SAI lầm của học sinh khi giải toán và CÁCH KHẮC PHỤC THCS ngô sĩ liên 2017 2018

TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN TỔ TỰ NHIÊN MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC A BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN T T 1) Dạng Sai sót Cách giải Tìm x để biểu thức P ≥ a P ≤ a, P > a, P < a x −1 x −1 ≥ ⇔ x −1 ≥ x −1 x −1 x −1 Ví dụ 1: Cho P = Sai sót 1: với x ≥ 0, x ≠ ⇔ x ≥0⇔ x≥0 Tìm x để biểu thức P ≥ Sai sót 2: x −1 x −1 − x + ≥1⇔ ≥0 x −1 x −1 x ≥ ⇔ x >1 x −1 Ví dụ 2: Cho A = với x ≥ 0, x ≠ x −1 x +1 A≤ Tìm x để biểu thức x ≥0 x −1 x −1 − x + ≥1⇔ ≥0 x −1 x −1  x =0 x ≥0⇔  x −1  x > (do x > 0) x = ⇔ x >1 )⇔x≥1 x −1 A A ≤ ⇔ A≤ ⇔ ≤ Điều kiện để có nghĩa là: x +1 x −1 Sai sót 1: ≥ ⇔ x −1 ≥ ⇔ x ≥ (1) 13 169 x +1 ⇔ ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 25 x −1 A ≤ ⇔ A ≤ ⇔ ≤ x −1 9 x + A ≤ ⇔ A≤ ⇔ ≤ x +1 13 169 Sai sót 2: ⇔ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ (2) 25 (do ⇔ ⇔ x ≤ 13 169 ⇔ x≤ 25 Mà x ≥ 0, x ≠ ⇒ ≤ x ≤ 169 25 Các tập tương tự −x + x + ≥0 x +1 ⇒1≤ x ≤ Từ (1)(2)(3) 169 ; x≠4 25 x +1 ≤2 x Bài 5: Tìm x để P = với x ≥ 0, x ≠ Tìm giá trị tham số để phương trình bất phương trình có nghiệm 1 Sai sót 1: x+ x x+ x =m ⇔ x+ x + − =m 1 Ví dụ 1: Biết A = 4 x+ x = m ⇔ x+ x + − =m với x ≥ 0, x ≠ 4 1  ⇔ x+ ÷ − =m Tìm m để A = m có nghiệm x 1  2  ⇔ x+ ÷ − =m 2  1  x ≥0⇒ x + ÷ ≥ 1  2   x + 2÷ ≥0 Vì   Vì 1  ⇒ x +  ÷ − ≥0⇒m≥0 1 1    ⇒ x + ÷ − ≥− ⇒m≥− 2 4  x ≠1 Vì x ≠ ⇒ Sai sót 2: 1 x+ x ≠ 2⇒ m≠ x+ x = m ⇔ x+ x + − =m ⇒ 4 Vậy m ≥ 0; m ≠ 1  ⇔ x+ ÷ − =m 2  Bài 3: Tìm x để P = 2) x  ⇒0< m< 1 − 3m > m >  ⇒ 0≤m< Kết hợp lại m = Các tập tương tự  m=  ⇔   m = 1 −4 m= ⇒t = Với (Không TMĐK) Với m = ⇒ t = (TMĐK) TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm t≠ trái dấu ac <  ⇒  2  ÷ + (1 − 3m) + m ≠   m < ⇒  ⇒m  ⇒0< m< 1 − 3m > m >  ⇒ 0≤m< Kết hợp lại m = 2x + x x +1 x −1 x +1 Bài 3: Biết P = với Bài 4: Biết P = với x ≥ 0, x ≠ x ≥ 0, x ≠ mP = x − có nghiệm x Tìm m để P = m có nghiệm x Tìm m để x −1 x +1 Bài 5: Biết P = với x ≥ 0, x ≠ ( x + 1) P = m − x Tìm m để có nghiệm x B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL T T 1) Dạng Sai sót Tìm m thỏa mãn số nghiệm phương trình Ví dụ 1: Cho phương trình Sai sót 1: Phương trình có hai nghiệm 2 x – 2mx + m – m + = x1; x2 ⇒ ∆’ > ⇔ m2 – (m2 – m + 3) > Tìm m để phương trình có ⇔ … ⇔ m > hai nghiệm x1, x2 tìm giá Sai sót 2: Phương trình có hai nghiệm x2 + x2 x1; x2 ⇒ ∆’ ≥ ⇔ … ⇔ m ≥  x + x = 2m trị nhỏ A =   x x = m − m +  Theo Viet ta có: x + x = ( x + x )2 − x x 2 A=    13    m+ ÷ +  2 4 =…= Vì   2   1  13  13     m + ÷ ≥ ⇒  m + ÷ +  ≥       Cách giải Phương trình có hai nghiệm x1; x2 ⇒ ∆’ ≥ ⇔ m2 – (m2 – m + 3) ≥ ⇔…⇔m≥3  x + x = 2m   x x = m − m +  Theo Viet ta có: x + x = ( x + x )2 − x x 2 A=    13    m + ÷ +  2 4 =…=  Vì m ≥ ⇒  1 49  m+ ÷ ≥   13 A = ⇔m=− 2    13    ⇒ m+ ÷ + ≥ 16  2 4   A = 16 ⇔ m = Xét: m + = ⇔ m = –1 Khi ta phương trình: –2(m – 1)x + m + = ⇔ 4x + = − ⇔x= (TMĐK) Xét: m + ≠ ⇔ m ≠ TH1: P.trình có nghiệm kép x < ⇒ ∆’ = ⇔ (m – 1)2 – (m + 1)(m + 3) = −1 ⇔…⇔m= Khi phương trình có nghiệm − x1 = x2 = m – = (TMĐK) TH2: P.trình có hai nghiệm trái dấu ⇒ ac < ⇔ (m + 1)(m + 3) < ⇔ … ⇔ –3 < m < –1 Kết hợp lại với giá trị m cần tìm là: −1 –3 < m < –1; m = Ví dụ 3: Cho phương trình Xét ∆’ = (m – 1)2 + m + = m2 – m + Vì a = ≠ ⇒ xét x2 + 2(m–1)x – m – = Dễ dàng chứng minh ∆’ > với ∆’ = (m – 1)2 + m + = m2 – m + 0(*)Tì m tất giá trị Ví dụ 2: Cho phương trình (m +1)x2 – 2(m–1)x+m+3 = Tìm m để phương trình có nghiệm x < Sai sót 1: Phương trình có nghiệm x < nên nghiệm lại x > ⇒ phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇒ ac < ⇔ (m + 1)(m + 3) < ⇔ … ⇔ –3 < m < –1 Sai sót 2: TH1: Phương trình có nghiệm kép x < ⇒ ∆’ = ⇔ (m – 1)2 – (m + 1)(m + 3) = −1 ⇔…⇔m= Khi phương trình có nghiệm − x1 = x2 = m – = (TMĐK) TH2: Phương trình có nghiệm x < nên nghiệm lại x > ⇒ phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇒ ac < ⇔ (m + 1)(m + 3) < ⇔ … ⇔ –3 < m < –1 −1 Kết hợp lại ta có: –3 < m < –1; m = m để phương trình có hai m ⇒ phương trình có hai nghiệm phân nghiệm biệt với m Sai sót 1: Học sinh khơng lý luận đưa phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 ≤ ln: Phương trình có hai nghiệm < x2   x1 = −(m − 1) − m − m +   x = − − (m − 1) + m2 − m +  Dễ dàng chứng minh ∆’ > với m ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Vì x1 ≤ < x2 TH1: Tìm m để x1 = 1; x2 > x1 = ⇒ 12 + 2(m – 1).1 – m – = ⇔ m = ⇒ (*) ⇔ x2 + 6m – = x =  ⇒m=4  − m + ≤1  x = −7 ( KTM ) x = − ( m − 1) − m   ⇒ ⇒ (loại)  x = − − (m − 1) + m2 − m + > TH2: Tìm m để x1 < 1; x2 >  ⇒ x1 – 1< 0; x2 – >  ⇒ (x1 – 1)(x2 – 1) < −m ≤ m − m + ⇔ ⇔  ⇔ x1x2 – (x1 + x2) + <  m2 − m + > m   x + x = −2(m − 1)    ( − m) ≤ m − m +  x1x2 = −m − m ≤  ⇔ ⇔ ⇔ m < Theo Viet: m < m2 − m + > m2 (1)(2) ⇒ –m – + 2(m – 1) + < ⇔m–4 m   ( − m) ≤ m − m + ⇔  m2 − m + > m2 (Không xét dấu vế trước bình phương) m ≤ ⇔ ⇔m ⇒ (x1 –1)(x2 – 1) ≤ ⇔ x1x2 – (x1 + x2) + ≤  x + x = −2(m − 1)    x1x2 = −m − Theo Viet: (1)(2) ⇒ –m – + 2(m – 1) + ≤ ⇔m–4≤0⇔m≤4 2) Các tập tương tự: Bài 4:Tìm m để phương trình Bài 5: x2 + (m + 2)x – m – = Tìm tất (m + 1)x2 – 2mx + m + = giá trị m để phương trình có hai có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 ≤ < x2 (Đề khảo sát chất lượng mơn Tốn lớp năm học 2015 – 2016 Phòng Giáo dục Đào tạo quận Hồn Kiếm) Quan hệ đường thẳng parabol Ví dụ 1: Cho đường thẳng Vẽ hình Bài 6: Tìm m để phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2m – = có hai nghiệm phân biệt (Đề thi thử vào lớp 10 năm học 2018 – 2019 trường THCS THPT Lương Thế Vinh) Vẽ hình (d): y = 2x + m2 – Dễ dàng tìm m ≠ (d) cắt (P) Dễ dàng tìm m ≠ (d) cắt (P) parabol (P): điểm phân biệt A, B điểm phân biệt A, B y = x2 (với m tham số) Gọi x1, x2 hoành độ A, B mặt phẳng tọa độ Oxy Sai sót 1: a) Tìm m để (d) cắt (P) HK = HO + OK hai điểm phân biệt A B HO = |x1|; OK = |x2| ⇒ HK = |x1| + |x2| … b) Gọi H K hình chiếu vng góc A, Sai sót 2: ∆’ = m2 ⇒ Phương trình có hai B trục hồnh Tìm m để  x = 1− m  độ dài đoạn thẳng HK  x = 1+ m  (đơn vị độ dài) nghiệm (Đề thi học kì II mơn Toán lớp năm học 2017 – 2018 ⇒ HK = x2 – x1 = + m – + m = 2m = Phòng Giáo dục Đào tạo quận Hoàn Kiếm) ⇒m= Gọi x1, x2 hoành độ A, B Cách 1: ∆’ = m2 ⇒ Khơng tính tổng qt, ta giả sử phương trình có hai  x = 1− m   x = 1+ m  nghiệm ⇒ HK = |x2 – x1| = |1 + m – + m| ± = |2m| = ⇒ m = Cách 2: Theo Viet: x + x = 2    x x = −m +  HK = |x1 – x2| = ± ⇒ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = ⇒ m = Kết luận… Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Vẽ hình tọa độ cho Parabol (P): y = x Dễ dàng tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d): y = 2x + (d) (P) (–1;1); (3;9) Sai sót 1: C(2;0) a) Tìm tọa độ giao điểm Gọi H K hình chiếu vng (d) (P) góc A, B trục hồnh b) Gọi A, B giao điểm Vẽ hình Dễ dàng tìm tọa độ giao điểm (d) (P) (–1;1); (3;9) Vì C ∈ (P) ⇒ C(2;4) Gọi H K hình chiếu vng góc A, B trục hoành (d) (P) Lấy điểm C thuộc Parabol (P) có hồnh độ Tính diện tích tam giác ABC S ABC =S ABKH −S AHC −S BKC … H (–1;0); I(2;0); K(3;0) S =S −S −S ABC ABKH AHIC BKIC Sai sót 2: Vì C ∈ (P) ⇒ C(2;4) (Đề khảo sát chất lượng mơn Gọi H, I K hình chiếu AH = |yA| = |1| = 1; Toán lớp năm học 2017 – vng góc A, C, B trục hoành CI = |yC| = |4| = 4; 2018 trường THCS Ngô S ABC = S ABKH − S AHIC − S BKCI BK = |yB| = |9| = 9; Sĩ Liên – Hoàn Kiếm) HI = |xI – xH| = |2 – (–1)| = 3; Không lý luận, đưa kết IK|xK – xI| = |3 – (–1)| = 4; (1 + 9).4 (4 + 9).1 (1 + 4).3 S = − − = Lý luận chứng minh ABHK, AHIC, ABC 2 BKIC hình thang vng (1 + 9).4 (4 + 9).1 (1 + 4).3 S = − − =6 (đvdt) ABC 2 (đvdt) Các tập tương tự Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = x – m + (với m tham số) parabol (P): y = x2 mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2) cho hai giao điểm có hồnh độ lớn y1 + y2 = 4(x1 + x2) Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = mx+m+1 parabol (P): y = x2 (với m tham số) mặt phẳng tọa độ Oxy a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(xA; yA) B(xB; yB) b) Gọi H K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK (đơn vị độ dài) c) Tìm m để |xA| + |xB| = Bài 5: Cho đường thẳng (d) qua I(0;2) có hệ số góc m parabol (P): y = x2 mặt phẳng tọa độ Oxy a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(xA; yA) B(xB; yB) b) Gọi H K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Tính diện tích tam giác HIK  ... BKIC Sai sót 2: Vì C ∈ (P) ⇒ C(2;4) (Đề khảo sát chất lượng môn Gọi H, I K hình chiếu AH = |yA| = |1| = 1; Toán lớp năm học 2017 – vng góc A, C, B trục hoành CI = |yC| = |4| = 4; 2018 trường THCS. .. độ dài) nghiệm (Đề thi học kì II mơn Tốn lớp năm học 2017 – 2018 ⇒ HK = x2 – x1 = + m – + m = 2m = Phòng Giáo dục Đào tạo quận Hoàn Kiếm) ⇒m= Gọi x1, x2 hoành độ A, B Cách 1: ∆’ = m2 ⇒ Khơng... để phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2m – = có hai nghiệm phân biệt (Đề thi thử vào lớp 10 năm học 2018 – 2019 trường THCS THPT Lương Thế Vinh) Vẽ hình (d): y = 2x + m2 – Dễ dàng tìm m ≠ (d) cắt