skkn phân loại một số bài tập ứng dụng tích phân chương III – giải tích lớp 12 nâng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: Phân loại số tập ứng dụng tích phân chương III – Giải tích lớp 12 nâng cao Người thực hiện: Ngơ Tiến Hoàng Đơn vị : Trường THPT Cẩm Thuỷ Chức vụ : Tổ trưởng chun mơn Tổ chun mơn: Tốn - Tin Thanh Hoá, ngày 10 tháng năm 2011 Phần mở đầu I Lý chon đề tài II Đối tượng phạm vi nghiên cứu III Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Cấu trúc đề tài Phần nội dung I Tính diện tích hình phẳng II Tính thể tích vật thể tròn xoay Phần kết luận I Một số kết hạn chế đề tài II Một số ý kiến đề xuất III Triển vọng đề tài PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Bài tốn tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay chương trình Giải Tích 12 dạng toán bản, thực tế quen thuộc Tuy nhiên em học sinh thường chưa có phân tích tư thực tế dẫn tới mắc sai lầm đưa lời giải sai, chưa xác Việc hệ thống hố phương pháp giải, số sai lầm giải tốn cho phép nhìn nhận tốn theo hệ thống quán từ giúp em học sinh thấy thuật tốn chung tránh sai lầm giải tốn có liên quan Khắc phục khó khăn sửa chữa sai lầm cần thiết, giúp cho q trình giải tốn dễ dàng, thuận lợi đạt hiệu cao Đồng thời phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn tốn mơn học khác Xuất phát từ thực tế trên, mạnh dạn đề xuất ý kiến nhỏ “Phân loại tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” II Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với sáng kiến “Phân loại tập ứng dụng tích phân – Chương IIIGiải tích 12 nâng cao” chủ yếu vào khai thác số tốn ứng dụng tính phân để diện tích thể tích chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao toán đề thi đại học năm gần nhằm tìm hướng giải cho tốn cách xác, lơgíc khoa học III Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm xây dựng số sai lầm số ý giúp cho học sinh đồng nghiệp giáo viên có nhìn tồn diện ứng dụng tích phân hình học tránh nhầm lẫn nhanh chóng giải tốn Trên sở học sinh tự tìm tịi phát vướng mắc, cách giải hay nhiều toán khác IV Phương pháp nghiên cứu Nhóm phương pháp nghiên cứu lý thuyết Nhóm phương pháp lý thuyết bao gồm việc thu thập tài liệu, sách báo, giáo trình … có liên quan đến nội dung đề tài Trên sở phân tích, tổng hợp, khái qt hố thành nội dung cần thiết cho đề tài Căn vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu đề tài, đẫ thu thập tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: + Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao - Bộ giáo dục đào tạo + Phương pháp giải tốn Tích phân nhóm tác giả: Trần Đức Hun, Trần Chí Trung + Phương pháp giải tốn Tích phân tác giả: Lê Hồng Đức + Phương pháp giải toán Tích phân Giải tích Tổ hợp tác giả: Nguyễn Cam + Phương pháp giải đề tuyển sinh môn Tốn tác giả: Trần Phương … Nhóm phương pháp thực tiễn Việc tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể nội dung học lớp học thực tế, để học tốt vốn khơng đơn giản học sinh tư hình học yếu Vì cần thiết phải áp dụng vào việc giảng dạy thực tế để đánh giá ưu điểm, nhược điểm đề tài từ rút kết luận đề xuất ý kiến nâng cao hiệu giáo dục V Cấu trúc đề tài Phần mở đầu I Lý chon đề tài II Đối tượng phạm vi nghiên cứu III Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Cấu trúc đề tài Phần nội dung I Tính diện tích hình phẳng II Tính thể tích vật thể Phần kết luận Một số kết hạn chế đề tài Một số ý kiến đề xuất Triển vọng đề tài PHẦN NỘI DUNG I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x) dx (1) a Để khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f(x) ta thường thực hiện: Cách 1: Sử dụng “định lí dấu nhị thức bật nhất”và “định lí dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f (x) ( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu [a ; b] ta có: b S = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx ) a Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn [ a ; b] để suy dấu f (x) đoạn Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trục hồnh f ( x) ≤ , ∀x ∈ [ a ; b] Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trục hồnh f ( x) ≥ , ∀x ∈ [ a ; b] Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi b Khi để tính tích phân S = ∫ f ( x) dx ta tính sau : a b x1 x2 b a a x1 xk S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + + ∫ f ( x)dx Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x , đường thẳng x=3, trục tung trục hoành Giải: Đặt f ( x) = − x Ta thấy f ( x) ≤ [ 0; 2] f ( x) ≥ [ 2;3] Theo cơng thức (1), diện tích S hình xét là: S = ∫ − x dx = ∫ − x dx + ∫ − x dx = ∫ (4 − x )dx + ∫ ( x − 4)dx = 2 23 (dvdt ) Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x , trục hoành, đường thẳng x =-3 đường thẳng x= Giải: Đồ thị hàm số y = x3 − x cắt trục hoành điểm x = -2, x = 0, x= Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có: f ( x) ≤ [ − 3;−2] ∪ [ 0;2] f ( x) ≥ [ − 2;0] ∪ [ 2;4] Khi diện tích S hình xét là: −2 S= ∫x −3 = − x dx = ∫ (4 x − x )dx + ∫ ( x − x )dx + ∫ (4 x − x ) dx + ∫ ( x − x )dx −3 3 −2 201 (dvdt ) Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số: y = − x Dựa vào đồ thị ta có: −2 −3 −2 S = ∫ (4 x − x )dx + ∫ ( x − x )dx + ∫ (4 x − x )dx + ∫ ( x − x )dx 201 = (dvdt ) Cách 3: Đồ thị hàm số y = x3 − x cắt trục hoành điểm x = -2, x = 0, x= Khi diện tích cần tìm: S= ∫x − x dx = −3 = −2 ∫ (x −3 − x) dx + ∫ (x −2 − x) dx + ∫ ( x − x) dx + ∫ ( x − x) dx 201 (dvdt ) Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung đường thẳng x = e Hình 16 y Gi aoDiem f( x) = x⋅ ln( x) x A O e Hình 16 Giải Trục tung có phương trình x = e e 1 Diện tích S cần tìm S = ∫ x ln x dx = ∫ x ln xdx  du = dx  u = ln x  x ⇒ Đặt  dv = xdx v = x  e e e x2 e e x x2 e2 x2 e e2 + = Do S = ∫ x ln xdx = ln x − ∫ d x = ln x − ∫ xdx = − 1 x 1 2 4 (đvdt) Nhận xét: Trong ví dụ 1, hai tốn vận dụng dạng đơn giản, nhớ công thức tốn ví dụ nhiều học sinh dễ nhầm lẫn việc xác định cận lấy tích phân Do cách vẽ đồ thị hàm số để xác định hình cần tính quan trọng Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − 3x + , trục hoành, trục tung đường thẳng x = Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong hai đường thẳng x = a, x = b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) liên tục đoạn [ a; b] hai đường thẳng x = a, x = b , ta có công thức sau: b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Trong công thức trên: Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S: b b a a S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ ( f ( x) − g ( x ))dx f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [ a; b ] Trường hợp hình ta có công thức khai triển S: b b a a S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ ( g ( x) − f ( x ))dx f ( x) ≤ g ( x), ∀x ∈ [ a; b ] Trường hợp hình ta có cơng thức khai triển S: b c b S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx = ∫ f ( x) − g ( x ) dx + ∫ f ( x ) − g ( x) dx a a c c b a c = ∫ ( f ( x) − g ( x))dx + ∫ ( f ( x ) − g ( x))dx ( c hồnh độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số y = f ( x), y = g ( x) ) Một cách thức chung người ta thường thực bước sau: Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề cho thiếu hai giải phương trình f ( x) = g( x) để tìm Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) Bước 3: Rút gọn biểu thức f (x) − g(x) , sau xét dấu hiệu Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàn số y = x + x − 2, y = x + hai đường thẳng x =-1, x= Giải: Trước hết ta tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x + x − = x + ⇔ x = −2, x = Khi ta có : 3 34 S = ∫ x − dx = ∫ ( x − 4)dx + ∫ ( x − 4)dx = + = ( dvdt ) 3 −1 −1 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - , y = x + Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm x2 - = x + Û t2 - = t + 5, t = x ³ ìï ïï Û ïí ïï ïï ỵ t= x ³ ét2 - = t + Û ê êt2 - = - t - ê ë ïì t = x ³ Û x = ±3 íï ïï t = ỵ S= ị x - 1- - ( x + 5) dx = 2ò x2 - - ( x + 5) dx Bảng xét dấu x x - 1 – + S = ò ( - x2 - x - 4) dx + ò( x2 - x - 6) dx 1 ỉ- x3 x2 ỉx3 x2 73 ữ ỗ =2ỗ 4x + - 6x ữ = ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ0 ố ø1 2 73 Vậy S = (đvdt) Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3, y = 4x Giải Ta có, phương trình hồnh độ giao điểm: x3 = 4x Û x = - Ú x = Ú x = Þ S = ị x3 - 4x dx + - ỉx4 ổx4 ữ ỗ ỗ ữ ỗ = ỗ 2x + ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ4 ỗ4 ố ứ è - ( ) ò x - 4x dx ÷ 2x ÷ = ÷ ÷ ÷ ø ( ) Vậy diện tích cần tìm S = (đvdt) Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số: y = x2 − 4x + , y = x + Giải: Trước hết ta vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục: Từ hình vẽ ta suy hồnh độ giao điểm A, B nghiệm phương trình: x − x + = x + ⇔ x = 0, x = Khi : S = ∫ (( x + 3) − ( x − x + 3))dx + ∫ (( x + 3) − (− x + x − 3))dx + ∫ (( x + 3) − ( x − x + 3))dx = 2 109 (đvdt) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 x2 y = 4− , y = 4 Giải: Ta có: y = − x2 x2 y ⇔ + = 1, ( y ≥ 0) Do đồ thị nửa phía 16 x2 y Elip + = Từ ta có đồ thị hai hàm số hệ trục: 16 Hoành độ hai giao điểm A, B nghiệm phương trình: 4− x2 x2 = ⇔ x = ±2 4 Khi đó, diện tích cần tính: 10 2 2 x2 x2 x2 x2 ( − − ) dx = ( − − )dx ∫ ∫ 4 4 −2 2 2 2 = ∫ 16 − x dx − ∫ x dx 2 0 = 2π + (dvdt) S= Chú ý: tập học sinh gặp lúng túng xác định cận lấy tích phân Lưu ý học sinh tốn vẽ đồ thị, khơng q rắc rối khó khăn (có thể vẽ phác họa) việc vẽ hình giúp nhận diện hình cần tính cách dễ dàng Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định dấu biểu thức f ( x) − g ( x) nên sử dụng cơng thức tính cách khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = (1 + e x ) x y = (e + 1) x Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số: (1 + e x ) x = (1 + e) x ⇔ x = 0, x = Khi diện tích cần tìm: 1 0 S = ∫ (1 + e) x − (1 + e x ) x dx = ∫ x(e − e x dx Khi 0 nên: 1 0 S = ∫ x(e − e )dx =e ∫ xdx − ∫ xe x dx = x Vậy diện tích cần tìm: S = e −1 e − (đvdt) II Thể tích vật thể trịn xoay: Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b , ( a < b) Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức : b V = π ∫ [ f ( x)] dx a 11 Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = quanh trục hoành Ox Giải: Theo cơng thức (2), ta có: 1 x5 x3 8π V = π ∫ ( x − x)2dx = π ∫ ( x − x3 + x )dx = π ( − x + ) = 15 0 (đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu hình trịn (C) : x2 + y2 = R quay quanh Ox Giải: Hoành độ giao điểm (C) Ox x2 = R Û x = ±R Phương trình (C) : x2 + y2 = R Û y2 = R - x2 Theo cơng thức tính thể tích, ta có R R V = p ò ( R - x2 ) dx = 2pò ( R - x2 ) dx - R R ỉ2 x 4pR ữ = 2p ỗ R x= ữ ữ ỗ è ø0 4pR Vậy thể tích cần tim V = (đvtt) 3 Ví dụ 3: Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = x ln x, y = 0, x = e Giải: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = x ln x, y = x ln x = ⇔ x = ( x>0) Khi thể tích vật thể cầm tìm: e V = π ∫ x ln xdx ln xdx   du = u = ln x x ⇒ Đặt   dv = x dx v = x  e  x3  2π e Ta có : V = π ∫ x ln xdx = π  ln x  − ∫ x ln xdx 3 1 1 π Vậy thể tích cần tìm V = (5e3 − 2) (đvtt) 27 e 2 Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = ln x , y = , x = , x = e Giải: Theo cơng thức tính thể tích, ta có: e e V = π ∫ (ln x) dx = π ∫ ln xdx (đvtt) 12  u = ln x du = ln x dx ⇒ x Đặt  dv = dx  v = x e Do ∫ ln xdx = uv e e e e 2 vdu = x ln x x2lnx dx = e ln e − ln − ∫1 ∫1 ln xdx = e − I ∫1 x e − e I = ∫ ln xdx 1  u = ln x du = dx ⇒ x Đặt  dv = dx v = x e e e e I = ∫ ln x = ( x ln x ) − ∫ dx = e ln e − ln − ( x ) = e − (e − 1) = 1 1 e e 1 V = π ∫ (ln x ) dx = π ∫ ln xdx = Vậy Thể tich cần tìm π(e – 2) (đvtt) Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f(x), y = g(x) thể tích vật thể trịn xoay tính theo cơng thức sau: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường ù y = f(x), y = g(x) , x = a x = b (a < b, f(x) ³ 0,g(x) ³ " x Ỵ é ëa; b û) b quay quanh trục Ox V = pò f 2(x) - g2(x) dx a Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = - x2,y = x2 + quay quanh Ox Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số: - x2 = x2 + Û x = - 1,x = Thể tích cần tìm: 1 V = π ∫ ((4 − x ) − ( x + 2) )dx = 12π ∫ (1 − x )dx = 16π 2 2 −1 −1 Vậy V= 16π ( đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y = x2 , y2 = x quay quanh Ox Giải: ìx³ ï Hồnh độ giao điểm ïíï x4 = x Û ïỵ 1 V = pị x4 - x dx = p =p éx = ê êx = ë ( 15 x - x ) = ò( x - x ) dx 3p 10 13 3p Vậy thể tích cần tìm V = 10 (đvtt) PHẦN KẾT LUẬN I Một số kết hạn chế đề tài - Trong thực tế giảng dạy áp dụng lớp khối 12 trường THPT Cẩm Thuỷ thu kết khả quan, khơng giúp cho học sinh nắm vững kiến thức tích phân, diện tích, thể tích hình, tránh sai lầm việc giải tốn, ngồi học sinh cịn phát hiện, tìm tịi 14 cách giải hay việc giải toán sách giáo khoa sách tập - Bên cạnh kết đạt cịn số hạn chế là: + Đề tài nêu số lưu ý, phân loại số toán ứng dụng + Việc triển khai dạy ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thể tích vật thể chương trình hạn chế cần ôn tập bồi dưỡng thêm học ngoại khoá II Ý kiến đề xuất đề tài Đề nghị Tổ môn buổi sinh hoạt tổ chun mơn thảo luận góp ý, xây dựng để đề tài triển khai thực tới tất thành viên tổ III Triển vọng đề tài Do thời gian hạn chế nên đề tài dừng lại phạm vi phân loại số tập nhỏ, Trong thời gian tới giúp đỡ góp ý đồng nghiệp đề tài phát triển theo hướng sau: + Mở rộng phạm vi áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, việc áp dụng tích phân toán phức tạp Tài liệu Tham khảo • Nguyễn Cam, Phương pháp giải tốn Tích Phân Giải tích Tổ hợp, Nhà xuất Trẻ, 2008 • Lê Hồng Đức, Phương pháp giải tốn Tích phân, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 15 • Trần Đức Hun, Phương pháp giải tốn Tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2008 • Trần Phương, Phương pháp giải đề thi tuyển sinh mơn Tốn, Nhà xuất giáo dục, 1995 • Dỗn Minh Cương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2004 1 11 MỤC LỤC Nội dung Phần mở đầu 15 15 15 Trang 16 I Lý chọn đề tài II Đối tượng phạm vi nghiên cứu III Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Cấu trúc đề tài Phần nội dung I Tính diện tích hình phẳng II Tính thể tích vật thể trịn xoay Phần kết luận I Một số kết hạn chế đề tài II Một số ý kiến đề xuất III Triển vọng đề tài 17 ... nhỏ ? ?Phân loại tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao? ?? II Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với sáng kiến ? ?Phân loại tập ứng dụng tích phân – Chương IIIGiải tích 12 nâng cao? ?? chủ... khai thác số tốn ứng dụng tính phân để diện tích thể tích chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao toán đề thi đại học năm gần nhằm tìm hướng giải cho tốn cách xác, lơgíc khoa học III Mục đích... hạn chế là: + Đề tài nêu số lưu ý, phân loại số toán ứng dụng + Việc triển khai dạy ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thể tích vật thể chương trình hạn chế cần ôn tập bồi dưỡng thêm học