Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

Mã số -Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu giải toán thức bậc hai thơng qua phân tích sửa chữa sai lầm học sinh” - Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực tự nhiên - Họ tên tác giả: : Nguyễn Thị Lụa - Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Tân Phong Tháng 1năm 2019 Họ tên, chữ ký người chấm điểm Điểm Mã số Người số 1:……………………………………… Người số 2:……………………………………… -Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu giải tốn thức bậc hai thơng qua phân tích sửa chữa sai lầm học sinh” -Mô tả sáng kiến: +Nội dung sáng kiến: *Thực trạng: Khái niệm bậc hai giới thiệu lớp tiếp tục sử dụng qua số tập lớp Trong chương I- Đại số lớp Nội dung kiến thức phong phú, xuất dày đặc chương với số tiết không nhiều nên số kiến thức giới thiệu làm sở để hình thành kỹ tính tốn, biến đổi, chí số kiến thức nêu dạng tên gọi mà không giải thích như: điều kiện xác định thức bậc hai, phương pháp rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai.Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều dễ nhầm lẫn, tạo nguy khó hiểu khái niệm (chẳng hạn bậc hai, bậc hai số học, khai phương, phép biến đổi đơn giản biểu thức có chứa thức bậc hai) Qua tình thực tế đơn vị tơi nhận thấy việc giải toán HS bậc hai lúng túng vận dụng khái niệm, định lý, công thức toán học Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt, gặp tốn đòi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải tốn dẫn đến lời giải sai không làm Để giúp học sinh làm tốt tập bậc hai chương I đại số người thầy phải biết sai lầm mà học sinh thường mắc phải, từ có phương án giúp học sinh phát sửa chữa sai lầm giải toán bậc hai Những sai lầm học sinh thường gặp: -Sai lầm tên gọi hay thuật ngữ toán học -Sai lầm HS chưa nắm vững đẳng thức: A2 = A -Những khó khăn , sai lầm thường gặp HS tính giá trị thức, mà phải biến đổi biểu thức lấy dạng bình phương -Sai lầm HS chưa nắm vững thức đồng dạng -Sai lầm HS không ý đến điều kiện để biểu thức có bậc hai, A có nghĩa; quy tắc nhân bậc hai, chia bậc hai -Những sai lầm HS đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, sử dụng định nghĩa bậc hai số học để giải phương trình -Khi trục thức mẫu, khai phương tích, khai phương thương HS thường mắc phải số sai lầm: * Các bước thực giải pháp: Bước Hệ thống kiến thức +Định nghĩa bậc hai số học: Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a +Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai A2 = A AB = A B ( A ≥ 0, B ≥ ) A = B A ( A ≥ 0, B > ) B A2 B =| A | B ( B ≥ ) A B = A2 B ( A ≥ 0, B ≥ ) A B = − A2 B ( A < 0, B ≥ ) A = AB ( AB ≥ 0, B ≠ ) B B A A B = ( B > 0) B B C C ( A mB ) = A ≥ 0, A ≠ B 2 A− B A±B ( ) C C( A m B ) = ( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ) A− B A± B Bước Xác định sai lầm thường gặp biện pháp khắc phục sai lầm đó: 2.1 Sai lầm tên gọi hay thuật ngữ toán học: Định nghĩa CBHSH: Ví dụ: Bài tập1(sgk): Tìm bậc hai số học số sau suy bậc hai chúng *HS hay mắc sai lầm sau: 169 =13 số 169 có bậc hai 169 = 13 *Cách giải là: Căn bậc hai số học 169 là: 169 = 13, bậc hai 169 là: 169 = 13; - 169 = - 13 *Nguyên nhân: Học sinh hiểu sai bậc hai số a không âm bậc hai số học số a khơng âm, từ khơng phân biệt hai vấn đề *Biện pháp khắc phục: + GV cần phải làm rõ cho HS: -Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương kí hiệu a số âm kí hiệu - a - Số có bậc hai số học số - Khi nói đến a ta phải có: a ≥ a ≥ 0, nghĩa a khơng thể âm Vì khơng viết : Số 169 có hai bậc hai 169 = 13 2.2 Sai lầm HS chưa nắm vững đẳng thức: A2 = A Ví dụ 1: Bài tập 9d (sgk tốn 9) Tìm x, biết: x = −12 - HS hay mắc sai lầm sau: x = −12 ⇒ x = 12 Vì x = (3x) = 3x nên ta có: 3x = 12 ⇔ x = - Cách giải là: Vì x = (3x) = 3x nên ta có: 3x = −12 ⇒ x = 12 x = −12 Vậy x = x = −4 Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk tốn 9) Rút gọn biểu thức: (4 − 17) - HS hay mắc sai lầm sau: HS: (4 − 17) = − 17 = − 17 - Cách giải là: (4 − 17) = − 17 = 17 − Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a b Một HS phát biểu sau: “Bất kì hai số nhau” lập luận sau: Ta lấy hai số a, b tùy ý Gỉa sử a > b Ta có : a − 2ab + b = b − 2ab + a hay ( a − b ) = ( b − a ) (1) Khai phương hai vế ta được: Do đó: a − b = b − a ( a − b) = ( b − a) 2 Từ : 2a = 2b ⇒ a = b Vậy hai số HS sai lầm chỗ : Sau khai phương hai vế đẳng thức (1) phải kết quả: a − b = b − a , có a − b = b − a Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau: A = a − 5a ( a ≥ ) - HS hay mắc sai lầm sau: A = a − 5a = a − 5a = 2a − 5a = −3a ( a ≥ ) - Cách giải là: A = a − 5a = a − 5a = −2a − 5a = −7a ( a ≥ ) * Nguyên nhân: HS chưa nắm vững đẳng thức A2 = A , giá trị tuyệt đối số âm *Biện pháp khắc phục: Để tránh sai lầm giảng dạy phần GV cần giải thích cho HS hiểu rõ đẳng thức A2 = A , với biểu thức A 2.3 Những khó khăn , sai lầm thường gặp HS tính giá trị thức mà phải biến đổi biểu thức lấy dạng bình phương: Ví dụ: Tính 23 + - HS hay mắc sai lầm sau: 23 + = ( 1+ ) = 1+ - Cách giải 23 + = ( 4+ 7) = 4+ * Nguyên nhân: + HS chưa biết tách để xuất đẳng thức bình phương tổng *Biện pháp khắc phục: + Củng cố lại đẳng thức bình phương tổng hiệu: +GV hướng dẫn HS số dạng biến đổi tổng quát sau: Đối với biểu thức có dạng: x ± a b với a ≥ 0, b ≥ x = a + b x ± a b = ( a± b 2.4 Sai lầm HS chưa nắm vững thức đồng dạng Ví dụ: Bài tập 58c (SGK toán 9) Rút gọn biểu thức sau: 20 − 45 + 18 + 72 -HS hay mắc sai lầm sau: ) 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 2.9 + 36.2 = − + + = − + 15 = 14 -Cách giải là: 20 − 45 + 18 + 72 = 4.5 − 9.5 + 2.9 + 36.2 = − + + = 15 − *Nguyên nhân: Sai lầm chỗ HS chưa nắm vững thức đồng dạng x A + y B − z A + m = ( x − z ) A + y B + m ( A ≥ 0, B ≥ ; x, y , z , m ∈ R ) *Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần tổng thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà tránh sai sót 2.5 Sai lầm HS không ý đến điều kiện để biểu thức có bậc hai, A có nghĩa; quy tắc nhân bậc hai, chia bậc hai ( −2 ) ( −8 ) -Ví dụ Có HS giải thích : = −2 −8 −50 −50 = −2 −2 sau: + Vì ( −2 ) ( −8 ) = 16 = −2 −8 = ( −2 ) ( −8) = 16 = nên ( −2 ) ( −8 ) = −2 −8 + Vì −75 −75 = = 25 = −3 −3 −50 = 25 = nên −2 −50 −50 = −2 −2 - Ví dụ 2: Giải tập sau: Tính − 11 HS hay mắc sai lầm sau: ( − 11 = −9 + − = − − + = −  ( ) 2 −3  =  ) −3 = 3− - Ví dụ 3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x -HS hay mắc sai lầm sau: Ở HS thường khơng tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm giá 1  trị nhỏ A cách biến đổi x + x =  x + ÷ − 2  1 1  A= x+ x = x + ÷ − ≥− 2 4  1 ⇒ A = − ⇔ x + = ⇔ x = 4 1 Vậy A = − ⇔ x = 4 - Cách giải đúng: x xác định x ≥ Do đó: A = x + x ≥ ⇒ A = ⇔ x = * Nguyên nhân: + Khi làm HS chưa nắm vững không ý điều kiện để A tồn + HS chưa nắm rõ quy tắc nhân bậc hai, chia hai bậc hai *Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần GV cần khắc sâu cho HS điều kiện để biểu thức có bậc hai, điều kiện để A xác định, 2.6 Những sai lầm HS đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, sử dụng định nghĩa bậc hai số học để giải phương trình Ví dụ1: Rút gọn: A = 52 x + ( −3) x − x (với x ≥ ) -HS hay mắc sai lầm sau: A = 52 x + ( −3 ) x − 9x = x − x − x = − x -Cách giải : Với x ≥ Ta có: A = 52 x + =5 ( −3 ) x − 9x x + −3 x − x = x + x − x = x Ví dụ 2: Bài 3b (SBT toán – trang 27) Rút gọn biểu thức: M = x −3 + −48 x x -HS hay mắc sai lầm sau: −3 −3 x M = 2x + −48 x = + −3 x x x = −3x + −3 x = −3 x - Cách giải là: M = 2x −3 + −48 x Điều kiện để M xác định là: x < x Khi đó: M = −2 −3 ( − x ) + 16 ( −3) x = −2 −3 x + −3x = −3x x Ví dụ 3: Bài tập1 (Sách nâng cao tốn 9) Giải phương trình : 14 − x = x − -HS hay mắc sai lầm sau: (*) ⇔ ( x − ) = 14 − x (*) ( ) ⇔ x − x − 10 = ⇔ x − x + ( x − 10 ) = x = ⇔ ( x − 5) ( x + ) = ⇔   x = −2 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = ; x2 = −2 -Cách giải : x − ≥  (*) ⇔  ( x − ) x ≥ ⇔ = 14 − x  x − x + = 14 − x  x ≥  x ≥ ⇔ ⇔ ( x − ) ( x + ) =  x − x + ( x − 10 ) = ( ) x ≥  ⇔  x = ⇔ x =   x = −2  Vậy phương trình cho có nghiệm: x = Ví dụ 4: Giải tập sau: y − xy − −y Rút gọn biểu thức: M = x y -HS hay mắc sai lầm sau: M= y − xy − −y x− y = y x = y x = y − xy − y − y x −1− y x = y x = y x −1− y y ( x− y y y )− x y x = −1 y -Cách giải : Đk để M xác định: xy ≥ ; y ≠ Ta xét hai trường hợp: * x ≤ ; y < M= y − xy − −y = 1− x − y x = y = y − xy − −y y− x − y − x = y x = −1 + y y − x y x x = 1− y y * x ≥ ; y > M= y − xy y ( y− x − y y x − y )− x y x = −1 y Vậy: x ≤ ; y > M = − x x ≥ ; y > M = −1 y *Nguyên nhân: HS năm chưa vững quy tắc A2 B = A B với B ≥ , Cách đưa thừa số vào dấu bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghĩa bậc hai số học, quy tắc khai phương thương *Biện pháp khắc phục: Khi dạy GV cần cho HS nắm vững: A2 B = A B + với B ≥ A B = A2 B ( A ≥ 0, B ≥ ) + A B = − A2 B ( A < 0, B ≥ ) A tồn A ≥ + + a≥0, x ≥  a =x⇔  x = ( a) A = B + Nếu A ≥ , B > =a A B 2.7 Khi trục thức mẫu, khai phương tích, khai phương thương HS thường mắc phải số sai lầm: Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK tốn 9) Tính - Cách giải là: 1, 44.1, 21 − 1, 44.0, = 1, 44 ( 1, 21 − 0, ) = 1, 44.0,81 = 1, 2.0,9 = 1, 08 Ví dụ 2: Giải tập sau: Tính: a 81.256 ; b 625 16 -HS hay mắc sai lầm sau: a 81.256 = 16 = = 12 b 625 25 5 = = = 16 2 - Cách giải là: a 81.256 = 81 256 = 9.16 = 144 b 625 625 25 = = 16 16 Ví dụ 3: Khi giải toán trục thức mẫu -HS hay mắc sai lầm sau: a 5+2 + 35 + = = 7 ( ) b ( ) = −1 ) ( ( ( ) )( ( ) +1 ) +1 )( = ( )= +1 +1 = ( +1 ) = 2( +1 ) = −5 ( −3 +1 ) ( ) − 25 − ( + 1) ( + 1) = = = −2 ( + 1) −1 −1 − 1( + 1) ( − 1) ( − 1) −1 = = = −1 − ( − 1) ( + 1) ( ) +1 −1 2 = −1 c ( −1 −1 −1 = = = −1 −1 −1 −1 +1 )= +1 12 5 7 = = = + 7 + 2.7 + 17 = +3 ( ( −3 )( +3 ) −3 ) = ( −3 ( − ) ) = 5( −3 −4 ) - Cách giải là: a 5+2 7( + 2) 35 + 14 = = 7 ( ) 2( b = −1 c = + (2 ( ) +1 )( = ( )= +1 +1 ) −1 ( − 3) 10 − 15 10 − 15 = = 28 − 19 + 3) ( − 3) −1 +1 *Nguyên nhân: + Hs chưa biết biến đổi biểu thức dấu bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A + B = A + B ” tương tự A.B = A B ( với A ≥ B ≥ ) để tính + HS hiểu mơ hồ quy tắc khai phương tích, khai phương thương + HS kiến thức lớp đẳng thức tính chất phân thức + HS chưa hiểu rõ quy tắc trục thức bậc hai mẫu hai biểu thức liên hợp nhau, hai biểu thức liên quan đến đẳng thức: A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) 10 *Biện pháp khắc phục: + GV cần nhấn mạnh làm rõ quy tắc khai phương tích, khai phương thương lưu ý HS không ngộ nhận sử dụng A + B = A + B tương tự A.B = A B ( với A ≥ B ≥ ) + Khi cần thiết GV cố lại kiến thức có liên quan Chẳng hạn đẳng thức, tính chất phân thức + Nhấn mạnh hai biểu thức liên hợp + Cần khắc sâu công thức: A A B = , với B ≥ B B ( ) C A mB C , với A ≥ A ≠ B = A− B A±B C C = A± B ( Am B A− B ) , với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B +Về khả áp dụng sáng kiến: Qua thời gian nghiên cứu áp dụng thân thấy sáng kiến có tác dụng nhiều q trình giảng dạy học sinh đại trà mơn tốn 9, tơi vận dụng sáng kiến sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập, buổi chuyên đề ơn thi vào thpt -Đánh giá lợi ích thu hoặc dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: + Đánh giá lợi ích thu được dự kiến thu được áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Lợi ích giáo viên: -Qua sáng kiến tự đúc rút cho thân kinh nghiệm quý báu trình giảng dạy mơn tốn thân tơi năm - Giúp giáo viên nâng cao chun mơn nghiệp vụ giảng dạy Lợi ích người học: - Nâng cao hứng thú động lực học tập giúp em khắc phục sai lầm +Đánh giá lợi ích thu được dự kiến thu được áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, nhân: Đối với lớp: Lớp /Sĩ SL số Học kì I ( năm học 2016-2017) trước áp dụng Giỏi Khá TB Yếu % SL % SL % SL Học kì I ( năm học 2017-2018) sau áp dụng Giỏi Khá TB Yếu % 11 SL % SL % SL % SL % 9A (31) 9B (31) 16,1 15 48,4 10 32,3 3,2 22,5 17 54,8 22,6 0 19.4 16 51,6 25,8 3,2 25,8 18 58,1 16,1 0 Đối với trường: - Tăng số lượng học sinh giỏi học sinh khá, giảm số lượng học sinh TB yếu mơn Tốn Đạt kết cao thi vào lớp 10 THPT (xếp thứ 4/14 trường huyện) -Thông tin cần bảo mật: Không có d Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Đối với giáo viên thường xuyên nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề thi vào THPT - Đối với học sinh cần chủ động, tích cực học tập tham khảo tài liệu, sưu tầm thêm đề thi vào 10 - Phương tiện dạy học: bảng phụ, máy chiếu thiết bị dạy học thông minh upointer, máy tính cầm tay đ.Về khả áp dụng sáng kiến Qua thời gian nghiên cứu áp dụng thân tơi thấy sáng kiến áp dụng trình giảng dạy học sinh đại trà mơn tốn cho tất trường THCS Huyện Tôi vận dụng sáng kiến sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập, buổi chuyên đề ôn thi vào thpt Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/ Địa Phạm vi/ Lĩnh vực áp cá nhân dụng sáng kiến Lớp 9A,9B Trường THCS – huyện Phạm vị: Áp dụng thuộc khối Bình Xuyên- Vĩnh Phúc trường THCS cho khối lớp, cho tổ KHTN Lĩnh vực áp dụng: Khối KHTN 12 Tân Phong, ngày tháng 01 năm 2019 Hiệu trưởng (Ký tên, đóng dấu) ., ngày tháng Tân Phong, ngày 10 tháng 01 năm năm2019 2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Thủy Nguyễn Thị Lụa 13 14 15 16 ... điểm Điểm Mã số Người số 1:……………………………………… Người số 2:……………………………………… -Tên sáng kiến: Một số giải pháp nâng cao hiệu giải toán thức bậc hai thơng qua phân tích sửa chữa sai lầm học sinh -Mô tả... giúp học sinh làm tốt tập bậc hai chương I đại số người thầy phải biết sai lầm mà học sinh thường mắc phải, từ có phương án giúp học sinh phát sửa chữa sai lầm giải toán bậc hai Những sai lầm học. .. âm bậc hai số học số a không âm, từ khơng phân biệt hai vấn đề *Biện pháp khắc phục: + GV cần phải làm rõ cho HS: -Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số dương a có hai bậc hai hai số