chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I: MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh trung bình yếu cơng tác thường xuyên ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, tình trạng học sinh vùng có điều kiện khó khăn bị gốc học yếu mơn tốn tương đối phổ biến Chính vậy, năm gần đây, việc chống học sinh ngồi sai lớp diễn tích cực công tác cập nhật bổ trợ kiến thức cho học sinh ngành giáo dục trọng 1.2 Cơ sở lý luận Toán học mơn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xun phải làm Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc kịp thời bổ trợ kiến thức cho học sinh trung bình, yếu tạo điều kiện cho em có hội học tiếp lên lớp Hàng năm nhà trường tổ chức bồi dưỡng học sinh vào thời điểm năm đặc biệt vào cuối năm chứng tỏ tầm quan trọng Chương trình Tốn bậc THCS có nhiều phần kiến thức bản, chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học kì, thi vào lớp 10, nhiều năm có tốn chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm 1.3 Cơ sở thực tiễn Năm học này, thân tơi Nhà trường Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh mơn tốn Đây hội để đưa đề tài áp dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp giải tập thích hợp cho với mức độ từ thấp đén cao - Thực nghiệm việc sử dụng phương pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy - Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI Đề tài đem áp dụng trường: Trường THCS Lê Lợi, huyện EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk dành cho đối tượng học sinh mơn Tốn lớp ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh giỏi lớp Trường THCS Lê Lợi, huyện EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm P HẦN II : N ỘI D UN G N GHIÊN CỨU NỘI DUNG THỰC HIỆN 1.1 Cơ sở lí luận 1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức viết dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho phân tích thành nhân tử + Với đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( an n an n – a x + x + … + ) ( với c 0, c 1 ) c c c b) Định nghĩa Giả sử P(x)  P  x  đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy trường P khơng thể phân tích thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trường hợp trái lại P(x) gọi khả quy phân tích P 1.1.2 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử a)Định lý Mỗi đa thức f(x) trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0.” b) Định lý Trên trường số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức  < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích thành tích đa thức bậc bậc hai với  < 0” c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ước a n p ước hệ số lại p2 khơng phải ước số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q 1.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua định lý trên, ta chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết , thực hành khó khăn nhiều , đòi hỏi “kĩ thuật” , thói quen kĩ “ sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 1.2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược).Sau số ví dụ : Chuự yự a > 0, a ( a )2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Các đơn giản nên giải tóm tắt ghi kết quả) 1) 5x – 5y = 5(x – y) ; 2) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) ; 3) 12x2y2 – 18xy2 + 30y = 6y(2x2y – 3xy + 5) ; 4) x(y – 1) + 2(1 – y) = (x-2)(y-1) 5) + = ( + 1) ; 6) x - x = x ( x - 3) ; 7) 14  = 7(  1) ; 8) 15  = 3(  2) ; 9) ab  a = a ( b  1) ; 10) 33  22 ; 11) 10 – ; 12) a  b  a  b ; 13) ax  by  bx  ay vụựi a,b,x,y dửụng 14) 3x - 3x + - ; 15) a + a  ab ; 16) x + 4x ; 17) x y  y x ; 18) xm+2 - xm = xm(x2 – 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (các khó nên giải chi tiết) Bài 19:A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài 22 : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 23: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài 24 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài 25 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài 26 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) 1.2.2 Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x (x – y) + x – y = (x – y)(x + 1) ; 2) 2x + 2y –x (x + y) = (x + y)(2 – x) ; 3) 5x2 – 5xy – 10x + 10y = 5(x – y)(x – 2) 4) 4x2 + 8xy – 3x – 6y ; 5) 2x2 + 2y2 – x2z + z – y2z – ; 6) ab + b a  a  7) x3  y3  x2 y  xy ; 8) a 3b  ab3  (a  b) ; 9) bc(b + c) + ca( c – a) – ab(a + b) 10) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x + x4 + x2 + Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2 Giải: Ta có: B = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bài 15 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) 1.2.3 Phương pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x2 + 2x + = (x + 1)2 ; 2) – 2y + y2 = (1 – y)2 ; 3) x3 – 3x2 + 3x – = (x – 1)3 ; 4) 27 + 27x + 9x2 + x3 ; 5) – 125x3 = (2 – 5x)(4 + 10x + 25x2 ; 6) 64x3 + ; 7) – x2y4 ; 8) (x – y)2 – = (x – y – 2)(x – y + 2) ; 9) 16x2 – 9(x + y)2 ; 10) x + x + 11) x – xy + y = ( x  y )2 ; 12) - x x ; 13) a a - ; 14) x x - ; 15) x x + y y 16) (x + y)3 – x3 – y3 = 3xy(x + y); 17) (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2 Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 218: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y) Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y)) = - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y) = 3(z – x)(y – z)(x – y) Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x8 – 28 Giải: Ta có : P = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) Giải: Ta có: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1) = (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3) = (x – 1)( x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2 1.2.5 Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta đưa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta : A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 – 3x6 + Giải: B = x12 – 3x6 + Đặt y = x6 (y 0 ) Đa thức cho trở thành : B = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y = (y – - y )(y + + y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) : B = (x6 – - x )( y   x ) = (x6 – – x3)(x6 + + x3) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trở thành : A = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta : A = (x + y – 4)( x + y + 3) 1.2.6 Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ phương pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đưa đẳng thức đáng nhớ Sau số ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x3 – 7x – Caựch giaỷi 1: Taựch -7x = - x – 6x ủửụùc (x + 1)(x2 – x – 6) roài taựch tieỏp - = – ẹaựp soỏ: (x + 1)(x + 2)(x – 3) Caựch giaỷi 2:Taựch –7x = - 4x –3x ủửụùc (x + 2)(x2 – 2x – 3) roài taựch tieỏp – = -1 – Caựch giaỷi 3: Taựch – = – 14 2) x3 – x – Caựch giaỷi 1: Taựch - = -4 -2 ủửụùc (x2 – 4) – (x + 2) = ẹaựp soỏ: (x + 2)(x – 3) Caựch giaỷi 2: Taựch - = - + ủửụùc x2 – – (x – 3) = … Caựch giaỷi 3: Taựch - x = 2x – 3x ủửụùc (x2 + 2x) – ( 3x + 6) = … 3) x4 + 4x2 – = (x4 + 4x2 + 4) – = (x2 + 2)2 – 32 = … Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + Giải: Ta giải toán số cách sau: Cách 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) thương (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) phương pháp tách số hạng ta làm sau : Bước : lấy tích a.c = t Bước : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trường hợp) t = pi.qi Bươc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bước : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước : từ nhóm số hạng đưa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x + x2 + Giải: Cách : A = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : A = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : A = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) 1.2.7 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp Sau số ví dụ : Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Giải: Biểu diễn đa thức dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện :  a  c  16  ac  b  d 12    ad  bc  14  bd 3 Xét bd = với b, d  Z , b  1;3  với b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :  a  c    ac 8  a  3c  14  Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Kết Tôi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dưỡng học sinh mơn tốn Trường THCS Lê Kết mà tơi thu điểm thi học kì 20% giỏi, 30% khá, 35% trung bình; sau sơ kết học kì 10% giỏi, 20% khá, 40% trung bình, 28%, yếu Bài học kinh nghiệm giải pháp thực Trong trình thực đề tài thân người trực tiếp thực việc bồi dưỡng học sinh Tôi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực sau: - Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh, trước hết giáo viên cần phải có tâm huyết với nghề, có nhiệt tình tính kiên nhẫn, nắm vững thuật tốn Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tò mò, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Toán học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất kiến thức cần đạt cho đối tượng học sinh - Trong trình bồi dưỡng học sinh cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn - Trong trình bồi dưỡng học sinh cần tránh cho học sinh biểu tự ty, cho khơng làm u cầu thầy Chính vậy, giáo viên cần tỏ tin tưởng vào học sinh, kịp thời động viên khen ngợi ý kiến tốt P HẦN III : KẾ T LU ẬN C HU N G Bồi dưỡng học sinh trung bình, yếu bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em trải qua q trình năm học tốn gốc trình lấp lỗ hổng kiến thức khó khăn Để khắc phục tình trạng cần phải bồi dưỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trò, chắn có học sinh yếu mơn Tốn Trên đây, đề tài tơi đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dưỡng học sinh – Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chương trình tốn * Kiến nghị đề xuất - Cần có quan tâm từ phía ban giám hiệu, cha mẹ học sinh giáo viên chủ nhiệm việc giáo dục ý thức học tập cho học sinh - Cần phân loại học sinh từ đầu năm học để có kế hoạch bồi dưỡng kịp thời thường xuyên suốt trình học tốn cấp THCS - Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh mơn Tốn lượng kiến thức tốn q trình năm nhiều NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG GIÁM KHẢO NGƯỜI VIẾT CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Như Thùy MỤC LỤC Phần I: Mở đầu Trang Phần II: Nội dung nghiên cứu Trang Cơ sở lí luận Trang Các biện pháp thực Trang Kết Trang 16 Bài học kinh nghiệm Trang 16 Kết luận chung Trang 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Để thực đề tài này, sử dụng số tài liệu sau: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán - Chuyên đề bồi dưỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) “23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH)  ... nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử a) Định nghĩa + Nếu đa thức viết dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức cho phân tích thành nhân tử + Với đa thức ( khác ) ta biểu diễn thành tích nhân. .. đưa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A... trường P phân tích thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 0.” b) Định lý Trên trường số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức  < Vậy đa thức