chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phụ đạo học sinh yếu kém phải được giáo viên quan tâm nhất là trong tình hình học tập hiện nay của học sinh, nhưng phụ đạo như thế nào, phương pháp ra sao thì đó cũng là một vấn đề đòi h

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HỌC SINH YẾU KÉM

CẤP THCS Môn: Toán

1.Tác giả chuyên đề: Tạ Xuân Chiến - Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị: Trường THCS Lãng Công, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc

2 Tên chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp

dùng hằng đẳng thức.

3 Thực trạng, chất lượng giáo dục của nhà trường năm học

2018-2019 3.1 Thuận lợi.

- Đối với học sinh THCS, các em cũng đã bước sang tuổi thanh thiếu niên, đa

số đã phát triển về tư duy nên hình thành ý thức và xác định cơ bản mục đích học tập tương đối cao

- Học sinh có thể nhận được sự giúp đỡ từ nhiều phía: gia đình, nhà trường và

xã hội hoặc học tập từ bạn bè

- Đội ngũ giáo viên luôn nhiệt tình, thân thiện và quan tâm giúp đỡ học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém

- Được sự quan tâm, phối hợp của Ban giám hiệu cùng các đoàn thể

3.2 Khó khăn.

- Đối tượng học sinh yếu có những khác biệt về cách nhận thức, đa phần là do hoàn cảnh gia đình, kinh tế, lười học hoặc thiếu sự quan tâm của cha mẹ, Những điều này đã ảnh hưởng nhiều đến vấn đề học tập của học sinh, từ đó dẫn đến các em chán nản việc học, hổng kiến thức

- Đặc điểm của trường là ở nông thôn, điều kiện học tập của một số học sinh còn khó khăn

- Mặt khác, còn một bộ phận học sinh ỷ lại, lười suy nghĩ, không chuẩn bị bài ở nhà, trong giờ học thì lơ là, không tập trung, làm giảm khả năng tư duy của học sinh

3.3 Nguyên nhân dẫn đến học sinh yếu kém.

Để nâng dần chất lượng học sinh không phải là chuyện một sớm một chiều

mà nó đòi hỏi phải có sự kiên nhẫn và lòng quyết tâm của người giáo viên

Phụ đạo học sinh yếu kém phải được giáo viên quan tâm nhất là trong tình hình học tập hiện nay của học sinh, nhưng phụ đạo như thế nào, phương pháp ra sao thì đó cũng là một vấn đề đòi hỏi giáo viên cần phải không ngừng tìm hiểu

*) Về phía học sinh.

Học sinh là người học, là người lĩnh hội những tri thức thì nguyên nhân học sinh yếu kém có thể kể đến là do :

- Học sinh lười học: Qua quá trình giảng dạy, nhận thấy rằng các em học sinh

yếu đa số là những học sinh cá biệt, trong lớp không chịu chú ý chuyên tâm vào việc học, về nhà thì không xem bài, không chuẩn bị bài, không làm bài tập, cứ đến giờ học thì cắp sách đến trường Còn một bộ phận nhỏ thì các em chưa xác định được mục đích của việc học Các em chỉ đợi đến khi lên lớp, nghe giáo viên giảng bài rồi ghi vào những nội dung đã học để sau đó về nhà lấy ra “học vẹt” mà không hiểu được nội dung đó nói lên điều gì Chưa có phương pháp và động cơ học tập đúng đắn

- Cách tư duy của học sinh: Môn Toán được xem là một môn học cần nhiều

yếu tố để học tốt như: cách tư duy tinh tế, sự tỉ mỉ, tính toán khoa học chính xác cao nên một số em với lối tư duy sơ sài, lười nhác nên không nhận thức được Từ đó, một

số em dần mất đi hứng thú học và dẫn đến tình trạng yếu kém

- Học sinh bị hổng kiến thức từ lớp dưới: Đây là một điều không thể phủ nhận

với chương trình học tập hiện nay Nguyên nhân này có thể nói đến bản thân từng học sinh và cách đánh giá của giáo viên chưa hợp lí, chính xác

*) Về phía giáo viên.

Nguyên nhân học sinh học yếu không phải hoàn toàn là ở học sinh mà một phần ảnh hưởng không nhỏ là ở người giáo viên:

- Còn một số giáo viên chưa thực sự chú ý đúng mức đến đối tượng học sinh yếu Chưa theo dõi sát sao và xử lý kịp thời các biểu hiện sa sút của học sinh

- Tốc độ giảng dạy kiến thức mới và luyện tập còn nhanh khiến cho học sinh yếu không theo kịp

- Một số giáo viên chưa thật sự chịu khó, tâm huyết với nghề, chưa thật sự giúp

đỡ các em thoát khỏi yếu kém, như gần gũi, tìm hiểu hoàn cảnh để động viên, hoặc khuyến khích các em khi các em có chút tiến bộ trong học tập như là khen thưởng các em Từ đó các em cam chịu, dần dần chấp nhận với sự yếu kém của chính mình

và nhụt chí không tự vươn lên

*) Về phía phụ huynh.

Còn một số phụ huynh học sinh :

- Thiếu quan tâm đến việc học tập ở nhà của con em, phó mặc mọi việc cho nhà trường và thầy cô

- Gia đình học sinh gặp nhiều khó khăn về kinh tế hoặc đời sống tình cảm khiến trẻ không chú tâm vào học tập

- Một số cha mẹ quá nuông chiều con cái, quá tin tưởng vào các em nên học sinh lười học, xin nghỉ để làm việc riêng (như đi chơi, giả bệnh, ) cha mẹ cũng đồng

ý cho phép nghỉ học, vô tình là đồng phạm góp phần làm học sinh lười học, mất dần căn bản Từ đó dẫn đến tình trạng yếu kém

Trên đây chỉ là một số nguyên nhân chủ quan dẫn đến tình trạng học sinh yếu

mà bản thân trong quá trình giảng dạy nhận thấy

3.4 Một số giải pháp phụ đạo học sinh yếu, kém.

a Giải pháp chung.

*) Xây dựng môi trường học tập thân thiện.

- Sự thân thiện của giáo viên là điều kiện cần để những biện pháp đạt hiệu quả cao Thông qua cử chỉ, lời nói, ánh mắt, nụ cười… giáo viên tạo sự gần gũi, cảm giác

an toàn nơi học sinh để các em bày tỏ những khó khăn trong học tập, trong cuộc sống của bản thân mình

- Giáo viên luôn tạo cho bầu không khí lớp học thoải mái, nhẹ nhàng, không mắng hoặc dùng lời thiếu tôn trọng với các em, đừng để cho học sinh cảm thấy sợ giáo viên mà hãy làm cho học sinh thương yêu và tôn trọng mình

- Bên cạnh đó, giáo viên phải là người đem lại cho các em những phản hồi tích cực Ví dụ như giáo viên nên thay chê bai bằng khen ngợi, giáo viên tìm những việc làm mà em hoàn thành dù là những việc nhỏ để khen ngợi, hoặc cho điểm cao để khuyến khích các em

*) Phân loại đối tượng học sinh.

- Giáo viên cần xem xét, phân loại những học sinh yếu đúng với những đặc điểm vốn có của các em để lựa chọn biện pháp giúp đỡ phù hợp với đặc điểm chung

và riêng của từng em Một số khả năng thường hay gặp ở các em là: Sức khoẻ kém, khả năng tiếp thu bài, lười học, thiếu tự tin, nhút nhát…

- Trong quá trình thiết kế bài học, giáo viên cần cân nhắc các mục tiêu đề ra nhằm tạo điều kiện cho các em học sinh yếu được củng cố và luyện tập phù hợp

- Trong dạy học cần phân hóa đối tượng học tập trong từng hoạt động, dành cho đối tượng này những câu hỏi dễ, những bài tập đơn giản để tạo điều kiện cho các

em được tham gia trình bày trước lớp, từng bước giúp các em tìm được vị trí đích thực của mình trong tập thể

- Ngoài ra, giáo viên tổ chức phụ đạo cho những học sinh yếu khi các biện pháp giúp đỡ trên lớp chưa mang lại hiệu quả cao Có thể tổ chức phụ đạo một buổi trong một tuần Tuy nhiên, việc tổ chức phụ đạo có thể kết hợp với hình thức vui chơi nhằm lôi cuốn các em đến lớp đều đặn và tránh sự quá tải, nặng nề

*) Giáo dục ý thức học tập cho học sinh.

- Giáo viên phải giáo dục ý thức học tập của học sinh tạo cho học sinh sự hứng thú trong học tập, từ đó sẽ giúp cho học sinh có ý thức vươn lên Trong mỗi tiết dạy,

giáo viên nên liên hệ nhiều kiến thức vào thực tế để học sinh thấy được ứng dụng và tầm quan trọng của môn học trong thực tiễn Từ đây, các em sẽ ham thích và say mê khám phá tìm tòi trong việc chiếm lĩnh tri thức

- Bên cạnh đó, giáo viên phải tìm hiểu từng đối tượng học sinh về hoàn cảnh gia đình và nề nếp sinh hoạt, khuyên nhủ học sinh về thái độ học tập, tổ chức các trò chơi có lồng ghép việc giáo dục học sinh về ý thức học tập tốt và ý thức vươn lên trong học tập, làm cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc học Đồng thời, giáo viên phối hợp với gia đình giáo dục ý thức học tập của học sinh Do hiện nay, có một

số phụ huynh luôn gò ép việc học của con em mình, sự áp đặt và quá tải sẽ dẫn đến chất lượng không cao Bản thân giáo viên cần phân tích để các bậc phụ huynh thể hiện sự quan tâm đúng mức Nhận được sự quan tâm của gia đình, thầy cô sẽ tạo động lực cho các em ý chí phấn đấu vươn lên

*) Kèm cặp học sinh yếu kém.

- Tổ chức cho học sinh khá, giỏi thường xuyên giúp đỡ các bạn yếu, kém về cách học tập, về phương pháp vận dụng kiến thức

- Tổ chức kèm cặp, phụ đạo cho các em Trong các buổi này, giáo viên chủ yếu kiểm tra việc lĩnh hội các kiến thức giảng dạy trên lớp, nếu thấy các em chưa chắc cần tiến hành ôn tập củng cố kiến thức để các em nắm vững chắc hơn, nói chuyện để tìm hiểu thêm những chỗ các em chưa hiểu hoặc chưa nắm chắc để bổ sung, củng cố Hướng dẫn phương pháp học tập: học bài, làm bài, việc tự học ở nhà

- Phối hợp với gia đình tạo điều kiện cho các em học tập, đôn đốc thực hiện kế hoạch học tập ở trường và ở nhà

b Giải pháp cụ thể.

*) Lập danh sách học sinh yếu kém thông qua bài kiểm tra chất lượng đầu năm và quá trình học tập trên lớp.

- Ngay từ đầu năm, giáo viên phải lập danh sách học sinh yếu kém bộ môn mình, qua phần kiểm tra khảo sát đầu năm hoặc ở năm học trước để nắm rõ các đối tượng học sinh, lập danh sách học sinh yếu kém và chú ý quan tâm đặc biệt đến những học sinh này trong mỗi tiết học như thường xuyên gọi các em đó lên trả lời, khen ngợi khi các em trả lời đúng…

*) Điểm danh học sinh mỗi buổi học.

-Ghi nhận và báo với giáo viên chủ nhiệm những trường hợp học sinh bỏ học phụ đạo để có biện pháp khắc phục

*) Xác định kiến thức cơ bản, trọng tâm và cách ghi nhớ.

- Xác định rõ kiến thức trọng tâm, kiến thức nền (những kiến thức cơ bản, có nắm được những kiến thức này mới giải quyết được những câu hỏi và bài tập) trong tiết dạy cần cung cấp, truyền đạt cho học sinh

- Đối với học sinh yếu kém không nên mở rộng, chỉ dạy phần trọng tâm, cơ bản, theo chuẩn kiến thức kĩ năng, hoặc làm bài tập nhiều lần và nâng dần mức độ của bài tập sau khi các em đã nhuần nhuyễn dạng bài tập đó

- Nhắc lại kiến thức kiến thức cơ bản, công thức cần nhớ ở cấp THCS mà các

em đã hỏng, cho bài tập lý thuyết khắc sâu để học sinh nhớ lâu

4 Đối tượng học sinh, dự kiến số tiết dạy:

- Học sinh lớp 8

- Dự kiến số tiết dạy : 3 tiết

Trong đó: Tiết 1: Dạng 1.

Tiết 2: Dạng 2.

Tiết 3: Dạng 3.

5 Hệ thống (phân loại, dấu hiệu nhận biết đặc trưng) các dạng bài tập đặc trưng của chuyên đề.

Dạng 1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức

Dạng 3 Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

6 Hệ thống các phương pháp cơ bản, đặc trưng để giải các dạng bài tập trong chuyên đề.

Dạng 1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Phương pháp giải

+ Nếu đa thức có hai hạng tử thì vận dụng A2- B2 = (A-B)(A+B) hoặc

A3+ B3 = (A+B)(A2 -AB+B2) hoặc A3- B3 = (A-B)(A2 +AB+B2)

+ Nếu đa thức có ba hạng tử thì vận dụng A2 +2AB +B2= (A+B)2 hoặc

A2 -2AB +B2= (A-B)2

+ Nếu đa thức có bốn hạng tử thì vận dụng A3+3A2B+3AB2+B3= (A + B)3 hoặc A3-3A2B+3AB2-B3 = (A - B)3

Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức.

Phương pháp giải.

Dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử rồi thay các biến bằng giá trị của chúng và thực hiện các phép tính

Dạng 3 Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Phương pháp giải

Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, còn vế phải bằng 0

Dùng hằng đẳng thức phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A2 = 0, A3 = 0 hoặc A.B = 0

Suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó tìm tất cả các giá trị của x

7 Hệ thống các ví dụ, bài tập cụ thể cùng lời giải minh họa cho chuyên đề.

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) x2 – 25; b) 9x2 – y2; c) 1 – 4x2 ; d) x3 - 8

Xem lại phương pháp giải

- Nếu đa thức có hai hạng tử thì vận dụng A2- B2 = (A-B)(A+B) hoặc công thức

A3+ B3 = (A+B)(A2 -AB+B2) hoặc A3- B3 = (A-B)(A2 +AB+B2)

Chú ý thêm:1 = 12 = 13 ; 4 = 22 ; 9 = 32; …

1 1  2 1  1  2 1  1  2

   ;    ;    ;

4 2  9 3  16 4 

1 1  3 1  1 

3 1  1  3

8 2  27  3  64  4  Lời giải

a) x2 – 25 = x2 – 52 = (x – 5)(x + 5);

b) 9x2 – y2 = (3x)2 – y2 = (3x – y)(3x+y);

c) 1 – 4x2 = 12 – (2x)2 = (1 – 2x)(1+2x) ;

d) x3 – 8 = x3 – 23 = ( x - 2)(x2 – x 2+22)= ( x – 2)(x2 –2x + 4)

a) 1 – 2x + x2 ; b) x2 +8x + 16

c) y2 - 4xy +4x2 ; d) 25x2y2 – 10xy + 1

Xem lại phương pháp giải

Nếu đa thức có ba hạng tử thì vận dụng A2 +2AB +B2= (A+B)2

hoặc A2 -2AB +B2= (A-B)2

Lời giải

a) 1 – 2x + x2 =12 – 2.1.x + x2 = ( 1 – x)2 ;

b) x2 +8x + 16 = x2 +2.4.x + 42 = (x + 4)2 ;

c) y2 - 4xy +4x2 = y2 – 2.y.2x +( 2x)2 = (y – 2x)2;

d) 25x2y2 – 10xy + 1= (5xy)2 – 2.5xy + 12= (5xy – 1)2

a) 27 +27x +9x2+ x3 ; b) x3 - 3x2y + 3xy2 – y3; Xem lại

phương pháp giải

- Nếu đa thức có bốn hạng tử thì vận dụng A3+3A2B+3AB2+B3= (A + B)3

hoặc A3-3A2B+3AB2-B3 = (A - B)3

Lời giải

a.27 +27x +9x2+ x3 =33 +3.32.x + 3.3x2 + x3 = ( 3 + x)3

b.x3 - 3x2y+ 3xy2 – y3 = ( x – y)3

Ví dụ 4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 1 – (x + 3)2 ; b) (x+2)2 – y2 ;

Xem lại phương pháp giải.

Nếu đa thức có hai hạng tử thì vận dụng A2- B2 = (A-B)(A+B)

Lời giải

a) 1 – (x + 3)2 = 12 – (x + 3)2 = [ 1 – (x +3)].[1 +( x+ 3)]

= ( 1 – x – 3)(1+x + 3) = ( - x – 2)(x + 4);

b) (x+2)2 – y2 = [(x + 2) – y][(x + 2) +y] = ( x – y + 2)(x + y + 2)

*Chú ý: Tránh sai lầm:

1 – (x + 3)2 = ( 1 –x +3).(1 + x+ 3) = ( 4 – x )(4+x)

Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 5 Tính nhanh:

a) 692 - 312 ; b) 10232 – 232 ; c) 752 – 252 + 642 – 362. Lời giải

a) 692- 312 = ( 69 – 31)(69 +31) = 38.100 = 3800

b) 10232 – 232 = (1023 – 1023)(1023 + 23) = 1000.1046 = 10460000;

c) 752 – 252 + 642 – 362 = (75 – 25)(75+25) + (64 – 36)(64 +36)

= 50.100 + 28.100 = 100.(50+28)= 100.78=7800

Ví dụ 6 Tính nhanh:

a) 292 + 712+ 2.29.71 ; b) 1132 + 132 – 113.26 ;

Lời giải

a) 292+ 712+ 2.29.71 = ( 29 + 71)2 = 1002 = 10000

b) 732 + 232 – 73.46 =732 – 2.73.23 + 232 = ( 73 – 23)2 = 502 = 2500

Ví dụ 7 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = x2 + 6x + 9, tại x = 97

b) B = x3 + 3x2 + 3x + 1, tại x =

99 Lời giải

a) A = x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

Với x = 97 thì A = ( 97 +3)2 = 1002 =

10000 b) B = x3 + 3x2 + 3x + 1 = ( x + 1)3

Với x = 99 thì B = ( 99 + 1)3 = 1003 = 1000000

Dạng 3 Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước

Ví dụ 8 Tìm x, biết:

a) x2 – 16 = 0; b) 25 – x2 = 0 ; c) x2  4 

0 49

Phương pháp giải

- Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, còn vế phải bằng 0

- Dùng hằng đẳng thức phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A2 = 0, A3 = 0 hoặc A.B = 0

- Suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó tìm tất cả các giá trị của x

a) x2 – 16 = 0 =>

x2 – 42 = 0

=> ( x – 4)(x+4) = 0

=> x – 4 = 0 hoặc x +4 = 0

=> x = 4 hoặc x = - 4

b) 25 – x2 = 0 => 52 – x2 = 0 => ( 5 – x)( 5+x) = 0

=> 5 – x = 0 hoặc 5 + x = 0

=> x = 5 hoặc x = - 5

2

c ) x   0  x   

Ví dụ 9 Tìm x, biết:

a) 9 + 12x + 4x2 = 0;

c) x2 + 4 = 4x

Phương pháp giải

0 x 

 0  ( x



)( x  ) 

 x  

0 x  

b) - x + x2 =x – 1 d) x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0

- Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, còn vế phải bằng 0

- Dùng hằng đẳng thức phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A2 = 0, A3 = 0 hoặc A.B = 0

- Suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó tìm tất cả các giá trị của x

Lời giải

a) 9 + 12x + 4x2 = 0; => x2 - 2.x.2 + 22 = 0

=> 32 + 2.3.2x + (2x)2 = 0 => ( x – 2)2 = 0

=> x =  3

c) x2 + 4 = 4x

=> x2– x – x + 1= 0

=> x2 – 4x + 4 = 0

=> x2– 2x + 1 = 0

=> (x – 1)2 =0 => ( x + 1)3 = 0

d) x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0

Ví dụ 10 Tìm x, biết:

a) ( x + 2 )2 – 36 = 0

b) ( 3x – 5 )2 – x2 = 0

Phương pháp giải

- Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, còn vế phải bằng 0

- Dùng hằng đẳng thức phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng

- Suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó tìm tất cả các giá trị của x

Lời giải

a) ( x + 2 )2 – 36 = 0

=> ( x + 2 )2 – 62 = 0

=> ( x + 2 – 6)(x+ 2 + 6)= 0

=> ( x – 4 )( x + 8 ) = 0 =>

x – 4 = 0 hoặc x + 8 = 0 =>

x = 4 hoặc x = - 8

b) ( 3x – 5 )2 – x2 = 0

=> ( 3x – 5 – x )(3x – 5 + x ) =

0 => ( 2x – 5)( 4x – 5)=0

=> 2x – 5 = 0 hoặc 4x – 5 =0

=> 2x = 5 hoặc 4x = 5