Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 155 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CÁC CHUN ĐỀ TỐN CHUN ĐỀ 1: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (tách hạng tử tự c) Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần III Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Hướng dẫn Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ; b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y) a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = = (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z) Chú ý : 1) Ở câu b) ta có thể tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y)) 2) Đa thức ở câu b) là một những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) 2 Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử Lời giải Cách x + x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Cách Thêm bớt x2 : x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1) Ví dụ Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + + x3n + + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + đều chứa nhân tử x2 + x + DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Lời giải x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Lời giải Cách Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng : 1� � �2 �2 � � � � A x2 � x 6x � x � �x � �x � � x x � � � � x � � x� � 1 Đặt x y x y Do : x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 �� 1� � x.�x � 3x � = (x2 + 3x - 1)2 =� �� x� � Dạng phân tích cũng với x = Cách A = x4 + 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + = x4 + (6x3 -2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2 DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỚ BẤT ĐỊNH Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x - 6x3 + 12x2 - 14x + Lời giải Thử với x= ±1; ±3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun cũng khơng có nghiệm hữu tỷ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd a c 6 � � ac b d 12 � Đồng đa thức với đa thức đã cho, ta có: � ad bc 14 � � bd � Xét bd = với b, d �Z, b �{± 1, ± 3} Với b = d = hệ điều kiện trở thành: a c 6 � � ac 2c 8 � c 4 � � �� �� � a 3c 14 � ac a 2 � � � bd � Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Lưu ý: Trường hợp hai hệ số b và d là và không thỏa mãn thì ta xét trường hợp hai hệ số b và d là -3 và -1 bằng cách tương tự BÀI TẬP : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 2ab2 – a2b – b3 23 a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 a + a2b – ab2 – b3 24 a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) x + x2 – 4x - 25 a – a4 + 2a3 + 2a2 x – x2 – x + 26 (a + b)3 – (a – b)3 x + x3 + x2 - 27 x – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + + xm + – x - 10 x – x2 + 2x - 29 (x + y)3 – x3 – y3 11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a + 2ab + b2 – 2a – 2b + 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz 14 a – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5 15 x + 3x2 – 3x - 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16 x – 3x2 – 3x + 17 x – 4x2 + 4x - 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2 CHUYÊN ĐỀ 2: “TÍNH CHIA HẾT ĐỚI VỚI MỘT ĐA THỨC” DẠNG 1: TÌM DƯ CỦA PHÉP CHIA MÀ KHÔNG THỰC HIỆN PHÉP CHIA Đa thức chia có dạng x – a (a hằng) a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a Ta có: f(x) = (x – a) Q(x) + r Đẳng thức với x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a � f(a) = b) f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – c) f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + Ví dụ : Khơng làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – không Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C Đa thức chia có bậc hai trở lên Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b f(x) = g(x) Q(x) + ax + b Ví dụ 1: Tìm dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 – Cách 1: Ta biết x2n – chia hết cho x2 – nên ta tách: x7 + x5 + x3 + = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + chia cho x2 – dư 3x + Cách 2: Gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức với x nên với x = 1, ta có = a + b (1) với x = - ta có - = - a + b (2) Từ (1) (2) suy a = 3, b =1 nên ta dư 3x + Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a � -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a � -b) Ví dụ 2: Tìm dư phép chia a) x41 chia cho x2 + b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + Giải a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – dư x nên chia cho x2 + dư x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9 – x) + (x3 – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – dư 4x c) x99 + x55 + x11 + x + = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + chia cho x2 + dư – 2x + Sơ đồ HORNƠ Sơ đồ + Để tìm kết quả phép chia f(x) cho x a Hệsố thứ 1đa thức bị (a số), ta sử dụng sơ đồ hornơ a chia Nếu đa thức bị chia a0x + a1x + a2x + a3, a0 a1 a2 a3 a b0 =a0 b1=ab0+a1 b2 =ab1+a2 r =ab2 +a3 HÖsè thứ đathức bịchia Hệsố củađa thức chia a thức chia x – a ta thương b0x2 + b1x + b2, dư r ta có Ví dụ: Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – Ta có sơ đồ -5 -4 2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = r = 2 +(- 4) = 2 Vậy: x -5x + 8x – = (x – 2)(x – 3x + 2) + phép chia hết Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị đa thức x = a Giá trị f(x) x = a số dư phép chia f(x) cho x – a Ví dụ : Tính giá trị A = x3 + 3x2 – x = 2010 Ta có sơ đồ: -4 a = 2010 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 2010.4046130 – = 4046130 = 8132721296 Vậy: A(2010) = 8132721296 DẠNG CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC I Phương pháp: Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) Mg(x) � f(x) � g(x) Mg(x) cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia đều nghiệm đa thức bị chia II Ví dụ 1.Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ta có: x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta lại có: x4n + x2n + = x4n + 2x2n + – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia hết cho x2n + xn + Vậy: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn + Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n � N Ta có: x3m + + x3n + + = x3m + - x + x3n + – x2 + x2 + x + = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – x3n – chia hết cho x3 – nên chia hết cho x2 + x + Vậy: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n � N Ví dụ 3: Chứng minh f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – Mà x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có nghiệm x = x = Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – = � x = nghiệm f(x) � f(x) chứa thừa số x f(1) = (12 + – 1)10 + (12 – + 1)10 – = � x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung, f(x) chia hết cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia hết cho g(x) = x2 – x Ví dụ 5: Chứng minh a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giải a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Ta có: x2 – x + chia hết cho B = x2 – x + x9 + chia hết cho x3 + nên chia hết cho B = x2 – x + x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + (cùng có nghiệm x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8(x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – có tổng hệ số suy (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm x = 0, x = - 1, x = - Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – = � x = nghiệm C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – = � x = - nghiệm C(x) 1 1 ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – = � x = nghiệm C(x) 2 2 Mọi nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia � đpcm C(- Ví dụ 6: Cho f(x) đa thức có hệ số nguyên Biết f(0), f(1) số lẻ Chứng minh f(x) khơng có nghiệm nguyên Giả sử x = a nghiệm nguyên f(x) f(x) = (x – a) Q(x) Trong Q(x) đa thức có hệ số nguyên, f(0) = - a Q(0), f(1) = (1 – a) Q(1) Do f(0) số lẻ nên a số lẻ, f(1) số lẻ nên – a số lẻ, mà – a hiệu số lẻ số lẻ, mâu thuẩn Vậy f(x) khơng có nghiệm ngun DẠNG 3: TÌM CÁC HỆ SỐ ĐỂ ĐA THỨC F(X) CHIA HẾT CHO G(X) Phương pháp giải: - Đa thức f(x) gọi chia hết cho đa thức g(x) có đa thức q(x) cho f(x) = g(x).q(x) Chẳng hạn: x4 + x2+ chia hết cho x2+ x + 1, x4 + x2 + = ( x2 + x + 1)( x2 - x + 1) - Để xác định hệ số đa thức cho f(x) chia hết cho g(x) ta sử dụng phương pháp: + Định lí Bézout: “Nếu f(x) chia hết cho x – α f(α)=0’’ + Thực phép chia đa thức tìm đa thức dư r(x): f(x) = g(x).q(x) + r(x), sau cho r(x) ≡ + Dùng đồng Ví dụ: Xác định hệ số a b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + Tìm đa thức thương Cách 1: Phân tích g(x) thành nhân tử g(x) = x2 – x – 2x + = x(x - 1) – 2(x – ) = (x – 1).(x – 2) Nếu f(x) chia hết cho g(x) f(x) chia hết cho x – chia cho x – 2.Theo định lí Bézout ta có: f(1) = f(2) = Thay x = 1, x = vào f(x) ta được: 1+a+b=0 16 + 4a + b = Từ suy a = -5, b = Thực phép chia đa thức f(x) = x4 – 5x2 + cho đa thức x2 - 3x + ta đa thức thương: q(x) = x2 + 3x + Cách 2: Giả sử đa thức thương q(x) = x2 + cx + d Ta có đồng hai đa thức: x4 + ax2 + b ≡ (x2 - 3x + 2).( x2 + cx + d) Thực phép chia đa thức vế phải ta được: x4 – ax2 + b = x4 + (c – 3) x3 + ( d + – 3c) x2 + (2c – 3d) x + 2d Từ suy ra: c – = 0, d + – 3c = a, 2c – 3d = 0, b = 2d Hay: c = 3, d = 2, a = -5, b = Vậy với a = -5, b = f(x) chia hết cho g(x) đa thức thương q(x) = x2 + 3x + BÀI TẬP: Bài 1: Tìm số dư a) x43 chia cho x2 + b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + Bài 2: Tính giá trị đa thức x4 + 3x3 – x = 2009 Bài 3: Chứng minh a) x50 + x10 + chia hết cho x20 + x10 + b) x10 – 10x + chia hết cho x2 – 2x + c) x4n + + 2x2n + + chia hết cho x2 + 2x + d) (x + 1)4n + + (x – 1)4n + chia hết cho x2 + e) (xn – 1)(xn + – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 Bài 4: Xác định a, b để đa thức f(x) = x4 – 3x3 + x2 + ax + b chia hết cho đa thức g(x) = x2 - 3x + Bài 5: Xác định m để đa thức x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thức x + y +z Bài 6: Xác định a cho ( 10x2 – 7x + a) chia hết cho (2x – 3) 10 A Bài giải: Hạ DH AB; DK BC � DH = DK (1) �C � = 750 ABC cân A  = 300 � B � => BC < AB.(2) Â< B H SDBC = D 1 DK.BC ; SDAB = DH.AB (3) 2 Từ (1)(2)(3) B K C � SDBC < SDAB � 2SBCD < SABC Vậy SBCD < SABC (đpcm) Bài 2: Cho ABC vng cân có AB = AC = 10cm DEF vuông cân D nội tiếp ABC ( D AB, E BC, F AC ) Xác định vị trí D để diện tích DEF nhỏ B H Bài giải: Gọi AD = x Kẻ EH AB Thì AD = EH = BH = x DH = 10 - 2x E SDEF = D A F C 1 DE.DF DE2 (EH2 DH2 ) 2 = [x2 + ( 10 - 2x)2 ] = (5x2 - 40x + 100) 5 ( x2 - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10 10 2 (SDEF )min = 10 � x = D AB : AD = cm S DEF nhỏ Bài 3: Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm M tùy ý đường chéo AC, kẻ ME AB, MF BC Xác định vị trí M đuờng chéo AC để diện tích DEF nhỏ 141 E A M B Bài giải: F Dễ thấy SDEM = SAME ( chung cạnh ME, chiều cao từ D A xuống ME nhất) SDMF = SCMF SDEF = SDEM + SDMF + SEMF = SABC - SBEF C D = ( a - BE BF) SDEF đạt giá trị nhỏ � BE.BF lớn (1) Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn � BE = BF = a/2 � M trung điểm AC SDEF = a2 (a - ) = a2 Bài 4: Cho tứ giác ABCD có cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh rằng: SABCD H Bài giải: A Vẽ BH AD; BK DC a B d c C (H AD, K CD) Ta có: BH AB => BH a b D (a+c)(b+d) BK BC => BK b K SABCD = SABD + SCBD = 1 BH.AD + BK.CD (ad+bc) 2 (ab +cd) 1 (ab +ad +bc + cd) � SABCD (ab +ad +bc + cd) (1) Chứng minh tương tự ta cũng có : SABCD � 2SABCD Mà ab + ad +bc + cd = (ab +ad) + (bc +cd) = a(b+d) + c(b+d) = (a+c)(b+d)(2) Từ (1)và (2) � SABCD (a+c)(b+d) (đpcm) Bài 5: Cho ABC Gọi D trung điểm BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F Chứng minh rằng: SDEF SABC 142 A E F B C D I Bài giải: Dựng I đối xứng E qua D, ta có : BED = CID (c.g.c) � SBED = SCID Có SDEF = SFDI (chung đường cao, hai đáy nhau) Mà SFDI SDICF � SDEF SDICF � SDEF SDFC + SDIC � SDEF SDFC + SBED (1) Ta lại có: SDEF SAEDF (2) Từ (1) (2) ta có : 2SDEF SDFC + SBED + SAEDF � 2SDEF SABC Vậy SDEF SABC Dấu xảy EF AC hoặc AB, (SDEF)max = SABC Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng: SOAB + SOCD SABC B A O K O H F L D B A E D C C Hình vẽ cách Hình vẽ cách Bài giải: Cách 1: Vẽ AH BD ; CK BD (H, K BD) 143 CK.OB) 1 = ( AH OB) ( CK OD) = SOAB SOCD 2 Ta có : SOAD SOBC = ( AH.OD)( Ta có ( SOAB + SOCD)2 4SOAB.SOCD (bất đẳng thức đại số) � ( SOAB + SOCD)2 SOAD SOBC Theo bài (tr15) ta cm: SOAD = SOBC Do ( SOAB + SOCD)2( SOAD + SOBC)2 � SOAB + SOCD SOAD + SOBC � 2(SOAB + SOCD ) SOAD + SOBC + SOAB + SOCD � 2(SOAB + SOCD ) SABCD Vậy SOAB + SOCD SABCD (đpcm) Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD kéo dài E Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AE F SAEC ( SAOB SCOD ) � S EFD + SOCD SAEC (1) Ta chứng minh được: SAODF Theo kết quả ta có SAOD = SBOC Do SAOD = SBOC = SAFD (2) Chứng minh : EFD = OAD � SEFD = SAOD (3) Từ (1)(2)(3) � SOAB +SOCD = SEFD + SOCD � SOAB +SOCD SAEC (SEFD + SADF SAOD + SOCD ) (SAOB + SBOC + SAOD + SOCD ) Vậy SOAB +SOCD SABCD (đpcm) SOAB +SOCD Bài 7: Cho tứ giác ABCD P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh BC CD Chứng minh rằng: AP +AQ =a SABCD < A N M a2 D I Q B K P C Bài giải: Gọi M, N trung điểm AD, AB 144 I giao điểm AP MN Từ I kẻ IK // NP 1 IP IQ a2 � � Ta có: SIPQ IP.IQ SIPQ SIPQ < 2 � SMNPQ = SIKPN + SIKQM = 2SIPQ < a (1) Mặt khác SAMN + SBNP + SCPQ + SDMQ = SABCD (2) 2 a Từ (1) (2) � SABCD ( đpcm) 2 Bài 8: Cho hình bình hành ABCD điểm M cố định cạnh BC Lấy điểm N cạnh AD Gọi P giao điểm AM BN Q giao điểm MD NC Tìm vị trí N để diện tích tứ giác MPNQ lớn A N D P Q B M C Bài giải: áp dụng kết quả Ta có SAPM + SBPM � SAPB + SNPM SABMN SABMN Mà SAPB = SNPM (đã cm) � SNPM SABMN (1) đẳng thức xảy AB // MN Chứng minh tương tự ta có SNQM SDCMN (2) đẳng thức xảy MN // AB Từ (1) (2) � SNPM + SNQM 1 SABMN + SDCMN 4 SABCD Vậy (SMPNQ) max = SABCD � MN// AB � SMPNQ 145 Bài 9: Cho tứ giác có diện tích khơng đổi S O nằm tứ giác ABCD Xác định hình dạng tứ giác ABCD vị trí điểm O để tổng OA2 + OB2 +OC2 + OD2 đạt giá trị nhỏ B C O A H D Bài giải: Gọi BH đường cao AOB Ta có OA2 +OB2 = (OA2 - 2OA.OB + OB2) + 2OA.OB = (OA -OB)2 + 2OA.OB 2OA.OB SOAB = OA.BH có BHH OA � OB BH Do OA2 + OB2 4SOAB Chứng minh tương tự � OB2 + OC2 4SOBC OC2 + OD2 4SOCD OD2 + OA2 4SODA � 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2) 4(SOAB + SOBC + SOCD + SODA) Vậy OA2 + OB2 + OC2 + OD2 2S (không đổi) � � � � Dấu "= "xảy � OA = OB =OC = OD AOB BOC COD DOA 146 MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP ĐỀ SỐ Câu Phân tích đa thức thành nhân tử a) x7 + x2 + b) 3x2 + 8x + Câu x1 (điều kiện x �1 ) (1) a) Giải phương trình x1 b) Tìm giá trị nhỏ A x 5y 4xy 6x 14y 15 Câu Chứng minh rằng: 3(a + b + c) (a + b + c) với số thực a, b, c Câu Số công nhân hai xí nghiệp trước tỉ lệ với Nay xí nghiệp thêm 40 cơng nhân, xí nghiệp thêm 80 cơng nhân Do số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với 11 Tính số cơng nhân xí nghiệp Câu Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E F cho � EAD � FAD Chứng minh rằng: BE BF AB2 CE CF AC2 ĐÁP ÁN Câu a) x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1) b) 3x2 + 8x + = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Câu x1 a) Đặt t = điều kiện t > Khi (1) � t � t2 2t 1 � t t x1 x 1 � x � � 1� x � � �� x 3 � x 4 � � Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 x = 147 b) A x 5y 4xy 6x 14y 15 x 4xy 6x 5y 14y 15 x 2x(2y 3) (2y 3) 5y (2y 3) 14y 15 x 2y 3 y 2y 1 x 2y 3 y 1 �5x, y 2 x 1 �x 2y � A5� � �� �y �y Vậy A = � x = -1 y = Câu Ta xét hiệu: H = 3(a + b + c) - (a + b + c) = 2a + 2b + 2c - 2ab - 2ac - 2bc = (a - b) + (b - c) + (c - a) Do (a - b) với a, b (b - c) với b, c (c - a) với a, c H với a, b, c Hay 3(a + b + c) (a + b + c) với a, b, c Dấu “ = “ xảy a = b = c Câu Gọi số công nhân xí nghiệp I trước x (cơng nhân), x ngun, dương Số cơng nhân xí nghiệp II trước x (công nhân) Số công nhân xí nghiệp I là: x_+ 40 (cơng nhân) Số cơng nhân xí nghiệp II là: x + 80 (cơng nhân) Vì số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với 11 nên ta có phương trình: x + 40 x +80 = 11 Giải phương trình ta được: x = 600 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số cơng nhân xí nghiệp I là: 600 + 40 = 640 công nhân Số công nhân xí nghiệp II là: 600 + 80 = 880 công nhân Câu A H K B E D F C Kẻ EH AB Tại H, FK AC Tại K � CAF; � � CAE � � BAE BAF 148 AE EH AF FK SABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB � SACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB Tương tự CE AE.AC BE BF AB2 � (đpcm) CE CF AC2 � HAE đồng dạng KAF (g-g) � ĐỀ SỐ Câu 1Cho biểu thức A = x -5x + x -10x + a) Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị A 2x -1 = Câu a) Cho a, b, c, d > 0, chứng minh 1 a b c d 2 abc bcd cda dab b) Tìm x; y �Z thoả mãn: x + x - y = - = Câu Giải phương trình x + x + x + 3x + 2x Câu Trong tháng đầu hai tổ cơng nhân xí nghiệp dệt 800 thảm len Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt 945 thảm len Tính xem tháng thứ hai tổ đã dệt thảm len Câu Cho ABC ba điểm A', B', C' nằm cạnh BC, CA, AB cho AA', BB', CC' đồng quy ( A', B', C' không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: A' B B' C C' A 1(Định lí Xêva) A' C B' A C' B ĐÁP ÁN Câu a)ĐKXĐ : x4 – 10x2 + � � [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) � � x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) � 149 �x �1 � �x �� �x �1 2 � (x – 1)(x – 9) � � (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) � � � �� �x �� �x �3 � �x �3 Tử : x4 – 5x2 + = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) Với x ��1; x ��3 (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) A = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 2)(x + 2) b) A = � (x - 3)(x + 3) = � (x – 2)(x + 2) = � x = � 2 x 1 2x x4 � � � �� �� c) 2x -1 = � � x 1 7 � x 6 �x 3 � (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 * Với x = A = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) * Với x = - A khơng xác định Câu a) Với a, b, c, d > theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a a d 1� (1) abc a bc a bcd a a (2) a bc abcd a a ad Từ (1) (2) � (3) abcd abc abcd b b b+a < < Tương tự ta có (4) b+c+d +a b+c+d b+c+d +a Mặt khác c c cb (5) a bcd cda abcd d d dc (6) a bcd da b a bcd Cộng vế với vế (3), (4), (5),(6) ta có 1 b) a b c d 2 a bc bcd cda da b 150 x + x - y = � 4x + 4x - 4y = � 2x +1 - 2y = 2 � 2x + 2y +1 2x - xy +1 = � 2x + 2y +1=1 �x = � �� � � 2x - 2y +1= �y = � � �� 2x + 2y +1= -1 �x = -1 � � �� � � 2x 2y +1= -1 �y = � � Vậy: x; y � 0;0 ; -1;0 Câu ĐKXĐ: x �0 Phương trình đã cho tương đương với + = (*) 2x x + 3x + x + x + a b2 (a + b)2 Áp dụng BĐT + � với x, y > x y x+y a b Đẳng thức xảy x = y , ta có: (2 +1) + � = 2 2 2x x + 3x + 3x + 3x + x + x + Suy (*) � x2 + 3x + = 4x2 � x2 – x – = Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x1,2 = 1± 13 Câu Gọi số thảm len tổ I dệt tháng đầu x (x Z+, x < 800) Trong tháng đầu cả hai tổ dệt 800 thảm len nên số thảm len tổ II dệt tháng đầu (800 - x) Tháng thứ hai tổ I dệt x 15 115 x x (tấm thảm) 100 100 Tháng thứ hai tổ II dệt (800 x) 20 120(800 x ) (800 x) (tấm thảm) 100 100 Theo đề tháng hai cả hai tổ dệt 945 thảm nên ta có phương trình : 115 x 120(800 x) 945 100 100 Giải phương trình, tìm x = 300 (thỏa mãn điều kiện) 151 Vậy : Trong tháng thứ hai tổ I dệt dệt 115 300 345 (tấm thảm len), tổ II 100 120.(800 300) 600 (tấm thảm len) 100 Câu A B' C' O H B C A' K Vẽ BH AA' CK AA' A'B S AA'B ( hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A)(1) A'C S AA'C S AA'B BH Mà S ( hai tam giác có chung cạnh AA') (2) CK AA'C S AOB BH Ta lại có : S ( hai tam giác có chung cạnh OA)(3) CK AOC A'B S AOB Từ (1)(2)(3) � A'C S (4) AOC B'C S BOC C' A S COA Chứng minh tương tự � B' A S (5) ; C'B S (6) BOA COB � � Nhân vế (4)(5)(6) ta được: A'B B'C C' A S AOB S BOC S COA = = (đpcm) A'C B' A C'B S AOC S BOA S COB ĐỀ SỚ Câu Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) x + 2014x + 2013 Câu a) Chứng minh rằng: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n � N 3x - 8x + b) Tìm GTNN A = x - 2x + 152 5- x �1- 2x �1 : Câu Cho biểu thức C = � + 1- x x +1 1- x � � � x -1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số nguyên Câu Cho a < b < c < d x = (a + b)(c + d), y = (a + c)(b + d), z = (a + d)(b + c) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y,z Câu Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Vì sao? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 ĐÁP ÁN Câu a) x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng : (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) b) x + 2014x + 2013 = x + 2013x + x + 2013 = x(x + 2013) + (x + 2013) = (x +1)(x + 2013) Câu a) Ta có: x3m + + x3n + + = x3m + - x + x3n + – x2 + x2 + x + = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – x3n – chia hết cho x3 – nên chia hết cho x2 + x + Vậy: x3m + + x3n + + chia hết cho x2 + x + với m, n � N b) Ta có: 3x 8x 3(x 2x 1) 2(x 1) 3(x 1) 2(x 1) Do đó: 3x - 8x + 3(x -1)2 - 2(x -1) +1 3(x -1)2 2(x -1) A= = = = 3+ 2 2 x - 2x + (x -1) (x -1) (x -1) (x -1) x -1 (x -1) Đặt y = biểu thức A trở thành: x-1 A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + �2 � A = � y = � =1 � x=2 x-1 Câu a) ĐKXĐ: x � � 5- x �1- 2x � 1+ x + 2(1- x) -5 �(x -1)(x +1) -2 �1 : = = C= � + � � � 1- x x +1 1- x � x -1 � (1- x)(1+ x) � 1- 2x 2x -1 � 153 b) B có giá trị nguyên x số nguyên 2x -1=1 x =1 � � � � 2x -1= -1 �x = � 2x – Ư(2) � � � � � 2x -1= x =1,5 � � 2x -1= -2 �x = -1 � -2 có giá trị nguyên 2x -1 Đối chiếu ĐKXĐ có x = thoả mãn Câu Xét hiệu x - y = (a + b)(c + d) - (a + c)(b + d) = (d -a)(b -c) Vì d > a,b < c nên (d - a)(b - c) < Suy x < y (1) Xét hiệu y - z = (a + c)(b + d) - (a + d)(b + c) = (a - b)(d -c) Vì b > a,c < d nên (a - b)(d - c) < Suy y < z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z > y > x Câu H C B F O A E D K a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) � BE // DF (1) Xét hai tam giác vuông BEO DFO có: BO = DO (tính chất hình bình hành) � DOF � (hai góc đối đỉnh) BOE � BEO DFO (cạnh huyền – góc nhọn) � BE = DF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) � Tứ giác BEDF hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) � � b) Vì tứ giác ABCD hình bình hành nên ABC (tính chất hình bình = ADC hành) � HBC � Mặt khác ABC 1800 (vì hai góc kề bù) � � ADC KDC 1800 (vì hai góc kề bù) � � � HBC = KDC Xét CBH CDK có: �K � 900 H � � (chứng minh trên) HBC = KDC � CBH �CDK(g g) 154 CH CK = � CH.CD = CK.CB CB CD c) Xét AFD AKC có: � AKC � 900 AFD Góc A chung � AFD �AKC (g – g) AF AK � = � AD.AK = AF.AC AD AC Xét CFD AHC có: � AHC � 900 CFD � CAH � (so le AD//BC) DCF � CFD �AHC (g – g) CF AH � = CD AC CF AH = � AB.AH = CF.AC Mà : CD = AB � AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đpcm) � 155 ... x2 – x + b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8( x9 – 1) – 9(x8 – 1) = 8( x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7 + x6 + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5... Chứng minh f(x) = x99 + x 88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x 88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + – = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1)... 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + Suy f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + Nên f(x) = x99 + x 88 + x77 + + x11 + chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 +