SKKN Các biện pháp sửa chữa sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình và bất phương trình THPT CHUYÊN LAM SƠN

MỞ ĐẦU Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều mức độ khác nhau. Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhưng cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ… Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ như đối với học sinh thì ký hiệu x,y,z… thường là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giải những phương trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau thì học sinh rất khó chấp nhận. Những phương trình và bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, rốt cục là tìm cho ra được x. Nhưng bây giờ trong bài toán tích phân chứa giá trị tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhưng ta không phải đi tìm x, chính vì vậy mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5…cho riêng lẻ từng đáp số là sai. Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh không hiểu bản chất của đối tượng có mặt trong bài toán. Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đó nghiên cứu để tìm ra những phương án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cần thiết. Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này, chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”. Còn G.Pôlia thì phát biểu “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Viện sĩ Gơn-he-den- cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của tư duy Toán học thì đã đề cập đến ba phẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán. - Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh. 1 - Có thói quen lý giải một cách đầy đủ. - Sự chính xác của lý luận. Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng trong giải Toán, bất cứ người nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, còn những vướng mắc và khó khăn thì dĩ nhiên là thường xuyên. Chức năng của người thầy giáo là phải kịp thời vạch rõ để học sinh thấu hiểu những sai lầm đó sao cho lần sau không còn tiếp diễn nữa. Tuy nhiên một trong các năng lực cần có của người thầy là phải đánh giá đúng mức của học sinh đã mắc, không nên cào bằng các mức độ.Tất nhiên sữa sai là phải kịp thời, nếu không thì “sai lầm sẽ nối tiếp sai lầm”. Tuỳ đối tưọng học sinh để đánh giá mức độ sai lầm của từng bài toán. Ví dụ như một học sinh bậc THPT mà từ hệ thức x+ x 1 = y+ y 1 suy ra x=y là điều không thể chấp nhận được. Hay như học sinh lớp 11 mà hiểu rằng f -1 (x)= )( 1 xf là sai lầm rất lớn. Tuy nhiên cũng có những sai lầm hoặc thiếu sót mà ta không nên “bé xé ra to”, bởi vì theo lý thuyết tình huống thì có những chướng ngại tránh được và cũng có những chướng ngại không tránh được. Chẳng hạn học sinh chứng minh x >sinx với mọi x thuộc (0;+∞) bằng cách thiết lập hàm số f(x) = x- sinx, trên khoảng đó f ’ (x)>0 và nói hàm f(x) đồng biến trên (0;+∞), suy ra f(x)> 0 thì kể ra cũng chưa chuẩn lắm vì 0 không thuộc (0;+∞). Nhưng trong tình huống này cũng không nên phân tích quá nhiều để làm rối trí học sinh. Đặc biệt người thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toán học, có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có 2 sự chủ động xử lý các tình huống ấy. Ví dụ như dạng toán về dấu của tam thức bậc 2 trên một miền; Tìm điều kiện tham số sao cho f(x) = x 2 +mx+1>0 ∀ x>3 - Nếu ∆ <0 thì đúng ∀ m - Nếu ∆ >0 f(x) có 2 nghiệm x 1 và x 2 f(x)>0 ⇔ x thuộc (-∞;x 1 ) ∪ (x 2 ; ∞) Kết luận là x 2 ≤3 Tuy nhiên, như bài này chẳng hạn, giáo viên chủ động hình dung ra rằng đối với các học sinh khá, biết đường lối giải cũng dễ rơi vào sai lầm kết luận x 2 <3, điều đó rất có lý bởi vì mọi giả thiết đều phản ánh bất đẳng thức ngặt. Như vậy, ta thấy rằng đôi khi chỉ là một ký hiệu hay một dấu, nhưng nó lại phản ánh rất sát về trình độ suy luận của người học, và điều quan trọng là ở chổ người thầy phải biết trước được cái sai đó của học sinh. 3 Chương 1 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Trong giáo dục, I.A.Komenski khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm". Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán được hiểu là: Điều trái với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong môn Toán: Khái niệm, định lí, quy tắc, các nội dung của lôgic toán, phương pháp suy luận suy diễn ), do đó không đạt được mục đích của dạy học giải Toán. Các sai lầm trong giải Toán thường do các nguyên nhân từ các góc độ khác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng. Do vậy biện pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tượng đang tập dượt nghiên cứu sáng tạo, đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyết vấn đề. Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục những sai lầm khi giải Toán. Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi đối tượng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm. Do đó để nâng cao chất lượng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hướng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phương trình và bất phương trình, học sinh thường gặp phải các sai lầm sau. 1.1. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo Đây thuộc dạng sai lầm “thô thiển” nhất trong các sai lầm thường gặp ở học sinh. Thông thường các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh thông nắm 4 vững bược bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ sai công thức hay định lý. Ví dụ1. Khi giải các phương trình lượng giác, học sinh thường nhầm lẫn giữa hai đơn vị đo là độ và Rađian. Giải phương trình: sin(x+30 o )= 2 2 , nhiều học sinh giải như sau: sin(x+30 o )= 2 2 =sin 4 π ⇒     ∏+ ∏ =+ ∏+ ∏ =+ 2 4 30 2 4 3 30 kx kx o o Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x +2 2x =20 Lời giải sai: Phương trình tương đương với 2 x (1+2 2 ) =20 ⇔ 2 x .5=20 ⇔ 2 x =4 ⇔ x=2 Tuy nhiên x=2 thử vào phương trình thấy thỏa mãn, nhưng lời giải vẩn sai vì tưởng 2 2x =2 2 .2 x Nhớ rằng 2 2x =(2 x ) 2 . Lời giải đúng là: đặt t=2 x >0 ta có: t+t 2 =20 ⇔ t 2 +t-20=0 ⇔ t=4, t=-5. Vì t >0 nên t=4 ⇔ x=2. 1.2. Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học Nhận dạng và thể hiện một định lý hay một khái niệm cũng là một hoạt động toán học. Ta xét sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý cũng có nghĩa là ta đang xét các sai lầm trên tiêu chí hoạt động toán học. Cấu trúc thông thường của một định lý có dạng: A ⇒ B. Trong đó A là giả thiết, B là kết luận. Nhiều sai lầm khi học định lý là do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết, bởi vậy nhiều lúc học sinh đưa ra các kết luận sai lầm: Không có A vẫn suy ra B, hay không có A suy ra không có B. Ví dụ 1. Giải phương trình x 1 x x 5 .8 500 − = 5 Sai kiểu thứ nhất: Thử một số trường hợp x=1, x=2, x=3… thấy rằng 5 3 .8 2/3 =125. 3 64 =500, suy ra x=3 là nghiệm của phương trình. Khi x≠3 thì 5 3 .8 2/3 ≠125. 3 64 Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất. Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận ra rằng, đối với học sinh dừng bước lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm - là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bước suy diễn: x≠3 thì 5 3 .8 2/3 ≠125. 3 64 là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bài toán này. Kiểu sai thứ hai: x 1 x x 5 .8 500 − = ⇒ x.Ln5+ x x 1− Ln8= 3Ln5+2Ln2 ⇒ (x-3)Ln5+ x x 3− Ln2=0 Xét hàm số f(x)= (x-3)Ln5+ x x 3− Ln2, ta có: f ’ (x)=Ln5+ x 2 3 Ln2 >0 ∀ x≠0. Suy ra hàm số đồng biến ∀ x≠0. Mặt khác ta thấy f(3)=0. Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình. Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trường hợp trên là ở chổ: Hàm số f(x) đồng biến trên (- ∞ ;0) và (0;+ ∞ ) thì phương trình vẩn có thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng đó. Phân tích: Ở lớp 10 học sinh đã được học khái niệm về hàm số đồng biến trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập, dù không nói rõ nhưng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều khoảng. Trong chương trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dương trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nhưng thực ra kiến thức của 6 học sinh đại trà không dễ gì có thể nắm vững và sâu sắc để phân biệt được phạm vi áp dụng của định lý thật xác đáng. Cụ thể hơn là khi học định lý này thì dường như học sinh chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dương thì hàm số đồng biến, và thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào về phạm vi áp dụng của định lý. Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thể không còn là một khoảng thì học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bình thường. Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (- ∞ ;0) và (0;+ ∞ ) thì lại nói rằng hàm số đồng biến trên R\ { } 0 . Cần phải là rõ cho học sinh thấy hàm số đồng biến trên (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞ ) thì ngoài yêu cầu f(x 1 ) 〈 f(x 2 ) ∀ x 1 〈 x 2 〈 0 f(x 3 ) 〈 f(x 4 ) ∀ 0 〈 x 3 〈 x 4 còn phải thêm yêu cầu nữa là f( α ) 〈 f( β ) ∀ α 〈 0 〈 β Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sai lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x 1 ,x 2 cùng thuộc (a;b) thì f(x 1 )=f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 . Nhưng trong trường hợp này thì f(x 1 )=f(3), rỏ ràng 3 thuộc (0;+ ∞ ), cho nên mới chỉ có kết luận được rằng trên (0;+ ∞ ) thì phương trình chỉ có 1 nghiệm, và như thế ta cần phải xét trường hợp x 〈 0. Đối với bài toán trên, ta có lời giải đúng như sau: (x-3)(Ln5+ x 1 Ln2) = 0 ⇒     = −= 3 5 2 x Ln Ln x Cần nói thêm rằng, đối với các phương trình siêu việt, đặc biệt là khi thực hiện trên các logarit, học sinh thường có tâm lý nặng nề khi nhìn những hằng số lại không phải là hằng số. 7 Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của một định lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủ tất cả các ý trên. Thế nhưng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung còn qua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý còn lại. Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chi tiết này thông qua các phản ví dụ. hoctoancapba.com Ví dụ 2. Giải phương trình 3x 3 -6x 2 -9x=9(x 2 -2x-3) (*) +Lời giải sai: (*) ⇔ 3x(x 2 -2x-3) = 9 (x 2 -2x-3) ⇔ 3x=9 ⇔ x=3. Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của phương trình, sai lầm ở đây là học sinh đã chia cả hai vế cho biểu thức x 2 -2x-3. Cần lưu ý với học sinh rằng a.b=c.b ⇔ b(a-c)=0 + Lời giải đúng là: (*) ⇔ (x 2 -2x-3)(3x-9)=0 ⇔    = −= 3 1 x x Ví dụ 3. Giải phương trình 123 3 ++−+ − xx x = 2 +Lời giải sai: Điều kiện:    ≥+ ≥−+− 01 023 3 x xx ⇔    −≥ ≤+− 1 0)2()1( 2 x xx ⇔    −≥ −≤ 1 2 x x Vậy không tồn tại giá trị x thoả mãn điều kiện tập xác định, vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ta có thể nhận ra khi x=1 thì biểu thức có nghĩa và x=1 chính là nghiệm của phương trình.Vậy sai lầm của các em học sinh nằm ở chổ nào? Đó là em đã cho rằng (x-1) 2 (x+2) ≤ 0 ⇔ x+2 ≤ 0. + Lời giải đúng là: Điều kiện có nghĩa 8    ≥+ ≥−+− 01 023 3 x xx ⇔    −≥ ≤+− 1 0)2()1( 2 x xx ⇔      ≥    ≤ = 1 2 1 x x x ⇔ x=1 Thử x=1 vào phương trình ta thấy thoã mãn, vậy phương trình có nghiệm là x=1. Ví dụ 4. Giải phương trình x.e x > e 1− +Lời giải sai: Ta có f 1 (x 1 )=x và f 2 (x 2 )= e x là các hàm số đồng biến trên R, suy ra f(x)=x.e x là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R. Ta có f(-1)= e 1− . Do đó bất phương trình tương đương f(x) > f(-1) ⇔ x>-1. Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồng biến, nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dương thì mới kết luận được. +Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.e x với x ∈ R. Ta có f ’ (x)=e x (x+1) nên ta có: x - ∞ -1 + ∞ f ’ (x) - 0 + f(x) Từ đó ta có f(x) > e 1− ⇔ x≠ -1 Ví dụ 5. Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x 33)1(2)1( 2 −+−−+ mxmxm 9 + ∞ e 1 − + ∞ +Lời giải sai: Biểu thức có nghĩa với mọi x ⇔ f(x)=(m+1)x 2 -2(m-1)x+3m-3 ≥ 0 ∀ x ⇔    ≤∆ > 0 0 ' a ⇔    ≥+− −> 0)2)(1(2 1 mm m ⇔ m ≥ 1 Ta có kết quả m ≥ 1. * Cần thường xuyên nhắc các em học sinh khi giải dạng toán này rằng f(x)=ax 2 +bx+c ≥ 0 ∀ x khi và chỉ khi           ≤∆ >    ≥ == 0 0 0 0 a c ba Và lời giải trên thiếu trường hợp a=0 +Lời giải đúng: Biểu thức có nghĩa ∀ x. • Trường hợp 1:    ≥ == 0 0 c ba ⇔      ≥ −= = 1 1 1 m m m không có giá trị m thoã mãn. • Trường hợp 2:    ≤∆ > 0 0a ⇔ m ≥ 1 Tóm lại m ≥ 1. 1.3. Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phương trình Ví dụ1: Giải phương trình: 2cos(2cosx) = 3 Có học sinh đặt: t = 2cosx, được phương trình: 2cost = 3 ⇔ 3 cost 2 = ⇔ t = ± 30 0 + k 360 0 Sai lầm ở đây là học sinh không nắm được giải phương trình cost = a với t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t không phải là góc, là cung lượng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo bằng độ. hoctoancapba.com 10 [...]... toán và sử dụng sai đơn vị đo 4 1.2 Sai lầm khi áp dụng định lý và mệnh đề toán học .5 1.3 Sai lầm liên quan đến đặt điều kiện, biến đổi phương trình 10 1.4 Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 15 Chương 2 Các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán phương trình và bất phương trình 21 2.1 Các phương châm chỉ đạo 21 2.2 Các biện pháp. .. hỏi sự đánh giá mức độ sai lầm của học sinh Tính 22 chính xác đòi hỏi giáo viên đánh giá lời giải của họ sinh qua sổ điểm một cách công bằng, phải biết hướng dẫn điều chỉnh sửa chữa sai lầm bằng các biện pháp tối ưu - Phương châm thứ ba: Tính giáo dục Tính giáo dục giúp học sinh thấy được tầm quan trọng trong sự chính xác của lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất hiện Tính... bài tập, ngoài các kiến thức cơ bản của môn Toán, các kiến thức cần thiết của lôgic học, cần phải căn cứ vào hướng đã vạch ra, vào quá trình tiếp nhận và đặc điểm của bài tập Từ đó mới xây dựng được kế hoạch giải cụ thể và lựa chọn các phương pháp thích hợp Điều đó phụ thuộc vào khả năng sáng tạo, cách phát hiện vấn đề cần giải quyết của học sinh Vài lời kết luận Sửa chữa các sai lầm khi giải toán là... việc giải bài tập toán NXB Giáo dục [5] Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán NXB Đại học sư phạm [6] Lê Đình Thịnh, Trần Hữu Phúc, Phan Cảnh Nam (1992) Mẹo và bẩy trong các đề thi môn toán, tập 1 NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp 28 MỤC LỤC Trang Mở đầu .1 Chương 1 Những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài tập về phương trình và bất phương trình .4 1.1 Sai lầm. .. trình dạy học Toán, để học sinh hạn chế các sai lầm khi giải toán phương trình và bất phương trình, giái viên cần tuân thủ các phương châm sau: - Phương châm thứ nhất: Tính kịp thời Các biện pháp phải chú ý thích ứng với thời điểm thích hợp Biện pháp chỉ phát huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc, không thể tuỳ tiện trong việc phân tích và sửa chữa, cũng như hạn chế sai lầm của học sinh Đặc biệt là thời... chứng minh; Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ; có sự chính xác của suy luận Một trong các nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải Toán là trình độ hiểu biết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu Học sinh thường khó nhận thấy các sai lầm về lôgic Trong dạy học phương trình có thể hiểu: " Phương trình là một hàm mệnh đề, nghiệm của phương trình là giá trị của biến làm cho hàm mệnh... trên, học sinh dể mắc sai lầm từ phép biến đổi (x-3) x −1 = ( x − 3)( x + 1) , đó dĩ nhiên không phải là phép biến x−3 đổi tương đương, bởi vì (x-3) x −1 = x−3  ( x − 3)( x + 1) x − 3 > 0   − ( x − 3)( x + 1) x − 3 < 0  21 Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM HẠN CHẾ VÀ SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Các phương châm chỉ đạo Trong quá trình dạy học. .. lầm khi giải toán là việc làm cấp thiết và cần tiến hành thường xuyên trong quá trình giải toán Nếu một sai lầm không được sửa chữa kịp thời sẽ dẩn tới nhiều sai lầm khác cho học sinh Kiến thức về phương trình và bất phương trình chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, và trong quá trình giải loại toán này thì học sinh có thể mắc sai lầm trong nhiều tình huống Trong phạm vi... nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải Toán Ví dụ 2: Giải phương trình: (cos2x - cos4x)2 = 4 + cos23x Đây là phương trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọn phương pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm Nhiều em nhận thấy vế trái xuất hiện bình phương nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phương trình phức tạp hoặc tìm cách biến đổi đưa về các hàm lượng giải của cùng... "Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức được kích thích bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà mình phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận về bản chất của các sai lầm" Một trong những nguyên nhân chủ yếu của các sai lầm là do trình độ còn yếu Trong đó có thể là học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản về môn Toán Khi truyền thụ giáo viên . dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hướng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phương trình và bất phương trình, học sinh thường gặp phải các sai lầm. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo Đây thuộc dạng sai lầm “thô thiển” nhất trong các sai lầm thường gặp ở học sinh. Thông thường các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh. sát về trình độ suy luận của người học, và điều quan trọng là ở chổ người thầy phải biết trước được cái sai đó của học sinh. 3 Chương 1 NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI