Phân loại một số bài tập ứng dụng tích phân chương III – giải tích lớp 12 nâng cao

S GIO DC V O TO THANH HO TRNG THPT CM THU - SNG KIN KINH NGHIM ti: Phõn loi mt s bi ng dng tớch phõn chng III Gii tớch lp 12 nõng cao Ngi thc hin: Ngụ Tin Hong n v : Trng THPT Cm Thu Chc v : T trng chuyờn mụn T chuyờn mụn: Toỏn - Tin Thanh Hoỏ, ngy 10 thỏng nm 2011 Phn m u I Lý chon ti II i tng v phm vi nghiờn cu III Mc ớch v nhim v nghiờn cu IV Phng phỏp nghiờn cu V Cu trỳc ca ti Phn ni dung I Tớnh din tớch hỡnh phng II Tớnh th tớch vt th trũn xoay Phn kt lun I Mt s kt qu v hn ch ca ti II Mt s ý kin xut III Trin vng ca ti PHN M U I Lý chn ti Bi toỏn tớnh din tớch hỡnh phng v th tớch vt th trũn xoay chng trỡnh Gii Tớch 12 l mt nhng dng toỏn c bn, thc t v quen thuc Tuy nhiờn cỏc em hc sinh thng cha cú s phõn tớch v t thc t dn ti mc sai lm v a nhng li gii sai, cha chớnh xỏc Vic h thng hoỏ cỏc phng phỏp gii, ch mt s sai lm gii toỏn s cho phộp nhỡn nhn cỏc bi toỏn theo mt h thng nht quỏn t ú giỳp cỏc em hc sinh cú th thy c thut toỏn chung cng nh trỏnh c nhng sai lm gii cỏc bi toỏn cú liờn quan Khc phc c khú khn v sa cha c cỏc sai lm ú l rt cn thit, giỳp cho quỏ trỡnh gii toỏn c d dng, thun li v t hiu qu cao ng thi phỏt trin t duy, nng lc sỏng to ca hc sinh hc mụn toỏn cng nh cỏc mụn hc khỏc Xut phỏt t thc t trờn, tụi mnh dn xut mt ý kin nh Phõn loi cỏc bi ng dng tớch phõn Chng III- Gii tớch 12 nõng cao II i tng v phm vi nghiờn cu Vi sỏng kin Phõn loi cỏc bi ng dng tớch phõn Chng IIIGii tớch 12 nõng cao tụi ch yu i vo khai thỏc mt s bi toỏn v ng dng ca tớnh phõn din tớch v th tớch chng trỡnh Gii tớch THPT lp 12- nõng cao v cỏc bi toỏn cỏc thi i hc nhng nm gn õy nhm tỡm hng gii quyt cho bi toỏn mt cỏch chớnh xỏc, lụgớc v khoa hc III Mc ớch v nhim v nghiờn cu: Mc ớch nghiờn cu ca ti l nhm xõy dng v ch c mt s sai lm v mt s chỳ ý giỳp cho hc sinh cng nh ng nghip giỏo viờn cú cỏi nhỡn ton din hn v ng dng ca tớch phõn hỡnh hc trỏnh nhm ln v nhanh chúng gii quyt bi toỏn Trờn c s ú hc sinh cú th t tỡm tũi phỏt hin cỏc vng mc, cỏc cỏch gii hay nhiu bi toỏn khỏc IV Phng phỏp nghiờn cu Nhúm phng phỏp nghiờn cu lý thuyt Nhúm phng phỏp lý thuyt bao gm vic thu thp cỏc ti liu, sỏch bỏo, giỏo trỡnh cú liờn quan n ni dung ca ti Trờn c s ú phõn tớch, tng hp, khỏi quỏt hoỏ thnh ni dung cn thit cho ti Cn c vo mc ớch, nhim v nghiờn cu ca ti, tụi thu thp ti liu t nhiu ngun khỏc nhau: + Sỏch giỏo khoa Gii tớch 12 Nõng cao - B giỏo dc v o to + Phng phỏp gii toỏn Tớch phõn nhúm tỏc gi: Trn c Huyờn, Trn Chớ Trung + Phng phỏp gii toỏn Tớch phõn tỏc gi: Lờ Hng c + Phng phỏp gii toỏn Tớch phõn v Gii tớch T hp tỏc gi: Nguyn Cam + Phng phỏp mi gii tuyn sinh mụn Toỏn tỏc gi: Trn Phng Nhúm phng phỏp thc tin Vic tớnh din tớch hỡnh phng v th tớch vt th l mt ni dung ó c hc lp hc di v rt thc t, nhng hc tt nú khụng n gin i vi cỏc hc sinh t v hỡnh hc yu Vỡ vy cn thit phi ỏp dng vo vic ging dy thc t ỏnh giỏ u im, nhc im ca ti t ú rỳt kt lun v xut cỏc ý kin nõng cao hiu qu giỏo dc V Cu trỳc ca ti Phn m u I Lý chon ti II i tng v phm vi nghiờn cu III Mc ớch v nhim v nghiờn cu IV Phng phỏp nghiờn cu V Cu trỳc ca ti Phn ni dung I Tớnh din tớch hỡnh phng II Tớnh th tớch vt th Phn kt lun Mt s kt qu v hn ch ca ti Mt s ý kin xut Trin vng ca ti PHN NI DUNG I TNH DIN TCH HèNH PHNG: Din tớch hỡnh phng gii hn bi mt ng cong: Nu hm s y f ( x) liờn tc trờn on a; b thỡ din tớch S ca hỡnh phng gii hn bi th hm s y f ( x) , trc honh v hai ng thng x a, x b l b S f ( x) dx (1) a kh du giỏ tr tuyt i ca biu thc f(x) ta thng thc hin: Cỏch 1: S dng nh lớ v du ca nh thc bt nhtv nh lớ v du ca tam thc bc hai xột du cỏc biu thc f (x) ( Chỳ ý: Nu f (x) khụng i du trờn [a ; b] thỡ ta cú: b S f ( x) dx a b f ( x)dx ) a Cỏch 2: Da vo th ca hm s y =f(x) trờn on a ; b suy du ca f (x) trờn on ú Nu trờn on [a; b] th hm s y = f (x) nm phớa di trc honh thỡ f ( x) , x a ; b Nu trờn on [a; b] th hm s y = f(x) nm phớa trờn trc honh thỡ f ( x) , x a ; b Nu phng trỡnh f(x) = cú k nghim phõn bit x1 , x2 , , xk thuc (a ; b) thỡ trờn mi khong (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , , (xk ; b) biu thc f(x) cú du khụng i b Khi ú tớnh tớch phõn S f ( x ) dx ta cú th tớnh nh sau : a b S f ( x) dx a x1 x2 b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a x1 xk Vớ d 1: Tỡm din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y x , ng thng x=3, trc tung v trc honh Gii: t f ( x) x Ta thy f ( x) trờn 0; v f ( x) trờn 2;3 Theo cụng thc (1), din tớch S ca hỡnh ang xột l: S x dx x dx x dx 2 (4 x ) dx ( x 4)dx 23 ( dvdt ) Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y x x , trc honh, ng thng x =-3 v ng thng x= Gii: th hm s y x x ct trc honh ti im x = -2, x = 0, x= Cỏch 1: Lp bng xột du ta cú: f ( x) trờn 3;2 0;2 v f ( x) trờn 2;0 2;4 Khi ú din tớch S ca hỡnh ang xột l: S x3 x dx (4 x x3 )dx ( x3 x)dx (4 x x )dx ( x x)dx 2 201 (dvdt ) Cỏch 2: Da vo th hm s: V th hm s: y x 60 50 40 30 20 10 2 10 10 20 30 40 Da vo th ta cú: S (4 x x )dx ( x x)dx (4 x x )dx ( x x)dx 3 201 (dvdt ) Cỏch 3: th hm s y x x ct trc honh ti im x = -2, x = 0, x= Khi ú din tớch cn tỡm: S x x dx ( x x )dx 3 ( x x)dx ( x x)dx ( x x)dx 2 201 (dvdt ) Vớ d 3: Tớnh din tớch ca hỡnh phng gii hn bi th hm s y = xlnx , trc honh , trc tung v ng thng x = e Hỡnh 16 y Gi aoDiem f x = xln x A O x e Hỡnh 16 Gii Trc tung cú phng trỡnh x = e e Din tớch S cn tỡm l S x ln x dx x ln xdx 1 du dx u ln x x t dv xdx v x e e e x2 e e x x2 e x e e2 Do ú S x ln xdx ln x d x ln x xdx 1 x 1 2 4 (vdt) Nhn xột: Trong vớ d 1, l hai bi toỏn dng dng n gin, nh cụng thc nhng bi toỏn vớ d nhiu hc sinh rt d nhm ln vic xỏc nh cn ly tớch phõn Do ú cỏch v th ca hm s xỏc nh hỡnh cn tớnh l rt quan trng Vớ d 4: Tớnh din tớch ca hỡnh phng gii hn bi th hm s y x x , trc honh, trc tung v ng thng x = Din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng cong v hai ng thng x a, x b Din tớch S ca hỡnh phng gii hn bi th cỏc hm s y f ( x), y g ( x ) liờn tc trờn on a; b v hai ng thng x a, x b , ta cú cụng thc sau: b S f ( x) g ( x) dx a Trong cụng thc trờn: Trng hp hỡnh ta cú cụng thc khai trin ca S: b b S f ( x) g ( x) dx ( f ( x) g ( x))dx nu f ( x) g ( x), x a; b a a Trng hp hỡnh ta cú cụng thc khai trin ca S: b b S f ( x) g ( x) dx ( g ( x ) f ( x)) dx nu f ( x) g ( x), x a; b a a Trng hp hỡnh ta cú cụng thc khai trin ca S: b c b S f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x ) dx f ( x) g ( x) dx a a c c b ( f ( x) g ( x))dx ( f ( x) g ( x))dx a c ( ú c l honh giao im ca hai th hai hm s y f ( x), y g ( x ) ) Mt cỏch thc chung ngi ta thng thc hin cỏc bc sau: Bc1: Nu hai ng x a, x b bi cho thiu mt hoc c hai thỡ gii phng trỡnh f x g x tỡm Bc 2: p dng cụng thc (2) Bc 3: Rỳt gn biu thc f ( x ) g( x ) , sau ú xột du ca hiu ny Bc 4: Dựng phộp phõn on tớch phõn v ỏp dng nh ngha giỏ tr tuyt i kh du giỏ tr tuyt i Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hn s y x x 2, y x v hai ng thng x =-1, x= Gii: Trc ht ta tỡm honh giao im cỏc th ca hai hm s ó cho Ta cú phng trỡnh honh giao im: x x x x 2, x Khi ú ta cú : 3 34 S x2 dx ( x2 4)dx ( x2 4)dx (dvdt ) 3 1 Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi y = x - , y = x + Gii: Phng trỡnh honh giao im x - = x + t - = t + 5, t = x ỡù ùù ùớ ùù ùù ợ t = x ỡù t = x ột - = t + ớù x = ùù t = ợ ờt - = - t - ởờ S= x2 - - ũ ( x + ) dx = 2ũ x - - - (x + ) dx Bng xột du x x - 1 S= + ũ (- x - x - )dx + ũ (x - x - )dx 1 ổ- x ổx x2 x2 73 ỗ = ỗỗ - 4x ữ + - 6x ữ = ữ ữ ỗ ữ ữ ố ứ0 ố ứ1 73 Vy S = (vdt) Vớ d : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi y = x , y = 4x Gii Ta cú, phng trỡnh honh giao im: x = 4x x = - x = x = ũ x - 4x - ổx ửữ ỗ = ỗỗ - 2x2 ữ + ữ ỗố ữ ứữ - ị S= ( + ũ x - 4x dx ổx ửữ2 ỗỗ ữ = ỗỗ - 2x ữ ữ ố ứữ )dx ( ) Vy din tớch cn tỡm S = (vdt) Vớ d 4: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc th cỏc hm s: y x2 x , y x Gii: Trc ht ta v cỏc th hai hm s trờn mt h trc: T hỡnh v ta suy honh giao im A, B l nghim ca phng trỡnh: x x x x 0, x Khi ú : S (( x 3) ( x x 3))dx (( x 3) ( x x 3))dx (( x 3) ( x x 3))dx 109 (vdt) Vớ d 5: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng: y x2 x2 ,y 4 Gii: Ta cú: y Elip x2 x2 y 1, ( y 0) Do ú th l na phớa trờn ca 16 x2 y T ú ta cú th hai hm s trờn h trc: 16 Honh ca hai giao im A, B l nghim phng trỡnh: x2 x2 x 2 4 Khi ú, din tớch cn tớnh: 2 2 x2 x2 x2 x2 S ( )dx ( )dx 4 4 2 2 2 2 16 x2 dx x dx 2 0 (dvdt) Chỳ ý: cỏc bi ny hc sinh cú th gp lỳng tỳng xỏc nh cỏc cn ly tớch phõn Lu ý hc sinh cỏc bi toỏn cú th v c th, khụng quỏ rc ri v khú khn (cú th v phỏc ha) thỡ vic v hỡnh s giỳp nhn din c hỡnh cn tớnh mt cỏch d dng Trong trng hp vic v hỡnh khú thc hin, cha xỏc nh c du ca biu thc f ( x) g ( x) thỡ nờn s dng cụng thc tớnh bng cỏch kh du giỏ tr tuyt i Vớ d: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng cong y (1 e x ) x v y (e 1) x Gii: Phng trỡnh honh giao im ca hai th hai hm s: (1 e x ) x (1 e) x x 0, x Khi ú din tớch cn tỡm: 1 S (1 e) x (1 e x ) x dx x (e e x dx 0 Khi 0