Chuyên đề nâng cao Phân tích đa thức thành nhân tử bằng một số phương pháp khác Toán 8

Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó. Tuy nhiên có những đa t[r]

(1)

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Chuyên đề nâng cao

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC

1 Kiến thức cần nhớ

Chúng ta biết ba phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử phối hợp ba phương pháp Tuy nhiên có đa thức đơn giản, biết dùng ba phương pháp thơi khơng thể phân tích thành nhân tử

Chẳng hạn đa thức x + 4y4 Nếu x - 4y4 dùng phương pháp đẳng thức phân tích dễ dàng

x 4y4 dấu + Một đa thức khác x + 4y - 5x y4 2 Phương pháp đặt nhân tử chung khơng dùng ba hạng tử khơng có nhân tử chung Phương pháp dùng đẳng thức khơng thích hợp khơng thuộc dạng đẳng thức Cịn phương pháp nhóm hạng tử khơng dùng được, muốn dùng phương pháp đa thức phải có từ bốn hạng tử trở lên

Do chuyên đề xét thêm số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử

2 Một số ví dụ

a Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1. Phân tích đa thức A thành nhân tử

A = 4x - 4x - 152

Giải Cách :

Tách hạng tử cuối thành hai hạng tử nhóm lại dùng phương pháp đẳng thức để phân tích :

2

A = 4x - 4x - 15

(

)

(

)

= 4x - 4x + - 16 = 2x - l –

=

= 2x - - 2x - + = 2x - 2x +

(

)(

) (

)(

)

Cách :

Tách hạng tử -4x thành hai hạng tử nhóm lại dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích

2

A = 4x - 4x - 15 = 4x - l0x + 6x - 15

(

)

(

) (

)(

)

= 2x 2x - + 2x - = 2x - 2x +

Cơ sở phương pháp tách hạng tử tách hạng tử thành nhiều hạng tử để đặt nhân tử chung theo nhóm dùng đẳng thức :

Nhận xét : Trong cách tách thứ hai ta tách -4x thành -10x + 6x

2

A = 4x - l0x + 6x - 15.Ta nhận thấy hệ số chúng tỉ lệ với :

10= 15

(2)

Nếu tách hạng tử bậc thành hai hạng tử thoả mãn điều kiện trên, sau đặt nhân tử chung theo nhóm, kết lại xuất nhân tử chung ta tiếp tục phân tích đến kết cuối

Tổng quát : Đối với tam thức bậc hai

ax + bx + c ta tách hạng tử bậc bx thành hai hạng tử

1

b x b2x cho :

1 b + b = b b b = ac

Khi đa thức ax + bx + c2 phân tích thành nhân tử cách đặt nhân tử chung theo nhóm

Điều kiện để đa thức ax + bx + c2 phân tích thành tích hai nhị thức bậc biểu thức

2

b - 4aclà số phương

Trong ví dụ 28 b - 4ac = -4 - 4.4 -15 = 256 = 16

( )

Ví dụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2 2

a x - 13x + 36; b x - 5x - 14 ; c 3x - 5xy -

)

2y

.

Giải

(

) (

)(

)

(

) (

)(

)

2

2 2

a x - 13x + 36 = x - 4x - 9x + 36 = x x - - x - = x - x -

b x - 5x - 14 = x + 2x - 7x - 14 - x x + - x + = x + x -

c 3x - 5xy - 2y = 3x - 6xy + xy - 2y

)

= 3x x - 2y + y x - 2y = x - 2y 3x + y

(

)

(

) (

)(

)

Trên ta xét tam thức bậc hai Cịn đa thức có bậc lớn hai tuỳ theo đặc điểm hệ số mà lựa chọn cách tách cho phù hợp

Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x - 4x + 33

Giải : Ta tách hệ số thành -1 + :

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2

2

A = x - - 4x + = x - l x + x + - x + l x - 1

= x - l x + x + - 4x - = x - l x - 3x -

Cách khác : Nhẩm nghiệm dùng hệ định lí Bê - du : Dễ thấy x = nghiệm đa thức A nên theo hệ định lí Bê-du ta có

(

) ( )

3

x - 4x + = x - q x

(3)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

4 3 2

3

2

B = x + 2x + 3x + 4x + = x + x + x + x + 2x + 2x + 2x + 2

= x

x + + x

x + + 2x x + + x + 1

= x + l

x + x + 2x + 2

= x + l





x

x + + x + 1





= x + l

x + l

x + = x + l

x +

(

2

)

Như đa thức có nghiệm x = a ta phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử cho đặt nhân tử chung theo nhóm nhóm có nhân tử x - a Dựa vào nhận xét sau ta nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ đa thức f(x) với hệ số nguyên

1. Nếu đa thức có nghiệm ngun nghiệm ngun phải ước hệ số tự Đặc biệt:

Nếu tổng hệ số đa thức x = nghiệm đa thức

Nếu tổng hệ số bậc lẻ tổng hệ số bậc chẵn x = -1 nghiệm đa thức Chẳng hạn đa

f x = x - 3x - x + 3

( )

x = nghiệm tổng hệ số - - + = ;

x = -1 nghiêm tổng hệ số bậc lẻ hệ số bậc chẵn : + (-1) = (-3) + ;

x = nghiệm 3 − 3.3 − + =

Hệ số tự cịn có ước -3, ta khơng cần thử với -3 đa thức bậc ba không ba nghiệm

2 Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ nghiệm có dạng p

q với (p, q) = p ước hạng tử tự

do ; q ước dương hệ số cao

Chẳng hạn đa thức

f x = 2x + 3x + 2x - 2.

( )

Thử lại giá trị hữu tỉ x = ±

2 (±1 ước hạng tử tự ; ước dương số cao nhất) ta

thấy x = -

2 nghiêm x =

2 nghiệm đa thức

2

1

f(

) - 2(

) + - = 0.

2

Do

f(x) = (x -

1

).q(x)

2

Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

C = 2x + 3x + 2x - 2

Giải

(4)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

3 2

2

C = 2x + 3x + 2x - = 2x - x + 4x - 2x + 4x - 2

= x

2x - + 2x 2x - + 2x - = 2x - l

x + 2x +

b Phương pháp thêm bớt hạng tử

Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = x + 4y

Giải

Ta thấy x + 4y4 4có dạng a + b2 Vì thêm bớt hạng tử 2ab để xuất đẳng thức

(

)

(

)

(

)(

)

4 4 2 2

2

2 2 2

Ta có A = x + 4y = x + 4x y + 4y - 4x y

= x + 2y

- 2xy

= x + 2y - 2xy x + 2y - 2xy

Ví dụ 6. Phân tích đa thửc sau thành nhân tử : B = x + x + 15

Giải

Ta thấy đa thức cho đa thức bậc Đa thức khuyết hạng tử bậc 4, bậc 3, bậc Vì chọn thêm bớt hạng tử có bậc bị khuyết Hợp lí thêm bớt hạng tử bậc

( ) (

)

(

)

(

) (

)(

)

5 2

2

2 2

Ta có B = x + x + - x - x + x + x + 1

= x

x - l + x + x + 1

= x

x - l x + x + + x + x + = x + x + l x - x +

Nhận xét: Có hai sở để thêm bớt hạng tử : Thêm bớt để dùng đẳng thức

Thêm bớt hạng tử bị khuyết đa thức để đặt nhân tử chung dùng đẳng thức

c Phương pháp đổi biến

Ví dụ 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

(

)(

)

a A = x - x - x - x -) - 12

(

)

(

)

(

)

b B = x - y) + y - z + z - x

Giải

a) Ta đặt

x - x - = a x - x - = a - 1.

Khi

A = a a - b - 12 = a - a - 12 = a - a +

(

)

(

)(

)

Thay trở lại

a = x - - 3

x

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

= x - x - x - x = x x - l x - x -

b) Ta đặt x - y = a; y - z = b; z - x = c a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) =

Ta 3

(5)

Do

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

Nhận xét: Trong ví dụ ta khai triển đa thức, thu gọn phân tích đa thức bậc cao khó phân tích Phương pháp đổi biến đưa biểu thức phức tạp thành biểu thức đơn giản dễ phân tích

d Phương pháp đồng hệ số

Ví dụ 8 Phân tích đa thức A thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên :

4

A = x - 4x - 2x - 3x + 2.

Giải

Sau phân tích A có dạng

(

)(

)

x + ax + x + bx +

(

)(

)

(trường hợp hai hạng tử đầu tam thức

-x

(

)(

)

Khai triển thu gọn ta

(

)

(

)

(

)

4

A = x + a + b x + ab + x + a + 2b x +

Vậy x - 4x - 2x - 3x + = x + a + b x + ab + x + a + 2b x + 24

(

)

(

)

(

)

( )

a + b = -4 ab + = -2 a + 2b = -3 

   

Từ (1) (3) ta suy a = -5 ; b = Đẳng thức (2) thoả mãn

Vậy x - 4x - 2x - 3x + = x - 5x + 24

(

)(

)

Xét trường hợp thứ hai: giải ta thấy khơng có a b thoả mãn Vậy tốn có đáp số

e Phương pháp xét giá trị riêng biến Ví dụ 9. Phân tích đa thức sáu thành nhân tử P = xy(x - y) + yz(y - z) + zx(z - x)

Giải.

Nếu thay x y p = + yz(y - z) + zy(z - y) = Do P chứa nhân tử (x - y) Tương tự, P chứa nhân tử (y - z) (z - x)

Vậy P = k.(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy P đa thức bậc ba tập hợp biến x, y, z

Tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z nên k phải số

(6)

(-1)(1 + 1) = k(2).(-1)(-1) hay 2k = -2, k = -1

Vậy P = (-1).(x - y)(y - z)(z - x) hay P = (x - y)(y - z)(x - z)

Đến ta có phương pháp khác dể phân tích đa thức thành nhân tử ba phương pháp đầu (tách hạng tử, thêm bớt hạng tử đổi biến) phương pháp hay dùng Các bạn cố gắng nắm thật vững để vận dụng cho tốt

3 Bài tập tự luyện

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2

a x + 7x + 12 ; b x + 8x - 33

c x - 9x + 18; d x - 3x

)

- 54

2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

2

2 2

a 20x + 7x - ; b 18x + 21x-4 ;

c 12x - 23xy + 10y ; d x

)

- 5x y

)

+ 4y

)

.

3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) M = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc ; b) N = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc

4 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

12

a x + ; b 4

)

) x

+ 1.

5. Tìm tất giá trị tự nhiên x để biểu thức

A = x + 4

6 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

(

)

(

)

(

)

(

)

2

a A = x + 3x

- x + 3x - ;

b B = x + 4x + 10

- x + 4x + 11

)

+ 7.

(

)(

)

N = x - 15x + 50 x - 18x + 72 - 3x

8 Cho đa thức

A = x - 7x + 12x - x - 3.

Hãy phân tích A thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên hệ số cao dương

9 Cho đa thức

B = x + 3x - x - x + 13x+ 5.

(7)

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia