BÀITẬPCHUYÊNĐỀPHÂNTÍCHĐATHỨCTHÀNHNHÂNTỬ I Kiến thức cần nhớ Một số phương pháp phântíchđathứcthànhnhântử Phương pháp đặt nhântử chung Phương pháp dùng đẳng thức Vận dụng đẳng thứcđể biến đổi đathứcthànhtíchnhântử luỹ thừa đathức đơn giản Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Dùng tính chất giao hoán, kết hợp phép cộng đa thức, ta kếp hợp hạng tửđathứcthành nhóm thích hợp dùng phương pháp khác phântíchnhântử theo nhóm phântích chung nhóm Phương pháp tách Ta tách hạng tửđathứcthành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phương pháp khác đểphântích Ví dụ: Phương pháp thêm bớt hạng tử Ta thêm bớt hạng tửđathứcđể làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phương pháp khác đểphântích Ví dụ: Phương pháp đặt biến phụ Trong số trường hợp, để việc phântíchđathứcthànhnhântử thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp Ví dụ: Phântíchthànhnhântử Đặt ta có Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa Phương pháp áp dụng cho đathứcđathức có dạng Khi phântíchđathức có dạng biểu thức sau phântích có nhântử Ví dụ: Phântíchđathứcthànhnhântử Phương pháp hệ số bất định: Ví dụ: Phântíchđathức sau thànhnhân tử: a 3x3 – 7x2 + 17x – 5; b 2x4 – 19x3 + 2002x2 – 9779x + 11670; 2 c 2x – 7xy + 6y + 9x – 13y – Giải a Nếu đathức 3x3 – 7x2 + 17x – phântíchthànhnhântử phải có dạng (ax + b)(cx2 + dx + e) = acx3 +(ad + bc)x2 + (ae +bd)x + be Đồng đathức với đathức 3x3 – 7x2 + 17x – 5, ta có: ac = 3; ad + bc = -7; ae + bd = 17; be = -5 Từ ac = = 3.1 =1.3 = -1.(-3) = -3 (-1) Ta xét a = c = 1, thay vào hệ thức lại tìm b = -1, e = 5, d = Từ ta có phân tích: 3x3 – 7x2 + 17x – = (3x-1)(x2 – 2x + 5) b Nếu đathứcphântíchthànhnhântử có dạng sau: ( ) (2x2 + ax+ b) x2 + cx + d = 2x4 + ( a + 2c) x3 + ( 2d + ac + b) x2 + ( bc + ad) x + bd Đồng với đathức 2x – 19x + 2002x – 9779x + 11670, ta có: a + 2c = -19; 2d + ac + b = 2002; bc + ad = -9779; bd = 11670 Từ bd = 11670 = 30.389 = 389.30 = 1945.6= 6.1945 = 1167.10 = 10.1167 = 2334.5=… Thử số trường hợp, ta có b = 1945, d = 6; a = -9; c = -5 Và có phântích sau: 2x4 – 19x3 + 2002x2 – 9779x + 11670 = (2x2 – 9x + 1945)(x2 -5x + 6) Chú ý: với ý (b), phântích theo hướng nhẩm hai nghiệm đathức c Nếu đathứcphântíchthànhnhântử có dạng: ax + by + c mx + ny + d = max2 + na + mb xy + nby2 + ad + mc x + bd + nc y + cd Đồng với ( )( ) ( ) ( ) ( ) đathức 2x – 7xy + 6y + 9x – 13y – 5, ta có: ma = 2; na + mb = -7; nb = 6; ad + mc = 9; bd + nc = -13 cd = -5 Từ hệ thức cd = -5 => c = -1; d = 5; a = 2; b = -3; m = 1; n= -2 Do ta có phântích sau: 2x2 – 7xy + 6y2 + 9x – 13y – = (2x – 3y - 1)(x – 2y + 5) Chú ý : coi đathứcđathức bậc hai với ẩn x, tính biệt thức delta theo y tìm nghiệm x theo y, sau tiến hành phântíchthànhnhântử Khi phântíchđathứcthànhnhântử phải biết vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp phối hợp cách hợp lí Bài 1: Phântíchđathứcthànhnhân tử: a (ax + by)2 – (ay + bx)2; d (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6; g b (a2 + b2 - 5)2 – 4(ab + 2)2; c x2 – x – 12; e ; f x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1; h i BàiPhântíchđathức sau thànhnhân tử: a (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc; d a3 + b3 + c3 – 3abc; b a(a + 2b)3 – b(b + 2a)3; c x3 – 7x + 6; e (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3; f (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 ; BàiPhântíchđathức sau thànhnhântử : a x4 + 64 ; b x4 + x2 + ; d x7 + x5 + ; e x8 + 98x4 + ; c x5 + x + ; f x8 + 14x4 + BàiPhântíchđathức sau thànhnhân tử: a ( x + x + 1) − ( x + 1) − ( x + x ) ; b x8 + x + x + x + ; d x − x + 11x − ; e x8 + x − x + x − x − 100 + 10 x(x + x) + ( x − 1) ; f x − x + 17 x − ; g ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) + ; 2 c (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) – 80 BàiPhântíchđathức sau thànhnhân tử: a ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a - c); d x12 + x6 + 1; e x16 + x8 + 1; b a5 – a + 1; f x8 + 7x4 + 16; h x4n + x2n + ( n số tự nhiên) i x4n + 4x2n + 16 ; l x5 – x4 – ; n x10 + x5 + m x7 + x2 + ; c x9 + x8 + x7 – x3 + 1; g x40 + 2x20 + 9; k x4n + 5x2n + ( n ∈ N ) Bài a Cho (x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz Chứng minh : x 2017 + y 2017 + z 2017 = ( x + y + z ) 2017 ; b chứng minh x + y + z chia hết cho A = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) − xyz chia hết cho (HD: chứng minh rằng: ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ) − xyz = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ) Bài a Cho a + b3 + c = 3abc Chứng minh rằng: a + b + c = a = b = c b Cho a + b + c + d = 4abc a, b, c, d > Chứng minh a = b = c = d c Chứng minh với số nguyên x, y ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) + y số phương d Cho T = ( t − 1) ( t − 3) ( t − ) ( t − ) + , Chứng minh T số phương với t ∈ Z e Chứng minh tổng tích bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp với 16 số phương f Tìm số nguyên a, b, c cho ( x + a ) ( x − ) − = ( x + b ) ( x + c ) Bài a Tìm điều kiện a m để M = ( x − a ) ( x − 2a ) ( x − 3a ) ( x − 4a ) + m phântíchthànhnhântửĐathức M = ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) + có phântíchthànhnhântử không? b Tìm điều kiện a, b, n số hữu tỉ cho N = ( x + a ) ( x + b ) ( x + a + n ) ( x + b + n ) + k 1) phântíchthànhnhân tử; 2) Trở thành bình phương ( ) 2 3 Bài a Tìm x, biết x + 3ax + a − bc x + a + b + c − 3abc = b Tìm ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn: x + y + 3xyz = z = ( x + y ) c Cho a,b, c số thực khác cho a 3b + b3c + c 3a = 3a 2b c Hãy tính giá trị cảu biểu thức: a b c M = + ÷1 + ÷ + ÷ b c a Bài 10 Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Hãy tính A = Bài 11 Tìm x, biết: yz zx xy + + x2 y2 z x +1 + x + + x + = Bài 12 Phântíchđathức sau thànhnhân tử: a 4x4 + 1; b 4x4 + y4; c x4 + 324; d 4x4 -32x2 + ; e x6 + 27 ; f x8 + x4 + Bài 13 Phântíchthànhnhântử : a x6 + x4 + x2y2 + y4 – y6 ; c x3 + 3xy + y3 – ; d 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; e x4 – 8x + 63 f (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 g Tìm số hữu tỉ a, b, c cho phântíchđathức x3 + ax2 + bx + c thànhnhântử (x + a)(x + b)(x + c) Bài 14 a Sô tự nhiên n nhận giá trị, biết phântíchđathức x2 + x – n thànhnhântử ta (x - a)(x + b) với a, b số tự nhiên 1< n < 100 b Cho A = a2 + b2 + c2 với a, b hai số tự nhiên liên tiếp, c = ab Chứng minh nhiên lẻ A số tựBài 15 Chứng minh số (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số nguyên dương n Bài 16 Chứng minh với số nguyên a thì: a a2 - a chia hết cho 2; b a3 – a chia hết cho 3; d a7 – a chia hết cho 7; e a11 – a chia hết cho 11 c a5 – a chia hết cho TỔNG QUÁT: Ta có định lý fermat nhỏ: với số nguyên tố p, ta có ap – a chia hết cho p Bài 17 a Chứng minh n số tự nhiên chẵn 16n – chia hết cho 15 17 b Chứng minh tồn bội số 2017 có dạng: 20182018…2018 Bài 18 Chứng minh với số nguyên n, ta có: a n3 + 3n2 2n chia hết cho 6; b (n2 + n - 1)2 – chia hết cho 24 Bài 19 Chứng minh rằng: a n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với số chẵn n; b n4 – 10n2 + chia hết cho 384 với số lẻ n c n6 + n4 – 2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n d 32n – chia hết cho 72 với số nguyên dương n Bài 20 Phântíchđathức sau thànhnhân tử: ( x + y + z) a ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( ) d x + y − x5 − y5 ; ) +( z − x ) −( y + z ) ) ( b a + b + c − a + b − c − b + c − a − c + a − b ; c b − c + c − a + a − b e x2 + y2 ( − x3 − y3 − z3 ; 2 (Đề thi vô địch toán lớp 8, vòng I, Belarutsia 1957) Bài 21 (Đề thi vào chuyên Toán Miền Bắc, 1979) Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4 a Phântích A thànhnhân tử; A > b Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác Bài 22 Phântíchthànhnhân tử: A = 3abc + a2 ( a − b − c) + b2 ( b − a − c) + c2 ( c − a − b) − c ( b − c) ( a − c) Bài 23 Chứng minh với số dương a, b, c, ta có: a2 ( −a + b + c) + b2 ( − b + a + c) + c2 ( −c + a + b) ≤ 3abc (thi vô địch Toán Úc năm 1971.) Bài 24 Phântíchđathức sau thànhnhântử phương pháp xét giá trị riêng: ( ) ( ) ( ) a( b + c) b2 − c2 + b( c + a) c2 − a2 + c( a + b) a2 − b2 Bài 25 Phântíchđathức sau thànhnhân tử: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a a b a − b − c b c − b + a c c − a ( ) ( ) b 2bc b + 2c + 2ca c − 2a − 2ab a + 2b − 7abc ; c ab( b − a) − bc( b − c) − ac( c − a) ( ) ( ) ( ) d 3bc 3b − c − 3ac 3c − a − 3ab 3a + b + 28abc ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 e a b + c + b a + c + c a + b + 2abc Bài 26 a Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 – 3; * Là hợp số; * Bằng 2013 b Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức n4 – n3 – 6n2 + 7n – 21 số nguyên tố ( ) c Tìm số tự nhiên n để n2 − + 36 số nguyên tố ... 2y + 5) Chú ý : coi đa thức đa thức bậc hai với ẩn x, tính biệt thức delta theo y tìm nghiệm x theo y, sau tiến hành phân tích thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử phải biết vận dụng... z)3 + (z - x)3 ; Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a x4 + 64 ; b x4 + x2 + ; d x7 + x5 + ; e x8 + 98x4 + ; c x5 + x + ; f x8 + 14x4 + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ( x + x +... 1971.) Bài 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: ( ) ( ) ( ) a( b + c) b2 − c2 + b( c + a) c2 − a2 + c( a + b) a2 − b2 Bài 25 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: