sáng kiến kinh nghiệm phát huy tính tích cực của học sinh qua cách giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Trường THCS Tân Hà PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TÂN CHÂU TRƯỜNG THCS TÂN HÀ   Năm học: 2011 - 2012 GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI -Tên đề tài :”Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử” -Họ tên tác giả : Phạm Hoàng Tâm -Đơn vị công tác : Trường THCS Tân Hà LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : -Với xu phát triển xã hội nay, nhiệm vụ hàng đầu đặt đổi môn tốn rèn luyện tư logíc, phát triển lực suy luận, tìm tịi sáng tạo, đồng thời gắn việc dạy- học toán với vấn đề giáo dục kỹ thuật tổng hợp hướng nghiệp - Việc phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa đề cập đến phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Ngồi phân tích đa thức thành nhân tử cịn có phương pháp như: Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, hệ số bất định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà - Xuất phát từ vấn đề nên chọn đề tài “Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử ” ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Qua tình hình thực tế trường trung học sở Võ Văn Truyện với mục tiêu đạt trường chuẩn quốc gia, nhằm phát huy tính tích cực học sinh tiết luyện tập Để hướng tới mục tiêu thân tơi chọn đề tài thử nghiệm, áp dụng thực chương trình dạy học môn Đại Số lớp cho tất học sinh khối trường đặc biệt học sinh lớp 8A1 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : - Tổ chức thực hiện, theo dõi, kiểm tra, so sánh, rút kinh nghiệm, tổng kết - Điều tra , đàm thoại, tìm hiểu tâm tư học sinh - Nắm lại tình hình chất lượng mơn Tốn lớp dạy năm học trước ĐỀ TÀI ĐƯA RA GIẢI PHÁP MỚI: GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà Qua nội dung đề tài đưa giải pháp, kinh nghiệm thân nhằm nâng cao chất lượng học sinh, tỉ lệ học sinh yếu giảm HIỆU QUẢ ÁP DỤNG: - Học sinh trình bày lời giải cho toán giải toán phân tích đa thức thành nhân tử - Phát huy khả tư sáng tạo học sinh 7.PHẠM VI ÁP DỤNG: Còn tùy thuộc vào điều kiện cho phép, đề tài cịn hạn chế, nên tơi áp dụng khối lớp trường GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà MỤC LỤC A/ MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU III PHẠM VI NGHIÊN CỨU IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU B./ NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN II.CƠ SỞ THỰC TIỄN III NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Phưong pháp đặt nhân tử chung GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà Phương pháp dùng đẳng nhiều hạng thức Phương pháp nhóm tử Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử IV KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU C./ KẾT LUẬN I BÀI HỌC KINH NGHIỆM .11 II HƯỚNG PHỔ BIẾN CỦA GIẢI PHÁP 11 III.HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP CỦA ĐỀ TÀI 12 A/ MỞ ĐẦU GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà  I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: -Với xu phát triển xã hội nay, nhiệm vụ hàng đầu đặt đổi mơn tốn rèn luyện tư logíc, phát triển lực suy luận, tìm tịi sáng tạo, đồng thời gắn việc dạy- học toán với vấn đề giáo dục kỹ thuật tổng hợp hướng nghiệp - Khi tính tốn phép tính đa thức, nhiều cần thiết phải biến đổi đa thức trở thành tích, việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào như: Rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ Vì việc phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng chương trình Đại Số lớp - Việc phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa đề cập đến phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Ngồi phân tích đa thức thành nhân tử cịn có phương pháp như: Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà hệ số bất định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác Do giảng dạy giáo viên giúp học sinh lựa chọn phưong pháp phù hợp để phát huy trí lực, khả sáng tạo học sinh việc giải toán Đặc biệt học sinh giỏi giúp em biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn khó - Xuất phát từ vấn đề nên tơi chọn đề tài “Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử ” II/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử III/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Qua tình hình thực tế trường trung học sở Tân Hà với mục tiêu đạt trường chuẩn quốc gia, nhằm phát huy tính tích cực học sinh tiết luyện tập Để hướng tới mục tiêu thân chọn đề tài thử nghiệm, áp dụng thực chương trình dạy học mơn Đại Số lớp GV: Phạm Hoàng Tâm Trường THCS Tân Hà cho tất học sinh khối trường đặc biệt học sinh lớp 8A1 IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : - Tổ chức thực hiện, theo dõi, kiểm tra, so sánh, rút kinh nghiệm, tổng kết - Điều tra , đàm thoại, tìm hiểu tâm tư học sinh - Nắm lại tình hình chất lượng mơn Tốn lớp dạy năm học trước -Thông qua tiết dạy trực tiếp lớp - Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp -Các phương pháp dạy học theo hướng đổi -Hệ thống lý thuyết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, chốt lại vấn đề cần lưu ý, đưa ví dụ chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp _ Giả thuyết khoa học: Để học tốt dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức liên quan phép nhân phép chia đa thức Thông qua việc giải tập hình thành cho học sinh kỹ GV: Phạm Hồng Tâm Trường THCS Tân Hà phân tích, kỹ quan sát, phán đốn, rèn tính cẩn thận, linh hoạt B./ NỘI DUNG  I/.CƠ SỞ LÝ LUẬN : -Thực đổi phương pháp dạy học theo nghị TW khóa năm 1993 Nghị TW khóa -Thực đổi phương pháp dạy học theo chương trình sách giáo khoa Bộ giáo dục, học sinh người chủ động tồn q trình chiếm lĩnh tri thức Muốn chiếm lĩnh tri thức đòi hỏi học sinh phải tự học, tự nghiên cứu, tự giác tìm tịi khám phá kiến thức mới, từ học sinh khắc sâu kiến thức mơn Tốn - Tốn học vai trị quan trọng đời sống ngành khoa học khác - Dạy Tốn, học Tốn q trình tư liên tục, việc nghiên cứu tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm người dạy Toán học Toán khơng thể thiếu GV: Phạm Hồng Tâm 10 Trường THCS Tân Hà - Nâng cao vai trò chủ đạo giáo viên, vai trị chủ động tích cực học sinh Phát huy tính tích cực học tập học sinh, tự khám phá hiểu biết - Vai trị mạnh mẽ Tốn học nên yêu cầu đặt phải làm cho học sinh nắm kiến thức tốn học cách xác, vũng có hệ thống II/.CƠ SỞ THỰC TIỄN - Phân tích đa thức thành nhân tử kiến thức quan trọng chương trình Tốn lớp - Thực tế địa phương giảng dạy đa số em chưa có ý thức việc học tập, chưa biết quan trọng việc học tập cho thân - Khả vận dụng kiến thức học vào tập chưa đồng đều, chủ yếu dừng lại cấp độ nhận biết thông hiểu - Vấn đề đặt phải làm để học sinh tiếp thu nội dung kiến thức Bản thân thiết nghĩ, phân loại dạng tốn hình thành cách giải chung cho loại tốn học sinh giải tốt dạng toán dạng Khi nắm vững hướng giải chung tự học sinh giải GV: Phạm Hoàng Tâm 11 Trường THCS Tân Hà toán xuất phát từ nhu cầu thực tế, giúp học sinh u thích mơn tốn say mê học tập tìm hiểu nhiều mơn toán III/ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phưong pháp đặt nhân tử chung a/ Phương pháp - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc( kể dấu chúng) b/Ví dụ: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y = 3x2y ( 5y – 3x +1) 7x(y – z) + 4y(z – y) = 7x(y – z) - 4y(y– z) = (y – z) (7x – 4y) Phương pháp dùng đẳng thức a/ Phương pháp - Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b/ Ví dụ: GV: Phạm Hồng Tâm 12 Trường THCS Tân Hà 36x2 – 25 = (6x)2 – 52 = (6x – 5)(6x + 5) 16x 4y2 – 25a2b2 = (4x2y)2 – (5ab)2 = (4x2y - 5ab) (4x2y + 5ab) (x + y)3 – = (x + y)3 – 13 = (x + y – 1)(x2 + 2xy + y2 + x + y +1) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a/ Phương pháp - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - Áp dụng tiếp tục phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b/ Ví dụ: x2 + 2xy + x + 2y = (x2 +2xy) + (x +2y) = x(x + 2y) + (x + 2y) = (x + 2y)(x +1) x2 – 6x + – 9y2 = (x2 – 6x + 9) – 9y2 = ( x – 3)2 – (3y)2= (x -3 + 3y) (x -3 - 3y) Phối hợp nhiều phương pháp a/ Phương pháp : Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử GV: Phạm Hoàng Tâm 13 Trường THCS Tân Hà b/ Ví dụ: 5x2 – 45y2 – 30y – =5 (x2 – 9y2 – 6y – 1) =  x − (9 y + y + 1)    =  x − (3 y + 1)    = 5( x + y + 1)( x − y − 1) Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a/ Phương pháp: -Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử b/ Ví dụ : Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + Đa thức không chứa nhân tử chung, dạng đẳng thức đáng nhớ, khơng thể nhóm thành hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử Cách 1: 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = (3x2 – 6x) + (-2x + 4) = 3x(x – 2) – (x – 2) =(x – 2)(3x – 2) GV: Phạm Hoàng Tâm 14 Trường THCS Tân Hà Đa thức có dạng tam thức bậc hai: ax + bx + c ta tách số hạng tử thứ tách số hạng tử thứ hai, tách số hạng tử thứ ba áp dụng phương pháp SGK để phân tích đa thức thành nhân tử Nhận xét: cách ta tách hạng tử thứ hai -8x thành hai hạng tử -6x -2x Trong đa thức: 3x2 – 6x – 2x + hệ số hạng tử 3;-6; -2; Các hệ số thứ hai thứ tư gấp -2 lần hệ số liền trước; nhờ mà xuất nhân tử chung x – Một tổng quát để phân tích thành tam thức bậc hai: ax + bx + c thành nhân tử, tách hạng tử bx thành b 1x + b2x cho: b1 c = a b2 tức là: b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau; Bước 1: Phân tích ac Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Trong ví dụ trên; đa thức: 3x2 – 8x +4 có a=3; b= - ; c= GV: Phạm Hoàng Tâm 15 Trường THCS Tân Hà Tích ac = 3.4 = 12 Phân tích 12 thành tích hai thừa số; hai thừa số có dấu ( tích chúng 12) âm ( để tổng chúng -8) Ví dụ 1: Ta tách hạng tử thứ để xuất đẳng thức đáng nhớ Cách 2: 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x – x2 + = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)(2x – + x) = (3x – 2)(x – 2) Hoặc 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = 4x(x – 2) + (2 + x)(2 – x) = (x – 2)(4x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2 – 4x – Cách 1: Tách hạng tử thứ hai 4x2 – 4x – = 4x2 + 2x – 6x – = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x +1)(2x – 3) Ở hệ số - tách -6 có tích -12 tích 4(-3) hay −3 = −6 GV: Phạm Hoàng Tâm 16 Trường THCS Tân Hà Cách 2: Tách hạng tử thứ ba 4x2 – 4x – = 4x2 – 4x +1 – = (2x – 1)2 - 22 = (2x +1)(2x – 3) Nhận xét: Ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích - Làm xuất hệ số tỉ lệ; nhờ mà xuất nhân tử chung (cách 1) - Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Với đa thức có bậc ba trở lên; để xuất hệ số tỉ lệ người ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức: “Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(x) = 0” Như vậy; đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x – a Ta chứng minh “ Nghiệm nguyên đa thức ( có) phải ước hệ số tự Thật vậy: giả sử đa thức a0xn + a1xn - + + an - 1x + an với hệ số a0, a1, ,an nguyên; có nghiệm x = a (a ∈ Z) a0xn + a1xn - + + an - 1x + an = (x – a)(b0xn - + b1xn-2 + + bn – GV: Phạm Hoàng Tâm 17 Trường THCS Tân Hà Trong b0; b1; ; bn – nguyên Hạng tử có bậc thấp vế phải an Do đó: - abn – = an tức a ước an Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x – x2 –4 Ta tìm ước : ±1; ±2; ±4 Kiểm tra với x = ±1; ±2; ±4 Ta thấy: f(2) = 23 – 22 – = Đa thức có nghiệm x = 2, chứa nhiều nhân tử: x – Cách 1: x3 – x2 – = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – = x2(x – 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + x +2) Cách 2: x3 – x2 – = x3 – – x2 + = (x – 2)(x2 + 2x + 4) – (x + 2)(x – 2) = (x – 2)(x2 + 2x + – x – 2) = (x – 2)(x2 + x +2) Cách 3: Khi ta xác định có chứa nhân tử x – ta chia trực tiếp cho x – Vậy x3 – x2 – = (x – 2)(x2 + x + 2) Phương pháp thêm bớt hạng tử GV: Phạm Hoàng Tâm 18 Trường THCS Tân Hà a/ Phương pháp: thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2 – b2 sau thêm bớt Ví dụ 1: phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – Cách 1: x5 + x – = x5 – x4 + x3 + x4 – x3 + x2 – x2 + x – = x3(x2 – x + 1) + x2(x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x3 + x – 1) Cách 2: x5 + x – = x5 + x2 – x2 + x – = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) = x2(x + 1)(x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x3 + x2 – 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 +1 x7 + x2 +1 = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + x2 + x + = x(x3 – 1)(x3 +1) + x2 + x + = x(x – 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + x2 +x+1 = (x2 + x + 1)[(x4 – x3 + x -1)x +1] = (x2 + x +1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) Chú ý: đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 +1; x7 + x5 + 1; x + x5 + 1; x + x8 + chứa nhân tử x2 + x + GV: Phạm Hoàng Tâm 19 Trường THCS Tân Hà b/ Thêm bớt hạng tử để xuất hiệu hai bình phương Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 + x4 + x8 + x4 + = x8 + 2x4 + – x4 = (x4 + 1)2 – (x2)2 = (x4 + x2 + 1)(x4 – x2 + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 64x4 + y4 64x4 + y4 = 64x4 + 16x2y2 + y4 – 16x2y2 = (8x2 + y2)2 – (4xy)2 = (8x2 + y2 + 4xy)(8x2 + y2 – 4xy) IV/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua trình thực kết thu cụ thể sau: Đầu HKI Giữa HKI Cuối TSHS 41 Giỏi Khá TB (12,2 (22,0 13 Yếu 14(34,1 41 %) %) (14,6 10(24,4 (31,7%) %) 15(36,6 10(24,4 41 %) %) (17,1 11(26,8 %) 15(36,6 %) (19,5 %) %) %) HKI %) * Những mặt làm được: GV: Phạm Hoàng Tâm 20 Trường THCS Tân Hà + Học sinh nắm nội dung kiến thức học + Có kỹ phân tích tổng hợp giải tốn dạng tốn nâng cao + Tích cực phối hợp hài hịa hoạt động học tập theo nhóm *Những mặt chưa làm được: + Một số học sinh yếu chưa phát huy vai trị q trình học tập + Giải tập theo nhóm chưa cao C./ KẾT LUẬN  I./ Bài học kinh nghiệm : Nghiên cứu giải pháp có hiệu cho việc dạy học vấn đề mà người giáo viên nên làm để tích lũy kinh nghiệm GV: Phạm Hoàng Tâm 21 Trường THCS Tân Hà -Giải pháp giúp học sinh phát huy vai trị chủ động tích cực tìm tịi, khám phá, lĩnh hội kiến thức.Đó nội dung đổi phương pháp dạy học mà thực có kết tốt Phát huy tính tích cực học tập, tính độc lập tư sáng tạo , tự ý thức, kỹ tự học học sinh -Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề khó, ta nghiên cứu sâu đa thức bậc cao, đa thức nhiều biến II./ Hướng phổ biến giải pháp: - Trong trình nghiên cứu thực giải pháp lớp 8A1 Trường THCS Tân Hà , nhận thấy chất lượng học sinh học toán nâng lên , kết khả thi Sẽ áp dụng thực cho học sinh lớp mà phân công giảng dạy Có thể áp dụng cho lớp khác, khối khác trường , số trường huyện có điều kiện tương tự Tùy theo đặc điểm tình hình , hồn cảnh cụ thể đối tượng, lớp , trường áp dụng cho phù hợp, linh hoạt Để từ nhằm nâng cao chất lượng dạy học giáo viên học sinh III./ Hướng nghiên cứu tiếp đề tài: GV: Phạm Hoàng Tâm 22 Trường THCS Tân Hà - Trong thời gian tới, thực áp dụng phạm vi rộng Ngoài giải pháp mà chọn Đồng thời phối hợp nhiều phương pháp dạy học khác cách linh hoạt, cố gắng tìm tịi thêm giải pháp phù hợp khác như: + Hướng dẫn học sinh phương pháp tự học môn đại số lớp + Nâng cao chất lượng học sinh yếu mơn tốn phần Hình Học lớp * Phần trình bày giải pháp phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8A1 trường THCS Tân Hà Tuy nhiên chắn nhiều giải pháp khác giúp cho học sinh học tập tốt mà cần phải học hỏi Rất mong đóng góp ý kiến cấp lãnh đạo, bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tân Hà, ngày 19 tháng năm 2011 Người thực GV: Phạm Hoàng Tâm 23 Trường THCS Tân Hà Phạm Hoàng Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO   1/ Phương pháp dạy học Toán ( Hoàng Chúng) 2/ Đổi phương pháp dạy học trường THCS ( Trần Kiều) GV: Phạm Hoàng Tâm 24 Trường THCS Tân Hà 3/ Phương pháp giải tập toán THCS (Dương Đức Kim – Đỗ Duy Đồng) 4/ Ôn kiến thức luyện kỹ Đại Số lớp ( Tôn Thân – Vũ Hữu Bình) GV: Phạm Hồng Tâm 25 ... tài ? ?Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử ” II/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải toán phân tích đa thức thành nhân. .. tích đa thức thành nhân tử ” ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Phát huy tính tích cực học sinh qua cách giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Qua tình hình thực tế trường trung học. .. thuyết khoa học: Để học tốt dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức liên quan phép nhân phép chia đa thức Thông qua việc giải tập hình thành cho học sinh