Đang tải... (xem toàn văn)
Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi chưa đặt điều kiện cho 2-x 0 đã bình phương hai vế của bất phương trình đây là phép biến đổi không tương đương nên dẫn đến đáp số của b[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM "NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ" GV: ĐỖ THỊ MAI Tổ : TOÁN Trường: THPT ĐẶNG THAI MAI Năm học: 2011-2012 Quảng Xương, tháng năm 2012 (2) A - ĐẶT VẤN ĐỀ I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất phương trình vô tỉ là phần quan trọng lớp 10.Bất phương trình vô tỉ thường dùng để đề thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh Để giải bất phương trình vô tỉ thì học sinh phải nắm vững định nghĩa bất phương trình,định nghĩa bất phương trình vô tỉ ,hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương Trong thực tế giảng dạy trường THPT, đặc biệt là học sinh lớp 10 trường tôi số lượng học sinh mức độ học lực trung bình cao,điểm đầu vào môn toán thấp.Nên học sinh gặp nhiều khó khăn giải các bài toán liên quan bất phương trình vô tỉ Các em hay mắc phải sai lầm kết hợp nghiệm bất phương trình vô tỉ xét thiếu trường hợp bình phương hai vế mà không xét dấu hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu số sai lầm học sinh thường mắc phải giải bất phương trình vô tỉ dạng và số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải bất phương trình vô tỉ đúng Giúp học sinh khắc phục sai lầm mình giải bất phương trình vô tỉ Qua đề tài (Những sai lầm học sinh giải bất phương trình vô tỉ) tôi muốn giúp học sinh hiểu sâu thêm các phép biến đổi tương đương giải bất phương trình vô tỉ, có tư tốt giải bất phương trình vô tỉ để tìm lời giải đúng cho bài toán II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng : Sau thời gian dạy học môn toán khối 10 phần bất phương trình vô tỉ trường tôi Tôi nhận thấy số vấn đề cộm sau: Vấn đề thứ nhất:Trong sách giáo khoa lớp 10 phần bất phương trình vô tỉ trình bày sơ lược và tóm tắt,sách giáo khoa 10 nâng cao thì trình bày rõ (3) ràng song nêu hai dạng Những khái niệm các phép biến đổi tương đương giải bất phương trình thì trừu tượng làm học sinh khó nắm bắt sâu sắc chất vấn đề.Đặc biệt theo phân phối chương trình lớp 10 CB thì bài "bất phương trình và hệ bất phương trình ẩn " dạy tiết còn theo phân phối chương trình nâng cao thì bài ''Đại cương bất phương trình" dạy tiết với lượng kiến thức khá nhiều.Do đó giáo viên khó có thể diễn giải chi tiết, cặn kẻ,lấy nhiều ví dụ minh họa để học sinh nắm các phép biến đổi tương đương và các phép biến đổi không tương đương giải bất phương trình Vấn đề thứ hai: Bài tập giải bất phương trình vô tỉ đa dạng và khó nên học sinh thường lúng túng gặp bài toán loại này Vấn đề thứ ba: Đặc điểm học sinh trường tôi là học sinh trung bình chiếm 60%,và chủ yếu học sinh học ban bản.Tư các em còn nhiều hạn chế đó giải bất phương trình các em thường không nắm các phép biến đổi tương đương để đưa bất phương trình bất phương trình tương đương.Các em thấy bất phương trình có ẩn dấu là các em bình phương mà không xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương không? Qua các bài kiểm tra định kì,kiểm tra thường xuyên hai lớp 10A5;10A6 tôi thấy học sinh mắc nhiều sai lầm giải bất phương trình vô tỉ dẫn đến đáp số sai.Vì điểm kiểm tra phần này thường thấp so với các phần học khác.Cụ thể bài kiểm tra lớp 10A5 trước tôi chưa sai lầm giải bất phương trình vô tỉ sau: Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42) Giỏi SL % Khá SL % 9,5 Hệ thực trạng trên: TB SL 16 % 38,1 Yếu SL 14 % 33,3 Kém SL % 19,1 (4) Chính vì mà học sinh các lớp tôi dạy ban đầu thường ''sợ'' và lúng túng giải bất phương trình vô tỉ Với kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy thân Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này để giúp các em vận dụng các phép biến đổi tương đương giải bất phương trình để giải bất phương trình vô tỉ,tránh sai lầm thường mắc phải giải bất phương trình vô tỉ Tôi mong muốn giúp các em học tốt phần bất phương trình vô tỉ ,bồi dưỡng cho các em lòng say mê, yêu thích môn toán B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I-CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.Định nghĩa bất phương trình: -Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định là Df và Dg Đặt D= Df Dg Mệnh đề chứa biến có các dạng f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x) g ( x), f ( x) g ( x) gọi là bất phương trình ẩn ;x gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định bất phương trình đó x0 D gọi là nghiệm bất phương trình f(x)<g(x) f ( x0 ) g ( x0 ) là mệnh đề đúng -Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có chứa ẩn dấu 2.Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình(cùng ẩn) gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm 3.Các phép biến đổi tương đương Cho bất phương trình f(x)<g(x) có tập xác định D,y=h(x)là hàm số xác định trên D 1) f ( x) g ( x) f ( x) h( x) g ( x) h( x) 2) f ( x) g ( x) f ( x).h( x) g ( x).h( x) h(x)>0 với x D 3) f ( x) g ( x) f ( x).h( x) g ( x).h( x) h(x)<0 với x D n 1 n 1 4)f(x)<g(x) f ( x) g ( x) với n N 2n 2n * 5) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) với n N ,f(x) 0, g ( x) 0 với x D 2n 2n * 6) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x ) f ( x) g ( x ) với n N ,f(x) 0, g ( x) với x D II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN: (5) Các giải pháp thực 1.1.Nêu các định nghĩa bất phương trình,bất phương trình vô tỉ ,các định lí các phép biến đổi tương đương hai bất phương trình 1.2.Nêu dạng bất phương trình vô tỉ mà học sinh thường gặp sách giáo khoa,sách bài tập đề thi đại học 1.3.Nêu lời giải sai lầm thường gặp học sinh và sai sót học sinh.Từ đó đúc kết lời giải đúng cho dạng toán đó 1.4.Dạy thành các dạng nhỏ các tiết tự chọn toán để bổ sung kiến thức cho các em 2.Các biện pháp để tổ chức thực 2.1 Giải bất phương trình dạng A < B (1) Ví Dụ Bài 1.Giải bất phương trình sau : x x 12 x Học sinh thường trình bày sau: x 4 x x 12 0 x Điều kiện : x x 12 x x x 12 (2 x) x x 12 x x 3x 16 x 16 x x 16 Kết hợp với điều kiện thì bất phương trình có nghiệm: Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: chưa đặt điều kiện cho 2-x 0 đã bình phương hai vế bất phương trình đây là phép biến đổi không tương đương nên dẫn đến đáp số bài toán sai Sai lầm: Như dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau, giải loại bất phương trình (1) là: -Học sinh không đặt điều kiện xác định bất phương trình, mà trình bày A < B Û A < B2 -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình sau đó trình bày A < B Û A < B Như hai cách làm trên sai vì đó không phải là phép biến đổi tương đương Khi giải bất phương trình vô tỉ ta phải tìm điều kiện để bất phương trình vô tỉ xác định Ta thấy phép bình phương là phép biến đổi tương đương hai vế bất phương trình phải không âm cùng âm (6) Học sinh thường không để ý đến dấu hai vế bất phương trình nên bình phương hai vế mà không xét xem đó có phải là phép biến đổi tương đương không Đối với bất phương trình (1) B £ thì bất phương trình vô nghiệm vì A³ Khi B>0 thì hai vế không âm nên ta bình phương hai vế bất phương trình tương đương Biện pháp: ìï B > ïï A <B Û í A³ ïï ïïî A < B Ta có lời giải đúng bài là: Bài 1.Giải bất phương trình sau : x x 12 x Giải x x x 4 x 4 x2 x2 x x 12 0 x x 12 x x 16 x x 12 x 2 x 0 x 2 x x 12 (2 x ) x Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S ( ; ] 2.2Giải bất phương trình dạng A > B (2) Ví dụ: Bài 2.Giải bất phương trình sau: x x 10 x Học sinh thường trình bày sau: x Điều kiện: x x 10 0 x 5 x 0 x 2 x 3x 10 x x 14 x 14 x 3x 10 x x Kết hợp với điều kiện ta có x 14 Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=[14; ) Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã xét thiếu trường hợp x-2 <0 dẫn đến phép biến đổi chưa tương đương nên dẫn đến đáp số sai Sai lầm (7) Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau giải loại bất phương trình (2) là: -Học sinh không đặt điều kiện xác định bất phương trình, mà viết A > B Û A > B2 -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình,nhưng không xét dấu biểu thức B sau đó viết A > B Û A > B ïìï A ³ ï Û í B³ ïï A > B ïïî A > B -Học sinh làm Như ba cách làm trên sai.Đối với hai sai lầm đầu thì đó không phải là phép biến đổi tương đương đã phân tích bài toán 1,còn sai lầm thứ ba thì xét thiếu trường hợp Khi ìïï A ³ í ïïî B < ïìï A ³ í ïïî B < thì bất phương trình(2) đúng với x là nghiệm hệ bất phương trình Vì A ³ > B Þ Biện pháp: A >B éìï A ³ êïí êï B < ïî Û ê êì B ³ êïï êíï ê A >B ëïî A > B Ta có lời giải đúng bài là: Bài 2.Giải bất phương trình sau: x x 10 x Giải x x 10 x x x 3x 10 0 x 5 x x 20 x2 Trường hợp 1: ìï ìïï x ³ x- ³ ïí Û Û x ³ 14 í ïïî x - 3x - 10 ³ ( x - 2)2 ï x ³ 14 ï î Trường hợp 2: Vậy bất phương trình có tập nghiệm: ; 14; là S= 2.3 Giải bất phương trình dạng:a) A + B > C (3) (8) b) A + B < C (4) (A,B,C là các biểu thức bậc nhất) Ví dụ: Bài 3.Giải bất phương trình sau: x x x Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện: x 2 Bất phương trình x+1<3x-5+2 (2 x 4)( x 1) -2x+6<2 (2 x 4)( x 1) -x+3< (2 x 4)( x 1) Û (- x + 3) < (2 x - 4)( x - 1) éx > x2 - > Û ê ê ê Û x - 6x + < 2x - 6x + Û ëx <- kết hợp với điều kiện ta có x> Vậy bất phương trình có tập nghiệm: S=( ; ) Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai bất phương trình -x+3< (2 x 4)( x 1) Học sinh đã không xét các trường hợp mà bình phương hai vế dẫn đến lời giải bài toán sai Sai lầm: Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau giải loại bất phương trình (3) ,(4) là: -Học sinh không tìm điều kiện xác định bất phương trình -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình và trình bày sau: Điều kiện xác định : ïìï A ³ ï í B³ ïï ïïî C ³ a) A + B > C Û A + AB + B > C Û AB > C - A - B Û AB > (C - A - B) b) A + B < C Û A + AB + B < C Û AB < C - A - B Û 4AB < (C - A - B) Như hai cách làm trên sai Sai lầm thứ thì chưa tìm điều kiện mà bình phương thì có thể dẩn đến bất phương trình không tương đương vì nó có thay đổi tập xác định Sai lầm thứ hai là giải bất phương trình AB > C - A - B đây là bài toán (2) nên ta phải chia làm hai trường hợp Biện pháp: Điều kiện xác định : (9) ìï A ³ ïï í B³ ïï ïïî C ³ é C- A- B <0 ê ì Û ê êïïí C - A - B ³ êï AB > (C - A - B)2 êïî a) A + B > C Û A + AB + B > C Û AB > C - A - B ë ìïï C - A - B > í b) A + B < C Û A + AB + B < C Û AB < C - A - B Û ïïî 4AB < (C - A - B) Chú ý cho học sinh vì ta đã tìm tập xác định từ đầu nên trường hợp 1của bất phương trình AB > C - A - B không cần tìm AB ³ Ta có lời giải đúng bài là: Bài 3.Giải bất phương trình sau: x x x Giải x 1 2x x Điều kiện: x 2 Bất phương trình x+1<3x-5+2 (2 x 4)( x 1) -2x+6<2 (2 x 4)( x 1) é - x +3 < ê Û ê - x +3 ³ Û êïìïí êï (- x + 3)2 < (2 x - 4)( x - 1) êïî -x+3< (2 x 4)( x 1) ë é é x >3 ê x >3 ê é x >3 ê êìï x £ ê éx > ê êïï ê é ì Û êïï x £ Û êï é Û êê < x £ Û ê ê êí êí êx > êê êx <- ë êïïî x - > êïï ê ê x <5 ê ëë ê êïï êx <- ê ëî ë ë Kết hợp với điều kiện: x 2 Þ x > é x >3 ê êïì x£ êïí êï x - x + < x - x + ê ëïî Vậy bất phương trình có tập nghiệm: là S=( ;+ ¥ ) Ví dụ Bài 4) Giải bất phương trình sau: x x x Giải x 2x 2x Điều kiện: x Bất pt 2x-4>3x-10+2 ( x 3)(2 x 7) -x+6>2 (2 x 7)( x 3) (10) x 0 x 6 2 x 12 x 36 x 52 x 84 ( x 6) 4(2 x 7)( x 3) -x+6> (2 x 7)( x 3) x 6 x 6 12 12 x4 7 x 40 x 48 x x Kết hợp với điều kiện ta có bất pt có nghiệm Vậy bất phương trình có tập nghiệm: = [ ; 4) là S 2.4 Giải bất phương trình dạng: A (A,B,C là các biểu thức bậc nhất) Ví dụ Bài 5: Giải bất phương trình : 3x - B > C (4) x+1 > x + Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện:x ³ 3x - x+1 > x + Û ( 3x - x+1)2 > ( x + )2 Û 3x + x +1 - (x+1)3x > x + Û 3x - > (x+1)3x Û x - x +1 >12 x +12 x Û 3x +18x - < Û - - 21 - + 21 <x < 3 - + 21 Kết hợp với điều kiện ta có é - + 21 ö ÷ ê0; ÷ ÷ ê ÷ ø ë Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= 0£ x< Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: bình phương hai vế bất phương trình mà không xét xem 3x - x+1 0 hay chưa? Sau đó lời giải trên tiếp tục sai bình phương hai vế bất phương trình 3x - > (x+1)3x mà không xét 3x-1>0 nên phép bình phương đây không phải là phép biến đổi tương đương Chính vì sai lầm này nên dẫn đến đáp số bài toán sai Sai lầm: Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau giải loại bất phương trình (4) là: (11) -Học sinh không tìm điều kiện xác định bất phương trình -Học sinh có tìm điều kiện xác định bất phương trình và trình bày sau: Điều kiện xác định : ìï A ³ ïï í B³ ïï ïïî C ³ A- B > C Û ( A- B )2 > C Sai lầm thứ thì đã phân tích các bài toán trên Sai lầm thứ hai học sinh đã không xét xem vế trái bất phương trình (4) đã không âm chưa Nên bình phương hai vế bất phương trình (4) có thể đó không phải là phép biến đổi tương đương Biện pháp: A- B> C Điều kiện xác định : ìï A ³ ïï í B³ ïï ïïî C ³ A- B > C Û A > B + C ta đưa bài toán Hoặc ta phải chứng minh A - B ³ sau đó ta bình phương hai vế để đưa bất phương trình tương đương Ta có lời giải đúng bài là: Bài 5: Giải bất phương trình sau: 3x - x+1 > x + Giải Điều kiện:x ³ 3x > x+1 + x + Û 3x > x + + ( x +1)( x + 2) ìï x >3 x - > ( x +1)( x + 2) Û ïí ïïî x - x + > 4( x + 3x + 2) ìï x >3 Û ïí Û ïïî 3x +18x - < ìï x >3 ï ïí ïï - - 21 < x < - + 21 ïïî 3 Bất phương trình vô nghiệm 2.5 Giải bất phương trình dạng:A B ³ A B £ (5) (12) Ví dụ Bài 6: Giải bất phương trình sau: ( Học sinh thường trình bày sau: x - x ) x - 3x - ³ ( x2 - 3x ) ìï éx ³ ïï ê ïï êx £ é ë ìï x - 3x ³ ï ê x£ ï ï x - 3x - ³ Û í Û íé Û ê ïïî x - 3x - ³ ïï ê x ³ ê êx ³ ïï ê ë ê ïï x £ ê ïî ë ( ; ] [3; ) Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= Nhận xét:Bài toán trên học sinh đã giải sai là x - 3x - ³ là điều kiện bài toán thì ta không thể kết luận x - 3x ³ 2 Vì x - 3x - = thì bất phương trình đúng x - 3x nhận dấu gì Nếu 2 x - 3x - > thì suy x - 3x ³ Do đó phép biến đổi trên là không tương đương nên dẫn đến đáp số bài toán sai Sai lầm: Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau giải loại bất phương trình (5) là: -Học sinh không tìm điều kiện xác định bài toán -Học sinh trình bày sau: A B ³ Điều kiện : B ³ A B ³ Û A ³ Ở cách làm này học sinh đã biến đổi không tương đương ta chia hai vế bất phương trình cho biểu thức biểu thức đó luôn dương luôn âm với x thuộc tập xác định bất phương trình.Mà B ³ nên ta phải xét hai trường hợp B = B > đó ta phép chia hai vế bất phương trình cho B Biện pháp: éB = ê ì Û ê êïïí B > êï A ³ ëïî A B ³ ê Ta có lời giải đúng bài là: Bài 6: Giải bất phương trình sau: Giải ( x2 - x ) x - 3x - ³ (13) ( x2 - 3x ) x - 3x - ³ éx = ê x - 3x - = Û ê êx =ê ë TH1: ìï ïìï é x > ïï ïï ê ïï ê é ïï x - 3x - > ïïï êx <êx <ê Û íë 2Û ê í ïï x - 3x ³ ïï ê ê ïï ïï éx ³ ëx ³ ïï ïï ê ïî ïî ê ëx £ TH2: Từ hai trường hợp trên suy bất phương trình có tập nghiệm: é 1ö ê- ¥ ; - ÷ È { 2} È [ 3; +¥ ) ÷ ÷ ê ø ë S= 2.6 Giải bất phương trình dạng:A ( B - C) ³ A ( B - C) £ (6) Ví dụ 2 Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x - £ x - Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện: x £ - x ³ 2 2 (x-3) x - £ x - Û ( x - 3)( x - - x - 3) £ éìï éìï x- 3£ x£ êïí êïí (I) êï êï x x ³ x ³ x + ê ê ï ï ( x - 3)( x - - x - 3) £ Û êî Û êî êìï êïì x- 3³ x³ êïí êïí ( II ) êï êï ê ïëî x - - x - £ ê ïëî x - £ x + ìï ìï x £ ïï ïï x£ ïï ïï é x <- ïì x £ ïï é x +3 < ï ïê 13 Û íê Û íï êïì x ³ - íï Û x£ 13 ê ê ïï ïìï ïï ïï ïï x £ x +3 ³ ïï ê ïï êí ïî í 13 ê ê ïï ê ëïïî x - ³ x + x + ïï êïïîï x £ - ïî ïî ë Giải (I) x³ ïì Û ïí Û ïïî x - £ x + x + ïìï x ³ ïí 13 Û x ³ ïïï x ³ - î Giải (II) Kết hợp với điều kiện suy bất phương trình có tập nghiệm æ 13 ù ç ¥ ; úÈ [ 3; +¥ ) ç ç è ú û S= (14) Nhận xét:Nếu nhìn lướt qua đáp số thì ta nghỉ bài giải đúng lời giải này đã sai.Vì học sinh không để ý x-3=0( x - - x - =0) thì ta không cần để ý đến dấu x - - x - ( x-3) thì bất phương trình luôn đúng.Chỉ x-3>0 thì ta suy luận x - - x - >0 Hoặc x-3<0 thì suy x - - x - <0.Chính vì mà phép biến đổi đưa hệ bất phương trình trên là chưa tương đương.Nên lời giải sai đáp số đúng Sai lầm: Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau giải loại bất phương trình (6) là: -Học sinh không tìm điều kiện xác định bài toán -Học sinh trình bày sau: A ( B - C) ³ Điều kiện :B ³ éïì A ³ êïí êï B - C ³ êï ( B - C ) ³ Û êî êïìï A £ êí êï B - C £ ëïî A Như cách làm này đã sai là A=0 thì mang dấu gì thì A ( B - C) = Nên đó không phải là phép biến đổi tương đương Biện pháp: Điều kiện :B ³ é ê ê êA( B - C ) = ê éA( B - C ) = ê ïì A > ( B - C) ³ Û ê Û ê ïí ê êï ê ëA( B - C ) > ê ïî B - C > êì ê ïï A < êí ê ïïî B - C < ë A Ta có lời giải đúng bài là: 2 Bài 7: Giải bất phương trình sau:(x-3) x - £ x - Giải Điều kiện: x £ - x ³ 2 2 (x-3) x - £ x - Û ( x - 3)( x - - x - 3) £ (15) TH1: é ê x =3 ( x - 3)( x - - x - 3) = Û ê Û ê ê x - = x +3 ê ë é x =3 ê êïì x³ - Û êïí êï x - = x + x + êîï ë éïì x- <0 êïí êï êï x - - x - > ( x - 3)( x - - x - 3) < Û êî Û êìï x- 3>0 êïí êï êîï x - - x - < ë TH2: ìï ïìï x < ïï x <3 ïï ïï x <- ïì x < ïï é ïï é x +3 < ï ê ï ê Û í Û í êìï x ³ - íï Û ïï êïìï ïï êïï ïï x <- 13 x +3 ³ ê ïï êí ï êí ïî ïëïî x - > x + x + ïï êïï x <- 13 ïï ê ê ï ïî ëîï Giải (I) ïî ìï ìï ïï ïï x >3 ïï ïï x > ï Û í Û ïí Û x >3 ïï ïï 13 ïï x - < x + x + ïï ïï ïï x >6 î Giải (II) ïî éïì x <3 êïí (I) êï êïî x - > x + ê êìï x >3 êïí ( II ) êï x < x + êîï ë x <- 13 æ 13 ù ç ¥ ; úÈ [ 3; +¥ ) ç ç è ú û Vậy bất phương trình có tập nghiệm S= A >C 2.7 Giải bất phương trình dạng: B A <C B (7) Ví dụ x x2 1 x2 Bài 8: Giải bất phương trình : Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện : é x =3 ê êïì x ³ - êïï Û êí 13 êï x =ï ê ëïî é- £ x <- ê ê ë- < x £ x x2 x x2 x x2 TH1: x+2<0 x kết hợp với điều kiện suy - £ x <- é x =3 ê ê 13 êx =ê ë (16) x2 0 2 8 x x x x TH2: 2 x x2 x2 17 17 x 2 x x 2 17 Kết hợp với điều kiện suy 2x 17 [ 4; 2) ( 2; 17 ) Vậy bất phương trình có tập nghiệm:S= Nhận xét:Học sinh đã không để ý đến dấu x+2 mà nhân vào hai vế bất phương trình với x+2 thì đó không phải là phép biến đổi tương đương.Do đó dẫn đến bất phương trình không tương đương nên đáp số bài toán bị sai Học sinh phải xét dấu x+2>0 x+2<0 thì phép nhân vào hai vế bất phương trình Sai lầm: Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau giải loại bất phương trình (7) là: -Học sinh không tìm điều kiện xác định bài toán -Học sinh trình bày sau: ìïï A ³ í Điều kiện : ïïî B ¹ A >C Û B A > B C Như cách làm này đã sai là:học sinh đã nhân vào hai vế bất phương trình với B.Phép nhân vào hai vế bất phương trình với biểu thức luôn dương luôn âm với giá ttrị x thuộc tập xác định bất phương trình ta bất phương trình tương đương.Còn biểu thức B này chưa biết đã dương hay âm nên nhân vào hai vế bất phương trình với B đó không phải là phép biến đổi tương đương Biện pháp: ïìï A ³ í Điều kiện : ïïî B ¹ A >C Û B éìï A - BC > êïí êï B>0 A - BC êï > Û êî B êìïï A - BC < êí êï B <0 ëïî Nếu nhận xét dấu B thì bài toán đơn giản nhiều (17) A > C Û A > B C Ví dụ B>0 thì B A > C Û A < B.C Nếu B<0 thì B Ta có lời giải đúng bài là: Bài 8: Giải bất phương trình sau: Giải Điều kiện : x x2 1 x2 é- £ x <- ê ê ë- < x £ x x2 1 x2 x x2 x 0 x2 Bất phương trình tương đương với hai trường hợp sau x x x x x x 8 x x ( x 2) x2 x x Trường hợp 17 17 x x 3x 2 17 x2 2 x x Trường hợp 2: x x x x2 0 x x x x20 Hệ bất phương trình này vô nghiệm vì x x 0 17 2; Vậy bất phương trình có tập nghiệm S= x x 1 2( x x 1) Bài 9.Giải bất phương trình sau: Giải Điều kiện x 0 2 Vì 2( x x 1) 2( x x 1) 2( x x 1) x 1 x 2( x x 1) 1 x x 2( x x 1) 0 2( x x 1) x x 2 2 Ta có 2( x x 1) 2(1 x ) 2( x ) 1 x x x x 2( x x 1) 0 (18) đặt t= x với t 0 phương trình đưa dạng : t t 2(t t 1) 0 Ta thấy t=0 không phải là nghiệm phương trình.Chia hai vế phương trình cho t t 1 Ta có : t 1 1 2(t ) 0 (t ) 2(t ) 0 t t t t u t Đặt Phương trình đưa : u 2u 0 t ta có u 1 u 1 2u 1 u u 2u 1 2u u u 2u 0 t t 0 t 1 1 t2 2 (thỏa mãn) t (loại) 3 x Vậy bất phương trình có nghiệm : t1 x 1 3 x 2 Nhận xét:Qua bài ta nhận xét dấu mẫu số thì lời giải gọn nhiều.Nên trước bắt tay vào lời giải ta nên dạy cho các em nhận xét dấu mẫu số không nhận xét dấu thì ta phải chia trường hợp để làm ( A - B) ³ ( A - B) C 2.8 Giải bất phương trình dạng: Ví dụ Bài 10.Giải bất phương trình sau: Học sinh thường trình bày sau: Điều kiện :-1 £ x £ 1+ x 2- 1- x ³ x Û 1+ x - Û 1³ 1+ x - 1+ x - + x ³ x Û x (2 1+x + 1- x 1- x ³ Û ³ 1- x ³ x 1+ x - 1- x ) ³ + x + - x Û ³ + 1- x - x2 Û ³ - x2 Đúng với x thỏa mãn -1 £ x £ Kết hợp với điều kiện suy bất phương trình có tập nghiệm S=[-1;1] Sai lầm: -Học sinh không tìm điều kiện xác định bài toán -Học sinh trình bày sau: (19) ìï A ³ ïï í B³ ïï Điều kiện: ïïî C ¹ ( A - B) ( A - B) > ( A - B) Û > ( A - B) Û >1 C C( A + B ) C( A + B ) Như cách này sai vì học sinh đã rút gọn hai vế bất phương trình cho A-B.Đây không phải là phép biến đổi tương đương vì ta chưa biết biểu thức A-B dương hay âm Biện pháp: ïìï A ³ ï í B³ ïï Điều kiện: ïïî C ¹ ( A - B) ( A - B) ³ ( A - B) Û ³ ( A - B ) Û ( A - B).( - 1) ³ C C( A + B ) C( A + B ) ( A - B).( - 1) = C ( A + B ) TH1 A B C( A B ) TH2: Ta có lời giải đúng bài 10 là: Bài 10.Giải bất phương trình sau: Giải Điều kiện :-1 £ x £ 1+ x - 1- x ³ x Û TH1: x (2 - 1+ x - 1+ x - + x ³ x Û x (2 1+x + 1- x é x =0 1- x ) = Û ê Û ê + x + x = ê ë + x - - x ) > (*) 1+x - TH2: x(2 - ( Vì A B C( A B ) TH3: + x + - x ) < (1 + x +1 - x ).(1 +1) Û ( 1- x ³ x 1+ x - 1- x ) ³ é x =0 ê Û ê 2 x = ê ë éx = ê Û x=0 ê ëx = + x + 1- x ) < Với x ¹ Nên - + x - - x >0 Þ (*) Û < x £ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=[0;1] C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT (20) I KẾT QUẢ Trong quá trình dạy lớp 10A5, tôi đã đưa các dạng bài tập bất phương trình vô tỉ ,lấy ví dụ minh họa cho dạng,cho các em lên bảng làm.Sau đó tôi đã hướng dẫn cho học sinh lớp tìm thấy sai lầm lời giải, để từ đó các em rút kinh nghiệm cho thân mình Kết điểm kiểm tra hết phần học sau: Sau sai lầm Lớp 10A5: ( Tổng số HS :42) Giỏi Khá SL % SL 10 23,8 18 II KẾT LUẬN % 42,9 TB SL 13 % 30,9 Yếu SL 01 % 2,4 Kém SL % Qua thời gian nghiên cứu và kiểm nghiệm thực tế giảng dạy tôi rút số kết luận sau : Môn toán học là môn học gần gũi với các em học sinh,nên đây là lợi lớn để tạo lòng ham học hỏi, yêu thích môn.Do đó quá trình giảng dạy giáo viên nên đưa các ví dụ áp dụng từ dễ đến khó,nên phân loại cho học sinh dễ học, nên để học sinh lên bảng làm bài để sai lầm các em hay mắc phải III KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên : Cần quan tâm sát đến mức độ tiếp thu bài học sinh Cần phải kiểm tra miệng nhiều em để nắm mức độ hiểu bài các em để kịp thời uốn nắn sửa chữa sai lầm mà các em mắc phải - Cần có nghiêm túc việc sử dụng công nghệ thông tin dạy toán Đối với nhà trường:Trong các buổi họp tổ các giáo viên nên trao đổi cách dạy bài học khó để tìm cách giảng dạy hay và cách giảng dạy chưa (21) Đối với sở giáo dục Cần công khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao trên mạng internet để giáo viên và học sinh tất các trường tỉnh và ngoài tỉnh áp dụng vào thực tiễn và học hỏi cách viết đề tài khoa học Trên đây là số kinh nghiệm thân tôi đúc rút quá trình giảng dạy, chắn còn mang tính chủ quan thân, và không tránh khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu mong góp ý các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh Quảng Xương, tháng05 năm 2012 (22) MỤC LỤC A - ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thựctrạng Hệ thựctrạng 2 B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I-CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.Định nghĩa bất phương trình 2.Bất phương trình tương đương 3.Các phép biến đổi tương đương II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Các giải pháp thực 2.Các biện pháp để tổ chức thực 2.1 Giải bất phương trình dạng A < B 2.2Giải bất phương trình dạng A > B 2.3 Giải bất phương trình dạng:a) A + B > C b) A + B < C 5 (23) 2.4 Giải bất phương trình dạng: A - B > C 2.5 Giải bất phương trình dạng:A B ³ A B £ 2.6 Giải bất phương trình dạng:A ( B - C ) ³ A ( B - C) £ A A >C <C 2.7 Giải bất phương trình dạng: B B ( A - B) ³ ( A - B) C 2.8 Giải bất phương trình dạng: 10 11 13 15 18 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19 I KẾT QUẢ 20 II KẾT LUẬN 18 III KIẾN NGHỊ 19 (24)