luận văn đại học sư phạm hà nội Phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 4,5 thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán có lời văn

Kết quả khảo sát trong nhiều năm qua cho thấy, chất lượng dạy họctoán ở trường tiểu học chưa đạt kết quả như mong muốn, biểu hiện ở nănglực giải toán của học sinh còn nhiều hạn chế do họ

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sảnViệt Nam tại Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII của Đảng đã khẳngđịnh: "Giáo dục và Đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí,đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài"

"Trong các môn khoa học và kĩ thuật, toán học giữ vị trí nổi bật Nó

là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyệnphương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập,phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tínhquý báu khác như cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêuthích chính xác, ham chuộng chân lí" (Phạm Văn Đồng, Thư gửi các bạn

trẻ yêu toán, Toán học và tuổi trẻ, 11 - 1967, tr.1).

Môn Toán ở trường tiểu học bên cạnh mục tiêu trang bị kiến thứctoán học còn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh các năng lực toán học

Trong đó, hoạt động giải toán được xem là hình thức chủ yếu để hình thành phẩm chất và năng lực toán học cho học sinh vì thông qua hoạt

động giải toán, học sinh nắm vững tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo vàphát triển tư duy sáng tạo Bản thân dạy học giải toán mang trong mình cácchức năng: chức năng giáo dưỡng, chức năng giáo dục, chức năng pháttriển và kiểm tra Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốtcác mục tiêu dạy học toán và tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán cóvai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Kết quả khảo sát trong nhiều năm qua cho thấy, chất lượng dạy họctoán ở trường tiểu học chưa đạt kết quả như mong muốn, biểu hiện ở nănglực giải toán của học sinh còn nhiều hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sailầm về kiến thức và kĩ năng trong khi nhiều giáo viên còn thiếu hụt kinhnghiệm trong việc phát hiện các sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm và đưa racác biện pháp để sửa chữa các sai lầm

Xung quanh vấn đề sai lầm trong giải toán, trên thế giới đã có nhiềunhà khoa học nổi tiếng đề cập đến vấn đề này I.A.Komensky đã khẳngđịnh: "Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh học kém đinếu như giáo viên không chó ý ngay tới sai lầm đó bằng cách hướng dẫnhọc sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm" A.A Stoliar còn nhấnmạnh: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giê học các sai lầm củahọc sinh" G.Pôlya thì cho rằng: "Con người phải biết học từ những sai lầm

và những thiếu sót của mình"

Ở Việt Nam, trong mấy năm gần đây, cũng đã có những tác giả vànhững công trình nghiên cứu vấn đề này Ở bậc trung học phổ thông đã cócông trình nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số, Giải tíchcủa TS Lê Thống Nhất Ở bậc tiểu học, tạp chí Toán tuổi thơ đã có chuyênmục "sai ở đâu ? sửa cho đúng !" Tuy nhiên, ở bậc tiểu học, cho đến naychưa có công trình hay tài liệu nào giải quyết vấn đề trên một cách hệthống và trọn vẹn, từ cơ sở lí luận đến thực nghiệm khoa học

Chúng tôi chọn đối tượng là học sinh líp 4,5 vì đây là đối tượng mànhững kiến thức, kĩ năng toán học ở bậc tiểu học cần phải được bổ sung vàhoàn thiện trước khi học lên bậc trung học cơ sở

Chóng tôi chọn thể loại là toán có lời văn vì đây là dạng toán bộc lé

rõ nhất những sai lầm của học sinh trong suy luận và ứng dụng kiến thứctoán học vào thực tế đời sống

Từ yêu cầu cấp bách và nhận thức nh trên, chúng tôi đã chọn đề tàinghiên cứu luận văn là:

"

Phát triển năng lực giải toán cho học sinh líp 4,5 thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán có lời văn"

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của học sinh líp 4,5 khi giải toán

có lời văn từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa cácsai lầm này nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh và góp phần

nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường tiểu học.

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu giáo viên tiểu học nắm được các sai lầm phổ biến của học sinhkhi giải toán có lời văn, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng cácphương pháp dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các sai lầm này thìnăng lực giải toán của học sinh sẽ được nâng cao hơn, từ đó chất lượng dạyhọc toán sẽ tốt hơn

4 KHÁCH THỂ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Khách thể nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học toán ở tiểu học.Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những sai lầm phổ biến của họcsinh líp 4,5 khi giải toán có lời văn

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn bao gồm:

5.1 Điều tra các sai lầm phổ biến của học sinh líp 4,5 khi giải toán

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các cơ sở lí luận về tâm lí học,giáo dục học, lí luận dạy học môn toán, điều khiển học, thông tin học đểphân tích các nguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học nhằm hạnchế, sửa chữa các sai lầm của học sinh tiểu học khi giải toán có lời văn

6.2 Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm đối với các nhómhọc sinh líp 4,5 ở một số trường tiểu học tiêu biểu của tỉnh Ninh Bình đểxem xét tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

7 NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ, NHỮNG ĐIỂM MỚI

VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN

7.1 Những luận điểm đưa ra bảo vệ

- Thực trạng đáng lo ngại về các sai lầm của học sinh khi giải toán cólời văn đòi hỏi phải có biện pháp thích hợp, kịp thời giúp giáo viên dạytoán khắc phục tình trạng này

- Các dạng sai lầm phổ biến của học sinh líp 4,5 khi giải toán có lời văn

- Các nguyên nhân sinh ra các sai lầm của học sinh khi giải toán có lời văn

- Có thể hạn chế và sửa chữa một cách hiệu quả các sai lầm nhờ cácbiện pháp dạy học thích hợp

7.2 Những điểm mới và ý nghĩa thực tiễn của luận văn

- Luận văn đã nêu ra một cách có hệ thống các sai lầm phổ biến của

HS líp 4,5 khi giải toán có lời văn thông qua 45 bài toán thuộc 7 dạng toánthường gặp trong chương trình toán 4,5 cùng với việc phân tích nguyên nhâncủa các sai lầm Tác giả đã đề xuất 6 biện pháp sư phạm với 3 quan điểmđịnh hướng sử dụng các biện pháp trong các tình huống điển hình nhằm hạnchế và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán có lời văn Luận văn cũng

đã đưa ra 5 dấu hiệu để rèn luyện cho HS tự nhận biết mét lời giải sai lầm.Luận văn góp phần làm sáng tỏ lí luận dạy học môn Toán ở tiểu học

- Luận văn cung cấp một tài liệu tham khảo có Ých để bồi dưỡnggiáo viên, sinh viên khoa Giáo dục tiểu học, góp phần nâng cao hiệu quảdạy học toán trong trường tiểu học

8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương:

Chương 1: Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của học sinh líp 4,5

khi giải toán có lời văn

Chương 2: Các biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh

líp 4,5 thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khigiải toán có lời văn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Luận văn có 2 sơ đồ, 7 bảng và 5 phô lục.

Chương 1 NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH

LÍP 4,5 KHI GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN

1.1 TỔNG QUAN VỀ GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN

Toán có lời văn là một trong 5 mạch kiến thức toán cơ bản ở tiểu học

và được phân bố từ líp 1 đến líp 5 Trong chương trình líp 4,5 toán có lờivăn có trong 8 dạng toán sau :

* Tìm số trung bình cộng

* Tìm hai sè khi biết tổng và hiệu của hai số đó

* Tìm hai sè khi biết tổng và tỉ sè của hai sè

* Tìm hai sè khi biết hiệu và tỉ sè của hai sè

* Giải toán về tỉ sè phần trăm

* Giải toán về đại lượng tỉ lệ (thuận, nghịch)

* Giải toán có liên quan đến chu vi, diện tích, thể tích các hình

* Giải toán về chuyển động đều

Các bài toán có lời văn rất đa dạng và cũng có nhiều quan niệm khácnhau về toán có lời văn Chúng tôi tán đồng với ý kiến của nhiều đồngnghiệp khi cho rằng một bài toán có lời văn ở líp 4,5 có các đặc điểm sau:

- Các mối quan hệ giữa các dữ kiện, các yếu tố trong bài toán đượcbiểu thị bằng lời

- Có nội dung sát thực, gần gũi với thực tế cuộc sống

- Các số liệu của bài toán có lời văn luôn có danh sè

Hoạt động giải toán có lời văn góp phần quan trọng trong việc thựchiện các mục tiêu của dạy học toán Thông qua giải toán có lời văn, HS biếtcách vận dụng những kiến thức toán học và rèn luyện kĩ năng thực hànhvới những yêu cầu được thể hiện một cách đa dạng, phong phú Nhờ việcdạy học giải toán mà HS có điều kiện phát triển năng lực tư duy, rèn luyệnphương pháp suy luận và hình thành những phẩm chất cần thiết của ngườilao động mới

Các bài toán có lời văn trong chương trình líp 4,5 chủ yếu là các bài

toán hợp Một lời giải đầy đủ cho bài toán có lời văn phải đảm bảo các yêucầu sau:

- Xác lập được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm trong điềukiện cụ thể của bài toán

- Đặt được các câu trả lời cùng các phép tính đúng cho mỗi câu trả lời

- Tìm được đáp số của bài toán

Theo Pôlya [27, tr 18 - 19] thì quá trình giải một bài toán gồm 4bước:

Trước hết, phải hiểu bài toán (thấy rõ phải tìm gì ?)

Thứ hai, phải nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của

bài toán, giữa cái chưa biết với những cái đã biết để tìm thấy cái ý của cáchgiải, để vạch ra được chương trình (dự kiến)

Thứ ba, là thực hiện chương trình đó.

Thứ tư, là nhìn lại cách giải một lần nữa, nghiên cứu và phân tích nó Còng theo Pôlya, HS có thể tránh được những sai lầm bằng cách thử lại từng bước khi thực hiện chương trình.

1.2 NGHIÊN CỨU CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH LÍP4,5 KHI GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN

Theo Từ điển Tiếng Việt thì sai lầm là "trái với yêu cầu khách quan hoặc với lẽ phải, dẫn đến hậu quả không hay" [33, tr.830], phổ biến là "có

tính chất chung, có thể áp dụng cho cả một tập hợp hiện tượng, sự vật" [33,tr.775]

Chúng tôi hiểu và sử dụng thuật ngữ sai lầm phổ biến của HS khi giải toán với ý nghĩa là: điều trái với yêu cầu khách quan (yêu cầu bài

toán) hoặc lẽ phải (khái niệm, định nghĩa, tính chất, quy tắc, phương phápsuy luận …), dẫn tới không đạt được yêu cầu của việc giải toán mà nhữngđiều này xuất hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều HS

Với cách hiểu trên, chúng tôi đã nghiên cứu các sai lầm phổ biến của

HS líp 4, 5 khi giải toán có lời văn

1.2.1 Tình hình thực tế qua điều tra và quan sát

* Điều tra từ giáo viên:

Chúng tôi gửi phiếu điều tra về các trường tiểu học khác nhau củatỉnh Ninh Bình Đối tượng ghi phiếu điều tra là 100 giáo viên đang dạy líp4,5 ở 7 trường tiểu học: Đồng Phong, thị trấn Nho Quan, Văn phong, LạngPhong, Văn phương (huyện Nho Quan), thị trấn Me (huyện Gia Viễn), Lý

Tự Trọng (thị xã Ninh Bình)

Các trường tiểu học trên thuộc nhiều vùng dân cư khác nhau và đặc

điểm khác nhau Thời gian nhận phiếu điều tra là 20/5/2005 (phụ lục 1).

Mục đích điều tra: Tìm hiểu mức độ sai lầm, nguyên nhân sai lầm

của HS líp 4,5 khi giải toán có lời văn biểu hiện qua năng lực giải toán cólời văn mà GV quan sát được trong quá trình dạy học toán Qua điều tra,

chúng tôi nhận thấy: HS còn phạm nhiều sai lầm khi giải toán và mọi đối tượng HS đều có thể mắc sai lầm khi giải toán Cụ thể như sau:

- 100% ý kiến đồng ý với nhận định cho rằng HS còn mắc các sailầm khi giải toán

- 91% ý kiến cho rằng sai lầm của HS xuất hiện khá phổ biến; 8%cho rằng sai lầm Ýt phổ biến; 1% cho rằng hiếm khi xuất hiện sai lầm

Về nguyên nhân của các sai lầm, các GV được hỏi đã cho biết (bảng 1):

Nguyên nhân sai lầm của HS % ý kiến đồng ý

2 Không nắm vững quy tắc, công thức, tính chất toán học 67,0

4 Không nắm vững PP giải các bài toán điển hình 55,0

5 Không thấy được mối quan hệ giữa các yếu tố toán học 73,0

* Điều tra từ học sinh

Ngoài các điều tra thường xuyên ở trường Năng khiếu thị trấn NhoQuan mà chúng tôi có điều kiện trực tiếp giảng dạy, trong tháng 4 năm

2005, chúng tôi đã tiến hành điều tra toàn bé HS líp 4,5 trường tiểu học

Đồng Phong (huyện Nho Quan, tỉnh Ninh Bình) Đề điều tra được thựchiện trong 30 phót.

Đề líp 4

Câu 1 Nhân kỉ niệm 115 năm ngày sinh Bác Hồ kính yêu, đoàn đua

xe đạp về quê Bác ngày thứ nhất đã đi được số ki - lô - mét là số tự nhiênlớn nhất có 2 chữ số và Ýt hơn ngày thứ hai là 26km Ngày thứ ba đi đượcbằng trung bình cộng của 2 ngày đầu Hỏi sau 3 ngày đoàn đi được baonhiêu ki - lô - mét ?

Câu 2 Để lấy một chiếc gàu bị rơi xuống giếng, bác Hoà đã nối 3

chiếc que để được một chiếc sào dài Biết độ dài của 3 chiếc que lần lượtlà: 1m2dm; 1m5dm và 1m7dm và phần nối giữa hai que là 20cm (20cmcủa đầu que này được buộc chặt vào 20cm của đầu que kia) Tính độ dàicủa chiếc sào

Đề líp 5

Câu 1 Mét cửa hàng nhân ngày quốc tế phụ nữ mồng 8 tháng 3 đã

giảm giá 10% Tính ra cửa hàng vẫn lãi 8% Hái ngày thường cửa hàng lãibao nhiêu phần trăm ?

Câu 2 Người ta xếp những hộp hình lập phương có thể tích 8dm3 vàotrong mét hộp hình hộp chữ nhật bằng tôn có chiều dài 1m, chiều rộng 0,8m

và chiều cao 0,5m Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hình lậpphương ?

Các sai lầm được bộc lé nh sau:

- S4: Nhầm lẫn trong tính toán (lời giải đúng nhưng tính toán sai)

- S5: Diễn đạt trình bày yếu (thiếu hoặc sai danh số, đảo số…)

Câu 2:

- S1: Không trừ phần nối giữa các que

- S2: Trừ sai phần nối giữa các que (cho rằng 3 que thì phải có 3 chỗnối; hoặc mỗi chỗ nối trừ 20cm x 2 que = 40cm …)

- S3: Đổi sai đơn vị đo độ dài

- S4: Diễn đạt trình bày yếu

Điều đáng lưu ý là trong sè 37 HS làm đúng bài này thì có tới 17 HS phải dùa vào hình vẽ mô phỏng đoạn nối các que Điều này thêm một lần nữa cho thấy HS tiểu học vẫn còn hạn chế ở khả năng tư duy trừ tượng.

- S2: Biểu tượng hình học mờ nhạt

- S3: Không nắm vững công thức tính thể tích hình lập phương, hìnhhộp chữ nhật

- S4: Yếu trong chuyển đổi đơn vị

* Quan sát kết quả thi học sinh giỏi

Liên tục trong nhiều năm, Sở Giáo dục - Đào tạo Ninh Bình đều tổchức thi học sinh giỏi tiểu học (líp 5) Trong mỗi đề thi đều có Ýt nhất mộtbài toán có lời văn với điểm tối đa từ 4 đến 6 điểm (bài thi chấm theo thangđiểm 20) Dưới đây là kết quả bài toán có lời văn trong 3 năm

2003,2004,2005 Bài thi được chấm theo thang điểm 5 (bảng 3):

45,69(763)

54,23(628)

Sè % HS dưới

TB

45,89 (1038)

54,31 (907)

45,77 (530)

* Những kết luận cần thiết:

- HS còn mắc nhiều sai lầm khi giải toán có lời văn, kể cả HS khá,giỏi

- Việc lĩnh hội tri thức toán học của HS, đặc biệt là các khái niệmmới được đưa vào chương trình tiểu học còn gặp nhiều khó khăn mà đôikhi lại xuất phát từ sự lúng túng về phương pháp dạy học của GV.

- Nhiều GV chưa lưu ý cho HS những sai lầm có thể mắc phải khigiải toán

- Sù cần thiết phải có một nghiên cứu khoa học về các sai lầm của

HS khi giải toán có lời văn trên các phương diện: thể hiện, nguyên nhân,ngăn ngõa, khắc phục để nâng cao hiệu quả dạy học toán

1.2.2 Một sè sai lầm phổ biến của học sinh líp 4,5 khi giải toán có lời văn

Trong đề tài này, chúng tôi không đặt nhiệm vụ thống kê mọi sai

lầm của HS tiểu học khi giải toán có lời văn, mà chỉ nêu lên những sai lầmphổ biến của HS, kể cả HS khá giỏi Đó là các sai lầm chủ yếu có nguyênnhân từ kiến thức của HS Đây là những sai lầm mà qua nghiên cứu, chúngtôi nhận thấy có tần số cao trong các lời giải toán của HS Những sai lầmnày có khi khá tinh vi, mà nhiều khi khó phát hiện kịp thời Việc hệ thốngcác sai lầm của HS khi giải toán cũng là một công việc không dễ dàng Để

thuận lợi cho việc theo dõi, chúng tôi xin trình bày 45 thí dụ phân theo 7 dạng toán có lời văn thường gặp ở chương trình toán líp 4,5 Trong mỗi

dạng toán, chúng tôi có đưa ra các nhận định khái quát về các sai lầm phổbiến mà HS thường mắc phải đối với dạng toán đó kèm theo các thí dụminh hoạ Các thí dụ (hay các tình huống sai lầm) trong mỗi dạng toánđược sắp xếp theo mức độ sai lầm từ dễ phát hiện tới khó phát hiện Ở mỗithí dụ đều có phần trình bày lời giải sai của HS (kí hiệu ?) và phần phântích sai lầm của tác giả (kí hiệu !) Ngoài ra, ở một số thí dụ cần nhấn mạnh,chúng tôi còn dẫn ra lời giải đúng cho các thí dô

1.2.2.1 Sai lầm khi giải toán tìm hai sè khi biết tổng và hiệu của hai số đó

Sai lầm thường gặp của HS khi giải dạng toán này là:

* Tính sai tổng

* Tính sai hiệu

* Áp dông sai công thức tìm số thứ hai sau khi đã tìm được số thứ nhất.Sau đây là một vài thí dụ:

Thí dô 1 Cả hai líp 4A và 4B trồng được 600 cây Líp 4A trồng được

Ýt hơn líp 4B 50 cây Hỏi mỗi líp trồng được bao nhiêu cây ? (Toán 4, tr 47)

có sự nhầm lẫn công thức tìm số lớn (khi đã tìm được số bé) do quan niệm

“ít hơn” thì phải thực hiện phép trừ

Sai lầm cũng có thể diễn ra theo hướng ngược lại khi tìm số bé bằngcách lấy số lớn cộng với hiệu số

Thí dô 2 Mét thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi bằng 140m, chiều

dài hơn chiều rộng 10m Tính diện tích thửa ruộng

? Chiều rộng thửa ruộng là:

(140 – 10) : 2 = 65 (m)Chiều dài thửa ruộng là:

65 + 10 = 75 (m)Diện tích thửa ruộng là:

75  65 = 4 875 (m2)

! Sai lầm này khá phổ biến vì học sinh đã nhầm lẫn chu vi hình chữnhật chính là tổng của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật

Thí dô 3 Anh hơn em 6 tuổi Sau 4 năm nữa tổng của tuổi anh và

tuổi em là 26 Tính tuổi của mỗi người hiện nay

? Sau 4 năm, anh hơn em là:

6 + 4 = 10 (tuổi)Tuổi em sau này là:

(26 – 10) : 2 = 8 (tuổi)Tuổi anh sau này là:

26 – 8 = 18 (tuổi)Tuổi em hiện nay này là:

8 – 4 = 4 (tuổi)Tuổi anh hiện nay là:

18 – 4 = 14 (tuổi)

! Học sinh đã mắc sai lầm ngay từ phép tính đầu tiên (tìm hiệu)

Lời giải đúng nh sau:

Sau 4 năm thì anh vẫn hơn em 6 tuổi

Tuổi em sau này là:

(26 – 6) : 2 = 10 (tuổi)Tuổi anh sau này là:

10 + 6 = 16 (tuổi)Tuổi em hiện nay là:

10 – 4 = 6 (tuổi)Tuổi anh hiện nay là:

16 – 4 = 12 (tuổi)Đáp sè: Anh 12 tuổi, em 6 tuổi

Thí dô 4 Hai xe ô tô chở 212 bao xi măng Nếu chuyển 6 bao ở xe

thứ nhất sang xe thứ hai thì số bao ở hai xe bằng nhau Hỏi mỗi xe chở baonhiêu tấn biết mỗi bao xi năng nặng 50kg ?

? Khi chuyển 6 bao ở xe thứ nhất sang xe thứ hai thì số bao ở 2 xe bằngnhau Vậy xe thứ nhất hơn xe thứ hai là 6 bao Sè bao xe thứ nhất chở là:

(212 – 6) : 2 = 103 (bao)

Sè bao xe thứ hai chở là:

212 – 103 = 109 (bao)

1.2.2.2 Sai lầm khi giải toán trung bình cộng

Trong chương trình líp 4,5 lí thuyết toán trung bình cộng có thể quy

về 2 dạng:

* Cho các giá trị khác nhau cùng biểu thị một dấu hiệu nào đó của

một đại lượng Khi đó trung bình cộng được coi là là giá trị "đại diện" cho

dấu hiệu đó và bằng tổng các giá trị chia cho số lượng giá trị (Trong 5 nămliền số dân của một phường tăng lần lượt là: 158 người, 147 người, 132người, 103 người, 95 người Hỏi trong 5 năm đó, trung bình số dân tănghằng năm là bao nhiêu ?) (Toán 4, tr.175)

* Cho hai hay nhiều đại lượng có cùng một dấu hiệu chung nhưng

được biểu thị bằng các giá trị khác nhau Khi đó trung bình cộng được coi

là giá trị "đại diện" cho dấu hiệu chung và bằng tổng các giá trị của các đạilượng chia cho số đại lượng (Tổ Một góp được 36 quyển vở Tổ Hai gópđược nhiều hơn tổ Một 2 quyển nhưng lại Ýt hơn tổ Ba 2 quyển Hỏi trungbình mỗi tổ góp được bao nhiêu quyển vở ?) ( Toán 4, tr.175)

Các sai lầm của HS khi giải toán trung bình cộng chủ yếu bị lầm lẫngiữa giá trị với đại lượng; không thiết lập được sự tương ứng giữa giá trịvới đại lượng

Sau đây là một số thí dụ:

Thí dô 1 Mét bao gạo cân nặng 50kg, mét bao ngô cân nặng 60kg.

Mét xe ô tô chở 30 bao gạo và 40 bao ngô Hỏi xe ô tô đó chở tất cả baonhiêu ki - lô - gam gạo và ngô ? (Toán 4, tr 62)

? Tổng số bao xe ô tô chở là:

30 + 40 = 70 (bao)Trung bình một bao nặng là:

Thí dô 2 Mét đội sản xuất có 25 người Tháng Giêng đội làm được

855 sản phẩm, tháng Hai đội làm được 945 sản phẩm, tháng Ba đội làmđược 1350 sản phẩm Hỏi trong cả ba tháng đó trung bình mỗi người làmđược bao nhiêu sản phẩm ?

? Sè sản phẩm trung bình mỗi người làm được là:

(855 + 945 + 1350) : 3 = 1 050 (sản phẩm)

! Trong trường hợp này học sinh bị nhầm lẫn số sản phẩm trung bìnhmỗi người làm được trong ba tháng với số sản phẩm trung bình trong batháng của cả đội sản xuất

Thí dô 3 Có hai cửa hàng, mỗi cửa hàng đều nhận về 7128m vải.

Trung bình mỗi ngày cửa hàng thứ nhất bán được 264m vải, cửa hàng thứhai bán được 297m vải Hỏi cửa hàng nào bán hết số vải đó sớm hơn vàsớm hơn mấy ngày ? (Toán 4, tr 86)

? Sè vải hai cửa hàng nhận về như nhau mà cửa hàng thứ hai mỗingày bán nhiều hơn cửa hàng thứ nhất nên cửa hàng thứ hai sẽ bán hết sớmhơn Số ngày cửa hàng thứ hai bán hết sớm hơn cửa hàng thứ nhất là:

7128 : (297 – 264) = 216 (ngày)

! Ở đây, học sinh đã có sự nhầm lẫn với dạng toán tìm 2 sè khi biết 2hiệu 7128m vải bị hiểu lầm thành số vải mà cửa hàng thứ hai bán đượcnhiều hơn cửa hàng thứ nhất.

Thí dô 4 Mét người đi bộ từ A đến B, nửa chặng đường đầu đi với

vận tốc 6 km/giờ và nửa chặng đường sau đi với vận tốc 4 km/giờ Biết thờigian đi từ A đến B là 2 giê, tính quãng đường AB (Tạp chí Toán tuổi thơ, số13)

? Trung bình mỗi giê người đó đi được:

(6 + 4) : 2 = 5 (km/giê)Quãng đường AB dài là:

5  2 = 10 (km)

Đáp sè: 10 km

! Để tính vận tốc trung bình của một chuyển động thì điều quan trọng

là thời gian đi trên mỗi chặng đường phải bằng nhau Ở thí dụ trên, họcsinh đã bị lầm điều kiện thời gian với điều kiện quãng đường do đó đã mắcsai lầm khi tìm vận tốc trung bình

Lời giải đúng nh sau:

Trên cả quãng đường, cứ 2km thì có 1km đi với vận tốc 6 km/giê và1km đi với vận tốc 4 km/giê

Với vận tốc 6 km/giê thì đi 1km hết thời gian là:

1: 6 = 16 (giê)Với vận tốc 4 km/giê thì đi 1km hết thời gian là:

1: 4 = 14 (giê)

Do đó đi 2km hết thời gian là:

12

5 4

1 6

1



 (giê)Vậy vận tốc trung bình trên cả quãng đường là:

2 :

12 5

= 4,8 (km/giờ)

Quãng đường AB là:

4,8  2 = 9,6 (km)

Đáp sè: 9,6km

Thí dô 5 Ở mét World cup, có một đội bóng mà tuổi của đội trưởng

nhiều hơn tuổi trung bình của 11 cầu thủ trên sân là 10 tuổi Tính tuổi củađội trưởng biết tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) là 20

? Tuổi của đội trưởng là:

20 + 10 = 30 (tuổi)

! Tuổi trung bình của 11 cầu thủ (kể cả đội trưởng) thì không thể làtuổi trung bình của 10 cầu thủ (không kể đội trưởng) do vậy phép cộng ởtrên là sai

Lời giải đúng nh sau:

Cách 1: Tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình của 11 cầu

thủ trên sân là 10 tuổi, do vậy tuổi của đội trưởng sẽ nhiều hơn tuổi trungbình của 10 cầu thủ (không kể đội trưởng) là: 10 + 1 = 11 (tuổi)

Tuổi của đội trưởng là: 20 + 11 = 31 (tuổi)

(200 + 10) : 10 = 21 (tuổi)

Tuổi của đội trưởng là: 21 + 10 = 31 (tuổi)

Đáp sè: 31 tuổi

1.2.2.3 Sai lầm khi giải toán liên quan đến tỉ sè

Các bài toán trong chương trình líp 4,5 có liên quan đến tỉ số là cácbài toán có dạng:

Tìm hai sè khi biết tổng và tỉ số của hai sè

Tìm hai sè khi biết hiệu và tỉ số của hai sè

Toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Các sai lầm phổ biến của HS khi giải các dạng toán trên là:

* Tính sai tổng (hoặc hiệu, tỉ)

* Lầm lẫn giữa đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng tỉ lệ nghịch

* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo

Sau đây là một số thí dụ tiêu biểu:

Thí dô 1 Mét hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng 43

chiều dài Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó (Toán 4, tr 148)

? Tổng số phần bằng nhau là:

3 + 4 = 7 (phần)Chiều dài hình chữa nhật là:

350 : 7  4 = 200 (m)Chiều rộng hình chữ nhật là:

350 – 200 = 150 (m)

Đáp sè: Chiều dài: 200m

Chiều rộng: 150m

! Ở trường hợp này học sinh đã tính nhầm “tổng” do không phân tích

kỹ đề bài và do biểu tượng “chu vi”, “nửa chu vi” còn mờ nhạt do vậy đãnhầm lẫn nửa chu vi (tổng ) thành chu vi (2 lần tổng)

Thí dô 2 Mét người đã bán được 280 quả cam và quýt trong đó số

cam bằng 0,4 lần số quýt Tìm số cam, sè quýt đã bán

? Sè cam người đó đã bán là:

Lời giải đúng nh sau:

Sè cam bằng 0,4 lần số quýt nghĩa là tỉ sè cam và quýt là:

0,4 =

5

2 10

Quýt: 200 quả

Thí dô 3 Mẹ hơn con 27 tuổi Sau 3 năm nữa số tuổi mẹ sẽ gấp 4 lần

số tuổi con Tính tuổi của mỗi người hiện nay (Toán 4, tr 176)

? Nếu coi tuổi con là một phần thì tuổi mẹ là bốn phần bằng nhau nh thế.Hiệu số phần bằng nhau là:

! Học sinh vận dụng một cách máy móc công thức giải bài toán tìmhai sè khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó mà không phân tích kỹ đề bài dovậy đã nhầm lẫn tuổi mẹ và con 3 năm sau với tuổi mẹ và con hiện nay.

(Sai lầm cho rằng tỉ số tuổi mẹ và con không đổi theo thời gian).

? Sau 3 năm nữa mẹ hơn con số tuổi là:

27 + 3 = 30 (tuổi)Nếu coi tuổi con là một phần thì tuổi mẹ là bốn phần bằng nhau nh thế.Hiệu số phần bằng nhau là:

? Sau 3 năm nữa thì mẹ vẫn hơn con 27 tuổi

Nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 4 phần bằng nhau nh thế.Tuổi con sau 3 năm là:

Thí dô 4 Mét sân trường hình chữ nhật trên bản vẽ được vẽ theo tỉ lệ

xích 1001 , có số đo chiều dài là 12cm và chiều rộng là 8cm Tính diện tíchsân trường trên thực tế

? Diện tích sân trường trên bản vẽ là: 12  8 = 96 (cm2)

Diện tích sân trường trên thực tế là: 96  100 = 9 600 (cm2)

! Lời giải trên đã hiểu sai về tỉ lệ xích nên tính diện tích thực tế là 96

 100 = 9600 (cm2) Nếu hiểu đúng về tỉ lệ xích thì kích thước thực tế củasân trường phải có chiều dài gấp 100 lần và chiều rộng cũng gấp 100 lần,

do đó diện tích phải gấp lên là : 100  100 = 10 000 (lần) Vậy diện tíchsân trường thực tế là: 96  10 000 = 960 000 (cm2)

1 : 751 = 75 (phót)Thời gian để Dũng làm một mình là:

1 : 501 = 50 (phót)Đáp số: Hùng 75 phót, Dũng 50 phót

! Bài giải đã mắc lỗi cơ bản là coi năng suất làm việc là đại lượng tỉ

lệ thuận với thời gian làm việc Điều này dẫn tới sai lầm ngay từ bước thứhai và dẫn tới sai lầm ở các bước tiếp theo và đáp số cũng sai

Lời giải đúng nh sau:

Trong một phót cả hai bạn làm được 301 (công việc)

Thời gian làm việc tỉ lệ nghịch với năng suất làm việc Vì thời gian

Hùng làm một mình bằng

3

2

thời gian Dũng làm một mình nên trong cùng

một thời gian thì phần việc Hùng làm được bằng 23 phần việc Dũng làmđược

Trong 1 phót Hùng Làm được:

30

1

: (2 + 3)  3 = 501 (công việc)Thời gian để Hùng làm một mình xong công việc là:

1 : 501 = 50 (phót)Trong 1 phót Dũng làm được:

301 : (2 + 3)  2 = 751 (công việc)Thời gian để Dũng làm một mình xong công việc là:

1 : 751 = 75 (phót)Đáp số: Hùng 50 phót, Dũng 75 phót

Thí dô 6 Mét đội công nhân trồng rừng, bình quân trong 3 ngày

trồng được 1000 cây Hỏi với mức trồng như vậy, trong 12 ngày đội côngnhân đó trồng được bao nhiêu cây thông? (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập

333  12 + 1 = 3 997 (cây).

! Ở thí dụ trên, học sinh đã phạm phải sai lầm sau:

- Áp dụng máy móc phương pháp rút về đơn vị

- Sử dụng thương gần đúng để tính toán trong các phép tính tiếp theodẫn tới mất chính xác

Cách 2: Trung bình mỗi ngày đội công nhân đó trồng được 10003

Thí dô 7 Nhà trường muốn dành một mảnh đất hình chữ nhật có

diện tích nhất định để làm sân chơi Nếu chiều rộng sân chơi là 20m thìchiều dài là 60m, nay muốn chiều rộng sân chơi là 30m thì chiều dài phải làbao nhiêu mét ? (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 1, tr 22)

? Chiều rộng sân chơi tăng lên là:

30 – 20 = 10 (m)

Để diện tích sân không đổi thì khi chiều rộng tăng lên bao nhiêu thìchiều dài phải giảm đi bấy nhiêu Vậy chiều dài sân mới là: 60 – 10 = 50 (m)

! Ở thí dụ trên học sinh đã nhầm lẫn mối quan hệ chiều dài, chiềurộng hình chữ nhật khi tính diện tích sang mối quan hệ chiều dài, chiềurộng hình chữ nhật khi tính chu vi.

Thí dô 8 Trong phòng học có một số bàn Cô giáo nhẩm tính sắp xếp

số học sinh của líp 5A: “Nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì còn 1 học sinhkhông có chỗ ngồi; nếu xếp mỗi bàn 5 học sinh thì còn thừa 2 bàn” Hỏi líp5A có bao nhiêu học sinh ?

? Mỗi bàn xếp 5 học sinh nhiều hơn mỗi bàn xếp 4 học sinh:

Lời giải đúng nh sau:

Mỗi bàn 5 học sinh nhiều hơn mỗi bàn 4 học sinh là: 5 – 4 = 1 (họcsinh)

Nếu bàn nào cũng ngồi đủ 5 học sinh thì số học sinh xếp theo cáchnày sẽ nhiều hơn số học sinh thực tế của líp 5A là:

5  2 = 10 (học sinh)

Sè học sinh thực tế của líp 5A lại nhiều hơn số học sinh ngồi mỗi bàn

4 em là 1 học sinh (nếu xếp mỗi bàn 4 em thì 1 em không có chỗ ngồi)

Vậy số học sinh ngồi mỗi bàn 5 em nhiều hơn số học sinh ngồi mỗibàn 4 em là: 10 + 1 = 11 (học sinh)

Vì mỗi bàn xếp thêm một học sinh nên số bàn có trong phòng là:

11:1 = 11 (bàn )

Số học sinh líp 5A là:

4 11 + 1 = 45 (học sinh )Đáp sè: 45 học sinh

Thí dô 9 Ở mét bữa tiệc khao quân, mỗi mâm cỗ người ta đều xếp số

đầu gà bằng số đầu chã, số chân gà bằng số chân chã Sau khi xếp cỗ xongthì thừa ra 50 chiếc đầu gà và 50 chiếc chân chã Tính xem người ta đã thịtbao nhiêu gà ? Bao nhiêu chã ? (Tạp chí Toán tuổi thơ, số 35)

? Mỗi con chã nhiều hơn mỗi con gà là: 4 – 2 = 2 (chân)

Số chân chã nhiều hơn chân gà là 50 Vậy số chã là:

50 : 2 = 25 (con)

Gà nhiều hơn chã là 50, vậy số gà là:

25 + 50 = 75 (con)Đáp sè: Gà: 75 con Chã: 25 con

! Cách giải trên chỉ đúng khi số gà bằng số chã do vậy lời giải đã saingay từ phép tính đầu tiên

Lời giải đúng nh sau:

Giả sử thịt thêm 50 con chã nữa thì số chã đúng bằng số gà và sốchân chã sẽ nhiều hơn số chân gà là 4  50 + 50 = 250 (chân) Mỗi con gà

Ýt hơn mỗi con chã 2 chân nên số gà là:

250 : 2 = 125 (con)

Số chã là: 125 – 50 = 75 (con)Thử lại: 250 – 75 = 50 (con)

? Phân số chỉ 50 000 đồng là:

4 1

– 51 = 201

Số tiền của bác Ninh là:

sè tiền của bác Bình vì chưa có căn

cứ để khẳng định số tiền của 2 bác là bằng nhau HS đã sai ngay từ khi lập

luận để đưa ra phép tính đầu tiên, mặc dù có được kết quả đúng

Lời giải đúng nh sau:

Kết hợp với đầu bài (tổng số tiền 2 bác là 2 000 000đồng) ta có sơ đồsau:

sè tiÒn b¸c B×nh

Từ sơ đồ ta có:

Số tiền của bác Bình + 54 sè tiền bác Bình = 2 000 000 – 200 000 =

1 800 000 (đồng) hay 95 sè tiền của bác Bình = 1 800 000 (đồng)

1.2.2.4 Sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm

Khi giải các bài toán về tỉ sè phần trăm, HS thường béc lé các hạnchế sau:

* Lóng túng khi chọn đại lượng làm đơn vị quy ước (100%)

* Biểu thị sai các đại lượng còn lại sau khi đã chọn đại lượng làmđơn vị quy ước.

* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo

Sau đây là một số thí dụ:

Thí dô 1 Mét người bỏ ra 42 000 đồng tiền vốn mua trái cây Sau

khi bán hết số trái cây người đó thu được 52 500 đồng Hỏi người đó lãibao nhiêu phần trăm ? (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 1, tr 81)

? Sè phần trăm tiền lãi thu được là:

42 000 : 52 500 = 0,8 = 80%

! Khi mới học về tỉ số phần trăm, học sinh thường mắc sai lầm khitìm tỉ số phần trăm của 2 số bằng cách lấy số bé chia cho số lớn mà Ýtquan tâm đến tỉ lệ của các đại lượng (A so với B hay B so với A?) Cáchgiải trên đã nhầm lẫn với tìm tỉ số phần trăm của tiền vốn so với tiền thu về

? Sè phần trăm tiền lãi thu được là:

Thí dô 2 Năm vừa qua, một nhà máy đã chế tạo được 1 590 xe máy.

Tính ra nhà máy đã đạt 120% kế hoạch Hỏi theo kế hoạch nhà máy dự tínhsản xuất bao nhiêu xe máy ?

? Sè xe máy nhà máy dự định sản xuất là:

1590 120 :100 = 1 908 (xe máy)

! Học sinh đã nhầm lẫn với dạng bài tìm tỉ số phần trăm của một sốcho trước Mặt khác do không nắm vững các khái niệm “kế hoạch”, “dựđịnh” và yếu về trực giác toán học nên đã không phát hiện ra mâu thuẫngiữa kết quả và đầu bài Theo đầu bài, nhà máy đã vượt kế hoạch (đạt120% kế hoạch), nhưng kết quả lại là không đạt kế hoạch (1590 < 1908)

Thí dô 3 Năm 2000 số dân của một phường là 15 625 người Năm

2001 số dân của phường đó là 15 875 người

a) Hỏi từ năm 2000 đến năm 2001, số dân của phường đó tăng thêmbao nhiêu phần trăm ?

b) Nếu từ năm 2001 đến năm 2002 số dân của phường đó cũng tăngthêm bấy nhiêu phần trăm thì số dân phường đó năm 2002 là bao nhiêungười ? (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 2, tr 84)

? a) Tỉ số phần trăm của dân số năm 2001 so với năm 2000 củaphường đó là:

! Học sinh mắc sai lầm khi cho rằng mức tăng dân số qua mỗi nămđều là 1,6% thì có thể cộng hoặc nhân các tỉ số này để tính toán Thực tế,1,6% số dân của năm 2002 khác 1,6% số dân của năm 2001 do vậy phépnhân 1,6%  2 không có ý nghĩa

Thí dô 4 Mét cửa hàng nhân ngày quốc tế phụ nữ mồng 8 tháng 3 đã

giảm giá 10% Tính ra cửa hàng vẫn lãi 8% Hái ngày thường cửa hàng lãibao nhiêu phần trăm ?

? Gọi vốn là 100%, giá bán trong ngày 8/3 bằng: 100% + 8% =108%

Giá bán ngày thường là:

108% + 10% = 118%

! 108% là tỉ số giữa giá bán trong ngày 8 tháng 3 so với vốn (coi vốn

là đơn vị) còn 10% là phân số chỉ mức giảm của giá bán ngày 8 tháng 3 sovới ngày thường (coi giá bán ngày thường là đơn vị) Hai đơn vị đo khácnhau không thể cộng cho nhau Học sinh thực hiện phép cộng vì đã đồngnhất 2 đơn vị đó với nhau

Dưới đây là một cách giải đúng:

Gọi vốn là 100% thì giá bán trong ngày 8 tháng 3 bằng 100% + 8% =108% Ngày 8 tháng 3 hạ giá 10% (so với ngày thường), vậy giá bán trongngày 8 tháng 3 bằng 100% – 10% = 90% (giá ngày thường)

90% giá ngày thường bằng 108% vốn

Vậy ngày thường giá bán là:

Thí dô 5 Lượng nước trong hạt tươi là 15%, trong hạt khô là 5%.

Hái 200kg hạt tươi sau khi phơi cho bao nhiêu ki - lô - gam hạt khô ? (Tạpchí Toán tuổi thơ, số 27)

? Sau khi phơi hạt tươi, tỉ số phần trăm nước giảm đi là:

15% – 5% = 10%

Sau khi phơi 200kg hạt tươi thì lượng nước giảm đi là:

200  10% = 20 (kg)Khối lượng hạt khô thu được là:

200 – 20 = 180 (kg)

Đáp sè: 180kg hạt khô

! Do đồng nhất khối lượng hạt tươi với hạt khô nên học sinh đã sailầm ngay từ phép tính đầu tiên Ở bài toán này khối lượng hạt tươi khác khốilượng hạt khô, do vậy không thể lấy 15% của hạt tươi trừ đi 5% của hạt khô

Lời giải đúng nh sau:

Khi phơi chỉ có lượng nước bị giảm còn lượng hạt không bị giảm.Lượng hạt có trong 200kg hạt tươi là:

Thí dô 6 Ba người thợ chia nhau một số tiền công nh sau:

Người thứ nhất hơn người thứ hai 20% và hơn người thứ ba là 25%.Người thứ hai đã nhận 360 000đ Hái hai nguời kia mỗi người nhận đượcbao nhiêu tiền ?

Số tiền công người thứ ba là:

432 000 – 108 000 = 324 000 (đồng)Đáp sè: Người thứ nhất: 432 000 đồng

Người thứ ba: 324 000 đồng

! Học sinh đã sai ở phép toán thứ hai khi cho rằng 72 000 đồng (360 000 15) là số tiền công người thứ nhất hơn người thứ hai.Theo cách trình bày trên học sinh đã cho rằng người thứ nhất hơn ngườithứ hai 20% tiền công của người thứ hai trong khi đề bài phải hiểu là 20%của người thứ nhất Do sai lầm từ phép toán thứ hai nên các phép toán sau

dù đúng về ý nghĩa nhưng lại sai về kết quả

Lời giải đúng nh sau:

Phân số chỉ số tiền của người thứ hai so với người thứ nhất là:

1– 51 54

Số tiền công của người thứ nhất là:

360 000 : 54 = 450 000 (đồng)Phân số chỉ số tiền của người thứ ba so với người thứ nhất là:

1–

4

3 4

Người thứ ba: 337 500 đồng

Thí dô 7 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20% Hỏi số bạn

nữ chiếm bao nhiêu phần trăm tổng số cả nam và nữ ? (ĐÒ thi OLYMPICtoán tiểu học Singapore năm 2001)

? Do 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20% nên 100% số bạn

nữ sẽ nhiều hơn số bạn nam là 25% (cùng tăng thêm 14 )

Nếu ta coi số bạn nam là 100 phần thì số bạn nữ sẽ là 125 phần, tổng

số bạn nam và nữ là 225 phần

Số bạn nữ chiếm: 125 : 225 = 56% tổng số nam và nữ

! Bài giải đã sai ngay từ bước lập luận “Do 80% số bạn nữ nhiều hơn

số bạn nam là 20% nên 100% số bạn nữ sẽ nhiều hơn số bạn nam là 25%.”Con sè 25% là sai (nếu làm theo cách này thì phải là 40%), do vậy đã dẫnđến những chỗ sai tiếp theo

Dưới đây là một cách giải đúng:

Vì 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20% nên tỉ số phần trămcủa bạn nam so với bạn nữ là:

1.2.2.5 Sai lầm khi giải toán có nội dung hình học

Khi giải các bài toán có nội dung hình học, HS thường mắc phải cácsai lầm:

* Sai lầm khi áp dụng công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình

* Sai lầm khi vận dụng công thức một cách máy móc vào các tìnhhuống biến đổi của thực tế đời sống

* Không đưa số đo về cùng một đơn vị khi tính toán

Sau đây là một số thí dụ:

Thí dô 1 Mét hình thang có diện tích là 22,5m2, đáy lớn 2,5m và đáynhỏ 2m Tính chiều cao hình thang (Toán 5 - tài liệu thử nghiệm, tập 1, tr 102)

? Chiều cao hình thang đó là:

22,5 : (2,5 + 2) = 5 (m)

Đáp sè: 5m

! Học sinh thường quen thuộc với dạng toán tìm diện tích hình thangkhi biết trước sè đo đáy lớn, đáy nhỏ, chiều cao Khi đó chỉ việc áp dụngcông thức đã biết là tính được diện tích Ở trường hợp này, đòi hỏi phải cónăng lực biến đổi công thức S = (a2b)h thành h = S  2 : (a + b) và vớihọc sinh yếu về năng lực biến đổi công thức thì dễ mắc sai lầm nh đã trìnhbày

Thí dô 2 Mét người thợ gò một cái thùng tôn đựng nước không có

nắp có dạng hình hộp chữ nhật dài 6dm, rộng 4dm và cao 9dm Tính diệntích tôn dùng để làm thùng (không tính mép hàn) (Toán 5 - tài liệu thửnghiệm, tập 2, tr 16)

? Chu vi mặt đáy của thùng là:

(6 + 4)  2 = 20 (dm)Diện tích tôn dùng để làm thùng là:

20  9 =180 (dm2)

! Về lý thuyết, học sinh được học công thức tính diện tích xungquanh và công thức tính diện tích toàn phần Khai giải bài tập trong tìnhhuống cụ thể, học sinh thường sàng lọc để lùa chọn một trong hai côngthức Đề bài nói thùng không có nắp, do vậy, học sinh đã lùa chọn côngthức tính diện tích xung quanh và dẫn tới sai lầm là tính diện tích của thùngkhông có nắp, không có đáy

Thí dô 3 Mét cái bể không nắp dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài

1,5m, chiều rộng 0,6m và chiều cao 8dm Người ta sơn mặt ngoài của bể.Hỏi diện tích quét sơn là bao nhiêu mét vuông? (Toán 5 - tài liệu thửnghiệm, tập 2, tr 16)

? Diện tích quét sơn chính là diện tích xung quanh của bể và bằng:

(1,5 + 0,6)  2  8 = 33,6 (m2).

? Đổi 8dm = 0,8m

Diện tích đáy bể là:

1,5  0,6 = 0,9 (m2)Diện tích xung quanh của bể là:

(1,5 + 0,6)  2  0,8 = 3,36 (m2)Diện tích quét sơn là:

0,9 + 3,36 = 4,26 (m2)

! Lời giải thứ nhất đã mắc sai lầm khi không đưa các số đo về cùngđơn vị đo Lời giải thứ hai sai thực tế vì một cái bể thì không thể sơn đáy

Thí dô 4 Người ta xếp những hộp hình lập phương có thể tích 8dm3

vào trong mét hộp hình hộp chữ nhật bằng tôn có chiều dài 1m, chiều rộng0,8m và chiều cao 0,5m Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hình lậpphương ?

? Đổi 1m = 10dm0,8m = 8dm

0,5m = 5dmHình lập phương có thể tích 8dm3 thì có cạnh là 2dm

Chiều dài hình hộp chữ nhật có thể xếp:

10 : 2 = 5 (hình) Chiều réng hình hộp chữa nhật có thể xếp:

8 : 2 = 4 (hình) Với chiều cao 5dm thì chỉ có thể xếp được 2 hình lập phương cócạnh 2dm

Số hình lập phương có thể xếp được là:

5  4  2 = 40 (hình)Đáp sè: 40 hình lập phương

Thí dô 5 Có hai hình hộp chữ nhật Hình hộp A có chiều dài, chiều

rộng, chiều cao đều gấp đôi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp B.Biết thể tích của hình B bằng 6dm3, hái thể tích của hình A là bao nhiêu ?

? Vì các cạnh của hình hộp A gấp đôi các cạnh của hình hộp B nênthể tích hình hộp A còng gấp đôi thể tích hình hộp B

Thể tích hình A là:

6  2 = 12 (dm3)

! Lời giải mắc ở sai lầm khi cho sù thay đổi thể tích của hình cũnggiống như sự thay đổi độ dài của vật

Thí dô 6 Mét mảnh vườn hình chữ nhật, người ta mở rộng chiều dài

30%, mở rộng chiều rộng 20% Hỏi diện tích mảnh vườn tăng bao nhiêuphần trăm ? (Tạp chí Toán tuổi thơ số 34, tr 5)

? Giữ nguyên chiều rộng, mở rộng chiều dài 30% thì diện tích mớilà:

1  (1 + 0,3) = 1,3 (diện tích cũ)

Diện tích mảnh vườn mới tăng so với diện tích cũ là:

1,3 – 1 = 0,3 = 30% (diện tích cũ)Giữ nguyên chiều dài, mở rộng chiều rộng 20% thì diện tích mới là:

1  (1 + 0,2) = 1,2 (diện tích cò )Diện tích mảnh vườn mới tăng so với diện tích cũ là:

1,2 – 1 = 0,2 = 20% (diện tích cũ)Vậy, sau khi mở rộng cả về chiều dài và chiều rộng thì diện tíchmảnh vườn mới tăng so với diện tích cũ là:

1 + 0,2 = 1,2 (chiều rộng cũ)Diện tích mới là:

1,3  1,2 = 1,56 (diện tích cò )Diện tích tăng thêm là:

1,56 – 1 = 0,56 (diện tích cũ)0,56 = 56%

Thí dô 7 Có 11 mẩu que thẳng, trong đó có 1 mẩu que dài 2cm, 3

mẩu que, mỗi mẩu dài 3cm; 4 mẩu que, mỗi mẩu dài 4cm; 3 mẩu que, mỗimẩu dài 5cm

S3S2

S1

Dùng mét số mẩu que đó ghép thành một hình vuông thì cạnh hìnhvuông lớn nhất có thể ghép được có độ dài là bao nhiêu ?

? Tổng độ dài của 11 mẩu que đó là:

2 + 3  3 + 4  4 + 5  3 = 42 (cm )Chu vi hình vuông là một số chia hết cho 4 Vì tổng độ dài của 11que trên là 42cm nên số đo chu vi hình vuông cần ghép không vượt quá 42

Số lớn nhất không vượt quá 42 và chia hết cho 4 là 40 Bỏ một mẩu que dài2cm thì với các mẩu que còn lại ta ghép được hình vuông có độ dài mỗicạnh là:

40 : 4 = 10 (cm)

! Lời giải trên đã mắc sai lầm khi đưa ra quy tắc suy luận:

Nếu ghép được hình vuông thì số đo chu vi hình vuông phải chia hết cho 4

Sè 40 chia hết cho 4 vậy có thể ghép được hình vuông

Thực tế từ 10 mẩu que còn lại (3 mẩu que 3cm, 4 mẩu que 4cm, 3 mẩuque 5cm) không thể ghép thành một hình vuông có độ dài cạnh 10cm được

Có thể xét chu vi hình vuông 36cm Khi đó cạnh hình vuông là:

Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất có thể ghép được là 9cm

Thí dô 8 Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ dưới đây ? (Đề

thi học sinh giỏi líp 5 toàn quốc năm học 1994 – 1995)

? Có 7 hình chữ nhật, mỗi hình được tạo bởi 2 ô vuông.

Có 2 hình chữ nhật, mỗi hình được tạo bởi 3 ô vuông

Có 1 hình chữ nhật được tạo bởi 6 ô vuông

Vậy số hình chữ nhật có là:

7 + 2 + 1 = 10 (hình)

! HS đã mắc sai lầm khi cho rằng hình vuông không phải là hình chữnhật do vậy đã tính thiếu 8 hình (6 hình chữ nhật, mỗi hình tạo bởi 1 ôvuông và 2 hình chữ nhật, mỗi hình tạo bởi 4 ô vuông)

Thí dô 9 Người ta lát gạch một lối đi rộng 2m xung quanh sân

trường hình chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 35m Hỏi phải chuẩn bịbao nhiêu viên gạch, biết mỗi mét vuông cần 16 viên ?

? Diện tích lối đi cần lát gạch đúng bằng diện tích hình chữ nhật cóchiều dài bằng chu vi sân trường và chiều rộng bằng chiều rộng lối đi

Chu vi sân trường là: (50 + 35)  2 = 170 (m)

Diện tích phần lát gạch là: 170  2 = 340 (m2)

Số gạch lát lối đi là: 16  340 = 5 440 (viên)

! Lời giải sai lầm ngay từ lập luận đầu tiên khi cho rằng diện tích lối

đi cần lát gạch đúng bằng diện tích hình chữ nhật có chiều dài bằng chu

vi sân trường và chiều rộng bằng chiều rộng lối đi Từ đó dẫn tới tính toánsai và đáp số sai

Dưới đây là một cách giải đúng:

50m

35 m

35m2m