CHUYÊN đề ôn thi hsg lớp 6

CHUYÊN ĐỀ 1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN I Kiến thức cần nhớ II Bài tập DẠNG 1 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC Ví dụ 1 a) Tính a = 234 99 9 (có 50 chữ số 9); b) Tính b = 11 1 3456 (có 100 chữ số 1) c) Chứng minh rằng là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Giải a, Ta có a = 234 99 9 = 234 (100 0 1) = 234000 0 – 234 Đặt phép trừ 23399 9766 Vậy a = b Ta có b = = = giải tương tự câu a, ta có b = Ví dụ 2 1) Biết a = 1 2 + 2 3 +3 4 + + 98 99 ; b = 12 + 22 + + 982 a) Tính hiệu a – b b) Chứng mi.

CHUYÊN ĐỀ 1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN.

I Kiến thức cần nhớ:

II Bài tập:

DẠNG 1 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC.

Ví dụ 1 a) Tính a = 234 99…9 (có 50 chữ số 9); b) Tính b = 11…1 3456 (có 100chữ số 1)

a) 215.62 + 42 – 52.215 = 215(62 - 52) + 42 = 215.10 + 42 = 2150 +42 = 2192b) Chú ý 199199 = 199.101 và 198198 = 198.101 tính được câu b kết quả là 1400.c) A 21.7211.7290.7249.125.16





Do tích của chúng là 6a nên ta có số nhỏ là 6a :2a = 3, số lớn là 2.3 = 6.

b Gọi số phải tìm là a, do khi chia a cho 69 được thương và số dư bằng nhau, nên

ta có

a = 69k + k = 70k Do a ≤ 999 nên 70k ≤ 999 ❑⇒ k ≤ 14 Do a lớn nhất nên k lớnnhất do đó chọn k = 14 Suy ra a = 70.14 = 980

c Gọi số tự nhiên cần tìm là a và gọi q, q1 theo thứ tự là thương của phép chia số

2q1 + 23 là số lẻ nên 29(q – q1) lẻ nên q – q1 là số lẻ và q q 11 Để a nhỏ nhất thì q1 nhỏ nhất, hay 29(q – q1) nhỏ nhất => q – q1 = 1 Vì thế

Ví dụ 8 a) Tìm 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp có tổng bằng 9925;

b) Có 5 số tự nhiên nào có tích bằng 2019 và tổng bằng 20018 hay không?

Ví dụ 11 Trong một phép chia có dư, số bị chia bằng 24, thương bằng 3 Tìm số chia

và số dư

Giải

Gọi số chia là b và số dư là r, ta có 24 = 3b + r với 0 < r < b

Từ 24 = 3b + r suy ra r = 24 – 3b và r > 0 suy ra 3b < 24 nên b < 8 (1)

Từ r = 24 – 3b và r < b suy ra 24 – 3b < b suy ra 4b > 24 nên b > 6 (2) Do b là số tự nhiên nên từ (1) và (2) suy ra b = 7 Suy ra r = 3

Vậy số chia là 7 và số dư là 3

Ví dụ 12 Tìm số dư của phép chia số 111 …1⏟

96 c hữ s ố 1chia hết cho 1001 còn 1111 chia cho 1001 dư 110 nên

a chia cho 1001 dư 110

Ví dụ 13 Chia số tự nhiên a cho 72 thì dư 69 Chia số a cho 18 thì dư bằng thương

Tìm số a

Giải

Chia a cho 72 dư 69 nên ta có a = 72k + 69 = 18.4k + 54+ 15 = 18( 4k + 3) + 15 Do

đó a chia cho 18 dư 15 Vì khi chia a cho 18 được thương bằng số dư nên ta có 4k + 3

= 15 => 4k = 12 => k = 3 => a = 285

DẠNG 4 ĐIỀN CHỮ SỐ.

Ví dụ 14 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 4 vào trước

chữ số hàng chục thì được số A, nếu viết thêm chữ số 8 vào sau chữ số hàng đơn vị thìđược số B, trong đó B gấp đôi A

Giải

Gọi số phải tìm là ´ab, ta có ´ 4 ab 2= ´ ab 8 Đặt ´ ab = x ta được 10x + 8 = (400 + x).2

 10x + 8 = 800 + 2x => x = 99

Ví dụ 13 : Khi chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm

ba chữ số như nhau, ta được thương là 2 và còn dư Nếu xóa một chữ số ở số bị chia vàmột chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước

100 đơn vị Tìm số bị chia và số chia lúc đầu

Ví dụ 15: Trong một phép chia có dư, số bị chia gồm bốn chữ số như nhau, số chia

gồm ba chữ số như nhau, thương bằng 13 và còn dư Nếu xóa một chữ số ở số bị chia, một chữ số ở số chia thì thương không đổi, còn số dư giảm hơn trước 100 đơn vị Tìm

số bị chia và số chia lúc đầu

Hướng dẫn: Giải tương tự ví dụ 9 Đáp số: 4444 và 333

DẠNG 5 SO SÁNH HAI LŨY THỪA TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA

Chú ý : - Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên lũy thừa n ( khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng

62011 = (65)42.6 = (…76)42.6 = …76.6 = …56 Vậy hai chữ số tận cùng của 62011 là 56

* 3512 = …01 Số tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa n (khác 0) thì vẫn tận cùng là

Ví dụ 18 : Chứng minh :

là một số tự nhiên ?

c) 405n + 2405 + m2 (m, n là các số tự nhiên; n khác 0) không chia hết cho 10

CHUYÊN ĐỀ 2 : SỐ CHÍNH PHƯƠNG :

I Kiến thức cần nhớ:

1 Số chính phương là những số có dạng bình phương của một số tự nhiên

2 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không có chữ sốtận cùng là 2, 3, 7, 8

3 Số chính phương chia 3, 4 chỉ dư 0 hoặc 1; chia 5 chỉ dư 0, 1, 4

4 Nếu một số chính phương mà chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11, 13…, p (p là số nguyên tố) thì nó chia hết cho 4, 9, 25, 49, 121, 169,…,p2

5 Nếu số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

6 Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

7 Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ và nếu một số có số lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương

Thật vậy, Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước Ta giả sử A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = axbycz…, nên số lượng các ước của A là: (x + 1)(y + 1)(z + 1)…

a) Nếu A là số chính phương thì x, y, z,… là số chẵn suy ra (x + 1)(y + 1)(z + 1)

e) 1010 + 5; f) 10100 + 1050 + 1

Ví dụ 3: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương:

abc bca cab 

Ví dụ 4: Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số sau:

3, 6, 8, 8

Hướng dẫn: a) Số cần tìm là: 2304; b) 2704 ; c) 3025 ; d) 8836

Ví dụ 5 : a) Cho một số tự nhiên gồm 15 chữ số 2 Có cách viết thêm số 0 vào vị trí

tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương không ?

b) Một số tự nhiên gồm có một chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số 4 có thể là một số chính phương không ?

c) Một số tự nhiên gồm một số chữ số 0 và 6 chữ số 6 có thể là số chính phương

Hướng dẫn :

a) Số chính phương là số chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 Số gồm 15 chữ số hai viết thêm chữ số 0 vào vị trí bất kỳ đều có tổng các chữ số là 30 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 Vậy không có cách viết nào để có số chính phương.b) Tổng các chữ số của số này là : 1 + 2.2 + 3.3 + 4.4 = 24 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 Vì thế số đã cho không là số chính phương

c) Giả sử n2 là số chính phương gồm một chữ số 0 và 6 chữ số 6 Nếu n2 tận cùng là

0 thì phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0 Ta bỏ tất cả các chữ số 0 này đi thì số còn lại tận cùng bằng 6 và cũng là số chính phương Xét hai trường hợp :

Số còn lại tận cùng là 06 hoặc 66 Các số này không là số chính phương vì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 Nếu n2 tận cùng bằng 6 thì ta cũng chỉ ra được điều vô lí Suy ra số có tính chất như trên không thể là số chính phương

Ví dụ 6 : a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được

Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60

b) Do A có 81 ước là số lẻ nên A là số chính phương Tổng các chữ số của A là 51 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không là số chính phương (vô lí)

c) Gọi số chính phương phải tìm là n2 = aabb Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1) Do đó 99a + a + b chia hết cho 11 nên a +

b chia hết cho 11, vậy a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) ta có: n2 = 11(99a + 11) = 112 (9a + 1) Do đó 9a + 1 là số chính phương

Thử với a = 1,2,…9 ta có a = 7 và b = 4 Do đó số cần tìm là 7744 = 882

Ví dụ 7 : Tìm số nguyên tố có hai chữ số ab(a > b > 0) sao cho ab – ba là số chính

phương

Hướng dẫn :

Ta có : ab – ba = 9a – 9b = 9(a - b) = 32 (a - b) Do ab – ba là số chính phương nên

a – b là số chính phương Ta thấy 0 < a – b < 9 nên a – b = 1; 4

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n ! 2018 không là số chính phương.

Hướng dẫn:

Nếu n = 0, 1, 2 thì 2018; 2019; 2020 không là số chính phương

Nếu n > 2 thì n! + 2018 chia 3 dư 2 Suy ra không chính phương

Ví dụ 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 3n + 4 là số chính phương

Hướng dẫn:

Nếu n chẵn thì 3n chia 8 dư 1 Do đó 3n + 4 chia 8 dư 5 Một số chính phương chia 8chỉ dư 0; 1; 4 => số này không là số chính phương

Nếu n lẻ, thì 3n chia 4 dư 3 => 3n + 4 chia 4 dư 3 Một số chính phương chia 4 chỉ

dư 0 hoặc 1 => Số này không là số chính phương

Vậy không tồn tại n để 3n + 4 là số chính phương

Ví dụ 10: Tìm tất cả các số chính phương có tổng các chữ số bằng 2013.

Hướng dẫn:

Do 2013 chia hết cho 3 nên nếu số chính phương có tổng các chữ số là 2013 thì số này phải chia hết cho 3 Do một số chính phương chia hết cho 3 thì cũng chia hết cho 9 nên số này chia hết cho 9 Mà 2013

không chia hết cho 9 nên không có số chính phương nào có tổng các chữ số bằng 2013

BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1 a) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số

Bài 2: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2 Chứng

n chữ s ố 2là số chính phương, với n là số tự nhiên khác 0

Bài 5 : Cho S = 1 + 31 + 32 + …+ 330 Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S

không phải là số chính phương

Bài 6 : Có số chính phương nào mà có tổng các chữ số của nó bằng 2009 hay không ?

Bài 7 : Các số sau có là số chính phương không ?

Bài 2 a) Cho biết 13+23+33+…+93 = 2025 Hãy tính 23 + 43 + 63 + …+ 183

b) Chứng minh rằng A     4 22 2 23 20là một lũy thừa của 2.

Bài 4 Tìm số tự nhiên x biết rằng: (2x+1)2 = 625

Bài 5 Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:

x



c) x1  x2  x100 5750 d) x 54 x 56.

Bài 7 Điền chữ số thích hợp để: ´aa+ ´ bb+ ´ cc= ´ bac.

Bài 8 a Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, trong đó có ít nhất hai chữ số giống

Bài 10 Tìm số tự nhiên n biết rằng có đúng 100 số lẻ nằm giữa n và 2n.

Bài 11 a Chứng minh rằng A=51 n

+47102(n∈ N ) chiahết cho10.

b Chứng tỏ rằng tổng hiệu sau, không chia hết cho 10:

B = 98.96.94.92 – 91.93.95.97; C = 405n + 2405 + m2 (m, n ∈ N ;n ≠ 0).

Bài 12 Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430; 4931; 8732; 5833; 2335

Bài 13 Tìm hai chữ số tận cùng của:

CHUYÊN ĐỀ 3 TÍNH CHẤT CHIA HẾT DẤU HIỆU CHIA HẾT.

I Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0 Ta nói a chia hết cho

b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = bq Khi đó ta còn nói a là bội của b, b là ước của a, q gọi là thương

2 Các tính chất chung:

 Bất cứ số khác 0 nào cũng chia hết cho chính nó

 Tính chất bắc cầu: Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c

 Số 0 chia hết cho mọi số khác 0

 Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

3 Tính chất chia hết của một tổng:

4 Tính chất chia hết của một tích:

 Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m

 Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn

 Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn

 Nếu a.b chia hết cho số nguyên tố p thì a hoặc b chia hết cho p

 Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p

 Nếu a chia hết cho m, a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n)

 Nếu a chia hết cho m, a chia hết cho n và (m, n) = 1 thì a chia hết cho mn

 Nếu ab chia hết cho m và (a, m) = 1 thì b chia hết cho m

5 Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 25, 125.

II Các dạng toán thường gặp.

DẠNG 1 CHỨNG MINH TÍNH CHIA HẾT.

Ví dụ 1 a Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2.

b Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 và chia hết cho 6

c Chứng minh rằng tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Giải:

a Trong hai số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có một số chẵn, số chẵn đó chia hết cho hai cho nên tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2

b Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3 chính vì thế tích của

ba số này chia hết cho 3 Kết hợp phần (a), ta có tích của ba số tự nhiên liên tiếpchia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2,3) = 1 nên tích này chia hết cho 6

c Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n là số tự nhiên) Tổng của 4 số này là 4n + 6 không chia hết cho 4

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: c) ta có abc27 abc0 27  1000a bc 0 27  999a bca 27 Từ đây ta có đpcm

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :

a) Nếu ab2cd thì abcd 67. b) abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết rằng

2deg

c) Nếu ab cd eg  11 thì abcdeg 11 d) Nếu abc deg 37 thì abcdeg 37.

Ví dụ 4: Hãy chứng minh rằng: Nếu trong ba số tự nhiên trong đó không có số nào

chia hết cho 3 thì bao giờ ta cũng có hoặc là tổng của cả ba số đó hoặc tổng của hai

số nào đó trong ba số phải chia hết cho 3

Hướng dẫn: Do trong ba số không có số nào chia hết cho 3 nên cả ba số chia ba đều

có dư Một số chia ba chỉ có thể dư 1 hoặc 2 Nếu cả ba số có cùng số dư khi chia cho

3 thì tổng của chúng chia hết cho 3 Nếu hai số chia cho 3 khác số dư thì tổng của chúng chia hết cho 3 Từ đây ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:

a) A  5 5253 5 1006; b) B  2 22 2 10031; 62 ; c) 16521 315

d) 1028  8 72; e) 88220 17;

Ví dụ 6: a) Cho A 11 119 8 11 1  Chứng minh rằng A chia hết cho 5

b) Cho B  2 2223 2  60 Chứng minh rằng B chia hết cho 3, 7 và 15

c) Cho C  3 3233 3 1991 Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41

d) Số gồm 81 chữ số 1 thì chia hết cho 81

Hướng dẫn:

a) 111…1 – n + 3n chia hết cho 3; b) 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27n = 9(111…1 – n) + 27n chia cho 27

c) 10n – 1 – 9n + 81n = 9(11…1 – n) + 81n chia hết cho 81

d) Xét số A = 111…1 (81 chữ số 1); B = 11…1 (9 chữ số 1) Ta có C = A : B = 10…010…01…0001 (gồm 9 chữ số 1 và 64 chữ số 0) số này chia hết cho 9 Ta có A = B.C mà B và C cùng chia hết cho 9 nên suy ra A chia hết cho 81

Ví dụ 8: Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng:

a) (n + 8)(n + 15) chia hết cho 2 b) n(n + 2)(n + 7) chia hết cho 3

c) 5n – 1 chia hết cho 4 d) n2 + n + 2 không chia hết cho 5

DẠNG 2 TÌM ĐẠI LƯỢNG CHƯA BIẾT.

Ví dụ 1 Nếu ta chia 3698 và 736 cho cùng một số tự nhiên thì các số dư tương ứng là

26 và 56 Hỏi số chia phải bằng bao nhiêu?

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) n + 2 chia hết cho n – 1; b) 2n + 7 chia hết cho n + 1; c) 2n + 1chia hết cho 6 –n

d) 3n chia hết cho 5 – 2n; e) 4n + 3 chia hết cho 2n + 6

Ví dụ 3: a) Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số sao cho n2 – n chia hết cho 5

b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó

c) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 45, biết rằng hiệu giữ số đó và số gồm chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 297

Hướng dẫn:

a) Ta có n2 – n = n(n -1) chia hết cho 5 nên n tận cùng là 0, 5, 1, 6 Để n lớn nhất

có ba chữ số thì ta chọn n = 996

b) Gọi số cần tìm là ab, ta có 10a + b chia hết cho ab (1) Suy ra b chia hết cho a

Đặt b = ka thì k < 10 (k là số tự nhiên) Thay b = ka vào (1), ta có 10a + ka chiahết cho aka => 10a chia hết cho ka => 10 chia hết cho k => k = 1; 2; 5

Nếu k = 1 thì b = a suy ra 11a chia hết cho a2 => 11 chia hết cho a => a = 1

=> được số 11

Nếu k = 2 thì b = 2a, suy ra 12 chia hết cho 2a => a = 1; 2; 3 Từ đây được các

số 12; 24; 36

Nếu k = 5 thì tương tự, ta có số 15

Vậy ta được 5 số thỏa mãn yêu cầu của đề bài là 11; 12; 24; 36; 15

c) Gọi số cần tìm là abc, vì abc chia hết cho 45 = 5.9 mà (5,9) = 1 nên abc chia hết

cho cả 5 và 9 Do abc chia hết cho 5 nên c = 0; 5.

Ta có abc cba 297hay100a10b c  100c 10b a 297

Ví dụ 5 : Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng :

a) Tổng của chúng bằng *657 và hiệu của chúng bằng 5*91.

b) Tổng của chúng bằng 513* và số lớn gấp đôi số nhỏ.

Hướng dẫn :

Ví dụ 6 : Tìm các chữ số x, y để A x  372 y là một số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho A

chia hết cho cả 8 và 5 và chia cho 3 có số dư là 1.

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ

I Kiến thức cần nhớ

II Một số dạng bài tập cơ bản

Bài 1: a) Một số nguyên tố khi chia cho 42 có số dư là r là hợp số Tìm r.

b) Một số nguyên tố khi chia cho 30 có số dư là r Biết r không là số nguyên tố Tìm r

c) Cho p và 8p – 1 là các số nguyên tố Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số

d) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là hợp số

Bài 2: a) Tìm ba số lẻ liên tiếp đồng thời là các số nguyên tố.

b) Tìm các số tự nhiên x sao cho (x - 2)(x + 2) là số nguyên tố

c) Tìm các số tự nhiên x và y sao cho (7 - x)(5 - y) là số nguyên tố

Bài 3: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là m đơn vị.

Chứng minh rằng m chia hết cho 6.

Bài 4: Cho p1 > p2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh rằng

1 22

p  p

là hợp số

Bài 5: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Khi đó n2 + 2021 là số nguyên tố hay là hợp số?

Bài 6: a) Tìm các số nguyên tố n sao cho 2n + n2 là số nguyên tố

b) Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng 22020n 17, trong đó n là một số tự nhiên.

c) Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng 22n 5, trong đó n là một số tự nhiên

CHUYÊN ĐỀ 5: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Z.

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

II BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 : Tìm số nguyên x, biết :

a) 12 + (4 - x) = 5 – 2x b) (2x - 6)(4 – 2x)(|2x| - 8) = 0 c) (x2 - 3)( x2 - 36) = 0

d) (x2 - 3)(x2 - 36) < 0 e) (x - 1)2 = 4 ; f) (x - 2)10 = (x - 2)6

g) 24 – {-x – [ -x + (x + 4) – 3]} = 20

Bài 2 : Cho A = -1 + 3 – 5 + 7 - … - 101 + 103.

a) Tính giá trị của biểu thức A.

b) Hãy viết số hạng tổng quát thứ n của biểu thức A.

Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau :

a) 1 – 2 + 3 – 4 +…+ 99 – 100. b) 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8 - …+ 97 – 98 – 99 + 100 + 101

c) 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 - … - 397 – 399 d) 2100  299  298 2 2 2 1

Bài 4 : Tìm các số nguyên n sao cho

a) 3n + 2 chia hết cho n – 1. b) n2 + 2n – 7 chia hết cho n + 2

c) n2 + 3 chia hết cho n – 1 c) n2 + 3n – 13 chi hết cho n + 3

Bài 5: Tìm số nguyên x, biết: 11 + 12 + 10 +… + x = 12, trong đó vế trái là tổng

các số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự giảm dần

Bài 6: Tìm các số nguyên x, y biết:

a) (x - 3)(y - 5) = 7 b) (x - 1)(xy - 5) = 5 c) xy – 3x + 2y = 11.d) 2xy + 10x – 3y = 25

Bài 7: a) Chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

b) Chứng minh rằng (n - 1)(n + 2) + 12 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.c) Chứng minh rằng (n + 2)(n + 9) + 21 không chia hết cho 49

Bài 8: Cho x, y là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 6x + 11y chia hết cho 31

thì x + 7y cũng chia hết cho 31 Điều ngược lại có đúng không?

Bài 9 : Cho tổng 1 + 2 + 3 + …+ 10 Xóa hai số bất kì và thay bằng hiệu của

chúng Cứ tiếp tục làm như vậy nhiều lần Có khi nào kết quả nhận được là -1; -2; 0 được không?

Bài 10: Cho a1, a2,…,an là các số nguyên, b1, b2,…,bn là một hoán vị (một cách sắp xếp theo thứ tự khác) của a1, a2,…,an Chứng minh rằng nếu n là số lẻ thì (a1 – b1)(a2

– b2)…(an - bn) là số chẵn

Bài 11: Cho 25 số nguyên trong đó tích của ba số bất kì là một số dương Chứng

minh rằng cả 25 số đó đều là số nguyên dương

Bài 12: Cho 100 số nguyên Biết rằng tổng của 11 số bất kì trong các số đó là một

số âm Chứng minh rằng tổng của 100 số nguyên đó là số âm

Bài 13: Trong ba số nguyên a, b, c có một số nguyên dương, một số nguyên âm và

một số bằng 0 thỏa mãn điều kiện sau: a b b c2   Hỏi số nào là số dương, số nào

1 Định nghĩa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Nếu (a, b) = d thì a = dk; b = dh, với (k, h) = 1

2 Quan hệ giữa ước chung lớn nhất và bcnn: Ta có (a, b) [a, b] = a.b.

3 Thuật toán euclid tìm ước chung lớn nhất của hai số:

 Nếu a chia hết cho b thì (a, b) = b và [a, b] = a

 Nếu a không chia hết cho b, giả sử a > b và số dư là r thì (a, b) = (b, r)

Ví dụ: 72 = 56.1 + 16 nên (72, 56) = (56, 16) Lại có 56 = 3.16 + 8 nên (56, 16)

= (16, 8) = 8

Vậy (72, 56) = 8

II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: a) 18n + 3 chia hết cho 7. b) 15n + 7 chia hết cho 11

Hướng dẫn: a) Ta có 18n + 3 = 14n + 4n + 3 = 14n + 4(n - 1) + 7 chia hết cho 7

nên 4(n - 1) chia hết cho 7

Vì (4, 7) = 1 nên n – 1 chia hết cho 7 hay n = 7k + 1 (k là số tự nhiên)

Cách 2: ta có 18n + 3 = 18n – 18 + 21 = 18(n -1) + 21 chia hết cho 7 => 18(n - 1) chia hết cho 7 => n – 1 chia hết cho 7 (vì (18, 7) = 1)

b) Ta có 15n + 7 = 15n – 15 + 22 chia hết cho 11 => n = 11k + 1 (k là số tự

nhiên)

Ví dụ 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5.

b) Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n cho

Hướng dẫn: Dùng thuật toán euclid để tìm ước chung lớn nhất của A và B.

Ví dụ 5: Cho a, b là các ố nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng các số sau cũng

-I Kiến thức cần nhớ.

1 Dãy số cộng (dãy số cách đều).

a) Dãy số cách đều là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai của dãy trở đi, mỗi số hạng

đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d (un+1 = un + d), d gọi là khoảng cách (hay còn gọi là công sai)

b) Số số hạng của dãy số tính bằng công thức

c) Số hạng thứ n của dãy số cách đều là a n a1n 1  d

d) Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy cách đều là

a) Dãy số nhân là dãy số trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều là

tích của số hạng liền trước nó với một số q không đổi (q gọi là công bội):

1

n n

- CHUYÊN ĐỀ 9: NGUYÊN LÍ DIRICHLET

-

-CHUYÊN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ.

Bài 3: Cho ba phân số x y z ; ;

n





 rút gọn được

b) Biến đổi mẫu số

Ta thấy 2n + 3 chia hết cho 5 thì 4n + 1 = 2(2n + 3) – 5 cũng chia hết cho 5 Suy

ra 2n phải tận cùng bằng 2 hoặc 7, mà 2n chẵn nên 2n tận cùng bằng 2 hay n tận cùng bằng 1 hoặc 6

Vậy n tận cùng khác 1 và 6 thì phân số đã cho tối giản

b) Gọi d là ước nguyên tố của 3n + 2 và 7n + 1 Ta tìm được d = 11 Ta thấy 3n +

2 chia hết cho 11 thì

7n + 1 cũng chia hết cho 11 3n + 2 – 11 = 3(n - 3) chia hết cho 11 <=> n – 3 chia hết cho 11

 n = 11k + 3 Vậy nếu n khác 11k + 3 thì phân số tối giản

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y biết

1

a b c

chỉ có

1

64 có chứa 26 nên trong các thừa số phụ chỉ có thừa số phụ k64 lẻ, còn các thừa số còn lại đều chẵn do đó tử lẻ Để A là số tự nhiên thì tử phải chia hết cho mẫu, nhưng tử là số lẻ không thể chia hết cho mẫu là số chẵn Từ đây suy ra A không thể là số tự nhiên

m+ n.

CHUYÊN ĐỀ 11: HÌNH HỌC TỔNG HỢP

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1 ĐOẠN THẲNG.

 Trung điểm của đoạn thẳng:

+ Tính chất TĐ 1: Nếu M là trung điểm của AB thì 2

AB

+ Tính chất TĐ 2: Cho 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường thẳng xy theo thứ tự

đó, biết các đoạn thẳng AD và BC có chung một trung điểm thì AB = CD và AC = BD

+ Dấu hiệu trung điểm: Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường thẳng xy theo thứ tự

đó

Nếu AB = CD thì AD và BC có chung một trung điểm

Nếu AC = BD thì AD và BC có chung một trung điểm

 Các cách chứng minh điểm nằm giữa hai điểm.

2 GÓC.

 Các cách chứng minh tia nằm giữa hai tia

 Tia phân giác của một góc.

II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Một số dạng bài tập về trung điểm của đoạn thẳng

Bài 1: Cho n điểm (n > 1) Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đoạn

Bài 2: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau,

không có ba đường thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm của chúng

Hướng dẫn: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo thành 100 giao

điểm, có 101 đường thẳng nên số giao điểm là 100.101 Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên số giao điểm là

100.101:2 = 5050

Bài 3: Cho n đường thẳng trong đó hai đường thẳng nào trong chúng cũng cắt

nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy Biết rằng số giao điểm là 780 Tìm n

Hướng dẫn: n = 40.

Mỗi đường thẳng cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo thành n - 1 giao điểm, có n

đường thẳng nên số giao điểm là n(n - 1) Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lầnnên số giao điểm là

n(n - 1): 2

Theo bài ra, ta có n(n - 1): 2 = 780 => n(n - 1) = 1560 = 40.39 Suy ra n = 40

Bài 4: Một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền Hỏi:

a) Hai đường thẳng có thể chia mặt phẳng thành mấy miền?

b) Ba đường thẳng có thể chia mặt phẳng thành mấy miền?

c) Bốn đường thẳng chia mặt phẳng thành nhiều nhất mấy miền?

d) n đường thẳng chia mặt phẳng thành nhiều nhất mấy miền?

Hướng dẫn:

a) Hai đường thẳng có thể chia mặt phẳng thành 3, 4 miền

b) Ba đường thẳng có thể chia mặt phẳng thành 4, 6, 7 miền

c) Bốn đường thẳng chia mặt phẳng thành nhiều nhất 11 miền

d) Mặt phẳng bị chia thành miền nhiều nhất khi không có hai đường thẳng nào song song, không có ba đường thẳng nào đồng quy Một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 miền đường thẳng thứ hai cắt đường thẳng trước, bị chia thành hai tia nên bị chia thành hai miền mới Đường thẳng thứ ba cắt 2 đường thẳng trước, tạo thành hai tia và 1 đoạn thẳng nên tạo thành ba miền mới Cứ như vậy,đường thẳng thứ n cắt n- 1 đường thẳng trước, tạo thành 2 tia và n – 2 đoạn thẳng nên tạo nên n miền mới Vậy số miền có 2 + 2 + 3 + … + n = 1 + (1 + 2 + 3 + … + n) = 1 + n(n + 1):2

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa hai điểm A và B Gọi M và N lần

lượt là trung điểm của AC và CB

a) Biết AB = 20cm Tính MN

b) Giả sử MN = a Tính độ dài đoạn thẳng AB

Bài 5: Trên đường thẳng xy đặt điểm O Lấy các điểm A, B thuộc đường thẳng xy

sao cho OA = a, OB = b (0 < b < a), trong đó O nằm giữa A và B

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của OA, OB Tính độ dài đoạn thẳng MN.

c) Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn thẳng OC.

d) Hỏi hai đoạn thẳng MC và AN có chung một trung điểm không?

Bài 6: Cho đoạn thẳng AB = 1m Lấy A1 là trung điểm của AB, A2 là trung điểm của

AA1, A3 là trung điểm của AA2,…Cứ tiếp tục như vậy cho tới A20 là trung điểm của

AA19 Tính độ dài AA20 và A20B

Bài 7: Cho đoạn thẳng AA0 = 1m Lấy điểm A1 là trung điểm của đoạn AA0, A2, A3,

…, A2020 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA1, AA2, AA3,…, AA2019

Bài 1: a) Có 4 tia chung gốc OA, OB, OC, OD Hỏi có tất cả bao nhiêu góc có hai

cạnh của góc là hai trong bốn tia ấy?

b) Cũng câu hỏi như trên cho 100 tia chung gốc?

c) Cũng câu hỏi như trên cho n tia chung gốc?

Bài 2: Cho góc bẹt xOy Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ ba tia OA, OB, OC

sao cho góc AOx = 360, góc BOx = nửa góc AOx và góc COy bằng nửa góc AOy Tính số đo góc BOC

Bài 3: Cho góc xOy Vẽ tia Oz là tia phân giác của góc xOy, tia Ot là tia phân giác

của góc xOz Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOt

a) Giả sử góc xOm = 120 Tính góc xOy

b) Tính giá trị lớn nhất của góc xOm.

Bài 4: Cho hai góc kề bù AOB và BOC có tổng bằng 1600 Trong đó góc AOB = 7 lần góc BOC

a) Tính số đo mỗi góc AOB và BOC.

b) Trong góc AOC vẽ tia OD sao cho COD = 900 Chứng minh rằng OD là tia phân giác của góc AOB

c) Vẽ tia OC’ là tia đối của tia OC, so sánh hai góc AOC và BOC’.

Bài 5: Cho góc xOy = 600 và tia Om là tia phân giác của góc xOy Vẽ tia Oz sao chogóc xOz = 450 Tính số đo góc mOz

Bài 6: Cho hai góc kề bù xOy và yOx’ Vẽ tia Om, On lần lượt là tia phân giác của

góc xOy và yOx’ Tính số đo góc mOn

CHUYÊN ĐỀ 12: ÔN TẬP TỔNG HỢP- LUYỆN ĐỀ.

-ĐỀ SỐ 1 C©u 1(2,5 ®iÓm).

a, Cho k lµ mét sè nguyªn cã d¹ng: k = 3r + 7 Hái k cã thÓ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo trong c¸c gi¸ trÞsau ®©y: 11; 2011; 11570; 22789; 29563; 299537? T¹i sao?

b, So s¸nh

2009.2010 12009.2010



vµ

2010.2011 12010.2011



C©u 2 ( 3,0 ®iÓm).

a, Cho A =

21

n n

Câu 3 (2,0 điểm)

Bốn bạn học sinh góp tiền mua chung một bộ sách tham khảo Toán 6 Bạn An góp 1/2 tổng số tiềngóp của ba bạn khác; bạn Bình góp 1/3 tổng số tiền góp của ba bạn khác; bạn Cờng góp 1/4 tổng số tiền gópcủa ba bạn khác; còn Dũng góp 31200 đồng Hỏi giá tiền bộ sách tham khảo Toán 6 là bao nhiêu và số tiềngóp của mỗi bạn?

2009.2010 1 1

12009.2010 2009.2010

 <

2010.2011 12010.2011

2

a, A =

21

n n

mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54 Vậy y ¿ { 2; 6; 18 ; 54 }

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y) ¿ { ( 14;2);(5;6);(2;18);(1;54) }

0,250,5

0,75

3

Ta thấy: bạn An góp 1/3 số tiền của bốn bạn; bạn Bình góp 1/4 tổng số tiền của bốn

bạn; bạn cờng góp 1/5 tổng số tiền của bốn bạn Nh vậy tổng số tiền của ba bạn đãgóp chiếm

60  đồngBạn An góp: 144000

148000

3 đồngBạn Bình góp: 144000

136000

4  đồngBạn Cờng góp: 144000

128800

7236

a) Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số là k Chứng tỏ rằng a chia hết cho 9.

b) Viết thêm chữ số y vào bên phải của một số có 5 chữ số thì đợc số lớn gấp 3 lần số có đợc do viếtthêm chữ số y vào bên trái số đó Tìm chữ số y và số có 5 chữ số đó ?

Câu 4 (1,5 điểm) : Tìm số tự nhiên x biết :

Câu 5 (2 điểm): Cho 4 điểm A, B, C, D.

a) Có nhiều nhất bao nhiêu đờng thẳng, ít nhất bao nhiêu đờng thẳng đi qua 2 điểm trong 4 điểm đãcho? Vẽ hình minh hoạ?

b) Có bao nhiêu đoạn thẳng nhận 2 điểm đã cho làm đầu mút? Nêu cụ thể ?

⇒(2a−k )−(a−k) 9 ( tÝnh chia hÕt cña hiÖu)

⇒ a 9 ( ®pcm)

0,5

0,5

b) Gäi sè cã 5 ch÷ sè ph¶i t×m lµ abcde (

a≠0;a;b;c ;d; e∈N; a;b;c; d;e≤9 )

0,5

ĐỀ SỐ 3 Câu 1 (4,5 điểm): Thực hiện các phép tính

Câu 2 (3,5 điểm): Cho A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + + 19 - 20

a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

b) Cho biết BAM = 800 , BAC=600 Tính CAM .

c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm Tính độ dài BK.

Hướng dẫn đề 3 Câu 1 (4,5 điểm): Thực hiện các phép tính

Câu 2 (3,5 điểm): Cho A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6+ + 19 - 20

a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

a) Hai số lẻ liờn tiếp cú dạng 2n + 1 và 2n + 3 (n N)

Gọi d là ước số chung của chỳng Ta cú: 2n + 1d và 3n + 3 d

Cõu 4 (4 điểm): Tìm số tự nhiên n để phân số

b) Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ớc của

91 =.> 3n + 4 không chia hết cho ớc nguyên tố của 91 Từ đó suy ra:

3n + 4 không chia hết cho 7  n ≠ 7k +1

3n + 4 không chia hết cho 13  n ≠ 13m + 3

0,5đ0,5đ0,25đ0,25đ

Cõu 5 (4 điểm): Cho tam giỏc ABC cú BC = 5cm Trờn tia đối của tia CB lấy điểm M

sao cho CM = 3cm

a) Tớnh độ dài BM

b) Cho biết BAM = 800, BAC =600 Tớnh CAM

c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm Tớnh độ dài BK

a) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau

CM và CB nên điểm C nằm giữa hai điểm B và M

Do đó: BM= BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm)

0,5®

1®

b) Do C nằm giữa hai điểm B và M

nên tia AC nằm giữa hai tia AB và AM

Do đó CAM BAM BAC   = 800 - 600 = 200