Sáng kiến kinh nghiệm trung học cơ sở này quý thầy cô sẽ có nguồn tài liệu tham khảo hay, củng cố xây dựng phương pháp dạy hiệu quả, qua đó giúp các em học sinh tiếp thu bài tốt, nắm vững kiến thức phát triển tư duy trí tuệ. Sáng kiến kinh nghiệm tiểu học tập hợp các đề tài đa dạng mang tính ứng dụng cao như ứng dụng công nghệ thông tin trong trường học
1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn sáng kiến Tốn học mơn khoa học tự nhiên quan trọng Để có kết tốt mơn tốn q trình học tập địi hỏi học sinh phải nắm lí thuyết, vận dụng sáng tạo, trình bày lơgic Để giúp em học tập mơn tốn đạt kết tốt người giáo viên khơng nắm vững kiến thức mà phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt để em lĩnh hội kiến thức cách dễ dàng chắn Là giáo viên giảng dạy trường trung ho ̣c sở (THCS), thân có nhiều suy nghĩ việc áp dụng phương pháp dạy học mới, để đưa chất lượng học sinh ngày nâng cao Phân tích đa thức thành nhân tử là da ̣ng toán bản, xuyên ś t chương trình Tốn ho ̣c phở thơng Đây là nề n tảng quan tro ̣ng viê ̣c giải nhiều dạng tốn phổ thơng Để góp phầ n nâng cao chấ t lươ ̣ng mơn Tốn ho ̣c ở trường THCS chọn sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử số tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” để nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy 1.2 Điểm sáng kiến - Giúp em biết phân tích đa thức thành nhân tử Hiểu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp - Giúp em biết nhận xét đa thức tìm hướng giải thích hợp trước giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, tập ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử chương I toán - Nêu số kinh nghiệm giảng dạy để giáo viên giúp học sinh giải thành thạo dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao chất lượng môn PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Qua thực tế nhiề u năm giảng dạy bô ̣ môn Toán ho ̣c với nhiề u đố i tươ ̣ng khác thấ y phần lớn học sinh lúng túng thường mắc phải lỗi sau: - Không nắm vững kiến thức học, lúng túng với đề tốn, khơng khơng biết vận dụng kiến thức để giải - Có mô ̣t số em có kiế n thức trình bày thì la ̣i thiế u tính chă ̣t che,̃ khoa ho ̣c dẫn đế n chưa có mô ̣t bài giải hoàn chỉnh - Trước áp dụng sáng kiến, khảo sát học sinh khối có kết sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Yếu TB SL % SL % SL 30 23,3 30,0 11 27 7,4 22,2 14 2.2 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử % 36,7 51,9 SL % 10,0 18,5 2.2.1 Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức 2.2.2 Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung : - Dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng: AB + AC = A(B + C) - Cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên: + Hệ số ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử + Các lũy thừa biến có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa số mũ nhỏ - Đơi để xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tới tính chất 𝐴 = −(−𝐴)) - Sau đặt nhân tử chung ta phải xét đa thức lại ngoặc để phân tích kết cuối * Các ví dụ minh họa : * Ví dụ 1: Phân tích đa thức 15𝑥 − 5𝑥 + 10𝑥 thành nhân tử (Ví dụ 2-SGK-tr18) Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 15, 5, 10 hạng tử trên? (Học sinh trả lời là: 5, Ư(15; 5; 10) = 5) - Tìm nhân tử chung biến 𝑥 ; 𝑥 ; 𝑥? (Học sinh trả lời là: 𝑥) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 5𝑥 Giải: 15𝑥 − 5𝑥 + 10𝑥 = 5𝑥 3𝑥 − 5𝑥 𝑥 + 5𝑥 = 5𝑥(3𝑥 − 𝑥 + 2) * Ví dụ 2: Phân tích đa thức 14𝑥 𝑦 − 21𝑥𝑦 + 28𝑥 𝑦 thành nhân tử (BT-39c-SGKtr19) Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử trên? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28) = 7) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2? (Học sinh trả lời là: 𝑥𝑦) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7𝑥𝑦 Giải: 14𝑥 𝑦 − 21𝑥𝑦 + 28𝑥 𝑦 = 7𝑥𝑦 2𝑥 − 7𝑥𝑦 3𝑦 + 7𝑥𝑦 4𝑥𝑦 = 7𝑥𝑦(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑥𝑦) * Ví dụ 3: Phân tích đa thức 𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 𝑦 thành nhân tử (Ví dụ 2-SGK-tr18) Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số hạng tử trên? (Học sinh trả lời là: hệ số hạng tử khơng có nhân thử chung) - Tìm nhân tử chung biến 𝑥 ; 𝑥 ; 𝑥 𝑦? (Học sinh trả lời là: 𝑥 ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 𝑥 Giải: 𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 5𝑥 + 𝑥 𝑦 = 𝑥 ( + 5𝑥 + 𝑦) 2 5 * Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥(𝑦 − 1) − 𝑦(𝑦 − 1) thành nhân tử (BT-39d-SGK-tr19) Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số hạng tử ? (Học sinh trả lời là: ) - Tìm nhân tử chung biến x(y – 1); y(y – 1) ? (Học sinh trả lời là: 𝑦 − 1) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho (𝑦 − 1) Giải: 2 5 𝑥(𝑦 − 1) − 𝑦(𝑦 − 1) = (𝑦 − 1)(𝑥 − 𝑦) * Ví dụ 5: Phân tích đa thức 10𝑥(𝑥 − 𝑦) − 8𝑦(𝑦 − 𝑥) thành nhân tử (BT-39e-SGK-tr19) Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10; hạng tử ? - Tìm nhân tử chung biến 𝑥(𝑥 − 𝑦); 𝑦(𝑦 − 𝑥)? - Để làm xuất nhân tử chung (𝑥 − 𝑦) ta đổi dấu (𝑦 − 𝑥) = −(𝑥 − 𝑦) Giải: 10𝑥(𝑥 − 𝑦) − 8𝑦(𝑦 − 𝑥) = 10𝑥(𝑥 − 𝑦) + 8𝑦(𝑥 − 𝑦) = 2(𝑥 − 𝑦)(5𝑥 + 4𝑦) * Ví dụ 6: Phân tích đa thức (𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 thành nhân tử Gợi ý: - Để làm xuất nhân tử chung ta thấy (y – x)2 = (x – y)2 Học sinh sai lầm đổi dấu sau : (𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 = (𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)2 Giải: (𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 = (𝑥 − 𝑦) − (𝑥 − 𝑦)2 = (𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥 + 𝑦) 2.2.2.2 Phương pháp dùng đẳng thức : Nếu nhận thấy đa thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức để biễu diễn đa thức thành tích đa thức (‘‘Dạng tổng hiệu’’ đưa ‘‘dạng tích’’ ) 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)2 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)2 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵) 𝐴3 + 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)3 𝐴3 − 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)3 𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2 ) 𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2 ) * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9𝑥 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 thành nhân tử (BT-27a-SBT-tr9) Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hạng tử đa thức trên? - Nhận thấy đa thức đưa dạng đẳng thức bình phương tổng Giải: 9𝑥 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 = (3𝑥)2 + 2.3𝑥 𝑦 + 𝑦 = (3𝑥 + 𝑦)2 * Ví dụ 2: Phân tích đa thức 𝑥 − thành nhân tử (BT-26a-SBT-tr9) Giải: 𝑥 − = 𝑥 − 32 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) * Ví dụ 3: Phân tích đa thức 𝑥 + 27 thành nhân tử (BT-26a-SBT-tr9) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức đưa dạng đẳng thức tổng hai lập phương Giải: 𝑥 + 1 1 = 𝑥 + ( ) = (𝑥 + ) (𝑥 − 𝑥 + ) 27 3 * Ví dụ 4: Phân tích đa thức 8𝑥 + 12𝑥 𝑦 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 thành nhân tử (BT-44d-SGKtr20) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức đưa dạng đẳng thức lập phương tổng Giải: 8𝑥 + 12𝑥 𝑦 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 = (2𝑥)3 + (2𝑥)2 𝑦 + 3.2𝑥 𝑦 + 𝑦 = (2𝑥 + 𝑦)3 2.2.2.3 Phương pháp nhóm hạng tử : Dùng tính chất giao hoán, kết hợp phép cộng ta kết hợp hạng tử đa thức thành nhóm thích hợp dùng phương pháp khác (đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức) phân tích đa thức thành nhân tử theo nhóm phân tích chung nhóm + Khi nhóm hạng tử thành nhóm thường nhóm hạng tử có nhân tử chung có đẳng thức + Sau phân tích cho nhóm nhóm phải có nhân tử chung có dạng đẳng thức q trình phân tích tiếp tục * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Phân tích đa thức 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 thành nhân tử (BT-32a-SBT-tr10) Sai lầm học sinh sai dấu đưa hạng tử vào ngoặc Lưu ý: Khi đưa hạng tử vào ngoặc mà trước dấu ngoặc dấu " − " ta phải đổi dấu hạng tử Gợi ý: - Nếu nhóm 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 − 5𝑦) + (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) nhóm (5𝑥 − 5𝑦) có nhân tử chung 5, nhóm (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) có nhân tử chung 𝑎 Sau đặt nhân tử chung cho nhóm hạng tử xuất nhân tử chung (𝑥 − 𝑦) nên trình phân tích tiếp tục.Vậy nhóm theo cách - Nếu nhóm 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 + 𝑎𝑥) − (5𝑦 + 𝑎𝑦) nhóm (5𝑥 + 𝑎𝑥) có nhân tử chung x, nhóm (5𝑦 + 𝑎𝑦) có nhân tử chung 𝑦 Sau đặt nhân tử chung cho nhóm hạng tử xuất nhân tử chung (5 + 𝑎) nên q trình phân tích tiếp tục.Vậy nhóm theo cách Vậy ta thực cách : Giải: Cách 1: 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 − 5𝑦) + (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) = 5(𝑥 − 𝑦) + 𝑎(𝑥 − 𝑦) Cách 2: 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 + 𝑎𝑥) − (5𝑦 + 𝑎𝑦) = 𝑥(5 + 𝑎) − 𝑦(5 + 𝑎) = (5 + 𝑎)(𝑥 − 𝑦) *Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + thành nhân tử (BT-8.1a-SBT-tr10) Gợi ý: - Nếu nhóm: 4𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + = (4𝑥 − 𝑦 ) + (4𝑥 + 1) = (2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦) + (4𝑥 + 1) lúc q trình phân tích khơng tiếp tục chứng tỏ cách nhóm khơng phù hợp - Nếu nhóm: 4𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + = (4𝑥 + 4𝑥) − (𝑦 − 1) = 4𝑥(𝑥 + 1) − (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) lúc q trình phân tích khơng tiếp tục chứng tỏ cách nhóm khơng phù hợp - Nếu nhóm 4𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + = (4𝑥 + 4𝑥 + 1) − 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 − 𝑦 hạng tử đa thức lại xuất đẳng thức nên q trình phân tích tiếp tục Vậy nhóm theo cách Giải: 4𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + = (4𝑥 + 4𝑥 + 1) − 𝑦 = (2𝑥 + 1)2 − 𝑦 = (2𝑥 + − 𝑦)(2𝑥 + + 𝑦) *Ví dụ 3: Phân tích đa thức 12𝑥 + 4𝑥 − 27𝑥 − thành nhân tử (BT-49d-BTNCtr15) Giải: 12𝑥 + 4𝑥 − 27𝑥 − = (12𝑥 + 4𝑥 ) − (27𝑥 + 9) = 4𝑥 (3𝑥 + 1) − 9(3𝑥 + 1) = (3𝑥 + 1)(4𝑥 − 9) = (3𝑥 + 1)[(2𝑥)2 − 32 ] = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) Sai lầm học sinh: Một số học sinh phân tích đến (𝟑𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙𝟐 − 𝟗) dừng việc phân tích Tuy nhiên, tập nhân tử (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗) tiếp tục phân tích thành (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑) Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích triệt để *Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 thành nhân tử (BT-c-đề số 4-ĐKTT8tr31) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức cho khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức, với hạng tử khơng thể nhóm - Đối với tốn này, ta tiến hành khai triển (bỏ dấu ngoặc) tìm cách giải thích hợp - Sau khai triển (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 đa thức cho trở thành: 𝑥 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 − (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + 𝑎𝑏 = 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 - Ta tiến hành nhóm hạng tử Học sinh sai lầm việc khai triển bỏ dấu ngoặc sau: 𝑥 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 Giải: 𝑥 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 − (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + 𝑎𝑏 = 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 − 𝑎𝑥) − (𝑏𝑥 − 𝑎𝑏) = 𝑥(𝑥 − 𝑎) − 𝑏(𝑥 − 𝑎) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) Lưu ý: Đôi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) đề cho lựa chọn hạng tử thích hợp để nhóm 2.2.2.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt phương pháp thường phải phối hợp phương pháp cách hợp lí + Nếu hạng tử có nhân tử chung ta áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức đa thức vế đẳng thức + Nếu hai phương pháp khơng áp dụng ta xét phương pháp nhóm hạng tử * Các ví dụ minh họa : * Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 thành nhân tử (BT-51a-SGK-tr24) Gợi ý: - Nhận thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung x nên ta đặt nhân tử chung trước - Sau đặt nhân tử chung, ngoặc có dạng đẳng thức bình phương hiệu Giải: 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2𝑥 + 1) = 𝑥(𝑥 − 1)2 * Ví dụ 2: Phân tích đa thức 5𝑥 − 10𝑥𝑦 + 5𝑦 − 20𝑧 thành nhân tử (BT-34c-SBTtr10) Gợi ý: - Nhận thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung nên ta đặt nhân tử chung trước Giải: 5𝑥 − 10𝑥𝑦 + 5𝑦 − 20𝑧 = 5(𝑥 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 − 4𝑧 ) = 5[(𝑥 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 ) − 4𝑧 )] = 5[(𝑥 − 𝑦)2 − (2𝑧)2 )] = 5(𝑥 − 𝑦 − 2𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧) * Ví dụ 3: Phân tích đa thức 𝑎3 − 𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑥𝑦 thành nhân tử (BT-34c-SBT-tr10) Gợi ý: - Nhận thấy hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung khơng có đẳng thức Ta thực nhóm hạng tử xuất nhân tử chung, nên ta chọn phương pháp nhóm hạng tử Giải: 𝑎3 − 𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑥𝑦 = (𝑎3 − 𝑎2 𝑥) − (𝑎𝑦 − 𝑥𝑦) = 𝑎2 (𝑎 − 𝑥) − 𝑦(𝑎 − 𝑥) = (𝑎 − 𝑥)(𝑎2 − 𝑦) * Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥 − 2𝑥 thành nhân tử (BT-54c-SGK-tr25) Gợi ý: - Nhận thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung x2 nên ta đặt nhân tử chung trước Giải: 𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 (𝑥 − 2) = 𝑥 (𝑥 − √2)(𝑥 + √2) * Ví dụ 5: Phân tích đa thức 𝑥 − 2𝑥 thành nhân tử (BT-54c-SGK-tr25) Gợi ý: - Nhận thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung x2 nên ta đặt nhân tử chung trước Giải: 𝑥 − 2𝑥 = 𝑥 (𝑥 − 2) = 𝑥 (𝑥 − √2)(𝑥 + √2) 2.2.3 Các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử không áp dụng phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử ta sử dụng hai phương pháp sau: 2.2.3.1 Phương pháp tách hạng tử : Để phân tích đa thức bậc hai 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 thành nhân tử Nếu không áp dụng đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu để phân tích ta dùng phương pháp tách hạng tử, có nhiều cách để tách hạng tử Ở giới thiệu cách tách hạng tử 𝑏𝑥 thành 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 Sao cho 𝑏1 + 𝑏2 𝑏1 𝑏2 = 𝑎 𝑐 * Cách tìm 𝑏1 𝑏2 Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích tích ac thành tích hai số nguyên Bước 3: Chọn hai thừa số có tích ac nói mà có tổng b làm b1 b2 +Lưu ý sau tách hạng tử ta dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích bước * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥 − 3𝑥 + thành nhân tử (BT-53a-SGK-tr24) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức cho khơng có nhân tử chung, có dạng đa thức bậc hai khơng thể đưa đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu để phân tích ta dùng phương pháp tách hạng tử - Ta có 𝑎 = 1; 𝑏 = −3; 𝑐 = - Tích 𝑎𝑐 = = 1.2 = (−1)(−2) - Chọn 𝑏1 𝑏2 hai thừa số có tích mà tổng −3 −1 −2 Giải: 𝑥 − 3𝑥 + = 𝑥 − 𝑥 − 2𝑥 + = (𝑥 − 𝑥) − (2𝑥 − 2) = 𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) Lưu ý: Ta tách hạng tử tự sau: 10 𝑥 − 3𝑥 + = 𝑥 − 3𝑥 + − = (𝑥 − 1) − (3𝑥 − 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − 3(𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 + − 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) * Ví dụ 2: Phân tích đa thức 𝑥 + 𝑥 − thành nhân tử (BT-53b-SGK-tr24) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức cho nhân tử chung, có dạng đa thức bậc hai khơng thể đưa đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu để phân tích ta dùng phương pháp tách hạng tử - Ta có 𝑎 = 1; 𝑏 = 1; 𝑐 = −6 - Tích 𝑎𝑐 = −6 = (−6) = (−1) = (−2) = (−3) - Chọn 𝑏1 𝑏2 hai thừa số có tích −6 mà tổng −2 Giải: 𝑥 + 𝑥 − = 𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 − = (𝑥 − 2𝑥) + (3𝑥 − 6) = 𝑥(𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) Lưu ý: Ta tách hạng tử tự sau: 𝑥2 + 𝑥 − = 𝑥2 + 𝑥 − − = (𝑥 − 4) + (𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) + (𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)(𝑥 + + 1) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 2.2.3.2 Phương pháp thêm bớt hạng tử Khi tất phương pháp khơng thực ta nghĩ đến phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức * Các ví dụ minh họa: 11 * Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥 + thành nhân tử (BT-53a-SGK-tr24) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức cho áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung, đẳng thức, nhóm hạng tử hay tách hạng tử - Ta có : 𝑥 + = (𝑥 )2 + 22 - Ta tiến hành cộng thêm hạng tử 𝑥 = 4𝑥 vào đa thức cho để xuất đẳng thức bình phương tổng Khi để giá trị đa thức khơng thay đổi ta phải trừ 4𝑥 Giải: 𝑥 + = (𝑥 )2 + 22 = (𝑥 )2 + 22 + 4𝑥 − 4𝑥 = [(𝑥 )2 + 4𝑥 +22 ] − 4𝑥 = (𝑥 + 2)2 − (2𝑥)2 = (𝑥 + − 2𝑥)(𝑥 + + 2𝑥) Câu hỏi đặt là: Tại thêm bớt mà bớt thêm? Bởi bớt thêm ta có: 𝑥 + = (𝑥 )2 + 22 = (𝑥 )2 + 22 − 4𝑥 + 4𝑥 = [(𝑥 )2 − 4𝑥 +22 ] + 4𝑥 = (𝑥 + 2)2 + (2𝑥)2 Đến tốn khơng tiếp tục Điều không phù hợp * Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4𝑥 + 𝑦 thành nhân tử (Ví dụ 6-BTNC-tr18) Gợi ý: - Nhận thấy đa thức cho áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung, đẳng thức, nhóm hạng tử hay tách hạng tử - Ta có : 4𝑥 + 𝑦 = (2𝑥 )2 + (𝑦 )2 - Ta tiến hành cộng thêm hạng tử 2.2𝑥 𝑦 = 4𝑥 𝑦 vào đa thức cho để xuất đẳng thức bình phương tổng Khi để giá trị đa thức khơng thay đổi ta phải trừ 4𝑥 𝑦 12 Giải: 4𝑥 + 𝑦 = (2𝑥 )2 + (𝑦 )2 = (2𝑥 )2 + (𝑦 )2 + 4𝑥 𝑦 − 4𝑥 𝑦 = [(2𝑥 )2 + 4𝑥 𝑦 +(𝑦 )2 ] − 4𝑥 𝑦 = (2𝑥 + 𝑦 )2 − (2𝑥𝑦)2 = (2𝑥 + 𝑦 − 2𝑥𝑦)(2𝑥 + 𝑦 + 2𝑥𝑦) 2.2.4 Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử Qua thực tế nghiên cứu thử nghiệm sáng kiến, bản thân đưa số kinh nghiệm giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử sau: - Nếu đa thức cho có hạng tử: Bước 1: Đặt nhân tử chung Bước 2: Dùng đẳng thức Hằng đẳng thức có đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu hai lập phương tổng hai lập phương Bước 3: Với đa thức có hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức ta áp dụng phương pháp thêm bớt hạng tử (Đa thức hạng tử khơng thể nhóm, khơng tách được) - Nếu đa thức cho có hạng tử: Bước 1: Đặt nhân tử chung Bước 2: Dùng đẳng thức Hằng đẳng thức có đẳng thức bình phương tổng bình phương hiệu Bước 3: Với đa thức có hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức ta áp dụng phương pháp tách - Nếu đa thức cho có hạng tử: Bước 1: Đặt nhân tử chung Bước 2: Dùng đẳng thức Hằng đẳng thức có đẳng thức lập phương tổng lập phương hiệu 13 (Dựa vào dấu hạng tử để xác định đẳng thức Tất hạng tử dấu khơng thể lập phương hiệu, hạng tử mang dấu âm, hạng tử mang dấu dương khơng thể lập phương tổng) Bước 3: Với đa thức có hạng tử khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức ta áp dụng phương pháp nhóm hạng tử: nhóm hạng tử - hạng tử nhóm hạng tử - hạng tử - Nếu đa thức cho có hạng tử trở lên: Bước 1: Đặt nhân tử chung Bước 2: Với đa thức có hạng tử trở lên khơng có đẳng thức nên ta áp dụng phương pháp nhóm hạng tử cách phù hợp: (Đa thức có hạng tử nhóm hạng tử - hạng tử nhóm hạng tử - hạng tử Đa thức có hạng tử nhóm hạng tử - hạng tử nhóm hạng tử - hạng tử…) 2.3 Một số dạng tốn ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Tính giá trị biểu thức: + Phân tích biểu thức cho thành nhân tử + Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính giá trị * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: 𝑥(𝑥 − 1) − 𝑦(1 − 𝑥) 𝑥 = 2001 𝑦 = 1999 (BT-40b-SGK-tr19) Giải: 𝑥(𝑥 − 1) − 𝑦(1 − 𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑦) Tại 𝑥 = 2001 𝑦 = 1999 biểu thức có giá trị là: (2001 − 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 * Ví dụ 2: Tính nhanh giá trị biểu thức: 8𝑥 − 12𝑥 𝑦 + 6𝑥𝑦 − 𝑦 𝑥 = 𝑦 = −8 (BT-77b-SGK-tr33) Giải: 8𝑥 − 12𝑥 𝑦 + 6𝑥𝑦 − 𝑦 = (2𝑥)3 − (2𝑥)2 𝑦 + (2𝑥) 𝑦 − 𝑦 = (2𝑥 − 𝑦)3 14 Tại 𝑥 = 𝑦 = −8 biểu thức có giá trị là: [2.6 − (−8)]3 = 203 = 8000 * Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: 𝑥 − 𝑦 − 2𝑦 − 𝑥 = 93 𝑦 = (BT-56b-SGK-tr25) Giải: 𝑥 − 𝑦 − 2𝑦 − = 𝑥 − (𝑦 + 2𝑦 + 1) = 𝑥 −(𝑦 + 1)2 = (𝑥 − 𝑦 − 1)(𝑥 + 𝑦 + 1) Tại 𝑥 = 93 𝑦 = biểu thức có giá trị là: (93 − − 1)(93 + + 1) = 86.100 = 8600 Dạng 2: Tính nhanh Phân tích biểu thức cần tính nhanh thành nhân tử tính * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Tính nhanh: 252 − 152 (BT-29a-SBT-tr9) Giải: 252 − 152 = (25 − 15)(25 + 15) = 10.40 = 400 * Ví dụ 2: Tính nhanh: 872 + 732 − 272 − 132 (BT-29b-SBT-tr9) Giải: 872 + 732 − 272 − 132 = (872 − 132 ) + (732 − 272 ) = (87 − 13)(87 + 13) + (73 − 27)(73 + 27) = 74.100 + 46.100 = 100 (74 + 46) = 100.120 = 12000 * Ví dụ 3: Tính nhanh: 52.143 − 52.39 − 8.26 (BT-21b-SBT-tr8) Giải: 52.143 − 52.39 − 8.26 = 52.143 − 52.39 − 52.4 = 52(143 − 39 − 4) = 52.100 = 5200 * Ví dụ 4: Tính nhanh: 37,5.6,5 − 7,5.3,4 − 6,6.7,5 + 3,5.37,5 (BT-49a-SGK-tr22) Giải: 37,5.6,5 − 7,5.3,4 − 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) − (7,5.3,4 + 6,6.7,5) 15 = 37,5(6,5 + 3,5) − 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 − 7,5.10 = 10(37,5 − 7,5) = 10.30 = 300 Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước + Chuyển tất hạng tử vế trái đẳng thức để vế phải 𝐴=0 + Phân tích vế trái thành nhân tử để đẳng thức dạng: 𝐴 𝐵 = ⇔ [ 𝐵=0 * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Tìm x, biết: 𝑥 + 5𝑥 = (BT-24a-SBT-tr8) Giải: 𝑥 + 5𝑥 = 𝑥(1 + 5𝑥) = 𝑥=0 ⇔[ + 5𝑥 = 𝑥=0 ⇔ [𝑥 = −1 * Ví dụ 2: Tìm x, biết: 5𝑥(𝑥 − 2000) − 𝑥 + 2000 = (BT-41a-SGK-tr19) Giải: 5𝑥(𝑥 − 2000) − 𝑥 + 2000 = 5𝑥(𝑥 − 2000) − (𝑥 − 2000) = (𝑥 − 2000)(5𝑥 − 1) = 𝑥 − 2000 = ⇔[ 5𝑥 − = 𝑥 = 2000 ⇔[ 𝑥 =1 * Ví dụ 3: Tìm x, biết: 𝑥 − 10𝑥 = −25 (BT-30b-SBT-tr9) Giải: 𝑥 − 10𝑥 = −25 𝑥 − 10𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)2 = 𝑥−5=0 16 𝑥=5 * Ví dụ 4: Tìm x, biết: 2(𝑥 + 5) − 𝑥 − 5𝑥 = (BT-37b-SBT-tr10) Giải: 2(𝑥 + 5) − 𝑥 − 5𝑥 = 2(𝑥 + 5) − (𝑥 + 5𝑥) = 2(𝑥 + 5) − 𝑥(𝑥 + 5) = (𝑥 + 5)(2 − 𝑥) = 𝑥+5=0 ⇔[ 2−𝑥 =0 𝑥 = −5 ⇔[ 𝑥=2 * Ví dụ 5: Tìm x, biết: 2𝑥 + 5𝑥 − = (BT-9.3b-SBT-tr11) Giải: 2𝑥 + 5𝑥 − = 2𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 − = (2𝑥 − 𝑥) + (6𝑥 − 3) = 𝑥(2𝑥 − 1) + 3(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 2𝑥 − = ⇔[ 𝑥+3=0 𝑥= ⇔[ 𝑥 = −3 Dạng 4: Các tốn chia hết Phân tích biểu thức cho thành nhân tử để xuất số chia áp dụng tính chất chia hết * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 𝑛2 (𝑛 + 1) + 2𝑛(𝑛 + 1) chia hết cho với số nguyên n (BT-25-SBT-tr8) Giải: 𝑛2 (𝑛 + 1) + 2𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 17 Ta thấy 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho với số nguyên n * Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 55𝑛+1 − 55𝑛 chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) (BT-42-SGK-tr19) Giải: 55𝑛+1 − 55𝑛 = 55𝑛 (55 − 1) = 55𝑛 54 chia hết cho 54 (với n số tự nhiên) * Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (5𝑛 + 2)2 − chia hết cho với số nguyên n (BT-52-SGK-tr24) Giải: (5𝑛 + 2)2 − = (5𝑛 + 2)2 − 22 = (5𝑛 + − 2)(5𝑛 + + 2) = 5𝑛(5𝑛 + 4) chia hết cho với số nguyên n Dạng 5: Chia đa thức Một số tốn chia đa thức chương trình áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử việc giải tốn dễ dàng * Các ví dụ minh họa: * Ví dụ 1: Tính nhanh: (4𝑥 − 9𝑦 ): (2𝑥 − 3𝑦) (BT-73a-SGK-tr32) Giải: (4𝑥 − 9𝑦 ): (2𝑥 − 3𝑦) = ((2𝑥)2 − (3𝑦)2 ): (2𝑥 − 3𝑦) = (2𝑥 − 3𝑦)(2𝑥 + 3𝑦): (2𝑥 − 3𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 * Ví dụ 2: Tính nhanh: (𝑥 − 3𝑥 + 𝑥𝑦 − 3𝑦): (𝑥 + 𝑦) (BT-73d-SGK-tr32) Giải: (𝑥 − 3𝑥 + 𝑥𝑦 − 3𝑦): (𝑥 + 𝑦) = [(𝑥 − 3𝑥) + (𝑥𝑦 − 3𝑦)]: (𝑥 + 𝑦) = [𝑥(𝑥 − 3) + 𝑦(𝑥 − 3)]: (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 𝑦): (𝑥 + 𝑦) =𝑥−3 *Kết quả: Qua thời gian giảng dạy áp dụng sáng kiến trường Thời gian đầu em lúng túng, vâ ̣n du ̣ng chưa thành tha ̣o có rấ t nhiề u em từ chỗ e nga ̣i đã tự tin, thích thú với dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử 18 - Tinh thần ham học mơn nâng cao có 95% em thích học mơn Tốn học - Phần lớn em xác định u cầu tốn, tìm hướng giải giải kết - Cụ thể: Kết sau áp dụng sáng kiến sau: Lớp 82 Sĩ số 30 27 Giỏi SL 12 Khá % 40,0 22,2 SL 13 % 43,3 33,4 Yếu TB SL 10 % 16,7 37,0 SL % 7,4 PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến: a Ý nghĩa sáng kiến: Qua trình áp du ̣ng sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử số tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” thân rút số kinh nghiệm sau: - Đối với tập phân tích đa thức thành nhân tử, sau hướng dẫn xong giáo viên cho học sinh hoạt động theo nhóm để phát huy tính tích cực chủ động em khả cộng tác nhóm, thơng qua kỹ giải tập hình thành cách bền vững - Hướng dẫn học sinh nghiên cứu kỹ đề bài, tìm mối liên hệ yếu tố toán - Xác định phương hướng giải, xét trường hợp xảy để đến lời giải hay - Ngay từ đầu năm học, giáo viên nên thành lập nhóm ho ̣c tâ ̣p bơ ̣ mơn Tốn học để em giúp đỡ lẫn giải đáp thắc mắc, đồng thời kiế n nghị với giáo viên gặp vấn đề khó hiểu b Phạm vi áp dụng sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử số tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” áp dụng cho chương trình Tốn nói riêng chương trình Tốn THCS nói chung mà thân trực tiếp giảng dạy 19 3.2 Kiến nghị, đề xuất Để sáng kiến đạt kết cao áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, tơi mạnh dạn đề xuất số vấn đề sau: - Phòng giáo du ̣c: Tiế p tu ̣c tâ ̣p huấ n, bồ i dưỡng triể n khai các chuyên đề liên trường, cu ̣m chuyên môn - Trường: Tiế p tu ̣c bổ sung tăng trưởng sở vâ ̣t chấ t bô ̣ mơn Tốn ho ̣c Trên nội dung sáng kiến mà thân nghiên cứu vận dụng q trình giảng dạy mơn Tốn học Rất mong nhận góp ý, trao đổi thầy giáo, cô giáo, đồng nghiệp để sáng kiến bản thân hoàn thiện triển khai năm sau có hiệu 20 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ, KÝ HIỆU VIẾT TẮT Thứ tự Các cụm từ viết thường Các cụm từ, ký hiệu viết tắt Trung học sở THCS Bài tập BT Sách giáo khoa SGK Sách tập SBT Trang (trang 8) tr (tr8) Sách tập nâng cao số chuyên đề toán Sách đề kiểm tra Toán BTNC ĐKTT8 21 TÀI LIỆU KHAM KHẢO Sách giáo khoa Toán học (Tập 1) - Nhà xuất giáo dục Sách tập Toán học - Nhà xuất giáo dục Sách tập nâng cao số chuyên đề Toán - Nhà xuất giáo dục Việt Nam Sách đề kiểm tra Toán – Nhà xuất đại học sư phạm 22 MỤC LỤC Nội dung T.T Trang Phần mở đầ u 1.1 Lý chọn sáng kiến 1.2 Điểm sáng kiến Phần nội dung 1-2 2.1 Thực trạng 2.2 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1 Thế phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.2 Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.3 Các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.4 Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Một số tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 2-9 - 13 13 - 14 14 – 18 Kết luận 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến 3.2 Kiến nghị, đề xuất 20 Danh mục cụm từ, ký hiệu viết tắt 21 10 Tài liệu tham khảo 22 11 Mục lục 23 19 23 19 – 20 XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… XẾP LOẠI CỦA HĐKH PHÒNG GD & ĐT QUẢNG NINH …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 24 ... Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức 2.2.2 Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử ... pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1 Thế phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.2 Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.3 Các phương pháp khác để phân tích đa thức. .. thức thành nhân tử 2.2.4 Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Một số tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 2-9 - 13 13 - 14 14 – 18 Kết luận 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng