skkn hướng dẫn giúp học sinh giải một số bài tập áp dụng định lý vi ét

I ) Lý do chọn đề tài Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu . Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình . Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này . Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét II ) Nội dung đề tài A) Kiến thức cơ bản 1) Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = 1 2 b x x a + = và P = 1 2 . c x x a = 2 ) Tính nhẩm nghiệm a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 1 2 1, c x x a = = b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 1 2 1, c x x a = = 3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai : 2 0x Sx P + = 1 B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao 1, Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) 2 13 40 0x x + = b) 2 5 7 1 0x x + + = c) 2 3 5 1 0x x + = Giải a) Theo hệ thức Vi ét có S = 1 2 13 b x x a + = = P = 1 2 . 40 c x x a = = Vì P > 0 nên 2 nghiệm x 1 và x 2 cùng dấu S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng b) Theo hệ thức Vi ét có P = 1 2 1 . 0 5 c x x a = = > nên 2 nghiệm cùng dấu S = 1 2 7 0 5 b x x a + = = < nên 2 nghiệm cùng dấu âm c) P = 1 2 1 . 0 3 c x x a = = < nên 2 nghiệm trái dấu S = 1 2 5 0 3 b x x a + = = < Bài tập 2 Cho phơng trình 2 2 10 0x x m = (1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? Giải Ta có a = 1 > 0 , c = - m 2 < 0 với mọi m 0 Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = 2 1 2 ,x x m = < 0 . Do đó 1 x và 2 x trái dấu S = 1 2 10x x+ = nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn Bài tập 3 2 (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 2000) Cho phơng trình 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = (1) (với m là tham số) a) Giải phơng trình trên với m = 2 b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Tìm m để biểu thức 3 3 1 2 2 1 x x A x x = + ữ ữ đạt giá trị lớn nhất Giải a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc 2 4 0 1 4.( 4) 17 0 x x = = = > Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 1 17 2 1 17 2 x x + = = b)Xét 2 2 2 2 1 1 3 1 3 2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1 2 4 4 2 4 ac m m m m m m m = + = + = + + = + Có 2 2 1 1 3 3 3 0 1 1 1 0 2 2 4 4 4 m m P P m + < ữ ữ Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu m c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Từ kết quả phần b có x 1 , x 2 0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x 1 , x 2 tính theo m và 3 1 2 2 1 ( ) 0;( ) 0 x x x x > < Đặt 3 1 2 ( ) x a x = Với a > 0 3 2 1 1 ( ) x x a = Có A = -a + 1 a mang giá trị âm A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất 3 Có A = a + 2 1 1a a a + = áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và 1 a ( vì a > 0 và 1 0 a > ) Ta có: 1 1 ( ) : 2 . 1 ( ) : 2 1 1 2 a a a a a a a a + + + Vậy A 2 <=> A - 2 nên A có GTLN là - 2 2 2 2 1 * 2 2 1 2 . 1 2 2 1 0 2 1 0 ( 1) 0 1 A a a a a a a a a a a a a a = + = = = + = + = = = ( thoả mãn điều kiện a > 0 ) Với a = 1 thì 3 1 1 1 2 2 2 ( ) 1 1 x x x x x x = = = Theo kết quả 1 2 x x = có 1 2 2 2 0 b S x x x x a = + = + = = ( 1) 0 1 0 1 m m m = = = * Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2 2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm Bài tập 4: Cho phơng trình : 2 2 ( 1) 2 0x m x m m + = a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m 4 b) Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: a ) Ta có a = 1 > 0 2 2 2 2 2 ( 2) 1 7 ( ) 4 4 1 7 7 ( ) 0 2 4 4 c m m m m m m m = + = + = + + = < a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m Theo hệ thức Vi ét P = 2 1 2 . 2 0 c x x m m a = = + < do đó 2 nghiệm trái dấu b) Ta có 2 2 ( 1) 2( 2)m m m= + = 2 2 2 2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = + 2 2 4 5 2 4 11 3 3( 2 ) 3 3 3 9 9 m m m m = + = + + ữ 2 2 11 11 3( ) 3 3 3 m= + Vậy Min ( ) 2 2 1 2 11 3 x x + = khi m = 2 3 Bài tập 5: Cho phơng trình 2 2 2 ( 2) 7 0x m x m + + = Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia Giải : Ta có a = 2 > 0 Phong trình có 2 nghiệm trái dấu 2 7 0 7 7m m + < < < Với điều kiện này giả sử x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo đề ra ta có 5 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x + = + 2 2 2 1 1 2 2 1 7 1 ( ) 1 7 2 5 5 2 m x x x m m m x + = = = = = = Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện 7 7m < < ) Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia . Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 2007 ) (2 đ) Xét phơng trình : 4 2 2 2( 2) 5 3 0x m m + + + = (1) với m là tham số 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt 2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là 1 2 3 4 , , ,x x x x . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = 2 2 2 2 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x + + + Giải : 1) Đặt x 2 = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành 2 2 2 2( 2) 5 3 0y m y m + + + = (2) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 ( 2) (5 3) 4 4 5 3 1 1 1 3 ( ) 2 . 2 4 4 1 3 ( ) 2 4 m m m m m m m m m m = + + = + + = + = + + = + Có 2 2 2 2 1 1 3 3 ( ) 0 ( ) 2 2 4 4 m m + nên , 0 Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi ét có 2 2 1 2 2( 2) 2( 2) 1 b m S y y m a + = + = = = + 6 2 , 2 2 ( 2) (5 3)m m = + + 2 1 2 . 5 3 c P y y m a = = = + Xét 2 5 3P m = + có 2 2 2 0 5 0 5 3 3m m m + nên P > 0 với mọi m Z 1 2 ,y y cùng dấu Xét 2 1 2 2( 2) b S y y m a = + = = + . Vì 2 2 2 0 2 2 2( 2) 4m m m + + nên S > 0 1 2 ,y y cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y 0) Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một . 2) Theo kết quả phần a có 1 2 3 4 , , , 0x x x x và 1 1 2 1 ,x y x y = = 3 2 4 2 ,x y x y = = 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) M y y y y = + + + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2( ) . y y y y y y y y y y y y y y = + + + = + + = + = Thay kết quả S và P vào M ta đợc 2 2 2 2 2.2( 2) 4( 2) 5 3 5 3 m m M m m + + = = + + Kết luận: 2 2 4( 2) 5 3 m M m + = + Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ) 7 Cho phơng trình 2 2( 1) 0x m x m + + = ( mlà tham số) a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m b) Trong trờng hợp m > 0 và 1 2 ,x x là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 1 2 1 2 1 2 3( ) 6x x x x A x x + + + = Giải: a) [ ] 2 , ( 1)m m = + 2 2 ( 1) 2 1 m m m m m = + = + + 2 2 1 1 1 3 2. . 2 4 4 m m m m = + + = + + + 2 1 3 ( ) 2 4 m = + + Vì 2 1 ( ) 0 2 m + nên 2 1 3 3 ( ) 2 4 4 m + + , 0 m Z > Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m b) 2 2 1 2 1 2 1 2 3( ) 6x x x x A x x + + + = Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi ét ta có S = 1 2 2 2 b x x m a + = = + P = 1 2 . c x x m a = = Vì P = m > 0 nên 2 2 , 0x x biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị 1 2 ,x x 1 2 ,x x tính theo m 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3( ) 6 . x x x x x x x x A x x + + + + = 8 = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 . 3( ) 6x x x x x x x x + + + Thay S và P vào biểu thức A ta đợc : 2 2 (2 2) 2 3(2 2) 6 4 8 4 2 3(2 2) 6 m m m A m m m m m m + + + = + + + + = 2 2 2 4 4 1 1 4( ) 4( ) 1 4( ) m m m m m m m m m + + = = = + = + Theo bất dẳng thức Cô Si vì 1 1 ( ) : 2 .m m m m + ( do m > 0và 1 0 m > ) 1 2. 1 1 2 1 4( ) 8 m m m m m m + + + Vậy biểu thức A có GTNN là 8 Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m = 1 m 2 1 1 m m = = Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0 m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0 Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8 Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ) Xét phuơng trình mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 2 2 1 2 1 2 4x x x x + = b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ Giải 9 a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm 0 0 m Xét 2 (2 1) 4 ( 2)m m m = 2 2 4 4 1 4 8 4 1 1 0 4 1 0 4 m m m m m m m + + = + + Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m 0 và m 1 4 Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có 1 2 1 2b m S x x a m = + = = 1 2 2 . c m P x x a m = = = Gọi 2 2 1 2 1 2 A x x x x = + 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) 3 x x x x x x x x x x = + = + áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK 0 1 4 m m ) 2 1 2 2 ( ) 3 4 m m m m = 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 3 6 4 1 4 4 3 6 4 3 2 1 0 3 2 1 0 m m m m m m m m m m m m m m + = + + = + + = = Có a + b + c = 3 2 1 = 0 => m 1 = 1 ( thoả mãn điều kiện m 0 và m 1 4 ) m 2 = 1 3 ( không thoả mãn điều kiện m 0 và m 10 [...]... loại toán này Cho học sinh thực hành bài tập tơng tự ngay tại lớp Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng giáo vi n tiếp tục cho học sinh giải các bài tập nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình Bằng rèn luyện thực hành giải bài tập , học sinh cách giải các bài tập phức tạp hơn Các... khi gặp các bài toán tơng tự IV) Phạm vi , đối tợng nghiên cứu Học sinh khối lớp 9 trờng THPT Hòn Gai V) Tổng kết và rút kinh nghiệm Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu đợc là học sinh đã hình thành , định hớng đợc cách giải loại toán này Bằng phơng pháp gợi mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hớng giải cho từng bài tập Giáo vi n tạo hứng... triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh Các tài liệutham khảo khi giảng dạy loại toán cần áp dụng hệ thức Vi ét 1) SGK và sách giáo vi n lớp 9 cải cách 17 2) Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9 của Bùi Văn Tuyên 3) Báo toán học và tuổi thơ 2 của Bộ Giáo Dục 4) Các đề thi TS và thi chuyên chọn hàng năm của các tỉnh trên toàn quốc 5) Bài tập nâng cao Đại số 9 của Vũ Hữu Bình 18 Xác nhận của... 2006) Xét phơng trình mx 2 + (2m 1) x + m 2 = 0 vói m là tham số a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x 1 , x 2 thoả mãn x12 + x22 x1 x2 4 b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm hữu tỉ III) Phơng pháp tiến hành Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phơng pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải. .. thuộc vào a C) Các bài tập tơng tự Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ? a) x 2 - 6x +8 = 0 b) 11 x 2 +13x -24 =0 c) 2 x 2 - 6x + 7 = 0 Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình a) 7 x 2 + kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu b) 12 x 2 +70x + k 2 +1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu c) x 2 - ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 Bài tập 3 : Giải các phơng... 2 là 2 nghiệm của phơng trình) x1 Hớng dẫn giải: Theo định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 5 1 1 ; x1 x2 = x1 x2 = 2 2 2 Ta có A = x1 x2 + x2 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 ) Nếu S = x1 + x2 S 2 = x1 + x2 + 2 x1 x2 = 5 + 2 S = 5 + 2 2 2 Do đó A = x1 x2 + x2 2 x1 15 = 1 2 5 +2 2 1 = 2 2 5+2 2 Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) 2 2 a) Xác định m để phơng trình 2 x + 2mx + m 2... n +2 N * và n +1 N * => x2 = 1 n là phân số Q n n+2 là phân số Q n +1 Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ 3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết a) x + y = 11 và xy = 28 b) x y = 5 và xy = 66 Giải : a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phơng trình x 2 - 11x +... -2 = 0 Bài tập 4 : Cho phơng trình x 2 - 2m + m - 4 = 0 a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng 13 Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) đ) Cho phơng trình x 2 - mx +1 = 0 ( m là tham số ) a) Giải phơng trình trên khi m = 5 (2,5 b) Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x1 , x2 Không giải phơng... 2 x1 x2 + x1 + x2 4 Hớng dẫn giải: a) , = m 2 2(m 2 2) = m 2 + 4 Phơng trình có 2 nghiệm 0 m 2 0 2 4 m 2 m 2 2 b)Theo định lý Vi ét có x1 + x2 = m; x1 x2 = m 2 2 Do đó ta có A = 2 x1 x2 + x1 + x2 4 = (m + 2)(m 3) Vì m [ 2; 2 ] nên (m + 2)(m - 3) 0 1 25 25 Khi đó A = (m + 2)(3 m) = m 2 + m + 6 = (m ) 2 + 2 4 4 Vậy GTNN của A là 25 khi và chỉ khi m = 2 4 Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10... Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x1 = x 2 +7x +12 = 0 Giải phơng trình ta đợc x 3 = -3 ; x 4 = - 4 các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4) 4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số : Bài tập 11 : Cho phơng trình x 2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức M = 2 3 x12 + 3x2 . tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi ét để tính toán . Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi. kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình . Việc tính mỗi nghiệm của phơng trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng. hệ thức Vi ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này . Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp . Các bài toán cần áp dụng hệ thức