các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình học

các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình họccác chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn hình học

Trang 1

Contents

A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 5

 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 5

 Lý thuyết 5

 Bài tập 5

 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 13

 Bài tập 14

 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 19

 Bài tập 19

 GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 21

 Bài tập 21

 MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM 24

B GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 30

 GÓC Ở TÂM 30

 Bài tập 32

 GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 34

 Bài tập 36

 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN 41

 Bài tập 42

 MỘT SỐ BÀI TẬP 43 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 43

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 47

DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN 53

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 55

C TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN 61  TỨ GIÁC NỘI TIẾP 61

 Bài tập 63

 CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 70

 Bài tập 70

 BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) 73

Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 73 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0 74

Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện 76

Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm 76

Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn 77

D CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 79

 LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 81

A CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 81

Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau 81

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt 84

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt 85

Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn 86

Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … 87

B CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 88

1 Tính chất trung điểm của đoạn thẳng 88

3 Đường trung bình 88

4 Định lý Talet: 89

Trang 3

5 Tính chất đường phân giác của tam giác 90

6 Các trường hợp đồng dạng của tam giác 91

7 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 92

8 Tỉ số lượng giác của góc nhọn 93

 PHẦN BÀI TẬP 94

E CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG 114

10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng 115

Ví dụ minh họa 115

Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ) 115

Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) 116 Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn 116

Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho 117

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho 118

Một số bài tập 124

F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY 136

Bài tập có giải 137

Một số bài tập tự rèn: 151

F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC 152

A Phương pháp giải bài toán cực trị hình học 153

1 Dạng chung của bài toán cực trị hình học: 153

2 Hướng giải bài toán cực trị hình học: 153

3 Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học 153

B Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học 154

1 Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 154

2 Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc 158

Trang 4

3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn 160

4 Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai 161

5 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si 163

6 Sử dụng tỉ số lượng giác 166

C Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn 169

D Bài tập tự luyện 187

E Rèn luyện tổng hợp 192

H HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 202

 HÌNH TRỤ 203

 Bài tập 203

 HÌNH NÓN 212

 Bài tập 213

 HÌNH CẦU 221

 Bài tập 222

 BÀI TẬP TỔNG HỢP 229

Tài liệu được tổng hợp – sưu tầm từ nhiều nguồn

Sử dụng dạy ôn 10 – Mức độ: KHÁ

Trang 5

A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

b c

Trang 6

Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:

A

B

Trang 7

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết diện tích các tam giác ABH

và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2 Tính độ dài BC

Trang 8

Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải

Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có

thể tính được diện tích hình thang Muốn vậy phải tính

OA và OC

* Trình bày lời giải

a)  Xét ABD vuông tại A có AO  BD nên 2

Trang 9

Vận dụng hệ thức 4:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 1 Gọi M là một điểm nằm giữa B và C Tia

AM cắt đường thẳng CD tại N Tính giá trị của biểu thức P 1 2 12

Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E

ADE và ABM có D B 90 AD = AB; A1  A2 (cùng phụ với DAM )

Do đó ADE  ABM g c g  Suy ra AE = AM

Xét AEN vuông tại A có AD  EN nên 12 12 12

AE AN  ADMặt khác AEAM AD;  1 nên 1 2 12 1

* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức

lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức 12 12 12

h b c ’’ Một thủ thuật để nhận ra tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại

Trang 10

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D

Vì ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến  BH = HC

Xét BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC )

 CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác )

Nên AH là đường trung bình của BCD

Bài 1: Cho hình thang ABCD, Aˆ Dˆ 90 

   hai đường chéo vuông góc với nhau tại O Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm Tính các độ dài OA, OB, OC, OD

Trang 11

Bài 2: (Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau) Cho tam giác ABC vuông tại

A, AH là đường cao Biết AB=8cm, AC=6cm Tính độ dài AH )

Trang 12

*Cách 4: Gọi M là trung điểm BC

Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp

Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Phương pháp giải: Cho tam giác ABCvuông tạiA, đường caoAH. Nếu biết độ dài hai

trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn

thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức  1 (5)

Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo

hướng:

Bước 1 Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức Bước 2 Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao

Bước 3 Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh

Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức

a

h

b' c'

b c

H

A

M H A

Trang 13

 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

Cho  , là hai góc nhọn Nếu   thì

 sin  sin ; tan  tan ;

 cos   cos ; cot   cot 

Bảng lượng giác một số góc đặc biệt

32

1

2

22

12

Trang 14

Ví dụ minh họa: Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C

12 4

15 5

AB B

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:

35

Trang 15

Bài 2: Cho  là một góc nhọn Chứng minh rằng:

a) sin  tan; b) cos cot 

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác

Bài 3: Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện: a b c

sin A sin B sin C

* Tìm cách giải:

Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một

góc nhọn Do đó phải vẽ thêm đường cao

* Trình bày lời giải:

sin A sin Bsin C

Lưu ý: Nếu ABC có C90 thì ta vẫn có: a b

sin A sin B

Trang 16

 sin x – cos x2  0 Do đó sin x  cos x

 sin x  sin 90 –( o x) (vì cos x  sin 90 –( o x))

Dẫn tới x  90 – o x 2 x  90o  x  45 o

Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ

số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ

Trang 17

AB BC BH

AC SinB

BC

13 5 33,8 13

AB SinC

AB

5 13

H B

A

C

H B

A

C

Trang 18

C B

7

AB SinC

AH SinC

AC

từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng tan 

Vẽ đường phân giác BD của ABC ( D  AC )

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có : AD AB

Trang 19

 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

 Lý thuyết

1 Định lí

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

 Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;

 Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

Trong hình vẽ bên thì:

ba sin Ba cos C ; ca sin C a cos B ;

b c tan Bc cot C ; c b tan C b cot B ;

2 Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông khi biết hai yếu tố của nó (trong

Trang 20

Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:

BH  AB cos B ; CH  AC cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn

Bài 2: Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và Tính độ dài BC

Vẽ đường cao AH Xét ABH vuông tại H có:

Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ Bài toán có 2 nghiệm hình

Bài 3: Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B70 Tính độ dài BC

Trang 21

?

9 20

B

A

x 2x

Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh

Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả

Bài 2: Cho tam giác ABC ,  0

60

B  , BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ dài cạnh AB

AB = 2.2,5 = 5cm

Trang 22

X X

B A

Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm

Diện tích tam giác ABC = 10 3cm

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác Biết rằng AD = 1cm;

BD = 10cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

Bài giải sơ lược

Vậy : AH 2 5

10 cm

1cm D

C B

A

x

Trang 23

2x 12 15,6



Đưa về phương trình 15, 62 x2  6, 76x2

Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam

giác vuông ứng với cạnh huyền ta được

2 2.6 12

BC  AM   (cm)

Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC

và ABN vuông tại A

Trả lời: AB 2 5 cm

A

/ /

//

6 9

N

B

Trang 24

 MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM

BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A Biết 5

đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó

Bài 8: a Cho tam giác ABC có = 60 , = 50 , = 35 Tính diện tích tam giác ABC

b Cho tứ giác ABCD có = = 90 , = 40 , = 4 , = 3 Tính diện tích tứ giác

c Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O Cho biết = 4, =

5, = 50 Tính diện tích tứ giác ABCD

Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB bằng 30cm, chu vi

∆ACH bằng 4dm Tính BH, CH và chu vi ∆ABC

Bài 10: Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17

a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông

b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh

Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, B 600 và A900

a) Tính đường chéo BD

b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC

c) Tính HK d) Vẽ BE  DC kéo dài Tính BE, CE và DC

Trang 25

Bài 12: Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao

cho ADDEEC

a) Chứng minh DE DB

DB DC b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB

c) Tính tổng +

Bài 13 : Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông

góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a

a) Tính b) Tính diện tích hình thang ABCD

Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox  AB Trên Ox lấy

điểm D sao cho OD a

Bài 15 : Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H Trên HB

và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = = 90 Chứng minh: AM = AN

Bài 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AB

AC

2021

 và AH = 420 Tính chu vi tam giác ABC

Bài 17: Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D Hai đường chéo vuông góc với

nhau tại O Biết = 2√13; OA = 6 Tính diện tích hình thang ABCD

Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5cm Hình vuông ADEF cạnh bằng 2

cm có D  AB, E  BC, F  AC Biết AB > AC và 4

9

ADEF ABC

S  S Tính AB ; AC

Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD Gọi I là hình chiếu của C

trên BD, H là hình chiếu của I trên AC Chứng minh: AH = 3HI

Bài 20: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ đường thẳng cắt BC ở E và

Trang 26

Bài 22: Cho ABC nhọn đường cao AD và BE Gọi IADvà QBE sao cho

b) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC

Chứng minh: AE.AB = AF.AC

c) Chứng minh: HE2 + HF2 = HB.HC

Bài 24: Cho hình vẽ:

a/ Tính AC b/ Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX Hãy tính XY

c/ Tính diện tích tam giác BCX

Bài 25 : Cho hình vẽ dưới đây biết = 60 Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt

AB tại P Tính:

a/ AP; BP b/ CP và diện tích tam giác ABC

Bài 26: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 18cm; BC = 30cm

a/ Tính đường cao AH, số đo góc B và C

b/ Phân giác của góc A cắt BC tại D Tính BD, CD

B A

X Y

4,1 5,5

74

P C

Trang 27

c/ Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF

Bài 27: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a Trên AC lấy các điểm D và E sao

cho AD  DE  EC

a/ Chứng minh DE DB

DB DC b/ Chứng minh BDE đồng dạng với CDB

c/ Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng

Bài 29: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm; BC = 16cm Trên đường cao AH lấy

điểm I sao cho = 1 3 Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D

a/ Tính các góc của tam giác ABC

b/ Tính diện tích tứ giác ABCD

Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung

tuyến AM Các tia phân giác của các góc AMB; AMC cắt đường thẳng d lần lượt tại D

và E Chứng minh:

a) Tứ giác BCED là hình thang

b) BD CE =

2 4

BC

c) Giả sử AC = 2AB , chứng minh EC = BC

Bài 31: Cho hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính chu vi và

diện tích hình thang cân đó biết đáy nhỏ bằng 14 cm , đáy lớn bằng 50 cm

Bài 32: Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH Chứng

Trang 28

Bài 33: Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD =

8cm

a) Chứng minh AC vuông góc với BD

b) Tính diện tích hình thang

Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với A

qua điểm B Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA Gọi I là hình chiếu của D trên HE

a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tg IED và tg HCE c) Chứng minh = d) Chứng minh: DEEC

Bài 35: Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh:

c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền = 5, đường cao AH = 4

d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền = 5, một góc nhọn bằng 47o

Bài 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F

lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC

a) Giải tam giác vuông ABC b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF =

AH

c) Tính: EA.EB + AF.FC

Bài 38: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O Cho biết khoảng cách từ O

đến mỗi cạnh hình thoi là h; AC = m; BD = n Chứng minh rằng: + =

Bài 39 : Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 33,6 Biết 24 AB = 7 AC Tìm độ

dài các cạnh và số đo các góc của tam giác

Bài 40: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD), = 2, = 6 và chiều cao bằng 4 Tính số đo góc tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh bên

Bài 41: Cho tam giác ABC có = 40 , = 60 , đường trung tuyến AM Tính số đo góc AMC

Trang 29

Bài 42: Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh rằng

Bài 44: Cho tứ giác ABCD có + = 90 Chứng minh rằng: + = +

Bài 45: Cho tam giác ABC cân tại A, < 90 , = = 2√2 , = √2 Kẻ

đường cao BH Chứng minh rằng: AH = 7.HC

- HẾT -

Nguồn bài tập tổng hợp: Sưu tầm

Trang 30

0  180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung

nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn

Nếu  180

 thì mỗi cung là một nửa đường tròn

Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn

2 Số đo cung

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)

Số đo của nửa đường tròn bằng 180

Chú ý : “Cung không” có số đo bằng 0

0 và cung cả đường tròn có số đo bằng 360

3 So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau :

Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn

2 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

 O

B A

Trang 31

5 Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay

trong hai đường tròn bằng nhau :

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Trong hình bên : ABCD  AB = CD

6 Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay

trong hai đường tròn bằng nhau :

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Trong hình bên : ABCD  AB < CD

7 Định lí bổ sung

Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thỡ qua trung điểm của dây căng cung ấy ( đảo lại không đúng)

Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung

ấy và ngược lại

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:

 Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

 Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)

 Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 Cung cả đường tròn có số đo 3600

 Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc

 Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung

D

C

A

B O

Trang 32

 Bài tập

Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P Biết Tính

số đo cung lớn AB

Hướng dẫn giải Tìm cách giải Tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB Cuối cùng tính số đo cung lớn

Trình bày lời giải

Tứ giác APBO có OAP 90 ; OBP  90 ( vì PA, PB là tiếp

giác AOBP) suy ra số đo cung nhỏ AB là 1250

Vậy số đo cung lớn AB là: 0 0 0

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên

MO là tia phân giác của AMB hay  1 0

202

APB 55

m A

n M

B O

O P

B A

Trang 33

Tìm cách giải OA và OA’ là hai tia đối nhau nên sđ  0

' 180

AA  Do AD nhận B’ là điểm chính giữa cung nên sđ sd AB' sd B'D Tương tự sđ  0

' 180

BA  ’ sd A B ' sd A'Ctừ đó tính được số đo cung DC

Ta có AOB'BOA' (hai góc đối đỉnh)

b) Tính AOB và số đo cung AB nhỏ;

c) Biết OM cắt (O) tại C Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

Hướng dẫn giải Tìm cách giải Vận dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh (theo bán kính) từ đó tính ra được góc ở tâm

a) Do MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA AO và MBBO

Xét tam giác vuông MAO có

C A

B

Trang 34

 GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

 Lý thuyết

1 Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa

hai dây cung của đường tròn đó

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm

trên đường tròn và một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh

kia chứa dây cung của đường tròn đó

Theo hình bên thì



BAx và BAy là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

2 Định lý

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị chắn

3 Hệ quả 1 Trong một đường tròn :

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 0

90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

4 Hệ quả 2 Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội

tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Trang 35

5 Thêm dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Cho tam giác ACD Trên tia đối của tia CD lấy

điểm P Tia AP là tiếp tuyến của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ACD nếu thoả mãn một

trong hai điều kiện sau :

a)  ADC PAC= ;

b) 2 

PA PC PD

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

 Điểm nằm chính giữa cung chia cung đó thành 2 cung có số đo bằng nhau Hai góc nội tiếp chắn hai cung đó thì bằng nhau

 Để chứng minh đẳng thức hình học, suy nghĩ quy về chứng minh tam giác đồng dạng dựa vào các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau trong một đường tròn

 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

 Góc nội tiếp ( nhỏ hơn bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

A

D

Trang 36

 Bài tập

Bài 1: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA Gọi M là điểm chính giữa của

cung nhỏ AB Vẽ dây MN song song với BC và gọi S là giao điểm của MN và AC

Chứng minh SM = SC và SN = SA

Tìm cách giải Vận dụng tính chất trong một đường tròn, góc

nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau từ đó chỉ ra

các tam giác ASN và MSC cân tại S

DoM là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđMB  sđMA

SMC SCM (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C SNSA SM; SC

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra MBCN

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt BC tại D và

cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm Chứng minh rằng DK vuông góc với AM

Hướng dẫn giải Tìm cách giải Ta có: AKM90 nên DK  AM  DMK  KMA Mặt khác hai tam giác

có AMK chung Do yêu cầu chứng minh về góc nên để chứng minh hai tam giác đồng dạng ta nên dùng c.g.c Do vậy cần chứng minh MD MK

MK  MA

S O

A

Trang 37

Trình bày lời giải:

b) Chứng minh BAH OCA;

c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O) Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải Tìm cách giải Ta có:  0

90

ACM  , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn Nhận định tam giác AOC là tam giác cân nên nếu BAH OCA ta sẽ có BAH CAOtừ đó tìm ra tam giác đồng dạng để giải toán

a) Ta có  0

90

b) Vì ABCAMC (cùng chắn cung AC) và

Trang 38

Bài 4: Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó Các tiếp tuyến vẽ từ

A và B của đường tròn cắt nhau tại C Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC ( D khác A và B) CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D) Chứng minh rằng:

a) BEDDAE

b) DE2  DA DB

Hướng dẫn giải Tìm cách giải

- Trong quá trình chứng minh về góc, nên sử dụng tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng hệ quả của chúng

- Để chứng minh 2

DE  DA DB , nên ghép chúng vào hai tam giác có cạnh là DA, DB

và DE là cạnh chung của hai tam giác, rồi chứng minh chung đồng dạng Do đó ta chọn BED và EAD

a) Ta có : EBC EAB; DCBDAB nên

EBCDCBEABDAB

Mặt khác : EBC DCB  BED, EAB DAB  DAE

O E

D

C

B A

Trang 39

Trình bày lời giải:

 ∽  và MBC∽ MDB Từ đó biến đổi các hệ thức để giải bài toán

Ta có MACADC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); AMD chung Suy ra

O

N

P D

Trang 40

Bài 7: Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC

Hướng dẫn giải Tìm cách giải Chỉ ra 2

KB KM.KAvà 2

KC KM.KAtừ đó suy ra KA = KB (K là giao điểm của AM và BC)

Gọi K là giao điểm của AM và BC

Xét ∆KBM và ∆KAB có: chung; KBMKAB( góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp chắn cùng chắn cung BM của (O) )

MCKMBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và

góc nội tiếp cùng chắn cung BM của (I))

KAC MBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và

góc nội tiếp cùng chắn cung AM cuả (O))

KC KB KCKB Vậy AM đi qua trung điểm K của BC

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, góc A < 900 Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E Chứng mình rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB

O B

K

A

I

M C

I A

D E

B

C O

Định dạng
Số trang	232
Dung lượng	7,56 MB