Chuyên đề ôn thi HSG toán 7 năm 20 21

Chuyên đề 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối 2 Tính chất của giá trị tuyệt đối 3 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý bất đẳng thức (1) dấu “=” xảy ra khi (2) Dấu “=” xảy ra khi (3) dấu “=” xảy ra khi II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1 Tìm đại lượng chưa biết Ví dụ 1 Tìm các số x và y biết a) b) c) d) e) Ví dụ 2 Tìm các số x và y biết a) b) Ví dụ 3 Tìm x, biết a) b) Hướng dẫn a) x = 9 b) x = 50 Ví dụ 4 Tìm x, biết rằng a) b) c) 2 Tìm.

Chuyên đề 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa giá trị tuyệt đối Tính chất giá trị tuyệt đối Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chú ý bất đẳng thức: (1) (2) a  b �a  b M � M , M �M , dấu “=” xảy M �0 Dấu “=” xảy a.b �0 (3) dấu “=” xảy M �0 II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Tìm đại lượng chưa biết Ví dụ 1: Tìm số x y biết: a) 5 x     b)  x  9,1  3,1 �  16  �2 x  � c) 2x    x x � � � x y d) 1  x  y  100 10 e) Ví dụ 2: Tìm số x y biết: x y  y 0  x  2 b) a) Ví dụ 3: Tìm x, biết: x   x   x   4x a) Hướng dẫn: a) x = b) x = 50 Ví dụ 4: Tìm x, biết rằng: x 5  x 5 x b) x   x  3x   a) A = x 1  x   x  C  x2  x3  x4  x5 b) 100  x  x   x   101x 101 101 101 101 a) b) Tìm GTNN, GTLN biểu thức Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = b) B = Ví dụ 6: Tìm GTNN biểu thức sau:  x  y 1  c) , x �� x 3 x 5  x 3 c) C = B  x   x   2x  A   2x 1 x2 3 a) b) C Hướng dẫn : c) Xét trường hợp : x  � Xét x = -1 C = Xét x > Khi A lớn x nhỏ => x = So sánh trường hợp suy GTLN A 3 Rút gọn biểu thức chứa dấu GTTĐ Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức sau: C c) x 1  x  c) Ví dụ 7: Tìm GTLN biểu thức sau: B x2 x , với x số nguyên � 4� M  x   �x  � � 5� a) b) x  15  x  19 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) A  x  x  x  4, C với x 2 b) 5x  x  1 , x  3x  với c) Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: a) Bài 3: Tìm x, biết: a a b) a a a) Bài 4: Tìm x, biết: x    15 b) 2x   2x  x a)  x  1  x  c) 11  x  x  4x 17 17 17 x   3x  c) 2x   2x   b) A   x  3  y   B  x   x 8 b) C  x   x  13  x  50 d) x   2x 1 d) 2019  x  2019  x x  y  y  z  z  t  t  x  2021 Bài 5: Tìm số x, y, z, t cho Bài : Tìm GTNN biểu thức sau : a) x  , y  3 với B  x 3 y , c) Bài : Tìm GTLN biểu thức sau : A  10  x    y   a) Bài : Tìm x, y, z, biết : B b) 13 2009  y  z  2007  2008 a)  x  1    y   x   x c) a  c  3; b  c  Bài : Cho Bài 10: Tìm x, biết rằng: a) x   x   x  2 x b) x b) Chứng minh 1  x   x   100 x 1.2 2.3 99.100 2x    y   z  �0 2 a  b  1   Bài : Tìm số nguyên dương thỏa mãn a b x y z   2 x y yz xz Bài : Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh �� �� � � 2008   � � 1  � � 5  � � 135 50 � � 135 50 � � 135 50 � Bài : Tính cách hợp lí � Bài : Tìm x, biết : 2 x     x  2  x  4  x  4  x  6  x  12   x  14   x    x  14  a)  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1     11 12 13 14 b) 10 Bài : Tìm số x, y, z biết : � 1� � 1�  z  5  �x  � �y  � � 3� � 2� x   y   z  1 Chuyên đề 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ HỮU TỈ I Lý thuyết II Một số dạng tập Bài : Thực phép tính � � �� 2 3� � 18  � 0,06 :  0,38 � :� 19  � � � � � � � � � a) 163.310  120.69 12 11 b)  212.35  46.92 219.273  15.49.94 10 10  12 c) 126   8  35 d)  510.73  252.492  125.7   59.143 Hướng dẫn : a) Đáp số : b) Đáp số: 12 10 163.310  120.69 212.310  212.310.5    2.6     46.312  611 212.312  211.311 211.311   1 3.7 c) Đáp số : 0,5 d) Đáp số : 3,5 2010  2009  2008    Tính 2010 H Bài : a) Cho H  M  54  b) Tính 1 1        3              12  12 Hướng dẫn : a) Ta có H  22010  22009  22008     22010   22009  22008    1  2010   2010  1  H Suy 2010  2010 b) Tính ngoặc suy M = 10 Bài : Tính hợp lí : 1 10 10 10     13 11 17 P  9 12 12 12 1    13 11 17 a) 1   Q  14 30 46 2   35 75 115 b) 15 30   17 31 : 20 40   51 93 Hướng dẫn: a) P �1 1 � �1 10 � �   � 3�   � �7 15 23 � �8 17 31 � Q :  �1 1 � �1 10 � �  � �  � �7 15 23 � �8 17 31 � b) 17 18 Bài 4: Cho S 1  S  P Tính 2020 1 1 1 1 1       P     2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 Hướng dẫn: P Ta có 1 1 1 1 � � 1     �         � 1007 1008 2012 2013 � 1006 1007 2012 2013 � � � 1 �     � 1006 � � 1 1 � �1 1 � � 1 �         � �    � 1006 1007 2012 2013 � �2 2012 � �  1 1 1 2020       2012 2013 � S  P �  S  P  1 1 1 1          49.50 26 27 28 50 Bài 5: Chứng minh 1.2 3.4 5.6 Hướng dẫn: 1 1 1 1 1              49.50 49 50 Ta thấy 1.2 3.4 5.6 � �1 1 � � 1 �     � �    � 50 � �2 50 � � 1 1 1 � 1 � 1         �     �    25 26 27 50 � 25 � 26 27 50 A Bài 6: Cho 1 1      A 1.2 3.4 5.6 99.100 Chứng minh 12 Hướng dẫn: Trước tiên chứng minh A 1    51 52 100 A 1 1 � �1 1 � �1    �    � �    25  � 25  51 52 100 �51 52 75 � �76 77 100 � 75 100 12 A 1 1 25  25  25  25  51 76 50 75 Bài 7: Tìm x, biết: � �� � 0,5   x �� :   � � 12 �� � 13 a) � b)  5x  4 n � 2� � 2� �x  � �x  � d) � � � � e) x2 5 x 3   n ��*  � 100 � x  � � � 49 c) � x 1 x 1 x 1 x 1 x 1      750 f) 10 11 12 13 14 Bài 8: Tìm số tự nhiên x y biết: x 1 y x a)  9.21 27 x 25x  243  125 x y x y b) 1 � � 2n : � 1     � 2020     n � � 1 1  1   Bài 9: Tìm số tự nhiên n biết: Hướng dẫn: Ta có    n  � �1 n  n  1   2�  �    n n  n  1 �n n  � Do Suy 1 1 1 � � 2n �1 1 �1      �       �  �  � 1 1      n n n 1 � �2 3 �2 n  � n  Do ta 2n : 2n  2020 � n   2020 � n  2019 n 1 Bài 10: Rút gọn 100 99 98 97 96 a) A         100 99 98 97 b) B         Hướng dẫn: 2101  A a)  3101 B b) Bài 11: �1 � �1 � �1 ��1 � 1 A  �  1� �  1� �2  1� �  1� 100 � � � � � � � � a) Cho So sánh A với 19  2  2   2  2 3 10 b) Chứng minh 2 100      100  3 c) Chứng minh 3 Hướng dẫn: 1.3 2.4 3.5 99.101 � 1� � � � � 15 9999 A  � 1 � 1 � � 1     � � 2 1002 � 4� � � � 100 � 100 a) Ta có  1.2.3 98.99 3.4.5 100.101 101 101    2.3.4 100 2.3.4 99.100 100 200 19 22  12 32  22 42  32 102  92  2  2   2  2  2  2   2 2 3 10 2 3 10 b) Ta có  1 1 1          12 22 22 32 10 10 c) Đặt M 100 99 100      100 3M       98  99 3 3 Ta có 3 3 1  99 � 100 �1 1 M  3M  M   �    99 � 100 �3 �3 2 Suy Biểu thức ngoặc Suy 2M   100 3  100  � M  Bài 12: Tìm số hữu tỉ a, b, c biết ab  , bc  , ca  5 a) c) b) a  a  b  c   12, b  a  b  c   18, c  a  b  c   30 ab  c, bc  4a, ac  9b Hướng dẫn: a) Nhân vế ba đẳng thức, ta được:  abc   � abc  � 25 Có hai đáp số: 4 a  ;b  ;c  a   ; b   ; c  1 5  a  b  c b) Cộng ba đẳng thức trên, ta được:  36 � a  b  c  �6 Có hai đáp số a  2; b  3; c  a  2; b  3; c  5  abc  c) Nhân ba đẳng thức theo vế, ta được: � abc  �� abc  36  36abc � abc  abc  36   �  1  2 Xét (1): Nếu có số a, b, c hai số cịn lại Từ abc = 36 bc = 4a ta Xét (2): Vì abc = 36 ab = c nên có c  36 � c  � 4a  36 � a  � a  �3 Tương tụ, suy b  �2 Lập luận tìm số (a; b; c) (0; 0; 0); (3; 2; 6); (-3; -2; 6); (3; -2; -6); (-3; 2; -6) Bài 13: Số 300! Có tận chữ số 0? Hướng dẫn: Bài 14: Một lớp học có 44 HS làm kiểm tra mơn tốn Điểm số tự nhiên từ đến 10 Biết lớp có HS điểm 10 Chứng minh có 10 HS loại điểm Hướng dẫn: Bài 15: Một tổ có 11 HS thảo luận học tập Có HS phát biểu lần, HS khác phát biểu số lần phát biểu Chứng minh có HS có số lần phát biểu Hướng dẫn: Bài 16: Có 50 chia cho 11 HS Chứng minh rằng: a) Ít có HS trở lên b) Với cách chia (kể trường hợp khơng có HS nào), có hai HS số Hướng dẫn: Bài 17: Cho 400 số hữu tỉ tích ba số số âm Chứng minh rằng: a) Tích 400 số cho số dương b) Tất 400 số cho số âm Hướng dẫn: 50 �56 � a  �  1,01� �55 � Chứng minh viết số a dạng số thập phân số a có Bài 18: Cho số 99 chữ số sau dấu phảy Hướng dẫn: Bài 19: Cho 11 số nguyên khác có tổng 390 Chứng minh ln ln tìm số số đó, cho tổng chúng không vượt 195 Hướng dẫn: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm x biết: 11 �5 � �15 11 �  �  x �  �  � � �28 13 � a) 13 �42 x  3 c) x  3,75   2,15 15 x 11  5,5 b) d)  x  5 e) f) � 5� x �x  � x 4� g) � x  x   Bài 2: Tìm x, biết: 3  x a) : 33  243 2 x  3x b) 2n   24  , n �N * 2n 256 �3 � � �  81 � � d) 36  x  1  49 f) 3 e) 172 x  : 98  � � �2 � �x  � � � g) � � �3 � x 1 x 11  x     x    h)  x  1 n 1  52 n1 , n �N x 5 k)  �2 , x �� i) Bài 3: Tìm x, y biết: 20 � 1� x  �y  � � 10 � a) 10 �1 � �2 � � x  �  �y  � �0 � � 4� b) �2 2 �31 � �49 � x  � � � � x  y �12 � �12 � d) x x  y   51 x1 �12 � �5 � �3 � � � � �  � � c) �25 � �3 � �5 � 3 3 ; y x  y  10 50 c) Bài 4: Tìm số tự nhiên x y, biết: x 1 y x a)  12 x y y b) 10 :  20 y x8 x y1 c)  27  m n Bài 5: Tìm số nguyên dương m n, cho   256 Bài 6: Một bảng vuông x ô Trong ô bảng viết số -1 Gọi = 1, 2, 3), di tích số dịng (i ck tích số cột k (k = 1, 2, 3) d  d  d3  c1  c2  c3  a) Chứng minh xảy b) Xét toán tương tự với bảng vuông n x n x , x , , x n số – Biết tổng n tích Bài 7: Cho n số Chứng minh n chia hết cho Bài 8: Tìm giá trị x cho: a) M   x  10   x    b) N 8x   9x  2 x Bài 9: Tìm số tự nhiên x lớn thỏa mãn: 2.2 2  2048 10 x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , , xn x1 c) x  x CHUYÊN ĐỀ 8: CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I LÝ THUYẾT II BÀI TẬP Các tốn chứng minh đặc tính tốn học: Bài 1: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c số thực Biết f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên Chứng minh : a) 2a 2b có giá trị nguyên b) f(3), f(4), f(5) có giá trị nguyên Bài 2: a) Hai đa thức ax + b a’x + b’ có giá trị với giá trị x Chứng minh a = a’, b = b’ b) Hai đa thức ax2 + bx + c a’x2 + b’x + c’ nhận giá trị với giá trị x Chứng minh a = a’, b = b’, c = c’ Bài 3: Cho đa thức f  x   ax  bx  c với giá trị x Chứng minh a  b  c  f  x   ax  bx  c Bài 4: Cho đa thức a, b, c số nguyên Biết giá trị đa thức chia hết cho với giá trị nguyên x Chứng minh a, b, c chia hết cho P  x   ax  bx  cx  d Bài 5: Cho với a, b, c, d số nguyên Biết giá trị đa thức chia hết cho với giá trị nguyên x Chứng minh a, b, c, d chia hết cho Các tốn tính giá trị biểu thức : Bài 6: Tính giá trị biểu thức 2a  5b a) a  3b , biết 3a  4b 3a  b 3b  a  a  2b  với a  b  7; a �3,5; b �3,5 b) Bài : Tìm giá trị biến để: 2014 a) Biểu thức x  2016 có giá trị x    y    z    t  1  b) Biểu thức có giá trị c) Biểu thức z  z  có giá trị lớn Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức K  x  x yz  x yz  x yz  x y z  z  2021 , biết x  y  0; y  z  30 P   x  y  y  z  z  x b) Cho xyz  4; x  y  z  Tính giá trị biểu thức C 10  x x  có giá trị ngun Bài 9: a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức b) Tìm tổng S theo n (n số nguyên dương), sau tìm giá trị S n = 4; n = S  2n 1  2.2n   3.2n 3    n  1  n Hướng dẫn: Bài 10 : Cho đa thức f  x thỏa mãn f  x   x f   x   x  (1) với giá trị x f  1 Tính Hướng dẫn: Thay x = x = -1 vào (1) suy f(1) = Bài 11: Tìm số có ba chữ số, cho hiệu số số gồm ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại số phương Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng GTLN, GTNN Bài 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A  x    x    1998 c) C  x   8864  x  2344 b) D  x    x  x  x   x98  x100   B  x   x  x  10 2015 d) Bài 13: Tìm giá trị lớn a) E  y   1975   30 y   c) G  y    24  y H  y   10 y   b)     200  22015 F  y        19   100 d) Bài 14: Tìm số nguyên x để: 15 19  x đạt giá trị lớn a) Biểu thức 2021 B x  2019 đạt GTNN b) Biểu thức 2016 B x  2019 đạt GTNN c) Biểu thức A 31 2016  y  2 8 Bài 15: Tìm số nguyên y để: C a) Biểu thức D b) Biểu thức 31  y 15  y 26  y y  20 đạt GTLN đạt GTNN A   x  1   y    15 Bài 16: a) Tìm GTNN biểu thức B b) Tìm GTLN biểu thức 15  2x  4   y  3  10   z  2016  2  x  y   xy  100 c) Tìm GTLN P  xy , biết Bài 17: M  x, y    x  1   y    a) Tìm GTNN biểu thức b) Tìm số tự nhiên a để phân số P 11a  47 2a  có giá trị lớn Bài 18: Tìm GTNN biểu thức sau: a) c) x   10  x 24  x3  y   x  b) d) x  1945  x  1954 x   x   x    x  2015  x  2016 xy  yz  zx  14094   x  y    y  z  e) Bài 19: Tìm GTLN biểu thức sau: a) b) c) 2016  x  2015  x  1975  x  1945 100  xy  yz  zt  200  3x  y  y  z  z  3t 2021  x  386  x  389 d) 205 x  30  x  M Bài 20: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục x, chữ số hàng đơn vị y Gọi a) Tim n để M = b) Tìm n để M nhỏ A 4n  ,  n �Z  2n  Bài 21: Cho a) Tìm n để A có giá trị ngun b) Tìm n để A đạt GTLN, GTNN 32 n x y M  x   x   2x   Bài 22: Cho x số thực Hãy tìm GTNN biểu thức 33 x  11 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tích B  B1 B2 B50 với sau tính giá trị B với Bài 2: Cho x �1 � �1 � �1 � B1  �  1�x11 ; B2  �  1�x12 ; ; B50  �  1�x 60 11 � 12 � � � �60 � 2014.2016  2018 2018  2015.2016  2020 �1 ��1 ��1 � �1 � � 7� � � � � � �4 C  �1  1� �  1� �  1� �  �xy z 3t ; D  � 1 � 1 � 1 � � 1 � � �x y z t 10 �2 ��3 ��4 �� � � 9� � 20 � � 33 � � 180 � Tìm E 90 CD 112 Bài 3: a) Tính giá trị đa thức b) Tính giá trị biểu thức P  x  x y  y  20 y với x  y  10 Q  x3  x y  x  x y  xy  xy   x  y   2000 x y 5 Bài 4: Gọi f hàm số xác định tập hợp số nguyên thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) f   �0 2) f  1  ; f  x  f  y   f  x  y   f  x  y  , x, y �Z c) Tính f(7) 34 Biết CHUYÊN ĐỀ 9: CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN I LÝ THUYẾT II BÀI TẬP Dạng 1: Thu gọn đa thức Bài 1: Tìm đa thức M N, biết: a) M   x  12 y   x  15 xy  12 y  7,5 x b) c) y  xy  1, xy   N  1, xy  2,5 x y  xy x  x  y     x    y  3  M  xy  y  x  x    x  3  N  x  x  1 d) Bài 2: Thu gọn đa thức sau x a)  x y    x  x y    x  x y     10 x  19 x y  b) 15 x y  xy  16 x y  16 xy  15 x y  18 xy  3,75 x y Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: 3 3 3 a) M  x  y  5ax  4bx  5ay  4by  36 , biết x  y  b) N  x  x y  y  20 y , với x  y  10 c) P  x  x y  x  x y  xy  xy   x  y   2021, biết x  y   P  x    x  3x  10  Bài 4: Cho đa thức P(x) sau bỏ dấu ngoặc Dạng 2: Các toán số, chữ số 2020  x  x   2021 Tìm tổng hệ số đa thức Bài 5: Tìm số tự nhiên có ba chữ số khác abc, biết 3a  2b  5c Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho số ba lần tích chữ số Bài 7: Tìm tất số có ba chữ số abc, cho a) abc  acb  ccc b) abc  ab  a  430 Bài 8: Tìm số có chữ số có tận chữ số 4, biết chuyển chữ số lên đầu cịn chữ số khác giữ ngun ta số gấp lần số cũ 2 Bài 8: Tìm số tự nhiên có hai chữ số xy , biết xxyy  xx  yy Dạng 3: Các toán nghiệm đa thức Bài 9: a) Tìm nghiệm đa thức f(x) = 5x – 45; g(x) = x2 – 16; h(x) = x2 + 5x b) Cho h(x) = x2 + x – Chứng minh x = -3 x = nghiệm đa thức h(x) Bài 10: a) Chứng minh đa thức P  x   x  x  khơng có nghiệm 35 b) Chứng minh đa thức Q(x) = 4x4 + 2x2 + khơng có nghiệm c) Chứng minh đa thức R(x) = x2 + x – khơng có nghiệm ngun Bài 11: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện đa thức f(x) có hai nghiệm x f  x  1   x   f  x  Chứng minh Bài 12: a) Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện đa thức f(x) có hai nghiệm x f  x  2021   x  2020  f  x  Chứng minh x  3 f  x    x  16  f  x    b) Cho đa thức f(x) thỏa mãn Chứng minh đa thức f(x) có nghiệm h x  ax  bx  cx  d , biết   Bài 13: a) Tìm hệ số a, b, c, d đa thức h    h  1  4; h  1  0; h b) Xác định đa thøc P(x) có bËc 3, biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) =4; P(3) = c) Chứng minh khơng tồn đa thức f(x) có hệ số nguyên mà f(8!) = 2012 f(9!) = 2072 Q x  ax  bx  c , biết Q(0), Q(1), Q(2) số nguyên Chứng   Bài 14: Cho đa thức minh c, a + b, 2a số nguyên Bài 15: Cho đa thức h  x    x  x  1   x  x  1 x Bài 16: Cho đa thức  9 f    f    2012 2010 �32 ��33 � �32010 � �3 �  �  81�  81� �  81��  81� � �4 � �5 ��6 � �2013 � f  x   ax  bx  c Bài 17: Cho đa thức P(x) thỏa mãn Bài 18: Cho đa thức Tính giá trị h(x) với x thỏa mãn f f 2 �0 Biết 5a  b  2c  Chứng minh     P  x   3.P    x f  x   ax3  bx  cx  d , Chứng minh với x Tính P(3) với a số nguyên dương, biết f  7  f  2 36 hợp số CHUYÊN ĐỀ 9: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC I LÝ THUYẾT QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC a) Trong tam giác: - Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn - cạnh đối diện với góc lớn góc lớn b) Hệ quả: Trong tam giác - Góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhỏ - Cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vng) cạnh lớn c) Bổ sung: Quan hệ góc cạnh đối diện góc cạnh thuộc tam giác Nếu hai cạnh (hai góc mà cần so sánh) thuộc hai tam giác khác khơng vận dụng tính chất Tuy nhiên hai tam giác có thêm điều kiện hai cặp cạnh tương ứng quan hệ Ta có định lý sau: Tam giác ABC A’B’C’ có AB = A’B’; BC = B’C’ Khi AC  A ' C ' � �B  �B ' BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC a) Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng hai cạnh lại b) Muốn chứng minh ba đoạn thẳng a, b, c ( a �b �c ) ba cạnh tam giác, ta cần chứng minh a < b + c đủ c) Muốn chứng minh ba đoạn thẳng a, b, c ( a �b �c ) ba cạnh tam giác, ta cần chứng minh a �b  c TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC a) Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm, điểm gọi trọng tâm tam giác - Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Hình bên: G trọng tâm tam giác ABC GA  2 AN ; GB  BM ; GC  PC 3 1 GM  BM ; GP  CP; GN  AN 3 GA  2GN ; GB  2GM ; GC  2GP b) * Hai tam giác có chung đỉnh có chung trung tuyến xuất phát từ đỉnh có trọng tâm 37 * Trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai tam giác có diện tích * Ba trung tuyến tam giác chia tam giác thành tam giác có diện tích TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC a) Tính chất tia phân giác góc: - Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc - Đảo lại điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc Hình vẽ bên có Oz tia phân giác góc xOy MA = MB ngược lại MA = MB M nằm tia phân giác góc xOy b) Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba cạnh tam giác c) Bổ sung: * Trong tam giác, đường thẳng chứa tia phân giác hai góc ngồi tia phân giác đồng quy điểm Điểm cách ba đường thẳng chứa ba cạnh tam giác * Trong tam giác, hai đường phân giác phân giác đỉnh vng góc với Và ngược lại đường thẳng vng góc với đường phân giác (hoặc ngồi) phân giác ngồi (hoặc trong) TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC a) Tính chất đường trung trực đoạn thẳng: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Đảo lại, điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng b) Tính chất ba đường trung trực tam giác Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác c) Bổ sung: Nếu tam giác vng giao ba đường trung trực tam giác trung điểm cạnh huyền TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC a) Ba đường cao tam giác đồng quy điểm, điểm gọi trực tâm tam giác ABC b) Bổ sung: * Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác * Trực tâm tam giác vng nằm đỉnh góc vng tam giác 38 * Trực tâm tam giác tù nằm tam giác * Nếu H trực tâm tam giác ABC điểm H, A, B, C trực tâm tam giác có đỉnh ba điểm cịn lại MỘT SỐ LƯU Ý Trong tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời đường cao, đường phân giác đường trung trực tam giác Nếu tam giác có hai loại đường (đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác) trùng tam giác cân Trong tam giác đều, bốn loại đường xuất phát từ đỉnh trùng trọng tâm, trực tâm, giao ba đường phân giác, giao ba đường trung trực trùng II BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM, CN cắt G Biết BM = CN, Chứng minh AG vng góc với BC Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = CB a) Chứng minh C trọng tâm tam giác ADE b) Tia AC cắt DE M Chứng minh AE song song với MH Bài 3: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = BE Trên cạnh AC lấy hai điểm F H cho FA = CH Chứng minh hai tam giác BFH CDE có trọng tâm Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Hai đường trung tuyến BE CF cắt G Gọi D trung điểm BC Chứng minh a) A, G, D thẳng hàng b) BE < CF c) AD, BE, CF ba cạnh tam giác Bài 5: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF cắt G Chứng minh a) AD  AB  AC b) BE  CF  BC Chu vi ABC  AD  BE  CF  Chu vi ABC c) Bài 6: Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác Vẽ BH CK vng góc với đường thẳng AO Cho biết tam giác AOB, BOC, COA có diện tích Chứng minh rằng: a) BH = CK b) O trọng tâm tam giác ABC Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A = 1200 Các đường phân giác AD, BE, CF Tính chu vi tam giác DEF biết DE = 21, DF = 20 Bài 8: Cho tam giác ABC có góc B = 1200, phân giác BD CE Đường thẳng chứa tia phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt đường thẳng BC F Chứng minh rằng: 39 a) góc ADF = góc BDF b) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 9: Cho tam giác tia phân giác góc B góc C cắt O Từ A vẽ đường thẳng vng góc với OA, cắt tia BO CO M N Chứng minh BM vng góc với BN CM vng góc với CN Bài 10: Cho tam giác ABC có góc B = 450, đường cao AH, phân giác BD Biết góc BDA = 450 Chứng minh HD song song với AB Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 3; AC = Phân giác góc B góc C cắt O Vẽ OE vng góc với AB, OF vng góc với AC a) Chứng minh AB + AC – BC = AE b) Tính khoảng cách từ O tới cạnh tam giác ABC c) Tính OA, OB, OC Bài 12: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM + AN = AB a) Đường trung trực AB cắt tia phân giác góc A O Chứng minh BOM  AON b) Chứng minh M N di động hai cạnh AB AC có AM + AN = AB đường trung trực MN qua điểm cố định Bài 13: Cho góc xOy = a0, A điểm di động góc Vẽ điểm M N cho đường thẳng Ox đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN a) Chứng minh đường trung trực MN ln qua điểm cố định b) Tính giá trị a để O trung điểm MN Bài 14: Cho tam giác ABC không vuông Các đường trung trực AB AC cắt O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự M N Chứng minh MN qua điểm cố định Bài 15: Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm M, tia CA lấy điểm N cho BM + CN = BC Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Bài 16: Cho tam giác ABC vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm H cho góc ACB = 3.góc ACH Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho BK = BH Tính góc AKH Bài 17: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM, đường cao BE Trên tia BA lấy điểm F cho BF = CE Chứng minh đường thẳng BE, CF AM đồng quy điểm Bài 18: Tam giác ABC có cạnh BC cạnh lớn Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA CE = CA Tia phân giác góc B cắt AE M; tia phân giác góc C cắt AD N Chứng minh tia phân giác góc BAC vng góc với MN Bài 19: Cho tam giác ABC cân A, góc A = 1080 Gọi O giao điểm đường trung trực, I giao điểm đường phân giác Chứng minh BC đường trung trực OI Bài 20: Cho tam giác ABC cân A Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F cho AE + AF = AB Gọi M trung điểm FE Chứng minh M nằm đường thẳng cố định Bài 21: Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy điểm A B cho OA + OB = 2a Xác định vị trí A B để AB có độ dài nhỏ 40 Bài 22: Một sen cách mặt hồ 20cm, sau bị gió thổi nghiêng đi, bơng sen chạm mặt nước cách thân vị trí cũ 80cm Tính độ sâu hồ nơi có bơng sen Bài 23: Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm M N Trên nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh O OMA OMB cho góc đỉnh O 450 Tìm vị trí O để AB có độ dài nhỏ Tính độ dài nhỏ Bài 24: Cho tam giác ABC có �B  �C  60 , phân giác AD Trên AD lấy điểm O Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho �ACN  �ACO Chứng minh rằng: a) AM = AN b) Tam giác MON Bài 25 : Cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy nhỏ cạnh bên Đường trung trực AC cắt đường thẳng BC M Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = BM a) Chứng minh �AMC  �BAC b) Chứng minh CM = CN c) Muốn cho CM vng góc với CN tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì? III BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG III Bài 26: Cho tam giá ABC Trên tia đối tia CB, AC, BA lấy điểm M, N, P cho MC = BP = AN = AB Chứng minh rằng: a) Tam giác MNP b) Hai tam giác MNP ABC có chung trọng tâm Bài 27: Cho đường thẳng xy hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy Hãy tìm đường thẳng xy điểm C cho chu vi tam giác ABC nhỏ Bài 28: Cho tam giác ABC, góc A = 300 Hai đường cao BH CK Gọi E F trung điểm AB AC Chứng minh rằng: a) Hai tam giác BEH CKF b) HE vng góc với KF Bài 29: Cho tam giác AOB Trên tia đối tia OA OB lấy theo thưs tự hai điểm C D cho OC = OD Từ B C kẻ BM vng góc với AC, CN vng góc với BD Gọi P trung điểm BC Chứng minh rằng: a) Tam giác COD b) AD = BC c) Tam giác MNP Bài 30: Cho tam giác ABC Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a) AH hai lần khoảng cách từ O đến BC b) Ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO 41 Bài 31: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AC E Gọi O trung điểm EH, I trung điểm EC Chứng minh rằng: a) OI vuông góc với AH b) AO vng góc với BE Bài 32: Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD CE cắt I Biết ID = ID Chứng minh tam giác ABC cân A góc BAC = 600 Bài 33: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm D E cho BD = BA CE = CA a) Chứng minh giao điểm I phân giác tam giác ABC giao điểm đường trung trực tam giác DEF b) Gọi m khoảng cách từ I đến cạnh tam giác ABC Tính DE theo m c) Tính góc DIE Bài 34: Cho tam giác cân ABC, góc A = 1100 Trên cạnh BC lấy điểm D, biết góc ADC = 1050 Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA E So sánh cạnh tam giác ACE, tam giác BEC Bài 35: Cho tam giác ABC có �A  �B  �C Vẽ đường cao AH, lấy điểm O nằm A H, tia Co cắt AB D a) Chứng minh góc B C nhọn b) So sánh OB OC c) So sánh OD HD Bài 36: Cho tam giác ABC vng A có góc C = 300, đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD = HB Từ C kẻ CE vng góc với AD Chứng minh rằng: a) Tam giác ABD b) AH = CE c) EH // AC �ABD  �ABC, Bài 37: Cho tam giác ABC vuông A, BC = 2AB D điểm nằm AC cho �ACE  �ACB, E điểm nằm cạnh AB cho gọi F giao điểm BD CE, I K hình chiếu F lên BC AC Lấy điểm G H cho I trung điểm FG, K trung điểm FH Chứng minh rằng: a) Ba điểm H, G, D thẳng hàng b) Tam giác DEF tam giác cân Bài 38: Cho tam giác ABC nhọn Gọi AH đường cao lớn đường cao tam giác tam giác đó, BE đường trung tuyến Biết AH = BE Chứng minh У B ABC tam giác ABC có góc B = 600 600 Với điều kiện tam giác Bài 39: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vng cân ABE ACF vuông B C Trên tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC Chứng minh rằng: a) ABI  BEC b) BI = CE BI vng góc với CE c) Ba đường thẳng AH, CE, BF đồng quy 42 Bài 40 : Cho tam giác ABC vuông A có góc B = a0 Trên cạnh AC lấy điểm E cho tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED cân Bài 41: Gọi H trực tâm tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: �EBA  HA  HB  HC  a0 Trên  AB  BC  CA Bài 42: Một tam giác có cạnh nhỏ 1cm, góc nhỏ 450 Tính diện tích tam giác Bài 43: Cho tam giác ABC có ba góc khác 1200 Tìm tam giác điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh tam giác nhỏ Bài 44: Cho tam giác ABC có góc B > 900, AC = 2AB Chứng minh rằng: a) BC > AB b) �A  2�C Bài 45: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh a) MD = EN b) Đường thẳng BC cắt MN I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC 43 CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG NGUYÊN TẮC CỰC HẠN NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN I LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Các bước chứng minh phản chứng Bước 1: Giả sử có điều trái với kết luận Bước 2: Từ điều giả sử với gt, ta suy điều mâu thuẫn với gt, trái với điều biết (tiên đề, định lý, hệ quả…) (dẫn đến mâu thuẫn) Bước 3: Từ điều mâu thuẫn trên, suy điều giả sử sai Suy điều cần chứng minh NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Nội dung nguyên tắc trình bày dạng đơn giản sau: Hãy đưa đối tượng xét nghiên cứu yếu tố cực hạn Thủ thuật toán vận dụng toán mà đối tượng xét có phạm vi có yếu tố tận (biên, hạn) đó, NGUYÊN LÍ BẤT BIẾN 44 ... dạng 201 9201 9201 9 201 9 chia hết cho 20 17 Hướng dẫn: Xét dãy số: 201 9; 201 9201 9;… ;201 9? ?201 9 (201 8 số 201 9) Khi chia số cho 20 17 có 20 17 số dư: 0; 1; 2;… ;201 6 Như có hai số dãy có số dư chia cho 20 17. .. 20 17 Giả sử hai số là: am  201 9 201 9 (m bộs? ?201 9); a n  201 9 201 9  n b? ?201 9 , vớ i m>n 4n Khi am  an  201 9 201 900 0(m  n b? ?201 9;4n số0)  201 9 201 9.10 M20 17 Vì (10, 20 17) = nên 201 9 201 9... 6: Cho 2b 2c 2d 2a Tính A 202 1a  202 0b 202 1b  202 0c 202 1c  202 0d 202 1d  202 0a    cd d a ab bc 11 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, tính chất a c  b d Bài 7: Chứng minh �a  b � ab �