de thi hsg toan 7 nam 2020 2021 phong gddt thanh pho sam son thanh hoa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN LỚP - THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) Tính: 3224 + 410 84 + 1628 Tính nhanh : a) A = 13 − 23 + 33 − 43 + + 93 − 103 ; 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 1 1 1 b) B = + + + + + 18 36 60 90 126 Cho 2x = 8y+1 9y = 3x – (x, y  N) Tính giá trị biểu thức x - 2y2 Câu (4,0 điểm) Tìm số a, b, c biết: (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = : : 30 Tìm x, biết: 3x − − = x − Câu (4,0 điểm) Số M chia thành ba phần tỉ lệ với 0,25: 0,375 : 0,1(3) Tìm số M, biết tổng bình phương ba phần 4564 (Lưu ý: 1,(3) = ) 3x − x + Tìm giá trị nguyên x để biểu thức N = có giá trị nguyên x−2 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABC = ACB = 300 Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Lấy điểm E thuộc cạnh CD cho DBE = 300 Gọi P điểm cạnh BC cho BP = BD Vẽ PQ vng góc với CD a) Chứng minh tam giác AEB tam giác vuông b) Chứng minh 1 = + 2 BE BC BD c) Chứng minh EB = EQ d) So sánh hai đoạn thẳng AE AQ Câu (2,0 điểm) So sánh A B biết: 1 1 A = 2016 + 2017 + 2018 + 2019 B = + + + + 2017 2018 2019 2016 10 63 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, giám thị khơng giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: …… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn - Lớp (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Câu Nội dung Ý 32 + 84 + 1628 24 Tính: 3224 + 410 = 84 + 1628 = 1,0 (2 ) + (2 ) (2 ) + (2 ) 24 10 28 = 2120 + 220 212 + 2112 220 ( 2100 + 1) (2 ) = 24 0,25 = 16 0,25 Tính nhanh : A = A= 13 23 33 43 93 103 − + − + + − 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 13 23 33 43 93 103 − + − + + − 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 1 1 1 1 1 1 =  +  −  +  +  +  −  +  + +  +  −  +     14   14 19   19 24   44 49   49 54  2a) 1 1 1 1 1 1 + − − + + − − + + + − − 9 14 14 19 19 24 44 49 49 54 1 = − 54 25 = 108 = 1 1 1 + + + + + 18 36 60 90 126 3 3 3 1 1 1 + + + B= + + + + + = + + 18 54 108 180 270 378 18 36 60 90 126 3 3 3 + + + + + = 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − + − 6 9 12 12 15 15 18 18 21 1 = − 21 −1 = = = 21 21 Tính nhanh B = 2b) 0,25 0,25 212 ( 2100 + 1) = 28 = Điểm 10 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho 2x = 8y+1 9y = 3x – (x, y  N) Tính x - 2y2 2x = 8y+1 = ( ) 9y = 3x – = ( ) y +1 y =2 y +3  x = 3y + = 32 y  x − = y 1,0 (1) 0,25 (2) Thay x = 3y + vào (2) ta được: 3y + – = 2y  y = Thay y = vào (1) ta được: x = 3.6 + = 21 Vậy x - 2y2 = 21 - 2.62 = - 51 Tìm a, b, c biết (a – b – 1):(a + b – 1):(a – 1)b = : : 30 (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = : : 30 a − b − a + b − (a − 1)b (a − b − 1) + (a + b − 1) a −  = = = = 30 3+7 (a -  0) (a − 1)b a − (a − 1)b 30 =  = =  b = (a -  0) 30 a −1 a − b − a − a − − a − a − − (a − 7) =  = = = =3 5 5−3  a − = 5.3 = 15  a = 16 Vậy a = 16, b = Tìm x, biết: 3x − − = x − (1) 0,5 0,5 0,75 0,25 2,0 Vì 3x − −  với x nên từ (1) ta suy 4x –  x  3x  (2) 15  x −   x −   3x − = x −  x = −3 3 x − = x −  x = −3     x = 13 x − = − (4 x − 5) x = 13    Từ (1) (2) suy x = 0,25 (3) 12 12 Vậy x = 7 Số M chia thành ba phần tỉ lệ với 0,25: 0,375 : 0,1(3) Tìm số M, biết tổng bình phương ba phần 4564 (Lưu ý: 1,(3) = ) 3 32 Ta có 0,25 : 0,375 : 1,(3) = : : = : : = : : 32 24 24 24 Giả sử M chia thành ba phần x, y, z 0,25 0,5  3x − − = 3x − − = x − Do đó: 3x − − = x −  3x − = x − 0,25 0,25 0,25 2,0 0,5 0,5 2,0 0,5 0,25 x Theo đề ta có: = Đặt y z x2 + y2 + z2 = 4564 = 32 x y z = = = k  x = 6k , y = 9k , z = 32k 32 Vì x2 + y2 + z2 = 4564 nên (6k)2 + (9k)2 + (32k)2) = 4564  1141k2 = 4564  k =  k = 2 x y z M x+ y+z = = = =  M = 94 =2  32 + + 32 47 x y z M x+ y+z = −2  M = −94 = −2  Với k = -2 = = = 32 + + 32 47 Vậy M 94; −94 Với k = 3x − x + có giá trị nguyên x−2 3x − x + 3x( x − 2) + 2( x − 2) + = 3x + + Ta có N = = x−2 x−2 x−2 Với x  Z ta có 3x + 2, x - số nguyên N có giá trị nguyên  có giá trị nguyên x−2  x −  Ư(5)  x − 1;  5 Tìm x  Z để biểu thức N = 0,25 0,25 0,25 Ta có bảng sau: x-2 -1 x Vậy giá trị nguyên x cần tìm x 3;1;7 -5 -3 Cho  ABC có ABC = ACB = 300 Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Lấy điểm E thuộc cạnh CD cho DBE = 300 Gọi P điểm cạnh BC cho BP = BD Vẽ PQ vuông góc với CD a) Chứng minh  AEB tam giác vuông b) Chứng minh 0,5 2,0 0,5 0,25 0,25 1,0 6,0 1 = + 2 BE BC BD c) Chứng minh EB = EQ d) So sánh hai đoạn thẳng AE AQ a) 2,0 Ta có ABC = ACB = 300 AD = AC nên AB = AC = AD = CD   ABC  ABD cân A  ABC = ACB; ABD = ADB 1  ABC + ABD = ABC + ACB + ABD + ADB = 1800 = 900 2   CBD vuông B ( ) 0,5  CBE = CBD − DBE = 900 − 300 = 600  BEC = 1800 − CBE − C = 1800 − 600 − 300 = 900 Vậy  AEB vng E 0,5 0,5 b) Vì  CBD vuông B, BE ⊥ CD nên BE.CD = BC.BD (= 2SCBD) CD2  BE CD = BC BD  = BE BC BD2  CBD vuông B  CD2 = BC2 + BD2 (Định lí Py-ta-go) 1 1 BC + BD2 = + Từ (1) (2) suy =  2 2 BE BC BD BE BC BD 2 0,5 1,5 0,5 (1) 0,25 (2) 0,25 c) 0,5 1,5 Vẽ PK ⊥ BE (K  BE ) Xét EBD ( BED = 900 ) KPB ( PKB = 900 ) có: BA = BP (giả thiết), DBE = BPK (vì phụ với góc KBP) Do EBD = KPB (cạnh huyền – góc nhọn) (3)  BE = PK (hai cạnh tương ứng) Ta có: PK ⊥ BE QE ⊥ BE nên KP // EQ  KPE = QEP Xét KPE ( PKE = 900 ) QEP ( EQP = 900 ) có: PE (cạnh chung), KPE = QEP (chứng minh trên) Do KPE = QEP (cạnh huyền – góc nhọn) (4)  KP = EQ (hai cạnh tương ứng) Từ (3) (4) suy EB = EQ d) 0,5 0,25 0,5 0,25 1,0  CBD vuông B có C = 300 nên D = 600 Mà BAD = 1800 − BAC = 600 nên BAD BE đường cao tam giác BAD, suy 1 AD = AB > BE ( BAE vuông E nên AB > AE) 2 (5)  AE > EQ (EB = EQ, theo câu c)) AE =  AQ = EQ – AE < EQ - 1 EQ  AQ < EQ 2 Từ (5) (6) suy AE < AQ (6) 0,5 0,5 So sánh A = 2016 2017 2018 2019 1 1 + + + B = + + + + 2017 2018 2019 2016 10 63 2018 2019 2020 2021 + + + 2019 2020 2021 2018         = 1 −  + 1 −  + 1 −  + 1 +   2019   2020   2021   2018    1   1   = 3+ − − − + +   2018 2019   2018 2020   2018 2021  1 1 1 1   − −    0;  0; 2018 2019 2018 2020 2018 2019 2018 2020 1 1  −  0 2018 2021 2018 2021   1   1   Suy ra: +  − − − + +  >3  2018 2019   2018 2020   2018 2021  Do A > (*) 1 1 B = + + + + 10 63 1 1 1  1  1 1 =  + + + +  +  + + +  +  + + +  (1) 15   16 17 31   32 33 63   10 1 1 1 1 + + +  + + + =  + + +  (2) 15 8 8 15 2,0 A= 1,0 sô hang 1 1 1 1 + + +  + + + =  + + +  16 17 31 16 16 16 16 17 31 (3) 1,0 16 sô hang 1 1 1 1 + + +  + + + =1 + + +  32 33 63 32 32 32 32 33 63 (4) 32 sô hang Từ (1), (2), (3), (4) suy B < (**) Từ (*) (**) suy A > B Chú ý: Trên cách giải Các cách giải khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án Bài hình, khơng có hình vẽ vẽ hình sai khơng cho điểm Các trường hợp khác tổ chấm thống phương án chấm Các điểm thành phần chấm đến 0,25đ Điểm toàn tổng điểm câu khơng làm trịn  ... 2016 20 17 2018 2019 1 1 + + + B = + + + + 20 17 2018 2019 2016 10 63 2018 2019 2020 2021 + + + 2019 2020 2021 2018         = 1 −  + 1 −  + 1 −  + 1 +   2019   2020   2021 ... − − − + +   2018 2019   2018 2020   2018 2021  1 1 1 1   − −    0;  0; 2018 2019 2018 2020 2018 2019 2018 2020 1 1  −  0 2018 2021 2018 2021   1   1   Suy ra: +  − −...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn - Lớp (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Câu Nội dung Ý 32 +