SKKN Rèn luyện cho học sinh giải một số bài tập bằng phương pháp lượng giác THPT

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lượng giác có nhiều ứng dụng trong đời sống và khoa học. Trong Toán học, lượng giác là một công cụ mạnh, nó được ứng dụng trong giải các dạng toán khác, điển hình như hình học, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số, trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức Cùng với định nghĩa giá trị lượng giác, các công thức lượng giác và các kết quả trong việc khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán toán học và nhiều bài toán trong các nghành khoa học khác. Do đó việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp lượng giác để giải một lớp các bài toán đại số là một điều cần thiết, giúp học sinh hiểu sâu sắc, chắc chắn thêm những kiến thức về lượng giác; đồng thời trang bị thêm cho các em một phương pháp giải được nhiều bài toán đòi hỏi nhiều đến kỹ năng tư duy, tổng hợp và các kiến thức rút ra từ các nội dung khác nhau. Việc sử dụng phương pháp lượng giác để giải một lớp các bài toán đại số tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo, đồng thời tạo nên sự phong phú về thể loại và phương pháp giải toán cho học sinh. PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN. 1. Thực trạng của vấn đề. Lượng giác là một mảng kiến thức có thể nói khó đối với học sinh phổ thông. Hơn nữa một thực tế là có rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng của lượng giác trong các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. Phương pháp nghiên cứu. Đề tài được sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh. 3. Đối tượng. 1 Học sinh lớp 10, học sinh giỏi và học sinh dự thi vào các trường đại học, cao đẳng. 4. Cách thức thực hiện. Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành năm dạng bài tập tương ứng với dấu hiệu để đổi biến lượng giác. 5. Nội dung. A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương pháp lượng giác để giải toán đại số cần đến một số kiến thức lượng giác dựa trên hai cơ sở chủ yếu sau: 1. Dựa vào công thức lượng giác: Từ công thức cơ bản sin 2 t+ cos 2 t=1, suy ra nếu a và b là hai số thỏa mãn điều kiện thì tồn tại số t với π 20 ≤≤ t sao cho cost=a và sint=b. Đôi khi để t xác định duy nhất ta chỉ cần chọn một trong hai giá trị 0 hoặc 2 π . 2. Dựa vào phương trình lượng giác cơ bản: Từ cách giải phương trình lượng giác cơ bản,suy ra: - Nếu số a thỏa mãn điều kiện 1≤a thì tồn tại các số t, u tương ứng duy nhất với 22 ;20 ππ π <≤−<≤ ut sao cho cost=a và sinu=a. - Với mọi số thực a, tồn tại duy nhất t với 22 ππ <<− t sao cho tant=a. B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Dạng 1: Nếu bài toán chứa x mà ta tìm được ax ≤ ( Với a>0), thì có thể đặt: x=asint hoặc x=acost, [ ) π 2;0∈t Dạng 2: Nếu bài toán chứa biểu thức dạng x 2 +y 2 =a 2 , thì có thể đặt:    = = tay tax sin cos hoặc    = = tay tax cos sin , [ ) π 2;0∈t 2 Dạng 3: Nếu bài toán chứa x mà ta tìm được ax ≥ ( Với a>0 ) thì có thể đặt: , cost a x =       −∈ 2 ; 2 ππ t hoặc [ ] π ,0, sin ∈= t t a x Dạng 4: Nếu bài toán chứa biểu thức dạng x 2 +a 2 thì có thể đặt: ,tan tax =       −∈ 2 , 2 ππ t hoặc ,cottax = ( ) π ,0 ∈ t . Dạng5: Nếu bài toán chứa x mà ta tìm được bxa ≤≤ thì có thể đặt: x=a+(b-a)sin 2 t, hoặc x=b+(a-b)sin 2 t, với       ∈ 2 ;0 π t ( Vì hàm số y=sin 2 t là hàm số chẵn và có chu kỳ bằng π nên ta chỉ cần xét trên đoạn       2 ;0 π ). Chú ý: Tùy từng bài toán cụ thể, có thể chọn t thích hợp để tránh sai lầm trong lập luận. *Các ví dụ: Dạng 1: Nếu bài toán chứa x mà ta tìm được ax ≤ ( Với a>0), thì có thể đặt: x=asint hoặc x=acost. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số 2 4 xxy −+= (Trích đề thi Đại học khối B năm 2003) Bài giải: ĐK: 22 ≤≤− x . Đặt x=2cost ,với [ ] π ;0 ∈ t , Hàm số trở thành:       +=+= 4 sin22sin2cos2 π ttty Do [ ] π ;0 ∈ t [ ] 22;21; 2 1 4 sin 4 5 ; 44 −∈⇒       −∈       +⇒       ∈+⇒ ytt ππππ 3 2 4 5 4 2 −=⇒=⇔=+−= xttkhiy π ππ , 2 424 22 =⇒=⇔=+= xttkhiy πππ Do đó: 222max,22min ==−=−= xkhiyxkhiy Chú ý: Vì 22 ≤≤− x nên khi ta đặt x=2cost với [ ] π ;0 ∈ t , thì 0sin ≥ t tx sin24 2 =−⇒ ta đưa được hàm số về dạng đơn giản hơn là khi ta đặt x=2sint. Ví dụ 2: Giải phương trình: 23 134 xxx −=− (1) Bài giải: ĐK: 11 ≤≤− x . Đặt x=cost ,với [ ] π ;0 ∈ t , phương trình (1) trở thành: 4cos 3 t - 3cost=sint ⇔       +−= += ⇔−=⇔= π π ππ π kt kt tttt 4 28 ) 2 cos(3cossin3cos Vì [ ] π ;0 ∈ t nên ta tìm được: 4 3 , 8 5 , 8 πππ === ttt . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: , 2 22 8 5 cos, 2 22 8 cos − −== + == ππ xx 2 2 4 3 cos −== π x . Chú ý: vì 11 ≤≤− x nên khi ta đặt x=cost với [ ] π ;0 ∈ t , thì 0sin ≥ t tx sin1 2 =−⇒ ta đưa được pt về dạng đơn giản hơn là đặt x=sint. Ví dụ 3: Giải bất phương trình : xxx ≤−−+ 11 Bài giải: Điều kiện : 11 ≤≤− x Đặt x=cos2t với [ ] π ;02 ∈ t Khi đó bất phương trình đã cho trở thành : 4 tttttt 2cossin2cos22cos2cos12cos1 ≤−⇔≤+−+ ( ) tttt 22 sincossincos2 −≤−⇔ ( ) ( ) 02sincossincos ≥−+−⇔ tttt 02 4 cos2 4 cos2 ≥       −       −       +⇔ ππ tt 01 4 cos 4 cos ≥       −       −       +⇔ ππ tt 0 4 cos ≤       +⇔ π t (1). Vì [ ] π ;02 ∈ t       ∈+⇒       ∈⇒ 4 3 ; 442 ;0 ππππ tt (2). Từ (1) và (2)       ∈⇒       ∈⇒       ∈+ π ππππππ ; 2 2 2 ; 44 3 ; 24 ttt . Suy ra: 02cos1 ≤≤− t 01 ≤≤−⇔ x Vậy: Bất phương trình này có nghiệm 01 ≤≤− x . Ví dụ 4: Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a>c, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) abaccacc ≤−+− (1) (Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm 1980) Bài giải: Cách 1: Vì a > c>0, b >c>0 0, 0 > ab nên bất đẳng thức (1) tương đương với ( ) ( ) 11 ≤ − + − ⇔≤ − + − b cb a c b c a ca ab cbc ab cac (2) Nhận thấy: 1 22 =         − +         a ca a c Nên ta đặt       ∈= − = 2 ;0,sin,cos π tt a ca t a c Tương tự ta đặt:       ∈= − = 2 ;0,sin,cos π uu b cb u b c Khi đó (2) trở thành: ( ) 1sin1sincoscossin ≤+⇔≤+ ututut (3) (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng. 5 Cách 2: Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2424       −−+       −−=−+−= b c ba c a cbccacA Đặt ( ) π ;0,,cos 22 ,cos 22 ∈=−=− utu bb ct aa c Ta được: t a u bba t b t a A cos 2 cos 222 ,cos 2 sin 2 −=−+= Suy ra: ( ) ut abba u b t a u b t aba A +−+=       −+       +=       −+ cos 244 cos 2 cos 2 sin 2 sin 222 22 222 2 Do đó: ( )( ) abAab ut abut ab A ≤⇒≤ + =+−= 2 sincos1 2 22 Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu 1 < x thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có: (1 + x) n + (1 – x) n < 2 n (1) ( Trích đề 122 – Câu III 2 -Bộ đề tuyển sinh) Bài giải: Vì 1<x nên có thể đặt x = cos2t với ( ) π ;0 ∈ t Khi đó bất đẳng thức (1) được trở thành: (1 + cos2t) n + (1 – cos2t) n < 2 n ( ) nnnn tt 2sincos2 22 <+⇔ Vì 1cos,sin0 2 0 <<⇒<< ttt π , do đó ta có: ( ) 1,coscoscos 22 >∀<= nttt n n và ( ) 1,sinsinsin 22 >∀<= nttt n n ( ) ( ) nnnnn tttt 2sincos2sincos2 2222 =+<+ Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 6 Dạng 2: Nếu bài toán chứa biểu thức dạng x 2 +y 2 =a 2 , thì có thể đặt:    = = tay tax sin cos hoặc    = = tay tax cos sin với [ ) π 2;0 ∈ t Ví dụ 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 +y 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 2 221 62 yxy xyx P ++ + = . ( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2008 ) Bài giải: Do x 2 +y 2 =1 nên tồn tại góc t sao cho x=cost, y=sint, [ ) π 2;0 ∈ t . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) )1(122sin62cos1 2sin62cos12cos2sin22 sin2sincos21 sincos6cos2 2 2 −=−++⇔ ++=−+⇔ ++ + = PtPtP ttPtt ttt ttt P Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: Phương trình có nghiệm ⇔ ( ) ( ) ( ) 222 1261 −≥−++ PPP ⇔ 3603662 2 ≤≤−⇔≤−+ PPP - Với P=3, từ (1) suy ra ( ) 12cos12sin 5 3 2cos 5 4 52sin32cos4 =−⇔=+⇔=+ uttttt       <<==+=⇔ 2 0, 5 3 sin, 5 4 cos 2 π π uuuđótrongk u t Do đó: ( ) ( )        −= −=        = = ⇔        −=       += −=       += 10 1 10 3 10 1 10 3 2 sin1 2 sin 2 cos1 2 cos y x hoăo y x u k u y u k u x k k π π - Với P=-6, từ (1) suy ra : 7 ( ) 12cos12sin 13 12 2cos 13 5 132sin122cos5 =+⇔=−⇔−=+− uttttt       <<= − =+−=⇔ 2 0, 13 12 sin, 13 5 cos 2 π π uuuđótrongk u t Do đó: ( ) ( )        = −=        −= = ⇔        −=       +−= −=       +−= 13 2 13 3 13 2 13 3 2 sin1 2 sin 2 cos1 2 cos y x hoăo y x u k u y u k u x k k π π Vậy: 3=PMax , 6 −= PMin Ví dụ 2: Cho hệ:      ≥+ =+ =+ )3(12 )2(16 )1(9 22 22 ytxz tz yx Trong các nghiệm (x,y,z,t ) của hệ nghiệm nào làm cho P= x+z , F=xz đạt giá trị lớn nhất ( Trích Đề thi tuyển sinh khối A năm 1987) Bài giải: Đặt: [ )    ∈= = π 2;0,sin3 cos3 aay ax và [ )    ∈= = π 2;0,sin4 cos4 bbt bz thay vào (3) ta được: 12)sin.sincos.(cos12 ≥+=+ babatyzx 1)cos( ≥−⇔ ba , nhưng vì cos(a-b) ≤ 1, nên suy ra: cos(a-b)=1 khi a=b. Do đó: - P=x+z= 7cos7cos3cos4 ≤=+ aaa . Vậy 027 ==⇒==⇔= bakbaPMax π và a=b= π 2 , suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=3,y=0,z=4,t=0. - F=x.z= 12cos12cos4.cos3 2 ≤= aaa . Vậy 01cos12 ==⇒=⇔±=⇔= bakaaFMax π , a=b= π , suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x=3,y=0,z=4,t=0 và x=-3,y=0,z=-4,t=0. 8 Ví dụ 3: Cho các số thực x,y thay đổi thỏa: x 2 +y 2 =2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : P=2(x 3 +y 3 )-3xy. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D năm 2008 ) Bài giải: Từ giả thiết ta có thể đặt:      = = ty tx sin2 cos2 , [ ) π 2;0 ∈ t . Suy ra: ttttttP cos.sin6)cos.sin1)(sin(cos24 −−+= . Đặt u=sint+cost = ) 4 sin(2 π + t , 22 ≤≤− u , ta có: )(326322 23 ufuuuP =++−−= 26626)( 2' +−−= uuuf ,      −= = ⇔= 2 2 1 0)( ' u u uf (thỏa mãn) 2 13 2 1 ,1)2(,7)2( =       =−=− fff . Vậy: -7PMin và 2 13 PMax == Ví dụ 4: Giải phương trình: 1 1 2 2 =       − + x x x . (1) (Bài 4.72,d. trang114, sách Bài tập Đại Số 10 Nâng cao) Bài giải: ĐK: 1≠x Đặt:      = − ≠= )2(cos 1 )1(1sin t x x tx [ )       ∈ 2 3 ; 2 \2;0 ππ π t , thay (1) vào (2) ta được: 1sin sin cos − = t t t )3(0cos.sincossin =−+⇔ tttt 9 Đặt u=sint+cost, đk: 1,2|| ±≠≤ uu ,phương trình (3) trở thành: 0 2 1 2 = − − u u     −= += ⇔=−−⇔ 21 21 012 2 u u uu chỉ có nghiệm 21 −= u thỏa mãn Vậy: 21cossin −=+ tt       −±−=⇔=−+−−⇔−= − +⇒ 12221 2 1 021)21(21 1 2 xxx x x x . Do đó phương trình có nghiệm là:       −±−= 12221 2 1 x . Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:      =+ =−− )2(25 )1(1 1 log)(log 22 4 4 1 yx y xy (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2004) Bài giải: ĐK:    > > 0y xy Với điều kiện trên hệ(1),(2) ⇔      =+ =+− 25 1 1 log)(log 22 4 1 4 1 yx y xy ⇔      =+ =− 25 )3( 4 11 )( 22 yx y xy Đặt:    = = ,sin5 cos5 ty tx (sint>0 và sint >cost), thay vào phương trình (3) ta được: ( ) ⇒=⇔=⇔=−⇔=− 25 16 sin 4 3 cot 4 1 cot1 4 1 sin 1 cossin 2 ttt t tt 5 4 sin =t , 5 3 cos =t 10 [...]... được một số bài học như sau: - Phải cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau - Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau để tìm ra lời giải tối ưu nhất - Rèn luyện cho học sinh trình bày lời giải ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic - Phải phát huy tối đa tính tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh 23 - Phải tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ... giải quyết các bài toán dựa trên cơ sở lý thuyết tương ứng KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp lượng giác để giải một lớp các bài toán đại số tạo cho học sinh phát triển tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, kỹ năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào trong giải toán, giúp các em thấy được sự gần gũi và tự tin với mảng kiến thức khó này Sau khi thực hiện đề tài này trên các buổi ôn tập cho học sinh. .. dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của trường THPT Ba Đình, ôn thi đại học tại các lớp 12A, 12K đã cho kết quả tốt Học sinh có thể sử dụng linh hoạt các phương pháp khác nhau để giải quyết các bài toán về tìm giái trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, đặc biệt là bài toán chứng minh bất đẳng thức; đồng thời qua đó giúp học sinh phát triển... trên hai đối tượng có chất lượng tương đương là học sinh lớp 12A và lớp 12K Trong đó lớp 12A chưa được 22 hướng dẫn sử dụng phương pháp lượng giác đê giải toán đại số Với hình thức kiểm tra là làm bài tự luận thời gian 45 phút với đề bài như sau: ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình : 1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 )  x + y =1  Câu 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:... − 3m  Câu 3:(2 điểm) Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức F = x2 + : 1 1 + y2 + 2 x2 y Câu 4: (3 điểm) Cho x2+y2=1 và u2+v2=1 Chứng minh: − 2 ≤ ( x − y )(u + v) + ( x + y )(u − v) ≤ 2 Kết quả thu được như sau: Lớp 12A 12K Sỹ số 45 44 Điểm < 5 Số lượng % 11 3 24,4% 6,7% Điểm 5 → . hàm số lượng giác được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán toán học và nhiều bài toán trong các nghành khoa học khác. Do đó việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp lượng giác để giải một. dụng phương pháp lượng giác để giải một lớp các bài toán đại số tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo, đồng thời tạo nên sự phong phú về thể loại và phương pháp giải toán cho. các bài toán đại số là một điều cần thiết, giúp học sinh hiểu sâu sắc, chắc chắn thêm những kiến thức về lượng giác; đồng thời trang bị thêm cho các em một phương pháp giải được nhiều bài toán