kẻ,lấy nhiều ví dụ minh họa để học sinh nắm được cácphép biến đổi tương đương và các phép biến đổi không tương đương trong giảibất phương trình

Vấn đề thứ hai: Bài tập về giải bất phương trình vô tỉ đa dạng và khó nên học

sinh thường lúng túng khi gặp những bài toán loại này

Vấn đề thứ ba: Đặc điểm của học sinh trường tôi là học sinh trung bình chiếm

hơn 60%,và chủ yếu học sinh học ban cơ bản.Tư duy của các em còn nhiều hạnchế do đó khi giải bất phương trình các em thường không nắm được các phépbiến đổi tương đương để đưa bất phương trình về bất phương trình mới tươngđương.Các em cứ thấy bất phương trình có ẩn dưới dấu căn là các em bìnhphương mà không xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương không?Qua các bài kiểm tra định kì,kiểm tra thường xuyên ở hai lớp 10A5;10A6 tôithấy học sinh mắc rất nhiều sai lầm trong khi giải bất phương trình vô tỉ dẫn đếnđáp số sai.Vì thế điểm kiểm tra phần này thường thấp hơn so với các phần họckhác.Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước khi tôi chưa chỉ ra những sai lầm trongkhi giải bất phương trình vô tỉ như sau:

Trang 4

Chính vì vậy mà học sinh các lớp cơ bản tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúngtúng khi giải bất phương trình vô tỉ.

Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân Tôi viết sángkiến kinh nghiệm này để giúp các em vận dụng được các phép biến đổi tươngđương trong giải bất phương trình để giải bất phương trình vô tỉ,tránh đượcnhững sai lầm thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ Tôi mong muốngiúp các em học tốt hơn phần bất phương trình vô tỉ ,bồi dưỡng cho các em lòng

say mê, yêu thích môn toán

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀI-CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.Định nghĩa bất phương trình:

-Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt D=

Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng

f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x)g x f x( ), ( ) g x( )được gọi là bất phương trình một ẩn ;xgọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó

0

x D gọi là một nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x) nếu f x( ) 0 g x( ) 0 là mệnh

đề đúng

-Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn

2.Bất phương trình tương đương:

Hai bất phương trình(cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tậpnghiệm

3.Các phép biến đổi tương đương

Cho bất phương trình f(x)<g(x) có tập xác định D,y=h(x)là một hàm số xác địnhtrên D

1) f x( ) g x( )  f x( ) h x( ) g x( ) h x( )

2) f x( ) g x( )  f x h x( ) ( ) g x h x( ) ( ) nếu h(x)>0 với mọi xD

3) f x( ) g x( )  f x h x( ) ( ) g x h x( ) ( ) nếu h(x)<0 với mọi xD

4)f(x)<g(x) f2n 1 ( )x g2n 1 ( )x

5) f x( ) g x( )  f2n( )x g2n( )x với nN* ,f(x) 0, ( ) 0g x  với mọi x  D

6) f x( ) g x( )   f x( )  g x( )  f2n( )x g2n( )x với nN*,f(x) 0, ( ) 0g x  vớimọi x  D

II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

1 Các giải pháp thực hiện

Trang 5

1.1.Nêu các định nghĩa về bất phương trình,bất phương trình vô tỉ ,các định lí vềcác phép biến đổi tương đương giữa hai bất phương trình

1.2.Nêu những dạng bất phương trình vô tỉ cơ bản mà học sinh thường gặp trongsách giáo khoa,sách bài tập hoặc đề thi đại học

1.3.Nêu những lời giải sai lầm thường gặp của học sinh và chỉ ra những sai sótcủa học sinh.Từ đó đúc kết ra lời giải đúng cho dạng toán đó

1.4.Dạy thành các dạng nhỏ trong các tiết tự chọn toán để bổ sung kiến thứccho các em

2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện.

2.1 Giải bất phương trình dạng A<B(1)

Ví Dụ

Bài 1.Giải bất phương trình sau : x2  x 12 2   x

Học sinh thường trình bày như sau:

3

x x

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi chưa đặt điều kiện cho 2-x  0

đã bình phương hai vế của bất phương trình đây là phép biến đổi không tươngđương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai

Trang 6

Học sinh thường không để ý đến dấu của hai vế của bất phương trình nên bìnhphương hai vế mà không xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đươngkhông.

Đối với bất phương trình (1) khi B£ 0 thì bất phương trình sẽ vô nghiệm vì

Ta có lời giải đúng của bài 1 là:

Bài 1.Giải bất phương trình sau : 2

12 2

Giải

2 2

Bài 2.Giải bất phương trình sau: x2  3x 10  x 2

Điều kiện:x2  3x 10 0   2

5

x x

Kết hợp với điều kiện ta có x 14

Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=[14;)

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã xét thiếu trường hợp x-2 <0 dẫn đến phép

biến đổi chưa tương đương nên dẫn đến đáp số sai

Sai lầm

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bấtphương trình (2) là:

Trang 7

-Học sinh không đặt điều kiện xác định của bất phương trình, mà sẽ viết

A B

ì ³ ïï ïï

Û íï ³

ï >

ïïî 2

0 0

Như vậy ở cả ba cách làm trên đều sai.Đối với hai sai lầm đầu thì đó không phải

là phép biến đổi tương đương như đã phân tích ở bài toán 1,còn đối với sai lầmthứ ba thì xét thiếu trường hợp

Bài 2.Giải bất phương trình sau: x2  3x 10  x 2

Trang 8

kết hợp với điều kiện ta có

x> 5 Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=( 5;)

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai ở bất phương trình

-x+3< (2x 4)(x 1) Học sinh đã không xét các trường hợp mà cứ thế bìnhphương hai vế dẫn đến lời giải của bài toán sai

Sai lầm:

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bấtphương trình (3) ,(4) là:

-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bất phương trình

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày nhưsau:

Như vậy ở cả hai cách làm trên đều sai

Sai lầm thứ nhất thì khi chưa tìm điều kiện mà bình phương thì có thể dẩn đếnbất phương trình mới không tương đương vì nó có sự thay đổi về tập xác định Sai lầm thứ hai là khi giải bất phương trình 2 AB> -C A- B đây là bài toán (2)nên ta phải chia làm hai trường hợp

Û ïïê - - ³ íêï > - -

0 0 4

Trang 9

Chú ý cho học sinh vì ta đã tìm tập xác định ngay từ đầu nên trong trường hợp1của bất phương trình 2 AB> -C A- B không cần tìm AB³ 0

Bài 3.Giải bất phương trình sau: x  1 2x 4  x 1

Kết hợp với điều kiện: x 2 Þ x> 5

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:

7

x x

Trang 10

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi bình phương hai vế của bất

phương trình mà không xét xem 3x- x+1  0 hay chưa?

Sau đó lời giải trên tiếp tục sai khi bình phương hai vế của bất phương trình

-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bất phương trình

-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày nhưsau:

Sai lầm thứ nhất thì như đã phân tích ở các bài toán trên

Sai lầm thứ hai học sinh đã không xét xem ở vế trái của bất phương trình (4) đãkhông âm chưa

Nên khi bình phương hai vế của bất phương trình (4) có thể đó không phải làphép biến đổi tương đương

Trang 11

A- B> C Û A> B+ C ta đưa về bài toán 3

Hoặc ta phải chứng minh được A- B³ 0 sau đó ta mới bình phương hai vế để

đưa về bất phương trình mới tương đương

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

Bất phương trình vô nghiệm

2.5 Giải bất phương trình dạng:A. B³ 0 hoặc A. B£ 0(5)

2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S=( ; 1] [3; )

2

    

Nhận xét:Bài toán trên học sinh đã giải sai là khi x2 - x- ³

2 3 2 0 là điều kiện củabài toán thì ta không thể kết luận x2 - x³

3 0

Trang 12

Vì nếu x2 - x- =

2 3 2 0 thì bất phương trình đúng bất kể x2 - x

3 nhận dấu gì Nếu

x2 - x- >

2 3 2 0 thì mới suy ra được x2 - x³

3 0.Do đó phép biến đổi trên là khôngtương đương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai

Sai lầm:

-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bài toán

-Học sinh sẽ trình bày như sau: A. B³ 0

Điều kiện :B³ 0

A. B³ 0 Û A³ 0

Ở cách làm này học sinh đã biến đổi không tương đương ta chỉ được chia cả hai

vế của bất phương trình cho một biểu thức khi biểu thức đó luôn dương hoặcluôn âm với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình.Mà B³ 0 nên taphải xét hai trường hợp khi B= 0 hoặc khi B> 0 khi đó ta mới được phépchia cả hai vế của bất phương trình cho B

Biện pháp:

A. B³ 0

B B A

é = ê êì

Û ïïê >

íêï ³ êïîë

0 0 0

Bài 6: Giải bất phương trình sau: (x2 - x) x2 - x- ³

é = ê

- - = Û ê

ê ê

2.6 Giải bất phương trình dạng:A ( B- C)³ 0 hoặc A ( B- C)£ 0(6)

Ví dụ

Trang 13

Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x2 - £ x2

Điều kiện:x£ - 2 hoặc x³ 2

x

x x

x

ì ³ï

3 13

Nhận xét:Nếu nhìn lướt qua đáp số thì ta nghỉ bài giải đúng nhưng lời giải này

đã sai.Vì học sinh không để ý rằng khi x-3=0( hoặc x2 - - x

-4 3=0) thì takhông cần để ý đến dấu của x2 - - x-

4 3( hoặc x-3) thì bất phương trình luônđúng.Chỉ khi x-3>0 thì ta mới suy luận được x2 - - x-

4 3>0 Hoặc x-3<0 thìsuy ra được x2 - - x-

4 3<0.Chính vì vậy mà phép biến đổi đưa về hệ bấtphương trình trên là chưa tương đương.Nên lời giải sai tuy rằng đáp số đúng.Sai lầm:

-Học sinh sẽ trình bày như sau: A ( B- C)³ 0

- ³ Û ê

êïïê íêï - £ ïîë

0 0 0

0 0

Trang 14

Như vậy cách làm này đã sai là nếu A=0 thì mang dấu gì thì A ( B- C)= 0

Nên đó không phải là phép biến đổi tương đương

ê ê

0

0 0

Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x2 - £ x2

x

x x

Trang 15

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=æ ; ù [ ; )

ç- ¥ - úÈ +¥

13 3 6

<-ê- < £ ë

Nhận xét:Học sinh đã không để ý đến dấu của x+2 mà nhân vào hai vế của bất

phương trình với x+2 thì đó không phải là phép biến đổi tương đương.Do đó dẫnđến một bất phương trình mới không tương đương nên đáp số của bài toán bị sai.Học sinh phải xét dấu của x+2>0 hoặc x+2<0 thì mới được phép nhân vào hai vếcủa bất phương trình

Sai lầm:

Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất

phương trình (7) là:

-Học sinh sẽ trình bày như sau:

Trang 16

hoặc luôn âm với mọi giá ttrị của x thuộc tập xác định của bất phương trình tamới được một bất phương trình mới tương đương.Còn biểu thức B này chưa biết

đã dương hay âm nên nhân vào hai vế của bất phương trình với B đó không phải

là phép biến đổi tương đương

Biện pháp:

Điều kiện : A

B

ì ³ ïï

íï ¹ ïî

0 0

A BC B

0 0

Nếu nhận xét được dấu của B thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ nếu B>0 thì A C A B C.

B > Û >

Nếu B<0 thì A C A B C.

B > Û <

Bài 8: Giải bất phương trình sau: 8 2 2 1

2

x x x

<-ê- < £ ë

Trang 17

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S= 2; 3 17

đặt t= x với t 0 phương trình đưa về dạng :t2   t 1 2(t4  t2  1) 0 

Ta thấy t=0 không phải là nghiệm của phương trình.Chia cả hai vế của phươngtrình cho t

Nhận xét:Qua bài 9 nếu ta nhận xét được dấu của mẫu số thì lời giải sẽ gọn đi

rất nhiều.Nên trước khi bắt tay vào lời giải ta nên dạy cho các em nhận xét dấucủa mẫu số nếu không nhận xét được dấu thì ta mới phải chia trường hợp để làm

Bài 10.Giải bất phương trình sau: 1 + -x 1 - x³ x

Điều kiện :-1£ £ 1x

Trang 18

Đúng với mọi x thỏa mãn -1£ £ 1x

Kết hợp với điều kiện suy ra bất phương trình có tập nghiệm S=[-1;1]

Sai lầm:

-Học sinh sẽ trình bày như sau:

Điều kiện:

A B

Biện pháp:

Điều kiện:

A B

Bài 10.Giải bất phương trình sau: 1 + -x 1 - x³ x

Trang 19

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=[0;1]

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

I KẾT QUẢ

Trong quá trình dạy lớp 10A5, tôi đã đưa ra các dạng bài tập về bất phương trình

vô tỉ ,lấy ví dụ minh họa cho từng dạng,cho các em lên bảng làm.Sau đó tôi đãhướng dẫn cho học sinh cả lớp tìm thấy được sai lầm trong lời giải, để từ đó các

em rút ra kinh nghiệm cho bản thân mình

Kết quả điểm kiểm tra hết phần học như sau:

Sau khi chỉ ra những sai lầm

III KIẾN NGHỊ

Trang 20

Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát sao hơn nữa đến mức độ tiếp thu bài của

học sinh Cần phải kiểm tra miệng nhiều em để nắm được mức độ hiểu bài củacác em để kịp thời uốn nắn sửa chữa những sai lầm mà các em mắc phải

- Cần có sự nghiêm túc hơn trong việc sử dụng công nghệ thông tin trong dạytoán

Đối với nhà trường:Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi về cách dạy

bài học khó để tìm ra những cách giảng dạy hay nhất và chỉ ra những cách giảngdạy chưa được

Đối với sở giáo dục

Cần công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao trên mạng internet để giáoviên và học sinh tất cả các trường trong tỉnh và ngoài tỉnh áp dụng vào thực tiễn

và học hỏi cách viết một đề tài khoa học

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy

cô giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.

Quảng Xương, tháng05 năm 2012

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,04 MB