skkn SKKN một dạng bài tập ứng dụng định lí talet

Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet A- Đặt vấn đề I - Lý chọn đề tài Cơ sở lí luận: Định lý Talet định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng chơng trình toán THCS Định lý Talet đợc sử dụng nhiều giải toán, đặc biệt toán có liên quan đến đoạn thẳng tỉ số hai đoạn thẳng Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải toán ta ôn lại cho học sinh tính chất tỷ lệ thức kỹ biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phơng trình, chứng minh đờng thẳng song song, diện tích đa giác Vận dụng định lý Talet vào giải toán việc học sinh đợc rèn luyện kỹ toán học, chủ yếu đợc nâng cao mặt t toán học Các thao tác t nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, thờng xuyên đợc rèn luyện phát triển Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy nhận thấy khả vận dụng định lý Talet vào giải toán học sinh hạn chế Khi học phần này, học sinh khó khăn: - Việc sử dụng kỹ biến đổi đại số vào hình lúng túng hay mắc sai lầm - Kỹ phân tích giả thiết, kết luận toán để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho toán chậm hạn chế - Khả vận dụng toán cho toán khác, kỹ chuyển đổi toán, khai thác toán theo hớng đặc biệt hoá, khái quát hoá cha cao - Học sinh cha có thói quen tổng hợp ghi nhớ tri thức phơng pháp qua toán, dạng toán Kết luận khái quát Nhận thức rõ đợc vị trí tầm quan trọng chuyên đề: Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet chơng trình Toán THCS Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với số sách viết chuyên đề nhà giáo khác, nghiên cứu thực đề tài II - Mục đích nghiên cứu Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tợng học sinh khá, giỏi đà rút đợc số kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề: Một số dạng tập ứng dụng định lý Talet với mục đích áp dụng kinh nghiệm giảng dạy để giúp học sinh : - Nắm vứng nội dụng định lý Talet tam giác định lý Talet tổng quát - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống dạng tập phơng pháp giải Qua rèn luyện cho học sinh kỹ tính toán, vẽ hình, phân tích, tổng hợp, -3- Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet - Rèn luyện phát triển cho học sinh phẩm chÊt trÝ t, c¸c thao t¸c t duy: So s¸nh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá, III - Đối tợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu: Đối tợng: Đối tợng nghiên cứu thực đề tài học sinh lớp Phạm vi nghiên cứu: Trong phạm vi nghiên cứu đề tài, nêu số dạng tập vận dụng địng lí Talet mà học sinh thờng gặp giải toán Trong dạng tập có định hớng chung cách giải, ví dụ có bớc hớng dẫn tìm lời giải Do điều kiện thực tế học chuyên đề học sinh đà đợc học số chuyên ®Ị cã liªn quan: TØ lƯ thøc, diƯn tÝch ®a giác, bất đẳng thức hình học, nên phạm vi nghiên cứu đề tài không nhắc lại kiến thức để giải dạng toán mà học sinh đợc vận dụng kiến thức vào giải toán IV Phơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là: - Phơng pháp thực nghiệm - Phơng pháp phân tích tổng hợp - Phơng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá -4- Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet B Nội dung phơng pháp I - Kiến thức Đoạn thẳng tỉ lệ a) Tỉ số hai đoạn thẳng - Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng với đơn vị đo Nh tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn b) Đoạn thẳng tỉ lệ: - Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD ta có hệ thức: AB = A' B' CD C' D' AB A' B' AB vµ CD tØ lƯ víi A’B’ vµ C’D’  = CD C' D' Tỉ lệ thức đoạn thẳng có tính chất nh tỉ lệ thức số *1 Tích trung tỉ tích ngoại tỉ AB A' B' AB CD = A’B’ CD = CD C' D' *2 Cã thể hoán vị trung, ngoại tỉ: AB CD = A' B' C' D' AB A' B' = CD C' D' => A' B' C' D' = AB CD C' D' CD = A' B' AB *3 C¸c tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau: AB A' B' AB ± CD A' B'± C' D' AB ± A' B' = => = = (CD ≠ CD' ) CD C' D' CD C' D' CD C' D' Định lý Talet tam giác 2.1 Định lý thuận: Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tØ lÖ A AB' AC' = ∆ ABC BC//B’C’ => AB AC B B 2.2 Định lý đảo -5- C C Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ đờng thẳng song song với cạnh lại tam giác AB' AC' = ∆ ABC, => B’C’//BC AB AC Tãm t¾t: ∆ ABC, B’C’//BC  AB' AC' = AB AC Chó ý: Định lí Talet thuận đảo ba trờng hợp hình vẽ sau: C B A A A B ’ B C ’ C C C B B C ’ B ’ 2.3 HƯ qu¶: Mét đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có cạnh tơng ứng tỉ lệ với cạnh lại tam giác đà cho AB' B' C' C ' A = = ∆ ABC, BC//BC => AB BC CA Định lý Talet tổng quát: 3.1 Định lý thuận: Nhiều đờng thẳng song song định hai cát tuyến đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ A A a a//b//c => AB = A' B' BC B' C' B B B’ b ’ C ’ d d ’ Ta cã thể chứng minh định lý cách qua A kẻ đờng thẳng song song với d Đờng thẳng cắt b, c theo thứ tự B,C Dễ dàng chứng minh đợc AB=AB, BC = BC Sau áp dụng định lý Talet tam giác AB AB' ' vào ACC để có: = c C BC B"C' ' từ suy kết luận 3.2 Định lý đảo -6- AB A' B' = BC B' C' C Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Cho đờng thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d điểm theo thứ tự; A, AB A' B' B, C vµ A’, B’, C’ thoả mÃn đẳng thức tỉ lệ: = BC B' C' mà đờng thẳng a, b, c song song với đờng thẳng a, b, c song song víi A A a AB A' B' vµ a//b => a//b//c ’ = BC B' C' B b B ’ c C C ’ 3.3 HÖ (các đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song) - Nhiều đờng thẳng đồng quy định hai đờng thẳng song song đoạn thẳng tơng øng tØ lÖ A B C O a//b => AB = BC = AC a A BC O BC B' C' A' C' b A’ B ’ C ’ b A C B Ngợc lại: Nếu nhiều đờng thẳng không song song định hai đờng thẳng song song đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ chúng đồng quy điểm => AA, BB, CC đồng quy điểm O AB AC' = AB AC AB AB' II Các dạng tập ứng dụng định lý Talet Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng - tỉ số hai đoạn thẳng a c = Định lý Talet cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng: b d Cho nên muốn vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn thẳng hay tỉ số hai đoạn thẳng ta thờng: + Ghép đoạn thẳng cần tính độ dài vào hệ thức định lý Talet + Sử dụng định lý Talet chuyển tỉ số cần tính tỉ số hai đoạn thẳng đà biết tính đợc nhờ tính chất tỉ lệ thức Ví dơ 1: ∆ABC nhän cã AC>AB, AC=45cm §êng cao AH Đờng trung trực BC cắt cạnh AC N, biÕt HB = 15 cm;HC = 27 cm TÝnh CN = ? A N -7- B H I C Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet * Hớng dẫn tìm lời giải: Theo giả thiết toán có hai đờng thẳng song song cha? CN CI áp dụng định lý Talet CN đợc ghép vµo hƯ thøc nµo? = CA CH Trong hƯ thøc đó: CI, CA, CH đà biết cha? Giải (tóm tắt): Gọi I trung điểm BC, NI trung trùc BC AH ⊥ BC Suy ra: => NI//AH NC IC = AC HC Trong ®ã: AC = 45; HC = 27; IC = BC = 21 CN 21 = => CN = 35cm 45 27 * NhËn xÐt: Từ giả thiết toán ta suy đợc hai đờng thẳng song song: NI //AH cách áp dụng định lý Talet thuận ta đà tính đợc NC Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm M thuộc cạnh AD cho MA , vẽ đờng th¼ng MN song song víi AB biÕt AB = 28, CD = 70 = A B MD * Híng dẫn tìm lời giải: O M N P C I Giả thiết toán có đờng song song: AB//MN//DC Yêu cầu toán tính MN = ? Trên hình vẽ MN cha đợc ghép vào định lí định lý Talet Ta hÃy tìm cách tạo tam giác để vận dụng định lý Talet Hớng 1: Nối AC cắt MN O áp dụng định lý Talet vào tam giác ADC, ABC MO, ON tính đợc Từ tính đợc MN Hớng 2: Qua A kẻ đờng thẳng AI//BC, I DC AI cắt MN P PM = AB = 28 áp dụng định lý Talet vào tam giác ADI ta tính đợc PM Lời giải: (tóm tắt theo hớng 2) Kẻ AI//BC, I DC, AI cắt MN P Tứ giác ABNP hình bình hành nên AB = PN => PN = 28 (1) AB = 28 Trong ADI: PM//AD áp dụng hệ định lý Talet ta cã: D Theo gi¶ thiÕt: PM AM = DI AD AM AM = ⇒ = MD AD -8- ⇒ PM = DI Mét số dạng tập ứng dụng định lí Talet Mặt kh¸c DI = DC – AB = 42 Suy ra: PM = 42 = 12 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: MN = 40 cm NhËn xÐt: Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet tam gi¸c VÝ dơ 3: ∆ABC cã AC = AB LÊy D ∈ AB, E ∈ AC cho CE = BD, DE cắt BC K Tính KE KD * Hớng dẫn tìm lời giải: KE Bài toán yêu cầu tình tỉ số Giả thiết toán cha cho ta KD KE KE tỉ số đà tính đợc trực tiếp tỉ số Vậy ta phải tìm cách chuyển tỉ số KD KD biết Muốn làm đợc điều ta cần vận dụng định lý Talet Nhng vấn để đặt phải có đờng thẳng song song mong muốn vận dụng đợc định lý Talet, nhng vẽ nh nào? Vẽ thêm đờng thẳng song song cần đạt đợc yêu cầu: + Tỉ số đợc chuyển thành tỉ số mà tỉ số có liên hệ với tỉ KE số đà biết ( ABKD1 ) = AC + Sử dụng đợc giả thiết: BD = EC Cách 1: Qua E kẻ EF // AB, F ∈ BC C¸ch 2: Qua D kẻ DI // AC, I BC Cách 3: Qua D kẻ DK // BC, K AC Cách 4: Qua E kẻ EH // BC, H AB * Lời giải tóm tắt (theo cách 1): Kẻ EF //AB, F BC áp dụng hệ định lý Talet vào tam gi¸c: + ∆ KDB: cã tØ sè: KE = EF mà BD = CE nên suy ra: KE = EF KD BD + ∆ ABC (cã EF //AB): EF CE EF AB = ⇒ = = AB AC EC AC KE Tõ (1) vµ (2) suy ra: = KD KD CE (1) (2) NhËn xÐt: Ví dụ ta đà vẽ thêm đờng thẳng song song để vận dụng đợc định lý Talet hệ Ví dụ 4: ABC, lấy D BC, E AC, cho BD = , AE = BC EC AD c¾t BE t¹i I TÝnh AI ID * Híng dÉn tìm lời giải: BD AE = , = BC EC AI ID -9- Mét số dạng tập ứng dụng định lí Talet Từ tỉ số cần tính tỉ số đà biết Ta vẽ thêm đ ờng thẳng song song: Qua D kẻ DM //BE, với M AC Lời giải: Vẽ DM//BE, M ∈ AC, ∆ BEC cã DM//BE (theo gi¶ thiết) EM BD áp dụng định lý Talet ta cã: = = EC BC ∆ ADM cã: IE//DM theo định lý Talet tam giác ta có: Mà AE = AE : EM = : = 14 EM Do ®ã: EC EC AI 14 = ID 15 AI AE = ID EM 15 · VÝ dô 5: ∆ ABC cã BAC =1200 , AB = cm, AC = 12cm, phân giác BAC cắt BC D Tính AD * Hớng dẫn tìm lời giải: 0 à à à AD phân giác góc BAC, mà BAC =120 nên BAD = DAC = 60 Sư DB AB = , nªn ta vẽ thêm đờng phụ để = DC AC dụng tính chất đờng phân giác ta đợc: tạo tam giác ®Ịu : DE//AB th× ∆ ADE ®Ịu, ta chun tõ viƯc tÝnh AD vỊ tÝnh AE B D A * Lời giải tóm tắt: E Kẻ DE //AB, với E AC ADE đều, đặt AD = DE = AE = x (x>0) ∆ ABC cã DE//AB => DE CE C x 12 - x = ⇒ B= ⇒ x = 4cm AB AC 12 KÕt luËn 1: Nh để vận dụng định lý Talet vào tính toán độ dài đoạn thẳng, tỉ số đoạn thẳng ta cần ý: + Từ giả thiết phát đờng thẳng song song, ghép đoạn thẳng hay tỉ số cần tính vào hệ thức định lý Talet + Sư dơng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc + Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet tam giác + Vẽ thêm đờng thẳng song song tạo thành cặp đoạn thẳng tỉ lệ + Trong thực hành ta cần đặt đại lợng cần tính x, sau dùng biến đổi đại số để tìm x - 10 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Dạng 2: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng Dạng tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng dạng tập hay khó Nếu nh lớp 7, hệ thức đoạn thẳng đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng khác, lên lớp 8, học sinh sau học song diện tích đa giác, định lý Talet lớp tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng phong phó 2.1 Chøng minh a = b, b + d = mc(a,b,c,d độ dài đoạn thẳng, m số) Để chứng minh a = b hay b + d = mc đà biết nhiều cách làm: Tam giác nhau, tính chất cộng đoạn thẳng, phân tích việc chứng minh hệ thức theo lối sử dụng định lý Talet + §Ĩ chøng minh a = b ta chứng minh a = b cách chọn đoạn c c thẳng c cách hợp lý b d + = m Sử dụng định + Để chứng minh b + d = mc ta chøng minh c c b d tỉ số để thùc hiƯn phÐp céng , c c lý Talet chun tỉ số rút gọn Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AC cắt BD O Qua O kẻ đờng thẳng d// AB, d cắt AD M, d cắt BC N Chứng minh OM=ON * Hớng dẫn tìm lời giải: Giả thiết toán cho ta MN//AB//DC, chøng minh OM = ON Ta cã thể chọn AB (hoặc DC) để lập tỉ số OM , ON vµ chøng minh OM = ON AB AB AB AB A B * Lời giải tóm tắt: N M O C D Ta cã OM//AB, ON//AB (gi¶ thiÕt), áp dụng hệ định lý Talet vào tam gi¸c: OM DO + ∆ ABD: (1) = + ∆ ABC: AB DB (2) ON CO = AB CA ABCD hình thang: AB//CD, áp dụng hệ định lý Talet vào DOC: DO CO (3) = DB CA Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra: OM ON = ⇒ OM = ON (§pcm) AB AB A B * Khai thác toán: Ta chứng minh toán tổng quát O M D P - 11 - Q N C Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet ABCD hình thang, cã MN//AB//DC, M ∈ AD, N ∈ BC MN c¾t BD, AC lần lợt P Q Chứng minh PM = QN Chứng minh toán hoàn toàn t¬ng tù nh VD1 VÝ dơ 2: ∆ ABC, trung tuyến AD, điểm P di động cạnh BC, qua P kẻ đờng thẳng d // AD, d cắt AB, AC theo thứ tự M N Chứng minh: N PM + PN = AD * Híng dÉn tìm lời giải: A M C Hệ thức cần chứng minh: PM + PN = AD đợc chuyển hƯ thøc díi d¹ng tØ sè B D P PM PN đoạn thẳng: + =2 AD AD Giả thiết toán cho PN//AD, nh ta sử dụng định lý Talet để chuyển tỉ số PM , PN tỉ số thực phÐp céng: AD AD PM BP PN BC , víi BD = DC ta đợc Đpcm = , = AD BD AD DC * Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt PM//AD, PN//AD áp dụng hệ định lý Talet vào c¸c tam gi¸c: PM BP + ∆ ABD: AD = BD PM PN BP PC BP + PC BC PN BC = + ∆ CNP: AD DC ⇒ AD + AD = BD + DC = BD = BD =2 (vì D trung điểm BC) Vậy PM + PN = 2.AD (Đpcm) * Nhận xét: Hệ thức cần chøng minh kh¸ quen thc víi häc sinh , nhng làm theo cách quen thuộc đà biết khó khăn, vận dụng định lý Talet cách hợp lý vấn đề đợc giải đơn giản gọn gàng a c 2.2 Chứng minh hệ thức dạng b = d dạng biÕn ®ỉi a.d = b.c, a2 = bc (víi a, b, c, d độ dài đoạn thẳng) a c = Định lý Talet cho ta hệ thức: nên ngời taa thờng sử dụng định lý c b d = , a.d = b.c, a = bc, Talet vào chứng minh hệ thức đoạn thẳng dạng : b d giả thiết cho ta đờng thẳng song song Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, F AC, kẻ EF//DC, FG//BC , E AD, - 12 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Qua A vẽ đờng thẳng d // BC, d cắt PQ , CR lần lợt M N QBC có AM//BC => QC = BC (1) A M N QA AM ∆ RBC cã AN//BC => RA AN (2) = Do MN//BC nªn: RB BC PB PO PC BP AM (3) = = => = AM OA AN PC AN Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra: PB CQ RA AM BC AN = =1 PC QA RB AN AM BC R B (§pcm) Q O P C Chó ý: + VÝ dơ øng víi phần thuận định lí Xê-va, việc chứng minh toán thực theo cách vẽ đờng phụ khác hay tam giác đồng dạng + Phần đảo toán đà nêu cho ta cách chứng minh đờng thẳng đồng quy Kết luận 2: Sử dụng định lí Talet phơng pháp thờng dùng chứng minh hệ thức đoạn thẳng đặc biệt hệ thức có dạng tỉ số hay tích đoạn thẳng Muốn vận dụng đợc định lí Talet vào giải tập dạng cần ý: - Biến đổi hệ thức cần chứng minh hƯ thøc cã sù xt hiƯn c¸c tØ sè hai đoạn thẳng - Vẽ thêm đờng thẳng song song để vận dụng định lí Talet chuyển tỉ số có mặt hệ thức cần chứng minh vỊ c¸c tØ sè míi theo híng cã thĨ thu gọn đợc vế hệ thức từ chứng minh đợc hệ thức - 20 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song nhiều đờng thẳng đồng quy, nhiều điểm thẳng hàng lớp để chứng minh hai đờng thẳng song song ta phải tìm mối quan hệ góc mối quan hệ đờng thẳng Nên lớp 8, sau học song định lí Talet đảo, từ hệ thức độ dài đoạn thẳng cho ta kết luận A đờng thẳng song song ABC, AM AN = => MN // BC M AB AC N C B Nh định lí Talet đảo cho ta thêm cách chứng minh đờng thẳng song song Ví dụ 1: ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC H, phân giác góc AMB cắt AB t¹i K Chøng minh r»ng HK // BC Híng dẫn tìm lời giải: AH AK Để chứng minh KH//BC ta chøng minh HC = KB , h·y t×m cách chuyển tỉ số hai vế đẳng thức vỊ cïng mét tØ sè b»ng c¸ch sư dơng tÝnh chất đờng A phân giác tam giác Lời giải: H K B M C AK AM · Theo gi¶ thiết: MK phân giác AMB => = KB MB MH phân giác góc AMC suy ra: AH = AM HC Mµ MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra: MC AH AK = => KH // BC HC KB (định lí Talet đảo) VÝ dơ 2: Qua giao ®iĨm O cđa ®êng chéo tứ giác ABCD, kẻ đờng thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB M CD N Đờng thẳng qua M song song với CD cắt AC E đờng thẳng qua N song song với AB c¾t BD ë F Chøng minh BE//CF * Híng dÉn tìm lời giải: OB OE BE//CF OF = OC - 21 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet HÃy sử dụng đờng thẳng song song giả thiết định lí Talet để OB OE chøng minh hÖ thøc E F OF = OC A * Lời giải tóm tắt: OB OM Theo gi¶ thiÕt MB//NF => OF = ON (1) D M N O NC//ME => OE OM (2) = OC ON OB OE = => BE // CF OF OC Tõ (1) vµ (2) suy ra: C B (Định lí Talet đảo) Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh đờng thẳng song song chøng minh hƯ thøc d¹ng a = c b d VÝ dô 3: Cho ∆ ABC, cã AB + AC = 2.BC Gọi I giao điểm đờng phân giác trong, G trọng tâm ABC (I kh¸c G) Chøng minh r»ng IG // BC * Hớng dẫn tìm lời giải: AI AG AI Để chøng minh IG // BC, ta ph¶i chøng minh = hay = ID GM ID Tõ gi¶ thiết toán suy ra: AB + AC = BC H·y chøng minh AB + AC = AI , b»ng c¸ch sư dơng tÝnh chÊt cđa đờng BC ID phân giác A * Lời giải: Gọi AI cắt BC D, AG cắt BC M Nèi B víi I, C víi I sư dơng tÝnh chất đờng phân giác tam giác ta đợc: AI AB AC AB + AC AB + AC = = = = ID BD CD BD + CD BC Theo gi¶ thiÕt AB + AC = BC => I (1)B G D M C (2) AI Tõ (1) vµ (2) suy ID = (3) AG =2 Vì G trọng tâm ABC nên: GM (4) AG AI Từ (3) (4) suy ra: (§pcm) = => IG // BC GM ID * Chú ý: + Bài toán đảo toán đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC + NÕu thay gi¶ thiÕt AB + AC = 2.BC giả thiết AB + AC < 2.BC kết luận toán thay đổi nh nào? (IG cắt tia MC) - 22 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Ví dụ 4: ABC nhọn, đờng cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M, N, P, Q lần lợt hình chiếu M AB, BE, CF, CA Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng A * Hớng dẫn tìm lời giải: Yêu cầu toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Giả thiết toán cho đờng thẳng vuông góc, từ có đờng thẳng song E song HÃy F chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng cách chứng minhHnó nằm Q P N đờng thẳng song song với EF M * Lời giải tóm tắt: Từ giả thiết suy ra: HE // DQ => AE = AH (1) B D C EQ HD AF AH = HF/ / DM => (2) FM HD AE AF Tõ (1) vµ (2) suy ra: = => EF // MQ (*) EQ FM BM BD = BF BC BN BD = BE BC DM // CF suy ra: DN // CE suy ra: (3) (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: MN // EF CQ CD DQ // BE suy ra: = (**) (5) DP // BF suy ra: (6) QE Tõ (5) vµ (6) suy ra: DB CP CD = PF DB CP CQ = => PQ // EF PF QE (***) Kết hợp (*), (**) (***) suy ra: M, N, P , Q thẳng hàng * Nhận xét: Chứng minh điểm thẳng hàng cách chứng minh chúng nằm đờng thẳng cố định Cho ABC, lấy M thuộc cạnh BC, đờng thẳng d qua M cắt AC N cắt AB P Gọi X, Y lần lợt đỉnh thứ t hình bình hành MNXP, MPYC A Chứng minh rằng: A, X, Y thẳng hàng ã Hớng dẫn tìm lời giải: Bài toán yêu cầu chứng minh điểm thẳng E X giả N hàng, thiết cho XN//BC//BY BP cắt CN A ta chứng minh điểm A, X, Y thẳng hàng cách sử dụng kết suy từ định lí Talet B C * Lời giải: M Xét trờng hợp N thuéc tia AC, P thuéc tia AB Gäi E, F lần lợt giao điểm NX với AB PY víi AC Theo gi¶ thiÕt P F Y MNXP hình bình hành: BX // MN hay BX // PN suy ra: EX = EB (1) BM // EN suy ra: XN BP EB MN = BP NP - 23 NC MN = NC PY CF = NP CF YF (2) Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet MC // PF suy ra: (3) PN // YC suy ra: (4) Tõ (1), (2), (3) vµ (4) suy ra: EX PY = XN YF (*) mµ X ∈ EN, Y ∈ BF, NE // BF, PE cắt FN A (**) Từ (*) (**) suy ra: A, X, Y thẳng hàng Các trờng hợp lại chứng minh hoàn toàn tơng tự Nhận xét : Ta có thêm cách chứng minh điểm thẳng hàng: ABC, MN //BC, X ∈ MN, Y ∈ BC tho¶ m·n MX = YB A, X, Y thẳng hàng A XN YC M X B N C Y VÝ dô 6: Cho tứ giác ABCD, vẽ đờng thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD, BC theo thứ tự E F d2 cắt BA, BC theo thứ tự G H (GH khác EF) Chứng minh EG, DB, HF đồng quy * Hớng dẫn tìm lời giải: A Theo giả thiết EF // AC // GH G yêu cầu toán phải chứng minh E GE , BD, HF ®ång quy, ta suy nghÜ ®Õn viƯc sư dơng hệ định lí D M O N B Talet tổng quát, EG, BD, FH đồng quy nh ta chứng minh đợc hệ F ME DM thức ME = NG MF NH AO = DO * Lời giải tóm tắt: Gọi M, O, N lần lợt giao điểm EF, AC, GH với BD ME // AO suy ra: ME = DM (1) AO MF // OC suy C H DO (2) MF DM = OC DO Tõ (1) vµ (2) suy ra: MF = ME hay MF = OC ME OA OC AO NH OC Chøng minh t¬ng tù ta đợc = NH MF NG OA Từ (*) vµ (**) suy ra: = NG ME mµ EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy - 24 - (*) (**) Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Nhận xét: Hệ định lý Talet tổng quát cho ta cách chứng minh đờng thẳng đồng quy toán GH = EF đờng thẳng GE, BD, HF cã mèi quan I hƯ víi nh thÕ nào? Ví dụ 7: Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC I, AC cắt BD O M, N lần lợt trung điểm AB, DC Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng A M B Đây tập đơn giản, việc chứng minh sử dụng định O lí Talet tam giác hay phơng pháp diện tích ta trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ định lí Talet tổng quát ã Lời giải: C Theo giả thiết M trung điểm AB, N làD trung điểm DC, nên suy N ra: MB = MA ND NC Mµ AB // DC suy ra: MN, BD, AC ®ång quy hay O MN (1) Lại có: MA MB mà AB// DC nên suy AD, MN, BC đồng quy = ND NC hay I∈ MN (2) Tõ (1) (2) suy ra: I, M, O, N thẳng hàng * Nhận xét: - Bài toán đợc vận dụng nhiều giải toán với tên gọi Bổ đề hình thang HÃy sử dụng Bổ đề hình thang để dựng trung điểm đoạn thẳng mà dùng thớc Kết luận số 3: - Định lí Talet đảo cho ta cách chứng minh đờng thẳng song song Khi gặp toán chứng minh hai đờng thẳng song song ta có thêm cách phân tích để tìm lời giải, chuyển từ chứng minh đờng thẳng song song chứng minh hệ thức đoạn thẳng - Bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đờng thẳng đồng quy cách phân tích tìm lời giải quen thuộc ta có thêm cách phân tích tìm lời giải theo hớng sử dụng kết qủa suy từ định lí Talet Dạng 4: Định lí Talet toán diện tích Các công thức diện tích cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng Do ta biểu thị độ dài đoạn thẳng, tỉ số độ dài hai đoạn thẳng, tích độ dài hai đoạn thẳng qua diện tích đa giác Hệ thức đinh lí Talet cã d¹ng mét tØ lƯ thøc vỊ tØ sè hai đoạn thẳng Việc vận dụng định lí Talet cách hợp lí linh hoạt giúp ta chuyển đợc tỉ - 25 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet số diện tích hai đa giác tỉ số hai đoạn thẳng, bớc quan trọng trình giải toán Ta cã nhËn xÐt sau: NhËn xÐt : Cho ABC, AB AC theo thứ tự lấy điểm B1 C1 thì: S (ABC) S (AB1C1 ) = AB.AC AB1 AC1 Chøng minh: KỴ CH ⊥ AB, CH1 ⊥ AB ; H,H1 ∈ AB ta cã: 2.S (ABC) AB.CH (1) = 2.S (AB1C1 ) AB1 C H Ta cã CH// C1H1, ¸p dụng hệ định lý Talet vào AHC ta đợc: CH AC (2) H = C1H1 AC1 B1 Thay (2) vào (1) ta đợc: H S (ABC) AB.AC = B S (AB C ) AB1 AC1 (§pcm) A C1 A C 1 NhËn xÐt 2: ∆ ABC, MN // BC, M ∈ AB, N ∈ AC th×: S (ABC) AB =( ) M S (AMN) AM Chøng minh: ¸p dơng nhËn xÐt ta đợc S (ABC) AB.AC B (3) = S (AMN) AM.AN AB AC Do MN//BC, áp dụng định lý Talet ta cã = AM AN N C (4) à Nhận xét 3: Nếu hai tam giác ABC MNP có M = A : ợc: S (ABC) S (MNP) = AB.AC MN.MP VÝ dô 1: ∆ ABC, M ∈ BC, Qua M kỴ MD // AC, ME // AB, D ∈ AB, E ∈ AC , biÕt S(BMD) = a2, S(MEC) = b2 TÝnh S(ABC) * Hớng dẫn tìm lời giải: Theo giả thiết toán MD // AC, ME // AB, áp dụng nhận xét ta đA S (BDM) BM áp dụng nhận xét ta đợc: = S ( ABC) BC D E Mà S(BMD) = a2 Để tính S(ABC) ta chØ cÇn tÝnh tØ sè: BM C BC B M H·y sư dơng gi¶ thiÕt S(MEC) = bS(BMD) a =( ) * Lời giải tóm tắt: S(ABC) a+b - 26 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Theo giả thiết MD // AC, áp dụng nhận xét ta đợc: S (BDM) BM (1) =( ) S ( ABC) BC L¹i cã MD // AC nên DMB = C, áp dụng nhận xét ta đợc: S (BMD) MB.MD AE.BM MB BM a BM a = =( ) => ( ) = ( ) => = S (MEC) CE.CM CE.MC MC MC b MC b BM a Suy ra: (2) = BC a + b Thay (2) vµo (1) ta đợc : S (BDM) = ( a ) S ( ABC) a + b = Mµ S(BMD) = a2 nªn suy S(ABC) = (a +b)2 Khai thác toán: + Tính diện tích hình bình hành ADME theo a b Xác định vị trÝ cđa M cho diƯn tÝch cđa ADME lµ lín nhÊt (Gỵi ý: SADME=2.ab ≤ (a + b)2 ) Khi điểm M nằm đoạn BC diện tích ABC đợc tính nh nào? Ví dụ : ∆ ABC, M thc tia ®èi cđa tia BC, kỴ MD // AC, ME // AD, D ∈ AB, E ∈ AC BiÕt S(BMD) = a2, S(MEC) = b2 Tính S(ABC) * Lời giải: Qua B kẻ BF // AC, F ∈ ME, ∆ BFM = ∆ MDB => S(BFM)= S(MBD) nên S(BFM) = a2 Đặt S(ABC) = x2 (với x>0) Vì B nằm M C, áp dụng ví dụ ta đợc S(MEC) = (a + x) E mµ S(MEC) = b2 (theo gi¶ thiÕt) suy ra: b2 = (a+x)2 => b= a+x => x=b-a A => x2 = (b – a)2 VËy S(ABC) = (b – a)2 F Nh vËy M đờng thẳng BC mà M không thuộc cạnh BC th× : M C S(ABC) = (b – a)2 B D VÝ dơ 3: ∆ ABC, M thc miỊn tam giác Qua M kẻ PQ//BC; EF//AC; DK//AB, với P, E ∈ AB; D, Q ∈ AC; K, F ∈ BC BiÕt S(MPE) = a2; A S(MDQ) = b2; S(MKF) = c2, víi a,b,c >0 TÝnh S(ABC) * Híng dÉn tìm lời giải: D E b2 a2 P Q M c2 B - 27 - K F C Mét sè dạng tập ứng dụng định lí Talet Giả thiết toán giả thiết ví dụ cã nhiỊu ®iĨm gièng LiƯu ta cã thĨ sư dụng kết ví dụ vào giải toán đợc không? Trên hình vẽ ta có tính đợc diện tích tam giác: APQ; BEF; CDK không? Lời giải: áp dụng kết ví dụ ta đợc : S(APQ) = (a+b)2; S(BEF) = (a+c)2; S(CDK) = (b+c)2 Mµ S(ABC) = S(APQ) + S(BEF) + S(CDK) – S(MEP)– S(MDQ) – S(MKF) Nªn suy ra: S(ABC) = (a+b)2 + (a+c)2+ (b+c)2- a2 – b2 – c2 = (a+b+c)2 Vậy S(ABC) = (a+b+c)2 (*) Khai thác toán: Xác định vị trí M cho: S(AEMD) + S(BPMK) + S(MFCQ) đạt giá trị lớn Vẫn với giả thiÕt nh ë vÝ dơ nhng ®iĨm M thuộc miền tam giác đẳng thức (*) thay đổi nh nào? Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD cạnh BC CD lần lợt CN BM lấy điểm M, N cho: =2 ND MC Gäi P vµ Q theo thø tù giao điểm AM AN với BD Chứng minh B M C r»ng: S (APQ) = S ( AMN ) * Hớng dẫn tìm lời giải: P ¸p dơng nhËn xÐt ta cã: Q N S(APQ) S(AMN) = AP.AQ AP AQ = AM.AN AM AN A D Ta ph¶i chøng minh tÝch hai tØ số CN BM Giả thiết toán đờng thẳng song song cho =2 ND MC phép ta vận dụng định lý Talet: * Lời giải: CN BM Đặt = 2k =k (k>0) ND MC ¸p dơng nhËn xÐt ta cã: S (APQ) = AP.AQ (*) S (AMN) AM.AN AP AD AP AD BC Theo định lí Talet ta có: = => = = PM BM AM AD + BM BC + BM Mặt khác: BM = k => BC = k + MC BM k AP k + = - 28 AM 2k + (1) Mét số dạng tập ứng dụng định lí Talet Suy ra: (2) Từ (1) (2) suy ra: Tơng tự: BC k + (3) = BC + BM 2k + AQ AB AQ AB DC 2k + = => = = = QN DN AN AB + DN DC + DN 2k + Thay (3), (4) vµo (**) suy S (APQ) S ( AMN ) = (4) k + 2k + 1 = 2k + 2k + 2 (§pcm) VÝ dụ 5: Cho ABC, cạnh BC lấy hai ®iĨm M vµ N · · Chøng minh r»ng: MAB = NAC  MB NB = ( AB )2 MC NC AC * Hớng dẫn tìm lời giải: A Đây toán yêu cầu chứng minh hai chiÒu: · · ( =>) MAB = NAC => MB NB AB = ( )2 MC NC AC B MB.NB AB = ( )2 ( MAB = NAC + Để chứng minh (=>) hÃy vận dụng nhận xét 1, 2, 3, ý đến giả à à thiÕt MAB = NAC · · + §Ĩ chøng minh ( = DC AC DC AC N ' B NB · · = => N ≡ N ' => MAB = NAC N ' C NC Vậy ví dụ mở rộng tính chất quen thuộc đờng phân giác Kết luận 4: Vận dụng định lý Talet vào giải toán diện tích dạng toán hay khó Muốn làm tốt dạng toán cần ý đến tính chất diện tích đa giác, công thức tính diện tích đa giác, định lí Talet đặc biệt ý đến nhận xét 1, 2, Việc vận dụng hợp lí, linh hoạt định lí Talet nhận xét 1, 2, cho phép ta giải đợc nhiều toán diện tích đa giác tơng đối phức tạp III Một số tập áp dụng Bài 1: Hình thang ABCD (AB//CD), có AB = 28 cm, CD = 70cm, AD = 35cm, đờng thẳng song song với hai đáy cắt cạnh AD, BC theo thứ tự E F, biÕt DE = 10 cm TÝnh EF ? Bµi 2: Cho ∆ ABC, ®iĨm D chia BC theo tØ sè 1/2, ®iĨm O chia AK AD theo tØ số 3/2 Gọi K giao điểm BO AC Tính : KC Bài 3: Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD, cắt BD, BC, DC theo thø tù t¹i E, K, G Chøng minh r»ng: a) AE2 = EK.EG b) 1 AE = AK + AG Bµi 4: Cho ∆ ABC đều, trọng tâm G, M điểm nằm bên tam giác, đờng thẳng MG cắt đờng thẳng BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’ , A' M B' M C ' M C’ Chøng minh: + + =3 A' G B' G C' G Bài 5: a) Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC, điểm N cạnh CD cho: CN ND =2 Gäi giao ®iĨm cđa AM, AN víi BD lµ P, Q Chøng minh: S ( APQ ) = S ( AMN ) b) Chøng minh r»ng kÕt ln cđa c©u a) vÉn ®óng nÕu thay ®iỊu kiƯn : “M lµ trung ®iĨm BC, N cạnh CD cho: CN = điều kiện tổng CN BM ND quát M cạnh BC, N cạnh CD cho ND = MC ” Bµi 6: Cho ∆ ABC, I giao điểm đờng phân giác , G trọng tâm ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm, a) Chøng minh: IG // BC - 30 - Mét sè dạng tập ứng dụng định lí Talet b) Tính IG = ? Bài 7: Cho ABC, cạnh BC, CA AB lần lợt lấy điểm M, N vµ P BM CN AP cho: = = = k ( k > 0) MC CA AB a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu (k) b) Tìm k để diện tích tam giác (k) nhỏ IV- Kết Sau dạy xong chuyên đề cho học sinh khá, giỏi khối 8, tiến hành khảo sát qua kiểm tra thu đợc kết cụ thể nh sau: Năm học Điểm giỏi điểm điểm TB điểm Yếu 2004 - 2005 20% 30% 25% 25% 2005 – 2006 35% 28% 22% 15% 2006 - 2007 42% 36% 20% 8% NhËn xét: Năm học 2004 2005 áp dụng thử nghiệm đề tài tỉ lệ học sinh khá, giỏi tăng, số học sinh yếu giảm so với năm học trớc - Từ năm học 2005 2006, đà kết hợp áp dụng đề tài từ tiết học lớp với buổi học chuyên đề Kết thu đợc tơng đối tốt, số học sinh khá, giỏi tăng lên rõ rệt, số học sinh yếu giảm Đa số em học sinh chủ động linh hoạt sáng tạo gặp dạng toán áp dụng định lí Talet nói riêng tình toán học nói chung V - Những vấn đề bỏ ngỏ điều kiện thực đề tài Những vấn đề bỏ ngỏ Bàn dạng toán vận dụng định lý Talet nhiều điều đáng nói Trong phạm vi đề tài đề cập đến bốn dạng toán vận dụng định lý Talet mà học sinh thờng gặ trình giải toán, ta nghiên cứu thêm dạng toán nh: Dựng hình, toán tìm tập hợp điểm, toán cực trị hình học, Ngoài ra, ta nghiên cứu sâu bốn dạng toán vận dụng định lý Talet đà trình bày trên, ta dạy cho học sinh khối 9, tuỳ theo mức độ nhËn thøc cđa häc sinh §iỊu kiƯn thùc hiƯn đề tài - 31 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Tuỳ theo đối tợng học sinh ta cã thĨ lùa chän hƯ thèng bµi tËp cho phù hợp học sinh trung bình ta dạy cho em Ví dụ 1, Ví dụ dạng toán, đối tợng học sinh khá, giỏi, em đà có kỹ giải toán khá, ta hoàn thành toàn chuyên đề cho em Để thực tốt nội dung đề tài này, trớc giáo viên cần dạy cho học sinh số chuyên đề có liên quan + Diện tích đa giác + Tỉ lệ thức - 32 - Một số dạng tập ứng dụng ®Þnh lÝ Talet C – kÕt luËn - kiÕn nghÞ I Kết luận Trong thời gian giảng dạy trờng THCS, qua học hỏi kinh nghiệm thày cô giáo bạn đồng nghiệp, đà viết đề tài với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình dạy toán Trong phạm vi đề tài đà cố gắng hệ thống lại bốn dạng tập vận dụng định lý Talet mà học sinh thờng gặp tình giải toán Đề tài đà đợc thử nghiệm với học sinh khối cho kết tốt Học sinh nắm dạng tập phơng pháp phân tích đề tìm lời giải cho toán Qua giúp em chủ động sáng tạo trình giải tình toán học Tuy đà có cố gắng tìm tòi, nghiên cứu nhng trình độ, kinh nghiệm hạn chế thời gian có hạn chắn đề tài có nhiều thiếu sót, hạn chế Tôi mong đợc góp ý, phê bình bạn đồng nghiệp để nội dung đề tài đợc phong phú đầy đủ II Kiến nghị Đối với thy: Khi thực đề tài này, đề tài quan trọng chơng trình toán nhng khó khăn với học sinh Tôi nhận thấy điều thành công là: Đà tạo cho học sinh thói quen phân tích tìm lời giải cho dạng toán vận dụng định lý Talet nói riêng tình toán học nói chung Đặc biệt đà tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện phát huy sức sáng tạo Qua thực chuyên đề này, rút cho số học phơng pháp giảng dạy nh ý thức nghề nghiệp Một là: Muốn dạy học sinh giải toán sáng tạo, ngời giáo viên dạy toán phải thờng xuyên tự giải toán có kế hoạch giải toán cho ngày đặn Hai là: Giáo viên phải có lòng tin, tin vào mình, tin vào học trò Đặc biệt phải tôn trọng phát kiến học trò Tạo điều kiện cho em phát huy sức sáng tạo tránh tình trạng áp đặt lối suy nghĩ cho học trò Đối với học sinh Chuyên đề: Các dạng toán vận dụng định lý Talet chuyên đề rộng, dạng tập phong phú đa dạng Vận dụng định lý Talet bớc đột phá qúa trình giải tập nhng để giải đợc tập hình học ta phải sử dụng nhiều kiến thức, kỹ toán học khác Do vậy, học sinh phải không - 33 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet ngừng ôn tập, tích luỹ cho kiến thức, đặc biệt kiến thức phơng pháp Một là: Học lớp cách tích cực, chủ động, cố gắng nắm đợc hệ thống toàn bài, cách đặt vấn đề thày giáo Cần phối hợp nghe, suy nghĩ, ghi chép Nên mạnh dạn phát biểu ý kiến, cách tốt thể hoạt động t thân Hai là: Luôn tìm tòi sáng tạo giải toán, qúa trình giải toán trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa học, trình tự nghiên cứu sáng tạo Không nên coi thờng tập đơn giản, nắm đợc điểm nút qúa trình giải toán đờng đặc biệt hoá, tổng quát hoá, tơng tự hoá giúp ta hái lợm đợc nhiều điều thú vị, từ toán đơn giản Ba là: Vẽ thêm yếu tố phụ trình giải tập hình học khâu quan trọng Để vận dụng định lý Talet vào giải toán ta có phơng pháp vẽ thêm đờng thẳng song song, Tôi xin chân thành cảm ơn! - 34 - ... vận dụng định lí Talet chuyển tỉ số có mặt hệ thức cần chứng minh tỉ số theo hớng thu gọn đợc vế hệ thức từ chứng minh đợc hệ thức - 20 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Dạng 3: Chứng... giác Hệ thức đinh lí Talet có dạng tỉ lệ thức tỉ số hai đoạn thẳng Việc vận dụng định lí Talet cách hợp lí linh hoạt giúp ta chuyển đợc tỉ - 25 - Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet số diện tích... Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet Dạng 2: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng Dạng tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng dạng tập hay khó Nếu nh lớp 7, hệ thức đoạn thẳng đơn giản: Chứng minh đoạn