Các chuyên đề ôn thi HSG Toán 9 - Phần Hình học

Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học CHUYÊN ĐỀ - DẠNG CHỨNG MINH : TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, GĨC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY ) I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn : Cách Sử dụng định nghĩa đường trịn Ví dụ : ( Đường tròn Euler ) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AM, BN, CP ; H trực tâm tam giác Gọi D, E, F thứ tự trung điểm cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự trung điểm AH, BH, CH Chứng minh : điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm đường trịn Cách Sử dụng định lí đảo Tứ giác nội tiếp đường tròn Hệ 1: Nếu tứ giác có góc góc kề bù với góc đối tứ giác nội tiếp đường tròn Hệ : Nếu MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Ví dụ : Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D tiếp điểm), tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng CD E Gọi H giao điểm AD OE, K giao điểm BE với đường tròn (O) (K không trùng với B) Chứng minh điểm B, O, H, K thuộc đường tròn Các chuyên đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Cách : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc Nếu nhiều điểm nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng chứa AB, nhìn AB góc điểm thuộc đường tròn nhận AB làm dây Hệ : Nếu hai đoạn thẳng AB CD cắt I thỏa mãn IA.IB = IC.ID bốn điểm A,B,C,D thuộc đường trịn Ví dụ : Cho (O) MA, MB tiếp tuyến, MCD cát tuyến ( MC < MD ) Gọi I trung điểm CD, K giao điểm AB MD Chứng minh điểm M, A, I, B thuộc đường tròn Từ suy : KC.KD = KM.KI Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Các cách chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Cách : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến đường tròn ( đường thẳng đường trịn có điểm chung ) Cách : Theo VTTĐ đường thẳng đường tròn ( khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng bán kính đường tròn ) Cách : Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Cách : Sử dụng định lí đảo góc tạo tia tiếp tuyến dây AmB Bx tiếp tuyến (O) Nếu ·ABx = ¼ Ví dụ Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O; R) cố định Từ điểm A kẻ đường thẳng d không qua O, cắt đường tròn (O) B, C (B nằm A C) Các tiếp tuyến đường tròn (O) B, C cắt D Kẻ DH vng góc với AO H; DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn (O) + OI.OD = OC2 = OM2 (1) + PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2) + Từ (1) (2) => OM2 = OH.OA => AM tiếp tuyến (O) Chứng minh đường thẳng song song, góc a Chứng minh đường thẳng song song - Quan hệ từ vng góc đến song song - Góc vị trí SLT, SLN, ĐV, phía bù - Cạnh đối tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV Các chuyên đề ôn thi HSG Tốn - Phần Hình học - Định lí thứ đường trung bình tam giác, hình thang - Định lí Ta let đảo b Chứng minh góc - Cộng góc - Góc SLT, SLN, ĐV - Góc có cạnh tương ứng song song - Sử dụng tam giác nhau, đồng dạng - Quan hệ góc đường trịn : Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, BC OS cắt M AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR : NP // MS + ∆AEB#∆BMS ⇒ AB AE AE = = BS BM EM · + ·ABx = ·ACB = MEC AM AE = (1) AS AB AN AE = (2) + ∆AEN #∆ABP ( g − g ) ⇒ AP AB => ∆AEM #∆ABS (c − g − c) ⇒ Từ (1) (2) suy NP//MS ( định lí Ta let đảo ) Chứng minh đẳng thức hình học - Các phép biến đổi tương đương - Định lí Pitago - Định lí Ta let hệ - Cạnh , đường chéo tứ giác đặc biệt - Tam giác nhau, đồng dạng - Định lí thứ , thứ hai đường trung bình tam giác, hình thang - Tính chất trọng tâm tam giác - Trong đường tròn, hai cung căng hai dây nhau; hai dây song song chắn hai cung - Quan hệ góc đường trịn Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học - Phương tích điểm đường trịn Ví dụ Tõ mét ®iĨm D n»m đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA DB đến đờng tròn (A B tiếp điểm) Tia Dx nằm hai tia DA DO; Dx cắt đờng tròn hai điểm C E (E nằm C D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB M MB DE Chøng minh r»ng:  ÷=  MC  DC Ã ẳ 1800 EOC 3600 sđEAC Ã Ã · · + BMC = 900 + OMC = 900 + CEO = 900 + = = EAC => ∆AEC#∆MBC ( g − g ) ⇒ AE MB = (1) AC MC DA DE AE DE  AE  = = ⇒ (2) + ∆DAE#∆DCA ( g − g ) ⇒ ÷ = DC DA AC DC  AC  Từ (1) (2) suy đpcm Ví dụ Cho đường trịn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC » nhọn AB, AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC không chứa D lấy F(F ≠ B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N ≠ F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P ≠ A) a) Chứng minh AN.AF = AP.AM b) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC Các đường thẳng IH CD cắt K Chứng minh : DC BD BC + = FK FI FH Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học A N D E P I B O H M C K F a) ·APE = ·ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ·ABM = ·ADE (Cùng bù với góc EDC) Suy ra: ·ABM = ·APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM AE AM = ⇒ AE AB = AM AP (1) Nên AP AB Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF AE AF = ⇒ AE AB = AN AF (2) AN AB Từ (1) (2) suy ra: AN.AF = AP.AM b) Xét I nằm B, D ( Nếu I nằm ngồi B,D vai trị K với DC I với BD) · · · Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK ( FBD ), suy tứ giác = FCK · CKFH nội tiếp nên FKC = 900 DK BH = FK FH CK BI = Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên: FK FI DC BH BI = − Suy ra: FK FH FI DC BD BH BD BI BH ID + = + − = + FK FI FH FI FI FH FI ID HC DC BD BH HC BC = + = + = Mà suy ra: FI FH FK FI FH FH FH Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên: Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Chứng minh thẳng hàng ( đồng quy ) Một mệnh đề toán học khẳng định điểm thẳng hàng ln có mệnh đề tương đương khẳng định đường thẳng đồng quy Cách chứng minh điểm thẳng hàng ( đường thẳng đồng quy ): - điểm tạo thành góc bẹt - Tiên đề Euclid - Bổ đề hình thang - Ba đường cao, đường phân giác ( - ), ba đường trung tuyến, ba đường trung trực tam giác - Tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt · · - xAB = xAC - Góc vị trí đối đỉnh - Nếu hai đường trịn tiếp xúc đường nối tâm qua tiếp điểm Ví dụ ( Đường thẳng Simson ) Cho ba điểm A, B, C đường tròn Chứng minh chân đường vng góc hạ từ M đường tròn xuống đường thẳng AB, BC, CA nằm đường thẳng ( Đường thẳng Simson điểm M ) · · · · · · + FCM => D, E, F thẳng hàng = MBD ⇒ FMC = BMD ⇒ BED = FEC Ví dụ Cho tam giác ABC khơng có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường trịn (O; R) (B, C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học · · · Có MIC = MOC (= BAC ) => B, O, I, C, M thuộc đường tròn đường kính OM => PF/(BOICM) = FI.FM = FC.FB (1) Lại có PF/(O) = FC.FB = FQ.FT (2) · => FI.FM = FQ.FT => điểm M, T, I, Q thuộc đường tròn => QTM = 900 => M, T, P thẳng hàng II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tam giác MNP vuông M Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía ngồi tam · · giác MNP cho NQ = NP MNP gọi I trung điểm PQ, MI cắt NP = PNQ E · · 1) Chứng minh PMI = QNI 2) Chứng minh tam giác MNE cân 3) Chứng minh: MN PQ = NP ME Bài Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh: a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE.DN = EN.BD Bài Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường trịn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm OD 1) Chứng minh OM // DC 2) Chứng minh tam giác ICM cân 3) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN Bài Cho đường trịn tâm O Lấy điểm A ngồi đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C ( AB < AC ) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp 2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Chứng minh DM ⊥ AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2 Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên đường trịn (O) lấy điểm C ( CA > CB) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A, C cắt điểm D Kẻ CH vng góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC E 1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp · · 2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Chứng minh : BCF + CFB = 900 3) BD cắt CH M Chứng minh EM // AB Bài Cho tam giác ABC có µA > 900 Vẽ đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường trịn (O’) điểm thứ hai D, đường thẳng AC cắt đường tròn ( O) điểm thứ hai E 1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn 2) Gọi F giao điểm hai đường tròn (O) (O’) ( F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng FA phân giác góc EFD 3) Gọi H giao điểm AB EF Chứng minh BH.AD = AH BD Bài Cho đường trịn ( O;R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O A) Tia CM cắt đường tròn ( O; R) điểm thứ hai N Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) N Tiếp tuyến cắt đường thẳng vng góc với AB M P 1) Chứng minh OMNP tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CN// OP 3) Khi AM = AO Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao BE, CF tam giác Gọi H giao điểm BE CF Kẻ đường kính BK (O) a) Chứng minh tứ giác BCFE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành c) Đường trịn đường kính AC cắt BE M, đường trịn đường kính AB cắt CF N Chứng minh AM = AN Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, nửa đường trịn lấy điểm C (C khác A B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Vẽ đường thẳng d vng góc với AB B Các đường thẳng AC AD cắt d lần lượt E F 1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn 2) Gọi I trung điểm BF.Chứng minh ID tiếp tuyến nửa đường tròn cho · 3) Đường thẳng CD cắt d K, tia phân giác CKE cắt AE AF lần lượt M N Chứng minh tam giác AMN tam giác cân Bài 10 Cho tam giác ABC vng A, kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C H) Kẻ ME vng góc với AB E; MF vng góc với AC F Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học 1) Chứng minh điểm A, E, F, H nằm đường tròn 2) Chứng minh BE.CF = ME.MF BE HB · = 3) Giả sử MAC = 450 Chứng minh CF HC Bài 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có BC = 2R AB < AC Đường thẳng xy tiếp tuyến đường tròn (O;R) A Tiếp tuyến B C đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy D E Gọi F trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh tứ giác ADBO tứ giác nội tiếp b) Gọi M giao điểm thứ hai FC với đường tròn (O;R) Chứng minh · CED = ·AMB c) Tính tích MC.BF theo R Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn (AB M giao đường thẳng qua C vuông góc AB Bài ( Thi vào THPT Tp Hồ Chí Minh 2010-2011 ) Cho đường trịn tâm O đường kính AB=2R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O) khác A B Các tiếp tuyến (O) A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE) a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp đường tròn APMQ hình chữ nhật 31 Các chuyên đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh hai tam giác EAO MPB đồng dạng Suy K trung điểm MP d) Đặt AP = x Tính MP theo R x Tìm vị trí M (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Giải : a) Dễ chứng minh được b) Chứng minh được EO trung trực AM nên O, I, E thẳng hàng · · c) Ta có OE//MP => EOA = MBP ⇒ ∆AEO#∆PMB ⇒ PB MP = AO EA PB (1) AB BP KP KP / / EA ⇒ = (2) AB EA ⇒ MP = EA Từ (1) (2) suy MP = EA KP = KP EA => K trung điểm MP d) Ta có : AB = 2R ; AP = x => PB = 2R - x Tam giác AMB vng M có MP đường cao nên : MP2 = PA.PB = x(2R-x) => MP = x(2 R − x) x   + 2R − x ÷ x Có : SMPAQ = AP.MP = x x(2 R − x) = x (2 R − x) ≤ x  ÷  ÷   x x  + R − ÷ 3R x x x = x 3( R − ) = 3 .( R − ) ≤ 3  ÷ = 3  ÷   ( theo bất đẳng thức AM-GM ) Dấu đẳng thức xảy : x  = R − x 3R ⇒x=  x = R− x  3 Vậy diện tích hình chữ nhật APMQ lớn 3R M thuộc đường tròn cho P trung điểm OB Bài ( Thi vào THPT Nguyễn Bình - Quảng Ninh 2013-2014 ) 32 Các chuyên đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Cho đường trịn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm cung nhỏ BM Gọi H chân đường vng góc M xuống AK a) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp b) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao? c) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK d) Gọi P hình chiếu vng góc K lên AB Xác định vị trí K để chu vi tam giác OPK lớn Giải : a) Vì M điểm cung AB, M ˆ = 900 nên sđ ¼ AM = 90 => AOM (đ/l góc tâm), mà MH ⊥ AK (gt) K => ·AHM = 900 ˆ = ·AHM = 900 Trong tứ giác AOHM, ta có: AOM Do đỉnh O H ln nhìn đoạn Am góc 900, nên AOHM tứ giác nội tiếp · b) Xét tam giác vng MHK có MKH = 450 Nên tam giác MHK tam giác vng cân H c) Vì tam giác MHK cân H nên : HM = HK Xét ∆ MHO ∆ KHO có HM = HK (c/m trên) HO cạnh chung OM = OK = R Suy ∆ MHO = ∆ KHO ( c-c-c) H A O P B · · Nên MOH , Do OH phân giác góc MOK = KOH d) Ta có chu vi tam giác OPK là: C = OP + PK + OK Mà OK không đổi, nên chu vi tam giác OPK lớn ⇔ OP + PK lớn Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có (OP + PK)2 ≤ (12 + 12)( OP2 + PK2) = 2R2 Vậy (OP + PK)2 lớn 2R2, nên OP + PK lớn 2R Do chu vi tam giác OPK lớn bằng: 2R + R = ( + 1)R , OP = PK hay K điểm cung MB II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB AC chúng cắt AC P cắt AB Q 33 Các chuyên đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học 1) Chứng minh BP = CQ 2) Chứng minh tứ giác ACEQ tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gọi H điểm nằm tam giác ABC cho HB = HA2 + HC2 Tính góc AHC Bài Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH đường cao tam giác (H ∈ BC) 1) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật 2) Gọi M, N thứ tự hình chiếu vng góc B, C AD Chứng minh HM vng góc với AC 3) Gọi bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vng ABC r R Chứng minh : r + R ≥ AB.AC Bài Cho hình vng ABCD, M điểm đường chéo BD, gọi H, I K lần lượt hình chiếu vng góc M AB, BC AD 1) Chứng minh : ∆ MIC = ∆ HMK 2) Chứng minh CM vng góc với HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Bài Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý nửa đường trịn (P ≠ M, P ≠ N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vng góc với đường thẳng MQ I từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ K 1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm đường tròn 2) Chứng minh: MP PK = NK PQ 3) Tìm vị trí P nửa đường trịn cho NK.MQ lớn Bài Cho điểm A ngồi đường trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C) Gọi D, E, F tương ứng hình chiếu vng góc M đường thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF 1) Chứng minh: a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vng góc với HK 2) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài Cho đường tròn (O), dây AB không qua tâm Trên cung nhỏ Ab lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vng góc với AB H Kẻ MK vng góc với AN (K∈AN) Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc đường tròn Chứng minh: MN tia phân giác góc BMK Khi M di chuyển cung nhỏ AB Gọi E giao điểm HK BN Xác định vị trí điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn 34 Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Bài Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, M điểm thay đổi cạnh · BC( M khắc B ) N điểm CD ( N khác C ) cho MAN = 45o Đường chéo BD cắt AM AN lần lượt P Q a) Chứng minh ABMQ tứ giác nội tiếp b) Gọi H giao điểm MQ NP Chứng minh AH vng góc với MN c) Xác định vị trí điểm M điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R (R độ dài cho trước) Gọi C, D hai điểm nửa đường trịn cho C thuộc cung AD góc COD = 1200 Gọi giao điểm hai dây AD BC E, giao điểm đường thẳng AC BD F a) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường trịn b) Tính bán kính đường trịn qua C, E, D, F nói theo R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác FAB theo R C, D thay đổi thỏa mãn giả thiết toán Bài Cho tam giác ABC khơng có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I · · 1) Chứng minh MBC Từ suy MBIC tứ giác nội tiếp = BAC 2) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE 3) Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng 4) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC cho tam giác IBC có diện tích lớn Bài 10 Cho đường trịn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm cung nhỏ BM Gọi H chân đường vng góc M xuống AK e) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp f) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao? g) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK h) Gọi P hình chiếu vng góc K lên AB Xác định vị trí K để chu vi tam giác OPK lớn Bài 11 Cho đường trịn (O) có bán kính R điểm C nằm ngồi đường trịn Đường thẳng CO cắt đường tròn hai điểm A B ( A nằm C O) Kẻ tiếp tuyến CM đến đường tròn ( M tiếp điểm) Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt CM E tiếp tuyến đường tròn (O) B cắt CM F 1) Chứng minh tứ giác AOME nội tiếp đường tròn · · 2) Chứng minh AOE CE.MF=CF.ME = OMB 3) Tìm điểm N đường trịn (O) ( N khác M) cho tam giác NEF có diện tích · lớn nhất.Tính diện tích lớn theo R, biết góc AOE = 300 35 Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường trịn tâm C bán kính AC, hai đường trịn cắt điểm thứ D.Vẽ AM, AN lần lượt dây cung đường tròn (B) (C) cho AM vng góc với AN D nằm M; N a) CMR: ∆ABC=∆DBC b) CMR: ABDC tứ giác nội tiếp c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí dây AM; AN đường tròn (B) (C) cho đoạn MN có độ dài lớn Bài 13 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 12 cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia tiếp tuyến Ax, By M điểm thuộc nửa đường trịn (O), M khơng trùng với A B AM cắt By D, BM cắt Ax C E trung điểm đoạn thẳng BD 1.Chứng minh: AC BD = AB2 2.Chứng minh: EM tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O 3.Kéo dài EM cắt Ax F Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn tâm O cho diện tích tứ giác AFEB đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Bài 14 Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C cố định bán kính OA (C khác A O) , điểm M di động đường tròn (M khác A,B) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với CM , đường thẳng cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) lần lượt D E a) Chứng minh ACMD BCME tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DC ⊥ EC c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ADEB nhỏ Bài 15 Cho tam giác ABC góc tù (AB < AC), nội tiếp đường trịn (O; R) (B, C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I · · 1) Chứng minh MBC Từ suy MBIC tứ giác nội tiếp = BAC 2) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE 3) Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng 4) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC cho tam giác IBC có diện tích lớn Bài 16 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên cạnh AD CD lần lượt lấy · điểm M N cho góc MBN = 450, BM BN cắt AC theo thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp 36 Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học b) Gọi H giao điểm MF với NE I giao điểm BH với MN Tính độ dài đoạn BI theo a c) Tìm vị trí M N cho diện tích tam giác MDN lớn Bài 17 Cho nửa đường trịn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d tiếp tuyến (O) B Trên cung »AB lấy điểm M tùy ý (M khác A B), tia AM cắt d N Gọi C trung điểm AM , tia CO cắt d D a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp b) Chứng minh rằng: NO ⊥ AD c) Chứng minh rằng: CA CN = CO CD d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ Bài 18 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN lần lượt điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ điểm F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài 19 Cho (O;R) Dây BC AM2 = AE.AI (2) Từ (1) (2) suy : AE.AI = AB.AC mà A, I, B, C cố định nên E cố định => MN qua E cố định Ví dụ Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khác O B) Dựng đường thẳng d vng góc với AB điểm C, cắt nửa đường tròn (O) điểm M Trên cung nhỏ MB lấy điểm N (N khác M B), tia AN cắt đường thẳng d điểm F, tia BN cắt đường thẳng d điểm E Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) điểm D (D khác A) 38 Các chuyên đề ôn thi HSG Tốn - Phần Hình học Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh điểm I nằm đường thẳng cố định điểm N di chuyển cung nhỏ MB E D M N F A H O C B Lấy điểm H đối xứng với B qua C, B C cố định nên H cố định Ta có: ∆FBH cân F (vì có FC vừa đường cao vừa đường trung tuyến) · · ⇒ FHB = FBH · · · · · · · ⇒ Tứ Mà FBH (Do phụ với góc DAB ) ⇒ FHB hay AEF = DEC = DEC = FHB giác AEFH nội tiếp Do đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF qua hai điểm A, H cố định ⇒ Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường trung trực đoạn thẳng AH cố định II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho đường tròn (O ; R) dây AC cố định không qua tâm B điểm đường trịn (O ; R) (B khơng trùng với A C) Kẻ đường kính BB’ Gọi H trực tâm tam giác ABC 1) Chứng minh AH // B’C 2) Chứng minh HB’ qua trung điểm AC 3) Khi điểm B chạy đường trịn (O ; R) (B khơng trùng với A C) Chứng minh điểm H ln nằm cung trịn cố định Bài Cho đường trịn (O) điểm A nằm bên ngồi (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC 4) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Bài Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Đường tròn (O; R) thay đổi qua B C cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM AN với 39 Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC, E giao điểm MN BC, H giao điểm đường thẳng OI đường thẳng MN 1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh OI.OH = R2 3) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy điểm C đoạn AO, C khác A O Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường trịn (O) D M điểm bất » kì cung BD ( M khác B D) Tiếp tuyến M (O) cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD 1) Chứng minh bốn điểm B, C, F ,M nằm đường tròn 2) Chứng minh EM = EF · 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF Chứng minh góc ABI có số đo » không đổi M di động cung BD Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB=2R.Gọi I trung điểm OA qua I kẻ dây MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB ( M khác B, M), AC cắt MN D a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b) Chứng minh AD.AC=R2 c) Khi C chạy cung nhỏ MB chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CMD ln thuộc đường thẳng cố định Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC 4) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề Bài Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Đường trịn (O; R) thay đổi qua B C cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC, E giao điểm MN BC, H giao điểm đường thẳng OI đường thẳng MN 1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh OI.OH = R2 3) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định 40 Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB=2R.Gọi I trung điểm OA qua I kẻ dây MN vng góc với OA C thuộc cung nhỏ MB ( M khác B, M), AC cắt MN D 1) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp 2) Chứng minh AD.AC=R2 Khi C chạy cung nhỏ MB chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD thuộc đường thẳng cố định Bài Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Từ điểm M tuỳ ý d kẻ tiếp tuyếnMA MB với (O) (A B tiếp điểm) Gọi I trung điểm CD a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp b) Các đường thẳng MO AB cắt H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ COD c) Chứng minh đương thẳng AB qua điểm cố định M thay đổi đường thẳng d MD HA = Chứng minh MC HC Bài 10 Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O; R) cố định Từ điểm A kẻ đường thẳng d không qua O, cắt đường tròn (O) B, C (B nằm A C) Các tiếp tuyến đường tròn (O) B, C cắt D Kẻ DH vuông góc với AO H; DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC a) Chứng minh năm điểm B, C, D, H, O nằm đường tròn b) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn (O) c) Chứng minh tích HB.HC khơng đổi đường thẳng d quay quanh điểm A 41 Các chuyên đề ôn thi HSG Tốn - Phần Hình học CHUN ĐỀ - DẠNG QUỸ TÍCH I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA - Quỹ tích hình ( thường điểm ) bắt buộc liên quan đến yếu tố cố định, khơng đổi - Bài tốn Quỹ tích điểm M đầy đủ có phần : + Phần thuận : Chỉ tập hợp điểm M có tính chất T hình H ( bao gồm bước dựng hình H tốn dựng hình phần ) + Phần đảo : Chỉ điểm thuộc hình H có tính chất T + Kết luận : Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H ( cần giới hạn quỹ tích ) - Có dạng tốn Quỹ tích : Quỹ tích "đóng" Quỹ tích "mở" + Quỹ tích "đóng" : u cầu chứng minh tập hợp điểm M thuộc hình H + Quỹ tích "mở" : yêu cầu tập hợp điểm M có tính chất T hình - Do việc giảm tải chương trình nên thường khơng u cầu học sinh trình bày đầy đủ bước tốn Quỹ tích Ví dụ Cho đường trịn tâm O điểm M nằm ngồi hình trịn Qua M kẻ cát tuyến cắt đường tròn B C (MC > MB) tiếp tuyến MA ( A tiếp điểm) Gọi D trung điểm BC, I trung điểm MO, N trọng tâm tam giác MAO a) Khi cát tuyến MBC thay đổi D di chuyển đường ? b) Tìm quỹ tích trọng tâm G ΔABC cát tuyến MBC thay đổi a) D ln nhìn MO cố định góc khơng đổi 900 nên D di chuyển đường tròn (I; MO ) Giới hạn : Cát tuyến MBC suy biến thành tiếp tuyến ME D trùng E Cát tuyến MBC suy biến thành tiếp tuyến MA D trùng A Kết luận : cát tuyến MBC thay đổi D chạy cung EOA (I; MO ) 42 Các chuyên đề ôn thi HSG Tốn - Phần Hình học b) *Phần thuận: AN AG NG 2 MO = = ⇒ NG / / ID ⇒ = ⇒ NG = MO = AI AD ID 3 Do tam giác MAO cố định nên N cố định => G di chuyển ( N ; Gọi F giao ( N ; MO ) MO ) IE Do D di chuyển cung EOA nên G di chuyển cung FGA hình * Phần đảo : Lấy G' thuộc ( N ; MO ) , AG' cắt cung EOA D' MD' cắt (O) B', C' Ta dễ dàng chứng minh G' trọng tâm tam giác AB'C' * Kết luận : Quỹ tích điểm G cung FGA hình II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho đường tròn ( O ) cố định Từ điểm A cố định bên đường tròn ( O ) , kẻ tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M;N tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn ( O ) hai điểm B C (B nằm A C) Gọi I trung điểm dây BC 1) Chứng minh rằng: AMON tứ giác nội tiếp 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh rằng: AK AI = AB AC 3) Khi cát tuyến ABC thay đổi điểm I chuyển động cung trịn nào? Vì sao? 4) Xác định vị trí cát tuyến ABC để IM = IN Bài Cho hai đường trịn (O1) (O2)có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn E F (E ∈(O1); F∈(O2)) Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB (C ∈(O1); D∈(O2)).Gọi P giao điểm CE FD Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp được đường tròn b Gọi I trung điểm EF Chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I di chuyển đường ? Bài Cho hình vng ABCD , điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a, Chứng minh : BHCD tứ giác nội tiếp · b, Tính CHK c, Chứng minh : KC.KD = KH.KB d, Khi điểm E di chuyển cạnh BC điểm H di chuyển đường ? 43 Các chuyên đề ôn thi HSG Tốn - Phần Hình học Bài Từ điểm P cố định nằm ngồi đường trịn (O; R) cho trước vẽ tiếp tuyến PA cát tuyến PBC Gọi H trực tâm tam giác ABC, H điểm đối xứng H qua BC, O điểm đối xứng O qua BC a) Chứng minh H1 nằm đường tròn (O) b) Chứng minh tứ giác OAHO1 hình bình hành c) Từ P kẻ Px vng góc với PA, Py lấy điểm I cho PI = R (I O thuộc hai nửa mặt phẳng khác bờ PA) Chứng minh tứ giác PIHO1 hình bình hành d) Khi cát tuyến PBC quay quanh P H chạy đường nào? Bài Cho điểm C đường trịn tâm O đường kính AB cố định Đường thẳng vng góc với AB O cắt đường thẳng AC D cắt tiếp tuyến C đường tròn (O) E a) Chứng tỏ điểm O, B, C, D nằm đường trịn Xác định tâm I đường trịn b) Chứng minh tam giác ECD cân c) Đường thẳng BC cắt đường thẳng OE H Chứng minh giao điểm BD AH nằm đường tròn (O) d) Tìm quỹ tích tâm I C di động đường tròn (O) 44 ... thẳng hàng 13 Các chuyên đề ôn thi HSG Tốn - Phần Hình học CHUN ĐỀ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, CỰC TRỊ I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu:... minh tích HB.HC không đổi đường thẳng d quay quanh điểm A 41 Các chun đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học CHUYÊN ĐỀ - DẠNG QUỸ TÍCH I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA - Quỹ tích hình ( thường điểm... 37 Các chuyên đề ơn thi HSG Tốn - Phần Hình học 4) Xác định vị trí dây AM; AN đường tròn (B) (C) cho đoạn MN có độ dài lớn CHUYÊN ĐỀ - DẠNG CHỨNG MINH YẾU TỐ KHÔNG ĐỔI, CỐ ĐỊNH I - LÝ THUYẾT -