CHUYÊN đề ôn thi hsg lớp 6

CHUYÊN ĐỀ 1 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN I Kiến thức cần nhớ II Bài tập DẠNG 1 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC Ví dụ 1 a) Tính a = 234 99 9 (có 50 chữ số 9); b) Tính b = 11 1 3456 (có 100 chữ số 1) c) Chứng minh rằng là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Giải a, Ta có a = 234 99 9 = 234 (100 0 1) = 234000 0 – 234 Đặt phép trừ 23399 9766 Vậy a = b Ta có b = = = giải tương tự câu a, ta có b = Ví dụ 2 1) Biết a = 1 2 + 2 3 +3 4 + + 98 99 ; b = 12 + 22 + + 982 a) Tính hiệu a – b b) Chứng mi.

CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN I Kiến thức cần nhớ: II Bài tập: DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC Ví dụ a) Tính a = 234 99…9 (có 50 chữ số 9); chữ số 1) c) Chứng minh 111 122 123 { 100 100 b) Tính b = 11…1 3456 (có 100 tích hai số tự nhiên liên tiếp Giải a, Ta có a = 234 99…9 = 234 (100…0 - 1) = 234000…0 – 234 Đặt phép trừ 23399…9766 Vậy a = b Ta có b = = = giải tương tự câu a, ta có b = Ví dụ 1) Biết a = 1.2 + 2.3 +3.4 + …+ 98.99 ; b = 12 + 22 + … + 982 a) Tính hiệu a – b b) Chứng minh k  k  1  k     k  1 k  k  1  3k  k  1 tính a 2) a) Tính S = + 22 +23 +…+ 230 ; b) Tính S = + 52 +…+520 Giải 1) a) Ta có a = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + (3 + 1) + …+ 98 (98 + 1) = 12 + 22 + … + 982 + + + + …+ 98 =b+ = b + 99.49 Suy a – b = 49.99 b) Ta có 3a  1.2.3  3.2.3  3.3.4  3.98.99     1.2    1 2.3     3.4   100  97  98.99  1.2.3  0.1.2  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4   98.99.100  97.98.99  98.99.100 �a  98.99.100 Ví dụ Tính nhanh giá trị biểu thức sau a 215.62 + 42 – 52.215; (199199.198 – 198198.199) b 14.29 +14.71 + (1 + + + … + 99) c) A  21.7  11.7  90.7  49.125.16 ; 2 d) B 12.194  6.437.2  3.369.4    13   57  61  65.2  26 Giải: a) 215.62 + 42 – 52.215 = 215(62 - 52) + 42 = 215.10 + 42 = 2150 +42 = 2192 b) Chú ý 199199 = 199.101 198198 = 198.101 tính câu b kết 1400 2 c) A  21.7  11.7  90.7  49.125.16 = 21.49 - 11.49 + 90.49 +49.2000 = 49.(21-11 + 90 + 2000) = 49 2100 = 102900 Vậy A = 102900 d) B 12.194  6.437.2  3.369.4    13   57  61  65.2  26 Ta có: +) 12.194 + 6.437.2 + 3.369.4 = 12.194 + 12.437 + 12.369 = 12 (194 + 437 + 369) = 12 1000 = 12000 61    16 +) + + + 13 + + 57 + 61 ( Có số hạng) (1  61).16  62.8  496 = Do đó: + + + 13 + + 57 + 61+ 65.2 - 26 = 496 +130 - 26 = 600 B Suy ra: 12000  20 600 Vậy B = 20 Ví dụ Tính: a) c) d) A  33 3.99 { { 50soá3 1 50soá9 b) ; B  33 3.33 { { 50soá3 50soá3 ; 1 1 1 2   1  3   1  3 4    1  3  20  20 ;  ; A  1500   11 �  5.2   11  121 � � � 3  3.4.2  5.415.99  4.320.89 19 29 e) 5.2  7.2 27 16 13 11 f) 11.2  16 ; g) 1.2.3  1.2.3  1.2.3 7.8 ; h) 2�  62  24  : 4.3� � � 2020 Giải: a) A  33 3.99 { {  33 3.(100 { {  1)  33 300 { {  33 { 50soá3 50soá9 50 50 50 50 50 = 33…3266…67 (49 chữ số 3, 49 chữ số 6) b) Tương tự câu a, ta có B = 11…1088…89 (49 chữ số 1, 49 chữ số 8) c) …= 115 d) A = 599; e) = DẠNG TÌM SỐ CHƯA BIẾT Ví dụ a) Tìm số tự nhiên x y (x < y) cho : 2x + 2y = 20 b) Tìm x, y � N, biết 2x + 624 = 5y Giải Xét lũy thừa nhỏ 20, ta có : 20 = ; 21 = ; 22 = ; 23 = ; 24 = 16 Chỉ có hai số có tổng 20 + 16, tức 22 + 24 = 20 Vậy x = y = b) Nếu x = 20 + 624 = 5y  625 = 5y  5y = 54  y=4 Nếu x � 2x số chẵn  2x + 624 số chẵn Mà số lẻ  5y số lẻ  Với x, y  N, x � 2x + 624 � 5y Ví dụ a Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng gấp ba lần hiệu chúng nửa tích chúng b Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số, biết chia cho 69 thương số dư c Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết chia số cho 29 dư 5, cịn chia số cho 31 dư 28 Giải a Gọi hiệu số phải tìm a tổng chúng 3a tích chúng 6a Số lớn (3a+a) :2 = 2a, số bé a Do tích chúng 6a nên ta có số nhỏ 6a :2a = 3, số lớn 2.3 = b Gọi số phải tìm a, chia a cho 69 thương số dư nhau, nên ta có a = 69k + k = 70k Do a ≤ 999 nên 70k ≤ 999 k ≤ 14 Do a lớn nên k lớn chọn k = 14 Suy a = 70.14 = 980 c Gọi số tự nhiên cần tìm a gọi q, q1 theo thứ tự thương phép chia số cho 29 31 Ta có: a = 29q + = 31q1 + 28 => 29(q – q1) = 2q1 + 23 Vì 2q + 23 số lẻ nên 29(q – q ) lẻ nên q – q số lẻ q  q1 �1 Để a nhỏ 1 q1 nhỏ nhất, hay 29(q – q1) nhỏ => q – q1 = Vì 29(q – q1) = 29 => 2q1 + 23 = 29 => q1 = => a = 121 Ví dụ Tìm số tự nhiên x, biết : a) (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 30) = 795; 32x + x1 99 100 d)        c) 52x - - 2.52 = 52.3; e) b) 2(3 + 32 + 33 + …+ 331) + = 30  x     x    22 x  100 f)  x x 1  x  x 3  480 Hướng dẫn: c) 52x - - 2.52 = 52.3 52x - = 52.3+ 2.52 52x - = 52 (3 + 2) = 53 2x - 2x =3 =0 x = Vậy x = 101 d) 2P =     2 101 100 2P - P = (     ) - (     ) = 2101 - Do đó: 22x-1 - = 2101 - 22x-1 = 2101 2x-1 = 101 x = 51 Vậy: x = 51 e) x = Ví dụ a) Tìm số tự nhiên lẻ liên tiếp có tổng 9925; b) Có số tự nhiên có tích 2019 tổng 20018 hay khơng? Ví dụ Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn a)  x  1  y    11 ; b) xy  x  y  ; c) xy  x  y  148 Ví dụ 10 Tìm số tự nhiên x, biết: x a)  15  17  x  11 b)  25.52  200 10 d) x  x  x  15 e)   x  15  10 c) x  1x DẠNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THÀNH PHẦN CỦA PHÉP TÍNH Ví dụ 11 Trong phép chia có dư, số bị chia 24, thương Tìm số chia số dư Giải Gọi số chia b số dư r, ta có 24 = 3b + r với < r < b Từ 24 = 3b + r suy r = 24 – 3b r > suy 3b < 24 nên b < (1) Từ r = 24 – 3b r < b suy 24 – 3b < b suy 4b > 24 nên b > (2) Do b số tự nhiên nên từ (1) (2) suy b = Suy r = Vậy số chia số dư Ví dụ 12 Tìm số dư phép chia số Giải Ta thấy 111111 :1001 = 111 a = = Vì chia hết cho 1001 cịn 1111 chia cho 1001 dư 110 nên a chia cho 1001 dư 110 Ví dụ 13 Chia số tự nhiên a cho 72 dư 69 Chia số a cho 18 dư thương Tìm số a Giải Chia a cho 72 dư 69 nên ta có a = 72k + 69 = 18.4k + 54+ 15 = 18( 4k + 3) + 15 Do a chia cho 18 dư 15 Vì chia a cho 18 thương số dư nên ta có 4k + = 15 => 4k = 12 => k = => a = 285 DẠNG ĐIỀN CHỮ SỐ Ví dụ 14 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào trước chữ số hàng chục số A, viết thêm chữ số vào sau chữ số hàng đơn vị số B, B gấp đơi A Giải Gọi số phải tìm , ta có Đặt = x ta 10x + = (400 + x).2  10x + = 800 + 2x => x = 99 Ví dụ 13 : Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số nhau, ta thương cịn dư Nếu xóa chữ số số bị chia chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 đơn vị Tìm số bị chia số chia lúc đầu Hướng dẫn : Gọi số bị chia lúc đầu aaa , số chia lúc đầu bbb , số dư lúc đầu r Ta có : aaa  2.bbb  r (1) aa  2.bb  r  100 (2) Từ (1) (2), suy ra: aaa  aa  bbb  bb  100   � a00  2.b00 100 � a  2b 1=> (a; b) = (3; 1); (5; 2); (7; 3); (9; 4) Thử trường hợp, ta có ba đáp số là: 555 222; 777 333; 999 444 Ví dụ 15: Trong phép chia có dư, số bị chia gồm bốn chữ số nhau, số chia gồm ba chữ số nhau, thương 13 dư Nếu xóa chữ số số bị chia, chữ số số chia thương khơng đổi, cịn số dư giảm trước 100 đơn vị Tìm số bị chia số chia lúc đầu Hướng dẫn: Giải tương tự ví dụ Đáp số: 4444 333 DẠNG SO SÁNH HAI LŨY THỪA TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA Chú ý : - Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa n ( khác 0) giữ nguyên chữ số tận - (…0)n = …0 ; (…1)n = …1 ; (…5)n =…5 ; (…6)n = …6 - Các số có tận 00, 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa n (khác 0) giữ nguyên hai chữ số tận - Các số có tận 000, 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa n (khác 0) giữ nguyên ba chữ số tận - Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa khác tận 0625 - Các số tự nhiên có chữ số tận 3, 7, nâng lũy thừa 4n có chữ số tận - Các số tự nhiên có chữ số tận chữ số 2, 4, nâng lên lũy thừa 4n có tận Ví dụ 16 a) Tìm chữ số tận 32017 62016 ; 735 – 431 ; 21930.91945 67 75 b) Tìm chữ số tận 234 ; 579 c) Tìm chữ số tận : S = + + 32 + 33 +…+ 330 Hướng dẫn : 32017 tận ; 62016 tận ; 735 tận ; 431 tận => 735 – 431 tận 21930 tận 4, 91975 tận => tích tận Ví dụ 17 Tìm hai chữ số tận 62011 ; 3512011 ; 218218 Hướng dẫn : 65 tận 76, số tận 76 nâng lên lũy thừa n (khác 0) tận 76 Ta có : 62011 = (65)42.6 = (…76)42.6 = …76.6 = …56 Vậy hai chữ số tận 62011 56 * 3512 = …01 Số tận 01 nâng lên lũy thừa n (khác 0) tận 01 Do đó, ta có : 3512011 = (3512)1005.351 = (…01).351 = 51 Vậy hai chữ số tận số 3512011 51 Số có tận 18 nâng lên lũy thừa có tận 76 Số tận 76 nâng lên lũy thừa n với n khác tận 76 Do 218218 có tận 24 Ví dụ 18 : Chứng minh : 512019  47102 10 a) số tự nhiên; nhiên ? b) A 2010 94 (7 2008  392 ) 10 số tự c) 405n + 2405 + m2 (m, n số tự nhiên; n khác 0) không chia hết cho 10 Giải: 2010 94 b) Vì 2008 ; 92 bội nên 2008 92 bội � 20082010  4.m  m �N *  ;9296  4.n  n �N *  Khi 2008 2008 tức Dễ thấy 2010 2010  392  m  34 n      34    1   1  94 m 94 2008 có tận hay  392 2008 2010 9294 3 n 2010 > mà 20082010 9294 3 94  392 M 10 A M 10 suy 2010 94 (7 2008  392 ) 10 số tự nhiên Ví dụ 19: So sánh số sau: a) 2711 818; b) 6255 1257; c) 536 1124; d) 32n 23n (n số tự nhiên lớn 1); e) 523 6.522 Ví dụ 20: So sánh số sau: a) 7.213 216; b) 2115 275.498; c) 19920 200315; d) 339 1121 ; 45 44 44 43 e) 72  72 72  72 Ví dụ 21: Hãy so sánh S = + + 22 + …+ 29 với 5.28 CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG : I Kiến thức cần nhớ: Số phương số có dạng bình phương số tự nhiên Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng có chữ số tận 2, 3, 7, Số phương chia 3, dư 1; chia dư 0, 1, 4 Nếu số phương mà chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11, 13…, p (p số nguyên tố) chia hết cho 4, 9, 25, 49, 121, 169,…,p2 Nếu số phương chia hết cho chia hết cho 16 Khi phân tích số phương thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Số lượng ước số phương số lẻ số có số lượng ước số lẻ số số phương Thật vậy, Nếu A = A số phương có ước Ta giả sử A > có dạng phân tích thừa số nguyên tố A = axbycz…, nên số lượng ước A là: (x + 1)(y + 1)(z + 1)… a) Nếu A số phương x, y, z,… số chẵn suy (x + 1)(y + 1)(z + 1) số lẻ b) Nếu số lượng ước A số lẻ (x + 1)(y + 1)(z + 1) … lẻ thừa số x + 1, y + 1, z + ,…đều số lẻ => x, y, z,… số chẵn => A số phương II Bài tập Ví dụ : Xét xem số sau có số phương hay không ? a) 1234567897 ; b) 5554 – 11 ; c) 32015 + 3144 Ví dụ : Các tổng sau có số phương hay khơng ? a) A = + 32 + …+ 320 ; + 7; e) 1010 + 5; b) B = 11 + 112 + 113 ; c) 1010 + 7; d) 100! f) 10100 + 1050 + Ví dụ 3: Chứng minh số sau khơng số phương: a) abab ; b) abcabc ; c) ababab ; d) abc  bca  cab Ví dụ 4: Tìm số phương có bốn chữ số gồm bốn chữ số sau: a) 0, 2, 3, 4; 3, 6, 8, b) 7, 4, 2, 0; c) 0, 2, 3, 5; Hướng dẫn: a) Số cần tìm là: 2304; b) 2704 ; c) 3025 ; d) d) 8836 Ví dụ : a) Cho số tự nhiên gồm 15 chữ số Có cách viết thêm số vào vị trí tùy ý để số tạo thành số phương khơng ? b) Một số tự nhiên gồm có chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số số phương khơng ? c) Một số tự nhiên gồm số chữ số chữ số số phương khơng? Hướng dẫn : a) Số phương số chia hết cho chia hết cho Số gồm 15 chữ số hai viết thêm chữ số vào vị trí có tổng chữ số 30 chia hết cho khơng chia hết cho Vậy khơng có cách viết để có số phương b) Tổng chữ số số : + 2.2 + 3.3 + 4.4 = 24 chia hết cho khơng chia hết cho Vì số cho khơng số phương c) Giả sử n2 số phương gồm chữ số chữ số Nếu n2 tận phải tận số chẵn chữ số Ta bỏ tất chữ số số cịn lại tận số phương Xét hai trường hợp : Số lại tận 06 66 Các số khơng số phương chia hết cho không chia hết cho Nếu n2 tận ta điều vơ lí Suy số có tính chất khơng thể số phương Ví dụ : a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 135 ta số phương b) Viết liên tiếp từ đến 12 số A = 1234…1112 Số A có 81 ước khơng ? c) Tìm số phương có chữ số cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Hướng dẫn : a) Gọi số phải tìm n, ta có k2 = 135n (k số tự nhiên) Hay k2 = 33.5.n Số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3.5.k2 Với k = n = 15, với k = n = 60, với k > n > 134, có nhiều hai chữ số, loại Vậy số phải tìm 15 60 b) Do A có 81 ước số lẻ nên A số phương Tổng chữ số A 51 chia hết cho không chia hết A khơng số phương (vơ lí) c) Gọi số phương phải tìm n2 = aabb Ta có n2 = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1) Do 99a + a + b chia hết cho 11 nên a + b chia hết cho 11, a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) ta có: n2 = 11(99a + 11) = 112 (9a + 1) Do 9a + số phương Thử với a = 1,2,…9 ta có a = b = Do số cần tìm 7744 = 882 Ví dụ : Tìm số ngun tố có hai chữ số ab(a > b > 0) cho ab – ba số phương Hướng dẫn : Ta có : ab – ba = 9a – 9b = 9(a - b) = 32 (a - b) Do ab – ba số phương nên a – b số phương Ta thấy < a – b < nên a – b = 1; Với a – b =1 ab = 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98 Loại số hợp số, ta có ab = 43 Với a – b = ab = 51 ; 62 ; 73 ; 84 ; 95 Loại hợp số, ta có ab = 73 Vậy hai số cần tìm 43 73 Ví dụ 8: Chứng minh với số tự nhiên n phương n ! 2018 khơng số Hướng dẫn: Nếu n = 0, 1, 2018; 2019; 2020 khơng số phương Nếu n > n! + 2018 chia dư Suy khơng phương Ví dụ 9: Tìm tất số tự nhiên n cho 3n + số phương Hướng dẫn: Nếu n chẵn 3n chia dư Do 3n + chia dư Một số phương chia dư 0; 1; => số khơng số phương Nếu n lẻ, 3n chia dư => 3n + chia dư Một số phương chia dư => Số không số phương Vậy khơng tồn n để 3n + số phương Ví dụ 10: Tìm tất số phương có tổng chữ số 2013 Hướng dẫn: Do 2013 chia hết số phương có tổng chữ số 2013 số phải chia hết cho Do số phương chia hết cho chia hết số chia hết cho Mà 2013 không chia hết khơng có số phương có tổng chữ số 2013 BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài a) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n + 3n + số phương a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 45 số phương b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho cộng với số gồm hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số phương c) Tìm số phương có bốn chữ số, biết chữ số hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bài 2: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A – B số phương Bài 3: Tìm số tự nhiên n (n > 0) cho 1! + 2! + 3! + …+ n! số phương Bài : Chứng minh số phương, với n số tự nhiên khác Bài : Cho S = + 31 + 32 + …+ 330 Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phương Bài : Có số phương mà có tổng chữ số 2009 hay khơng ? 10 0,5 đ a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C => AC = AD + CD = + = cm 0,5 đ 0,5 đ (5,0 đ) b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC ta có đẳng thức: 0,5 đ 1,0 đ � � � � � ABC  � ABD  DBC => DBC  ABC  ABD = 550 – 300 = 250 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz BD nằm hai phía nửa mặt phẳng 0,5 đ có bờ AB nên tia BA nằm hai tia Bz BD � � Tính ABz  90  ABD = 0,5 đ - Trường hợp 2: Tia Bz, BD nằm nửa mặt phẳng có 0,5 đ bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA � , ABD = Tính ABz = 900 + � 0,5đ a Ta có: abbc  ab �ac �7 (1)  100 ab + bc = ab ac  ab (7 ac - 100) = bc 90 0,25 đ bc bc  ac - 100 = ab Vì < ab < 10 nên < ac - 100 < 10  100 < ac < 110  14  100 110  ac   16 7 Vậy ac = 15 0,25 đ 0,25 đ thay vào (1) 1bb5  1b �15 �7  1005 + 110b = 1050 + 105.b 0,25 đ  5b = 45  b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = (2,0 đ) 2015 94 b) Vì 2012 ; 92 bội nên 2012 92 bội 2012 � Khi 20122015 2012 tức 2015 2012 Dễ thấy A 2015  4.m  m �N *  ;9296  4.n  n �N *  9294 3  392 2015 0,25 đ 94 7 4m 3   4n       1   1  m n 2012 có tận hay 94  392 > mà 2012 2015 2015 0,25 đ 94  392 M 10 0,25 đ 94  392 M 10 suy 20122015 9294 (7  )  5.k; k �N Suy A số tự nhiên chia hết cho 91 0,25 đ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2014 - 2015 Mơn: TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh : A = + 22 + 23+ … + 2200 chia hết cho b) Tìm x � N biết 10x + 23 chia hết cho 2x + Câu (6,0 điểm) a) Cho A = - 52 + 53 - 54 + …- 598 + 599 Tính tổng A b) Tìm số ngun x, y biết : (x - 2) 2.(y - 3) = - c) Cho phân số M = (n Z), tìm n để M có giá trị số ngun Câu (4,0 điểm) Số thóc sau thu hoạch người cha chia cho bốn người Số thóc người anh chia số thóc ba người kia, người anh thứ hai số thóc số thóc ba người kia, người anh thứ ba số thóc ba người Người em út 630kg Hỏi số thóc người anh nhận sau chia? Câu (4,0 điểm) Trên đường thẳng AM lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AM vẽ tia OB, OC cho góc MOC = 115O, góc BOC = 70O Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D không nằm nửa mặt phẳng với B,C qua bờ AM) cho AOD = 45O a) Tia OB nằm hai tia OM, OC khơng? Vì sao? b) Tính góc MOB, AOC? c) Chứng tỏ điểm D, O, B thẳng hàng Câu (2,0 điểm) a) Cho S = Chứng minh < S < b) Cho A 99     100 A 5 5 Chứng minh 16 -Hết 92 Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán Câu (4,0 điểm) a) A = + 22 + 23+ … + 2200 = (2 + 22) + (23 + 24 ) +…(2199 + 2200) A = + 2 (2 + 22 ) +… + 2198 (2 + 22) A = + 2 (6 ) +… + 2198 (6) A = 6(1 + 2 +… + 2198) Vậy A chia hết cho b) 10x + 23 = 5(2x + 1) + 18  Suy 18 (2x +1) nên 2x + 2x +1 số lẻ nên 2x + nhận ;3 ;9 Nên x : ; ; �U (18)  1;3;6;9;18 2,0  2,0 Câu (6,0 điểm) a) A = – 52 + 53 – 54 + …- 598 + 599 => 5A = 52 – 53 + 54 - …+ 598 – 599 + 5100 Tính rút gọn 6A = + 5100 A  5100 => b) Ta có : -4 = 12.(-4) = 22.(-1) nên ta có trường hợp sau: TH1: ( x - 2)2 = 12 y - = -4 � x - = ; y = -1 x - = -1; y = -1 � x = 3; y = -1 x = 1; y = -1 TH2: ( x - 2)2 = 22 y - = -1 93 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 � x - = ; y = x - = -2; y = � x = 4; y = x = 0; y = KL: Vậy ta có cặp (x, y) nguyên thỏa mãn là: (3; -1); (1; -1); (4; 2); (0; 2) M= = = =2là số nguyên (3n + 2) hay (3n + 2) Ư(5) 0,25 0,5 0.5 => Ư(5) = {- 5; - 1; 1; 5} n Z nên (3n + 2) chia dư => (3n + 2) {- 1; 5} Nếu 3n + = - => n = - 3n + = => n = Vậy n {- 1; 1} A số nguyên 0.5 0.5 0.5 Câu (4,0 điểm) 1  Số thóc anh  tổng số thóc 1  Số thóc anh hai  tổng số thóc 3  Số thóc anh ba  10 tổng số thóc 1 1    10 60 tổng số thóc Số thóc người em út bằng 630 :  5400( kg ) 60 Tổng số thóc thu được: Số thóc anh nhận được: 1800kg Số thóc anh hai nhận được: 13500kg Số thóc anh ba nhận được: 1620 Câu (4,0 điểm) 94 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a) Nếu OB nằm tia OA, OC ta có : B C MOC +COB =MOB  MOB = 1850 > 1800 (vô lý) Vậy OB nằm tia OM, OC b) Do tia OB nằm tia OM, OC nên : A M MOB +BOC =MOC O 0  MOB =MOC -BOC = 115 - 70 = 45 Hai góc AOC, COM góc kề bù nên : AOC+ COM = 1800 D  AOC= 1800- COM= 1800 - 1150 = 650 c) Hai góc AOB, BOM góc kề bù  AOB + BOM = 1800  AOB =1800- 450 = 1350 Hai góc DOA, AOB góc có cạnh chung OA Cịn cạnh OD, OB nằm nửa mặt phẳng đối bờ AM nên : DOA+ AOB = 450 + 1350 = 1800  OD, OB tia đối  D, O, B thẳng hàng 1.0 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu : (2 điểm) Xét tổng S = có 30 số hạng Mà => Lại có : => S < => S < Từ (1) (2) => < S < 0,25 (1) (2) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Hết 95 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 6,0 điểm (mỗi câu 0,5 điểm) Thí sinh chọn đáp án viết kết vào tờ giấy thi (ví dụ câu số chọn đáp án A viết A) Câu : Tất số nguyên n thích hợp để (n + 1) ước là: A –2; B 2; -4 C -2; -0; -4; D -2; 0; 2; -4 Câu : Tổng tất số nguyên n thoả mãn –2 < n  là: A B C 4  Câu 3: Cho biết x Số x thích hợp là: A 44 B 10 C.-10 Câu 4: Nếu điểm M nằm hai điểm A, B thì: D D 36 A MA + AB = MB B AM + MB = AB C MB + BA = MA D AM + MB AB Câu 5: Bội chung nhỏ (18; 60; 120) là: A 22 B 23 Câu 6: Cho biểu thức trị nguyên là: A  1;2;5 B M C 23 32 D n  Tập hợp giá trị nguyên n để M nhận giá  1;2 C  2;4;5 D  1;2;4;5 1  Câu 7: Kết phép trừ 24 là: A 1 B 12 C 12 D 16 � xOz � Câu 8: Tia Oy nằm hai tia Ox Oz Biết xOy 30 � đo yOz là: A 40o B 60o C 110o Câu 9: Số x thỏa mãn phép tính 52x-3 – 2.52 = 52.3 D 80o A B D C 96 góc nhọn, số Câu 10: Tìm số a để số 2016 1999 chia cho a có số dư 10 Kết a A 17 B 16 C 15 D 14 Câu 11: Từ sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác chia hết cho Kết A 11 B 12 C 13 D 14 Câu 12: Gọi S1 diện tích hình trịn bán kính R1 = cm; S2 diện tích hình trịn bán kính R2 gấp lần bán kính R1 Ta có: A S2 = 2S1 B S2 = S1 C S2 = 3S1 D S2 = 4S1 II PHẦN TỰ LUẬN: 14,0 điểm Câu 1: (3 điểm) A  1.99  2.98  3.97   99.1 a) Cho 1.101  2.102  3.103   99.199 B = Tính A + B b) Cho A = + 2017+ 20172 + 20173 + 20174 + … + 20172016 + 20172017 B = 20172018 - So sánh A B 12n  c) Chứng tỏ 30n  phân số tối giản Câu 2:(3 điểm): a) Cho S     2016 Tính S S chia hết cho 344 b) Cho m, n số tự nhiên, Chứng minh ƯCLN(a,b) =ƯCLN(5a+2b,7a+3b) c) Tìm hai số m n, biết m + n = 180 (m, n) = 12 Câu 3: (3 điểm) a) Chứng minh p p + hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 b) Chứng tỏ số sau số phương: A  abc  bca  cab c) Cho p p + số nguyên tố lớn chứng minh p + 14 hợp số 97 Câu (5 điểm) Cho � xAy , tia Ax lấy điểm B cho AB = cm Trên tia đối tia Ax lấy điểm D cho AD = cm a) Tính BD � b) Lấy C điểm tia Ay Biết BCD = 800, � BCA = 450 c) Biết AK = cm (K thuộc BD) Tính BK Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh : 98 � Tính ACD HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán I PHẦN TRÁC NGHIỆM: 6,0 điểm Đúng câu 0,5 điểm Câu Đáp án D B C B C D B A C 10 11 12 A B D II PHẦN TỰ LUẬN: 14,0 điểm Câu (3,0 điểm) Gợi ý A  1.99  2.98  3.97   99.1 =1.(100 - 1) + 2.(100 - 2) + 3.(100 - 3) + + 99(100 - 99) =1.100 - 12 + 2.100 - 22 + 3.100 - 32 + + 99.100 - 992 2 Biến đổi tổng B  1.100   2.100    99.100  99 Tính A+B= 990000 Ta có 2017A = 2017 + 20172 + 20173 + 20174 + … + 20172017 + 20172018 Suy 2017A – A = 20172018 – Vậy A = (20172018 – 1) : 2016 < B = 20172018 - c) Chứng tỏ phân số tối giản Gọi d ớc chung 12n+1và 30n+2 ta cã 5(12n + 1) - 2(30n + 2) = chia hÕt cho d vËy d = nªn 12n + 30n + nguyên tố phân số tối giản im 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (3,0 điểm) Gợi ý 7S 7      a) Ta có � 7S  S   72  73  74   72017     72  73   72016  � 6S  2017 Điểm 2016 72017   7� S  S   74    72  75     72013  72016  Ta có: S 7 1 73   72  1 73    72013  1 73  S 344.  72   72013  � SM 344 1,0 b) Chứng minh ƯCLN(a,b) =ƯCLN(5a+2b,7a+3b) 0,5 Giả sử d thuộc ƯC(5a+2b,7a+3b) � 5a  2bMd ;7a  3bMd �  5a  2b    a  3b   aMd 99 Do 5a  2bMd nên suy d �UC  a , b  bMd Từ ta có Vậy ước chung 0,5 (5a + 2b, 7a + 3b) ước chung a b Suy ƯCLN(a,b) =ƯCLN(5a+2b,7a+3b) c) Tìm hai số m n, biết m + n = 180 (m, n) = 12 Do (m, n) = 12 nên m = 12m’ n = 12n’ với m’, n’ số tự 0,25 nhiên (m’, n’) = Do m + n = 180 nên 12m’ + 12n’ = 180 => 12(m’ + n’) = 180 => 0,25 m’ + n’ = 15 Đến HS lập bảng ý m’, n’ nguyên tố ta có bảng sau m’ 11 13 14 n' 14 13 11 m 12 24 48 84 96 13 13 16 48 24 12 n 16 13 13 96 84 0,5 Vậy có tất cặp số (m, n) thỏa mãn * Các em ý: Ta có: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b Câu (3,0 điểm) Gợi ý Ta có: p + (p + 2) = 2(p + 1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ suy ra: (p + 1) => 2(p + 1) * p, p + 1, p + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p + không chia hết cho nên: (p + 1) => 2(p + 1) ** 12 (đpcm) Từ * và** suy ra: 2( p  1)M Giả sử A số phương A  abc  bca  cab  3.37  a  b  c  M37 � AM37 �  a  b  c  M37 Vơ lý 37 số ngun tố  a  b  c �27 Vậy A khơng phải số phương Điểm 1,0 1,0 c) Cho p p + số nguyên tố lớn chứng minh p + 14 hợp số Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư chia dư Nếu p chia dư p + chia hết cho Mà p + > nên p + 1,0 100 hợp số (vơ lí p + số ngun tố) Do p chia phải dư Suy p + 14 chia hết cho mà p + 14 > nên p + 14 hợp số Câu (3,0 điểm) y Gợi ý Điểm 0,25 1,25 Hình vẽ: C a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối tia Ax � A nằm D B D A � BD = BA + AD = + = 10 (cm) KL:… b) Vì A nằm D B => Tia CA nằm tia CB CD � �� ACD  � ACB  BCD � � �� ACD  BCD ACB  800  450  350 KL:… - * Trường hợp : K thuộc tia Ax Lập luận K nằm A B Suy ra: AK + KB = AB � KB = AB – AK = – = (cm) D A K B B x 1,0 1,5 x * Trường hợp : K thuộc tia đối tia Ax - Lập luận A nằm K B - Suy ra: KB = KA + AB � KB = + = (cm) D K A B x * Kết luận: Vậy KB = cm KB = cm MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO 7n  Bài Chứng minh số số tự nhiên với n số tự nhiên n n phân số phân số tối giản Hướng dẫn: 101 7n  2 số tự nhiên n  1M6 � n  M2, Suy 7n2 khơng chia hết cho Vì Do n2 khơng chia hết cho n2 khơng chia hết cho Vì số nguyên tố nên n n n không chia hết cho nên phân số phân số tối giản 5a  7b 29  a  b 28 Bài 2: Tìm số tự nhiên a b thỏa mãn (a, b) = 5a  7b 29  a  b 28 nên ta có 29  6a  5b   28  5a  7b  � 2a  3b (*) Vì (a, Hướng dẫn: Do b) = (2,3) = nên a chia hết cho b chia hết cho Suy a = 3p; b = 2q (p; q số tự nhiên) Thay vào (*), ta có 6p = 6q => p = q Vì (a, b) = nên (a, b) = (3p, 2q) = (3p, 2p) Suy p khác (a, b) = p khác (Mâu thuẫn.) Do p = q = Suy a = b = Bài 3: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư Hướng dẫn: Gọi số a Theo ra, ta có a chia dư 3; a chia 17 dư 12; a chia 23 dư Suy a + 39 chia hết cho 7; 17; 23 Lại 7; 17; 23 đôi nguyên tố a + 39 chia hết cho 7.17.23 = 2737 Suy a chia cho 2737 dư 2698 1   Bài 4: Tìm số nguyên dương a b cho a b 1 1  � Hướng dẫn: Giả sử a �b  Ta có a, b > a b b  b �14 b b b 14 Vậy Do b nguyên nên b = 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14 Xét trường hợp b để tìm a Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau: Ta có 2017  2017 � � � � � 2017 � 3     �  � �  �  � 1 �     2020 � � � � 2020 � 2020 � � �1 1  �     � 2020 � �4 102 1 1 1 1 �1 1 �          �     � 10100 4.5 5.5 5.6 5.2020 �4 2020 � Xét số chia 20 25 30 Suy B = 15 Bài 6: Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh a b c P   a  b b  c c  a không số nguyên a a b b c c  ;  ;  Hướng dẫn: Ta có a  b a  b  c b  c a  b  c c  a a  b  c Suy P a b c abc    1 a bc abc a bc a bc a 1 Áp dụng tính chất: Nếu a, b  0, a, b �� b , với m số tự nhiên khác a am  ta có b b  m a a ac b ab c cb 1�  ;  ;  ab abc bc abc ca abc Ta có a  b 2 a  b  c ac ab bc    2 a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c Suy Vậy < P < nên P số nguyên P Bài Tìm số nguyên tố p cho Hướng dẫn: p  p2 số nguyên tố - Xét p =2: Không thỏa mãn KL: Vậy p = số nguyên - Xét p = 3:  p =17 số nguyên tố Vậy p=3 thỏa mãn tố p - Xét p > 3: p2 chia dư thỏa mãn đề Cịn p lẻ nên 2p=22k+1=4k.2 chia dư Bài 8: Cho hai góc kề AOB BOC có tổng 160 Trong góc AOB lần góc BOC p p nên  p chia hết cho 3, mà  p >3 nên hợp số a) Tính góc b) Trong góc AOC vẽ tia OD cho COD góc vng Chứng tỏ tia OD tia phân giác góc AOB c) Vẽ tia OC’ tia đối tia OC So sánh góc AOC BOC’ (Các em tự vẽ hình, suy nghĩ cách giải) 103 Bài Trên mặt phẳng cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Biết tổng số giao điểm mà n đường thẳng cắt tạo 465 Tìm n HD: Có n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy, nên đường thẳng cắt n-1 đường thẳng lại tạo n -1 giao điểm phân biệt Do n đường thẳng có n(n – 1) giao điểm giao điểm tính lần n( n  1) Vậy thực tế có giao điểm n(n  1)  465 Theo ta có: � n( n  1)  930  31.30 � n  31 104 ... chữ số tận 62 011 ; 3512011 ; 218218 Hướng dẫn : 65 tận 76, số tận 76 nâng lên lũy thừa n (khác 0) tận 76 Ta có : 62 011 = (65 )42 .6 = (… 76) 42 .6 = … 76. 6 = … 56 Vậy hai chữ số tận 62 011 56 * 3512 =... cs 62 020 78 266 6 66 6 65 123 c) 2020 cs 3.7.13.37.39  10101 505050  70707 ; b) cs 62 015 78  33  333   333 333  3.20 16 d) 2 .6. 10  4.12.20  6. 18.30   20 .60 .10 1.2.3  2.4 .6  3 .6. 9... [a, b] = a Nếu a không chia hết cho b, giả sử a > b số dư r (a, b) = (b, r) Ví dụ: 72 = 56. 1 + 16 nên (72, 56) = ( 56, 16) Lại có 56 = 3. 16 + nên ( 56, 16) = ( 16, 8) = Vậy (72, 56) = II MỘT SỐ DẠNG