SKKN định lí miquel và một số bài tập áp dung

ĐÀNH LÍ MIQUEL VÀ MËT SÈ TÍNH CH‡T LIÊN QUAN.. Khi â c¡c ÷íng trÆn cijk çng quy... T÷ìng tü, ta công chøng minh ÷æc AP k CR... Chøng minh r‹ng NXCBAQ; CQRM P X câ chung i”mMiquel... Cho

S— GD& T NINH B NH TR×˝NG THPT CHUY N L×ÌNG V N TÖY

MÖC LÖC

MˆU M2

C¸NG H`A X H¸I CHÕ NGH A VI T NAM

¸CL P-TÜDO-H NHPHÓC

ÌNY UC UC˘NGNH NS NGKI N

K‰nh gßi: Sð gi¡o döc v o t⁄o Ninh B…nh

Chóng tæi gçm:

TT Hå v t¶n Ng y th¡ng n«m Chøc vö Tr…nh º chuy¶n T¿ l» (%) âng

ra s¡ng ki‚n

1 Tên sáng ki¸n, lĩnh vüc áp döng

L nhâm t¡c gi£ • nghà x†t cæng nh“n s¡ng ki‚n:

ÀNH L MIQUEL V M¸T S¨ B I T P P DÖNGL¾nh vüc ¡p döng: Gi£ng d⁄y h…nh håc THCS, THPT Chuy¶n

2 Nëi dung sáng ki¸n

H…nh håc sì c§p l mºt ph¥n mæn r§t quan trång trong ch÷ìng tr…nh trung håc phŒ thæng.V· µp cıa nâ 'n chøa trong nhœng i”m, ÷íng thflng, ÷íng trÆn, gâc m muŁn c£m nh“n tacƒn ph£i câ c¡i nh…n tinh t‚, mºt tr‰ t÷ðng t÷æng phong phó H…nh håc gióp con ng÷íi ta

câ c¡i nh…n tŒng qu¡t, s¥u rºng hìn, suy lu“n ch°t ch‡ v t÷ duy s¡ng t⁄o

Trong c¡c k… thi chån håc sinh giäi c¡c c§p THCS, THPT c§p t¿nh, c§p QuŁc gia,c§p khuvüc, c§p quŁc t‚, c¡c b i to¡n v• H…nh håc th÷íng âng vai trÆ quan trång Chóng ta câ th” l mquen nhi•u d⁄ng b i to¡n H…nh håc, bi‚t nhi•u ph÷ìng ph¡p gi£i, nh÷ng công câ b i ch¿ câ mºtc¡ch gi£i duy nh§t MØi khi g°p mºt b i to¡n mîi chóng ta l⁄i ph£i suy ngh¾ t…m c¡ch gi£i mîi

Sü phong phó a d⁄ng cıa c¡c b i to¡n H…nh håc luæn l sü h§p d¤n Łi vîi mØi gi¡o vi¶n, håcsinh giäi y¶u to¡n

1 Gi£i ph¡p cô th÷íng l m: C¡c b i to¡n v• ành l‰ n y th÷íng khæng câ ho°c câ th… ríi r⁄c, khæng h» thŁng

Khi so⁄n gi£ng, gi¡o vi¶n b›t buºc ph£i tham kh£o r§t nhi•u t i li»u tł nhi•u ph÷ìng ti»n, nh§t l Łi vîi nhœng Łi t÷æng håc sinh luy»n thi ⁄i håc v thi håc sinh giäi c¡c c§p, do â m§t r§t nhi•u thíi gian v cæng søc, tŁn k†m nhi•u ti•n b⁄c.

Do b i t“p thi‚u t‰nh h» thŁng cÆn håc sinh ch÷a ı k¾ n«ng v kinh nghi»m ” h» thŁng v ph¥n lo⁄i ki‚n thøc n¶n c¡c em khâ câ th” hi”u ÷æc mºt c¡ch bao qu¡t, ƒy ı c¡c d⁄ng b i t“p v• ành l‰ Miquel

” kh›c phöc nhœng h⁄n ch‚ tr¶n, vi»c bi¶n so⁄n mºt h» thŁng b i t“p v• ành l‰ Miquel mºt c¡ch khoa håc, bao chòm ÷æc t§t c£ c¡c ki‚n thøc

2 Gi£i ph¡p mîi c£i ti‚n:

-Mæ t£ b£n ch§t gi£i ph¡p mîi:

Nhâm t¡c gi£ x¥y düng l r§t logic, a d⁄ng, phong phó, th” hi»n ki‚n thøc bao chòm tł

cì b£n ‚n phøc t⁄p, tł d„ ‚n khâ, phò hæp vîi tr…nh º nh“n thøc cıa måi Łi t÷æng håcsinh, câ th” d nh cho nhi•u Łi t÷æng håc sinh tł ng÷íi mîi håc ‚n nhœng håc sinh

dü thi håc sinh giäi QuŁc gia

H» thŁng b i t“p lüa chån ÷a v o trong • t i l b i t“p t‰nh to¡n, ÷æc ph¥n lo⁄i theo møc º nh“n thøc: B i t“p cì b£n cho måi Łi t÷æng; b i t“p n¥ng cao d nh cho håc sinh kh¡, giäi; b i t“p hay v khâ d nh cho håc sinh giäi æn luy»n thi håc sinh giäi QuŁc gia

Trong mØi d⁄ng b i theo møc º nh“n thøc, b i t“p ÷æc s›p x‚p theo tłng chı • vîi còng møc º ki‚n thøc

-T‰nh mîi, t‰nh s¡ng t⁄o cıa gi£i ph¡p:

T‰nh s¡ng t⁄o tr÷îc h‚t ÷æc th” hi»n trong t‰nh mîi cıa gi£i ph¡p ¢ n¶u ð tr¶n, çng thíi

nâ cÆn ÷æc th” hi»n s¥u hìn trong h÷îng d¤n ph÷ìng ph¡p gi£i mØi b i t“p cö th” i•u n

y trong s¡ch b i t“p gi¡o khoa v t i li»u tham kh£o ch÷a l m ÷æc C¡c b i t“p ÷æc nhâmt¡c gi£ tr…nh b y b‹ng tü lu“n tł d„ tîi khâ ” t«ng kh£ n«ng tr…nh b y cho håc sinh nh§t lHSG QuŁc gia

1 Hi»u qu£ kinh t‚:Qua þ ki‚n nh“n x†t cıa håc sinh, cıa çng nghi»p ¢ sß döng s¡ng ki‚n n y l m

t i li»u tham kh£o håc t“p v nghi¶n cøu, hi»u qu£ kinh t‚ m s¡ng ki‚n mang l⁄i l r§t lîn cö th” l :

- Ti‚t ki»m ÷æc nhi•u thíi gian v cæng søc t…m tÆi t i li»u cıa gi¡o vi¶n v håc sinh trong gi£ng d⁄y v håc t“p mæn To¡n - Ti‚t ki»m ÷æc nhi•u chi ph‰ mua t i li»u, s÷u tƒm t i li»u - Ti‚t ki»m ÷æc ti•n míi thƒy t“p hu§n cho ºi tuy”n håc sinh giäi QuŁc gia

2 Hi»u qu£ x¢ hºi: S¡ng ki‚n n y ¢ ÷æc t¡c gi£ tri”n khai thüc nghi»m cho håc sinh chuy¶nTo¡n, håc sinh æn thi ⁄i håc nhœng n«m gƒn ¥y cıa tr÷íng THPT chuy¶n L÷ìng V«n Töy.Hi»u qu£ m s¡ng ki‚n n y còng vîi c¡c chuy¶n • ki‚n thøc kh¡c nœa mang l⁄i v• m°t gi¡o döc, x¢hºi tr÷îc h‚t l k‚t qu£ thi ⁄i håc, thi håc sinh giäi c¡c c§p cıa håc sinh Tr÷îc khi thüc hi»n s¡ngki‚n, c¡c k‚t qu£ thi công t÷ìng Łi cao, nh÷ng tł khi thüc hi»n s¡ng ki‚n c¡c k‚t qu£ thi l v÷æt trºihìn r§t nhi•u

- i•u ki»n ¡p döng: Håc sinh cƒn say m¶ vîi mæn h…nh håc, câ t i li»u H…nh håc c¡c c§p v nh§t

l t i li»u chuy¶n to¡n lîp 10, 11 - Kh£ n«ng ¡p döng:

S¡ng ki‚n l mºt t i li»u tham kh£o r§t hœu ‰ch cho måi Łi t÷æng håc sinh v gi¡o vi¶n håc t“p, nghi¶n cøu v gi£ng d⁄y mæn To¡n.

Hi»n nay, s¡ng ki‚n ang l mºt t÷ li»u tham kh£o r§t cƒn thi‚t v khæng th” thi‚u cıa håc sinh v gi¡o vi¶n Chuy¶n To¡n tr÷íng THPT chuy¶n L÷ìng V«n Töy

S¡ng ki‚n ti‚p töc mð rºng v ph¡t tri”n ti‚p trong nhœng n«m håc sau

Danh s¡ch nhœng ng÷íi ¢ tham gia ¡p döng thß ho°c ¡p döng s¡ng ki‚n lƒn ƒu

chuy¶n træmæn

1 Nguy„n B‰ch Ngåc 1976 THPT Chuy¶n Gi¡o vi¶n ⁄i håc D⁄y nºi dung

PHÖ LÖC

A ĐÀNH LÍ MIQUEL VÀ MËT SÈ TÍNH CH‡T LIÊN QUAN.

B i to¡n Cho tam gi¡c ABC C¡c i”m D; E; F kh¡c A; B; C v theo thø tü thuºc c¡c ÷íng thflng BC; CA; AB Khi â:

a C¡c ÷íng trÆn (AEF ); (CDE); (BDF ) còng i qua mºt i”m

b C¡c ÷íng trÆn (AEF ); (CDE); (BDF ); (ABC) còng i qua mºt i”m khi v ch¿ khi E; F; D thflng h ng

a Gåi M l giao i”m thø hai cıa (BDF ); (CDE) Ta th§y:

(ME; MF) (ME; MD) + (MD; MF) (CE; CD) + (BD; BF)

(CE; BC) + (BC; BF ) (AE; AF ) (mod )V“y M thuºc ÷íng trÆn (AEF )

i•u â câ ngh¾a l c¡c ÷íng trÆn (AEF ); (CDE); (BDF ) còng i qua mºt i”m

b Theo phƒn a, ta câ: (AEF ); (CDE); (BDF ) còng i qua i”m M M°t kh¡c:

(DE; DF) (DE; CE) + (CA; AB) + (BF; DF) (MD; MC) + (CA; AB) + (BM; DM)

V“y c¡c i•u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:

1 C¡c ÷íng trÆn (AEF ); (CDE); (BDF ); (ABC) còng i qua mºt i”m

3 (MB; MC) (AB; AC) (mod )

4 (MB; MC) (AB; AC) 0 (mod )

7

Khi Khi D; E; F thflng h ng, M ÷æc gåi l i”m Miquel cıa tam gi¡c ABC v ÷íng thflng DEF.

Mºt ph¡t bi”u kh¡c nh÷ sau: Cho bŁn ÷íng thflng t1; t2; t3; t4 æi mºt c›t nhau, khæng câ ba

÷íng n o çng quy Gåi cijk lƒn l÷æt l ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c t⁄o bði c¡c ÷íng thflng ti; tj;

tk(1 i < j < k 4) Khi â c¡c ÷íng trÆn cijk çng quy

(BA; BC) (mod ) v (ME; MA) (F E; F A)(mod )

v ADE Khi â ta câ: (MA; M C)

(ME; MB) (ME; MA) + (MA; MB) (DE; DA) + (FA; FB)

(CE; DA) + (DA; CB) (CE; CB) (mod )

Do â, ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c CBE i qua i”m M Chøng minh t÷ìng tü ta công suy ra ÷æc

÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c CDF i qua i”m M

Nhªn xét 1 Trong tr÷íng hæp °c bi»t, tø gi¡c ABCD nºi ti‚p th… ba i”m M; E; F thflng h ng

v M ch‰nh l h…nh chi‚u cıa G ( giao i”m cıa BD v AC) l¶n EF °c bi»t l MG l ph¥n gi¡c cıa

BMÖD; AMCÖ v O; G; M thflng h ng.

BG

FA

D

O

Chùng minh 3 Do c¡c tø gi¡c EMAD v CMF D nºi ti‚p n¶n

(ME; MF) (ME; MD) + (MD; MF) (AE; AD) + (CD; CF)

V“y tø gi¡c OBMD nºi ti‚p Suy ra OMÖB = ODBÕ = OBDÕ = OMÖD ) OM?EF

Theo ành l‰ Brocard ta l⁄i câ: OG?EF Tł â suy ra MG l ph¥n gi¡c cıa BMÖD; AMCÖ v O;

G; M thflng h ng

2 Tính ch§t 2.

T¥m cıa c¡c ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c CBE; CDF; ADE; ABF v i”m Miquel M còngthuºc mºt ÷íng trÆn ÷íng trÆn n y ÷æc gåi l ÷íng trÆn Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn

Tr÷îc khi chøng minh t‰nh ch§t n y, tæi xin nh›c l⁄i ành l‰ £o v• ÷íng thflng Simson: N‚u h…

nh chi‚u cıa mºt i”m M tr¶n c¡c c⁄nh cıa mºt tam gi¡c thflng h ng th… i”m M n‹m tr¶n

÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p cıa tam gi¡c â

Chùng minh 4 Gåi O1; O2; O3; O4 lƒn l÷æt l t¥m cıa c¡c ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam134341gi¡c EAD; EBC; CDF; ABF D„ th§y O1O3; O4O3; O4O1 lƒn l÷æt l c¡c ÷íng trung trüc cıaMD; M F; MA Gåi H; K; L lƒn l÷æt l h…nh chi‚u cıa M l¶n c¡c ÷íng thflng O O ; O O ; O O D„th§y ba i”m H; L; K thflng h ng Do â theo ành l‰ £o v• ÷íng thflng Simson ta suy ra

M thuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c O1O4O3

Chøng minh t÷ìng tü, ta công câ M thuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c O2O3O4

Chùng minh 6 B‹ng c¡ch cºng gâc d„ th§y 4MAD 4MBC; 4MAB 4MDC; tł â suy ra i•u ph£i chøng minh.

Qua t‰nh ch§t n y, ta câ hai nh“n x†t quan trång sau, ÷æc øng döng nhi•u trong c¡c b i to¡n:Nhªn xét 2 1 N‚u ph†p và tü quay t¥m M bi‚n AD th nh BC; F l giao i”m cıa AD v

BC th… F thuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c MDC, MAB

2 N‚u ph†p và tü quay t¥m M bi‚n AD th nh BC v hai i”m G; H tr¶n AD; BC thäa m¢n

0; Y 0; Z0 lƒn l÷æt l trung i”m cıa Y Z; ZX; XY Qua X k· c¡c ÷íng

c›t BC; AD lƒn l÷æt t⁄i H v G K†o d i XG c›t Y Z t⁄i G0.thflng song song vîi AD; BC v

F(DCXE) = 1

trung i”m cıa o⁄n XG0 Nh÷ v“y G n‹m tr¶n ÷íng trung

XG k F Bb…nh øng vîi ¿nh X cıa tam gi¡c XY Z i•u â câ ngh¾a l G; H n‹m tr¶n Y 0Z0

¤

Theo t‰nh ch§t 4, M l t¥m và tü quay bi‚n AD th nh BC n¶n bi‚n GD th nh HC, ngh¾a l Mthuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c F GH

Ta thu ÷æc h…nh chi‚u cıa M tr¶n GH n‹m tr¶n ÷íng thflng Simson cıa M øng vîi tam gi¡c DF

C Theo t‰nh ch§t 3, suy ra h…nh chi‚u cıa M tr¶n Y 0Z0 n‹m tr¶n ÷íng thflng Simson cıa

M øng vîi bŁn tam gi¡c F AB; F CD; EAD; EBC

T÷ìng tü h…nh chi‚u cıa M tr¶n X0Y 0; X0Z0 công n‹m tr¶n ÷íng thflng n y Theo ành l‰Simson £o suy ra M; X0; Y 0; Z0 còng thuºc mºt ÷íng trÆn T‰nh ch§t d÷îi ¥y cho ta mºtc¡ch chøng minh c¡c i”m thflng h ng v c¡c i”m çng vi¶n.

6 Tính ch§t 6 ( Đành lí Mannheim).

Cho tam gi¡c ABC Gåi D; E; F lƒn l÷æt l c¡c i”m n‹m tr¶n BC; CA; AB khæng tròng vîi A; B;C:M l i”m Miquel cıa D; E; F øng vîi tam gi¡c ABC:P; Q; R lƒn l÷æt l c¡c i”m n‹m tr¶n ÷íngtrÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c AEF; BF D; CDE ( c¡c i”m P:Q:R khæng tròng vîi M) Khi â:

a M; P; Q; R thflng h ng khi v ch¿ khi AP; BQ; CR æi mºt song song

b M; P; Q; R çng vi¶n khi v ch¿ khi AP; BQ; CR çng quy

Do tø gi¡c AF MP; BMF Q nºi ti‚p n¶n F AP = F MQ = F BQ Suy ra AP k BQ

T÷ìng tü, ta công chøng minh ÷æc AP k CR

Do â AP; BQ; CR æi mºt song song.

(() Gi£ sß AP; BQ; CR æi mºt song song Khi â F AP = F BQ

Do tø gi¡c AF MP; BMF Q nºi ti‚p n¶n F MP + F MQ = 1800 F AP + F BQ = 1800

Suy ra M; P; Q thflng h ng T÷ìng tü, ta công chøng minh ÷æc M; P; R thflng h ng.

Do â bŁn i”m M; P; Q; R thflng h ng. Õ Õ

Õ Õ

Ö Ö

b ()) Gi£ sß M; P; Q; R çng vi¶n

A

R

QE

P

Gåi N l giao i”m cıa AP; BQ Do tø gi¡c AF MP; BMF Q nºi ti‚p n¶n APÕM = BFÖM = MQNÖ.

Suy ra tø gi¡c MP N Q nºi ti‚p

L⁄i câ, tø gi¡c MP QR nºi ti‚p, n¶n AP; BQ c›t nhau t⁄i N n‹m tr¶n ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tø gi¡c

p döng nh“n x†t n y cho c¡c c°p tam gi¡c F QN v DEG; F MN v BEG; F MP v

AEG ta suy ra c¡c ÷íng thflng MN; M P; N Q còng song song vîi EG Do â M; N; P;

Q thflng h ng v ÷íng thflng i qua chóng song song vîi EG

8 Tính ch§t 8.

Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p ÷íng trÆn (O): H l mºt i”m b§t k… trong tam gi¡c Mºt ÷íng thflngb§t k… qua H c›t AC; BA lƒn l÷æt t⁄i M; N Tr¶n BC l§y c¡c i”m P; Q sao cho MP k BH; NQ kCH: N Q c›t MP t⁄i R:N Q c›t AC t⁄i X Chøng minh r‹ng NXCBAQ; CQRM P X câ chung i”mMiquel

Chùng minh 10 Gåi T l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn NXCBAQ: ÷íng thflng)

BH; CH c›t ÷íng trÆn (O) theo thø tü t⁄i E; F: Do T l i”m Miquel cıa NXCBAQ n¶nA; T; X; N çng vi¶n n¶n (T A; T N) (XA; XN) (CA; CF ) (T A; T F ) (mod ) F;N;Tthflng h ng

E

TN

F

Q

PB

A

ta câ ba i”m: N = AB \ T F; H = EB \

T B C

F C; M0 = ET \ AC thflng h ng V“y M0 tròng vîi M Suy ra E; T; M thflng h ng

Ta câ: (T X; T M) (T X; T E) (T X; T N)+(T N; T E) (AX; AN)+(BF; BE) (F C; F B)+BF; BE F C; BE RX; RM (mod ) Suy ra X; T; R; M çng vi¶n, suy ra T l i”mMiquel cıa tø gi¡c to n phƒn CQRMP X

9 Tính ch§t 9.

Cho tø gi¡c to n phƒn ABCDEF: M l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn C¡c ti‚p tuy‚n t⁄i M cıa c¡c

÷íng trÆn (F AB); (EBC); (DCF ); (EAD) theo thø tü c›t c¡c ÷íng thflng AB; BC; CD; DA t⁄i X;Y; Z; W

a Hai ÷íng trÆn (F W Y ); (EXZ) ti‚p xóc vîi nhau t⁄i M

b Trong tr÷íng hæp tø gi¡c ABCD khæng nºi ti‚p, th… X; Y; Z; W çng vi¶n

c Trong tr÷íng hæp tø gi¡c ABCD nºi ti‚p, th… X; Y; Z; W thflng h ng

Chùng minh 11

M X

A

Z D

R

W

a BŒ • 1 Cho tam gi¡c ABC nºi ti‚p ÷íng trÆn Ti‚p tuy‚n t⁄i A cıa ÷íng trÆn ngo⁄i

ti‚p tam gi¡c ABC c›t BC t⁄i X: Khi â:

Theo t‰nh ch§t 4, ta câ: MAB MDC , MDMA = MBMC = DCAB

Suy ra bŁn i”m E; X; Z; M çng vi¶n.

T÷ìng tü ta công chøng minh ÷æc bŁn i”m F; Y; W; M çng vi¶n

Gåi t1; t2 theo thø tü l ti‚p tuy‚n cıa hai ÷íng trÆn EXZ; F Y W t⁄i M: Ta s‡ chøng minh t1

t2

(t1; t2) (t1; EM) + (EM; F M) + (F M; t2)

(XM; XE) + (EM; FM) (Y M; Y F)(XM; BM) + (BM; AB) + (EM; FM) [(Y M; MB) + (MB; BC)] (FM;

FB) + (BM; AB) + (EM; FM) [(EM; EB) + (MB; BC)]

(FM; FB) + (BM; AB) + (EM; FM) + (EB; EM) + (BC; MB)

0 (mod )

Suy ra t1 t2.

V“y hai ÷íng trÆn (F W Y ); (EXZ) ti‚p xóc vîi nhau t⁄i M:

b Tr÷îc h‚t, ta chøng minh XZ; W Y c›t nhau t⁄i mºt i”m thuºc ti‚p tuy‚n chung t⁄i M cıa hai

T÷ìng tü ta chøng minh ÷æc MAB MW Y ) (Y W; Y M) (BA; BM) (mod ):

0 (mod ): Suy ra R; Y; W thflng h ng

Ta câ: RX:RZ = RM2 = RW:RY; suy ra bŁn i”m X; Z; W; Y çng vi¶n

c.

YBM

W

AX

D

C

Do dai ÷íng trÆn (F W Y ); (EXZ) ti‚p xóc vîi nhau t⁄i M n¶n 0 (ME; MF ) (ME; MR)+ (MR; M

F ) (XM; XE) + (Y M; Y F ) (mod )(XM; XB) (Y M; Y B) (mod )

Suy ra bŁn i”m M; X; Y; B çng vi¶n

Chøng minh t÷ìng tü bŁn i”m M; X; W; A çng vi¶n

Ta câ: (XM; XY ) (BM; BY ) (BM; BC) (AM; AD) (AM; AW ) (XM; XW ) (mod )

Suy ra: W; X; Y thflng h ng T÷ìng tü ta chøng minh ÷æc X; Y; Z thflng h ng

V“y X; Y; Z; W thflng h ng ( i•u ph£i chøng minh)

B MËT SÈ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÎI ĐIšM MIQUEL.

tr¶n c⁄nh BC Düng E; F lƒn l÷æt tr¶n AC v AB sao cho BF = CD; CE = BD: P lgiao i”m thøhai cıa hai ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c BDF; CDE: Chøng minh r‹ng tçn t⁄i i”m Q cŁ ànhsao cho º d i P Q l h‹ng sŁ

L Líi gi£i

Gåi I l t¥m ÷íng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c ABC: G l i”m tr¶n BC sao cho CG = BD:

Nh“n th§y: G; E Łi xøng vîi nhau qua IC suy ra IE = IG = IF: Tam gi¡c AEF câ I l giao ph¥ngi¡c gâc EAF v trung trüc o⁄n EF V“y I n‹m tr¶n ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c AEF:

Õ

Gåi Y l giao i”m thø hai cıa ÷íng thflng BI vîi ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c BDF; Z l giao i”m thø hai cıa ÷íng thflng CI vîi ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c CDE: Ta câ

Y F = Y D;FB = DC;YÕFB = YÕDC:

A

F

EY

p döng t‰nh ch§t 6 ta câ I; Y; Z; P çng vi¶n V“y P n‹m tr¶n ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c

IY Z cŁ ành Gåi Q l t¥m cıa ÷íng trÆn n y, ta câ P Q cŁ ành, khæng phö thuæc v o và tr‰

cıa D:

tr¶n c⁄nh BC sao cho BP = CQ v P n‹m giœa B; Q: ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c AP Q c›t c¡co⁄n AB; AC lƒn l÷æt t⁄i E; F:EP; F Q c›t nhau t⁄i T Hai ÷íng thflng i qua trung i”m cıa BC vsong song vîi AB; AC lƒn l÷æt c›t EP; F Q t⁄i X; Y: Chøng minh r‹ng ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tamgi¡c T XY ti‚p xóc vîi ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c AP Q:

L Líi gi£i

Gåi M l trung i”m cıa o⁄n BC; S l giao i”m thø hai cıa ÷íng thflng AM vîi ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚ptam gi¡c AP Q:

Do MX k AB n¶n

MXPÖ = MXEÖ = BEPÕ = PÕSA = PÕSM:

Suy ra tø gi¡c MSXP nºi ti‚p Do â S thuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c P MX:

T÷ìng tü do MY k AC n¶n

MYÖQ = MYÖF = QFÕC = ASQÕ = MSQ:Õ

Suy ra tø gi¡c MSY Q nºi ti‚p Do â S thuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c QMY

Tł ¥y suy ra S thuºc c£ hai ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p c¡c tam gi¡c P MX; QM Y , n¶n theo ành l‰ Miquel th… S thuºc ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c T XY

E; F:EP c›t F Q t⁄i T Hai ÷íng thflng qua M song song vîi AB; AC theo thø tü c›t EP; F Q t⁄iX; Y Chøng minh r‹ng (T XY ) ti‚p xóc vîi (AP Q)

BÀI 3 ( Iran TST vÆng 1, ng y 1, n«m 2017) Cho tam gi¡c ABC; Ia a a a a l a t¥m ÷íng trÆna

b ng ti‚p gâc A Gåi $ l ÷íng trÆn b§t k… qua A; Ia c›t c¡c ÷íng thflng AB; AC theo thø tü

t⁄i X; Y Gåi S; T l c¡c i”m tr¶n I B; I C sao cho AXI = BTI ;AYI = CSI C¡c ÷íng

B T Y; T L Łi xøng vîi nhau qua I C:

SX; SL I

Bi‚n Œi gâc ta câ XST = ST Y ) XS k T Y:

ZT LTÕ Õ

gi¡c nºi ti‚p, n¶n L l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n

SKTI ;BLTI ; CLSI

BÀI 4 ( Tr÷íng h– B›c Trung Bº 2015) Cho tø gi¡cABCDnºi ti‚p ÷íng trÆn (O)vABCD khæng ph£i l h…nh thang Gåi E l giao i”m cıa AC v BD; P l mºt i”m thuºc ÷íng thflng OE:

÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c P AD v P BC c›t nhau t⁄i i”m thø hai Q:

a Chøng minh r‹ng Q thuºc mºt ÷íng trÆn cŁ ành khi P di chuy”n

b ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c P AB; P CD c›t nhau t⁄i i”m thø hai R Chøng minh r‹ng

÷íng thflng QR luæn i qua mºt i”m cŁ ành khi P di chuy”n

L Líi gi£i

a Gåi M l giao i”m cıa AD v BC; N l giao i”m cıa AB v CD Gåi F l giao i”m cıa OE v MN Theo nh“n x†t tr¶n ta câ OF ?MN v F l i”m Miquel cıa tø gi¡c to n phƒn ABCDM N Tł â ta câ

tø gi¡c F DAN nºi ti‚p Theo t‰nh ch§t ph÷ìng t‰ch ta câ P; Q; M thflng h ng

Ta câ MF:MN = MA:M D = MQ:M P; suy ra tø gi¡c P QF N nºi ti‚p Do â: NQPÕ = NFÕP =

Q

RB

BÀI 5 ( Trƒn Quang Hòng).Cho tø gi¡cABCD nºi ti‚p vîiMl i”m Miquel cıa tø gi¡c.

AC c›t BD t⁄i E:X; Y; Z; T lƒn l÷æt l h…nh chi‚u cıa E l¶n AB; BC; CD; DA Gåi N l i”mMiquel cıa tø gi¡c XY ZT Chøng minh r‹ng N l trung i”m cıa EM

P

Gåi P; Q; R; S theo thø tü l i”m Łi xøng cıa E qua AB; BC; CD; DA Ta chøng minh tø gi¡cABCD v P QRS câ còng i”m Miquel M

Gåi U = AB \ DC; V = BC \ DA V… ABCD nºi ti‚p ÷íng trÆn n¶n i”m Miquel M l h…nh

) MU l ph¥n gi¡c cıa KMY :Gåi K l giao i”m cıa EY vîi AD Ta câ:

EM?MUSuy ra KMU = Y MV = Y EV = KQV : Khi â tø gi¡c MKQV nºi ti‚p

MAB:Suy ra

T÷ìng tü ta công chøng minh ÷æc MSEMAB Suy ra MSEMEQ

T÷ìng tü, MP EMER: ME l ph¥n gi¡c cıa c£ hai gâc P MR; QMS, v… v“y P MQ =