Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử dành cho HSG

Chơng I: Các nội dung lý thuyết sở: a/ Định lý phép chia đa thức (phép chia hết chia có d): - Khi với hai đa thức f(x), g(x) g(x) tồn hai đa thức q(x) r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, bậc r(x) < bậc g(x) q(x) đợc gọi thơng, r(x) đợc gọi d Nếu r(x) = ta nói f(x) chia hết cho g(x) ký hiệu f(x)Mg(x) Nếu r(x) ta nói f(x) chia cho g(x) có d b/ Hệ quả: Ta có f(a) d phép chia f(x) cho x- a c/ Định nghĩa nghiệm đa thức ẩn: Phần tử A đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f() = d/ Định lý Bơdu nghiệm đa thức: Phần tử nghiệm đa thức f(x) f(x)M x- e/ Các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp - Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử Ví dụ1: A(x) =10x2-7x+a (aQ) xác định a cho A(x) chia hết cho 2x-3 Đặt phép chia đa thức: 10x2-7x+a 2x-3 10x -15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 Để A(x) M 2x-3 ta phải có: a+12=0 a= -12 Vậy a=-12 A(x) chia hết cho 2x-3 Ví dụ 2: Cho đa thức: A(x) = a2x3+3ax2-6x-2a (a Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phép chia đa thức: a2x3+3ax2-6x-2a x+1 2 -a x +a x ax2+(3a-a2)x+(a2-3a-6) (3a-a2)x2-6x-2a -(3a-a2)x2+(3a-a2)x -a2+a+6 Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a2+a+6=0 (a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 Vậy a=-2 a=3 A(x) chia hết cho x+1 Ví dụ 3: Phân tích đa thức 5x3-2x-3 thành nhân tử, Dễ thấy x=1 nghiệm , theo định lý Bơdu đa thức 5x 3-2x-3 chia hết cho x-1 Thực phép chia ta đợc: 5x3-2x-3 =(x-1)(5x2+5x+3) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x)=3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 thành nhân tử Dễ thấy x=1 nghiệm Vì đa thức cho chia hết cho x-1 Thức phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x4- 3x3-5x2-x-2) Dễ thấy 3x4- 3x3-5x2-x-2 có nghiệm x= -1 Thực phép chia ta đợc: 3x4- 3x3-5x2-x-2=(x+1)(3x3-6x2+x-2) Dễ thấy 3x3-6x2+x-2 có nghiệm x= Vì 3x3-6x2+x-2=(x-2)(3x2+1) Vậy 3x5- 6x4-2x3+4x2-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x2+1) Chơng II .Một số tập vận dụng cách giải: I- Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp tách hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4 Nhận xét: Đa thức không chứa thừa số chung Không có dạng đẳng thức đáng nhớ, nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x -8x+4 =3x2-6x-2x+4= (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) =(x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 3x -8x+4 =4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax 2+x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b1x+b2x cho: b1b2= ac Trong thực hành ta làm nh sau: Bớc 1: Tìm tích ac Bớc 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x2-4x-3 (a=4,b=-4,c=-3) Ta có: ac= 4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2= -4 =b nên ta làm nh sau: Cách 1: 4x2-4x-3 = 4x2-6x+2x-3 = (4x2-6x)+(2x-3) = 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 = (4x2-4x+1)-4 = (2x-1)2-22 = (2x-1-2)(2x-1+2) =(2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ ta thấy việc tách số hạng thành nhiếu số hạng khác thờng nhằm mục đích: + Làm xuất hệ số tỷ lệ nhờ mà xuất thừa số chung (cách 1) + Làm xuất hiệu hai bình phơng (cách 2) Với đa thức có bậc từ trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỷ lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất nghiệm đa thức Ta nhắc lại khái niệm nghiệm đa thức: Số a đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f(a)=0 Nh đa thức f(x) có nghiệm x-a chứa thừa số x-a Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an với a0,a1, ,an-1,an Z có nghiệm x= a (a Z) => a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn 1) b0,b1, ,bn-1,bn Z Số hạng có bậc thấp tích vế phải bằng-abn-1 Số hạng có bậc thấp vế phải an -abn-1= an tức a ớc an Vậy đa thức có nghiệm nguyên nghiệm ớc hạng tử tự an Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2-4 Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x= chứa thừa số (x-2) Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 = (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên đa thức nên nhớ định lý sau: *ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số x-1 Ví dụ; x3-5x2+8x-4 x-1 -x -x x2-4x+4 - 4x2+8x-4 - 4x2+4x 4x-4 4x-4 Vậy x -5x +8x-4 = (x-1)(x2-4x+4) = (x-1)(x-2)2 */ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thức đa thức chứa thừa số x+1 Ví dụ: x3-5x2+3x+9 Ta có 9-5=1+3 -1 nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số x+1 x3 5x2+3x+9 x+1 2 -x + x x -6x+9 -6x +3x+ x2-6x 9x+9 -9x+9 Vậy x -5x +3x+9 =(x+1)(x2-6x+9) =(x+1)(x-3)2 Để nhanh chóng loại trừ ớc hệ số tự không nghiệm đa thức, dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(-1) thì: f(1):(a-1) f(-1): (a+1) số nguyên Ví dụ: f(x)=4x3-13x2+9x-18 Ư(18)=1,2,3,6,9,18 f(1)=4-13+9-18=-18 f(-1)=-4-13-9-18=-44 nghiệm f(x) Dễ thấy: a -2 -3 -6 -9 18 -18 -9 f(1) 18 -18 18 18 18 18 18 18 18 a = a 10 17 19 f(1) 44 = a +1 a +1 Ta có: : 44 -44 11 18 18 18 18 18 18 18 ; ; ; ; ; ; Z 18 18 Nên: -3;6;9;18 không nghiệm f(x) 44 Z nghiệm f(x) +1 Nếu phơng trình có nghiệm nguyên -2 NHẩm ta thấy x= nghiệm f(x) 4x3-13x2+9x-18 = 4x3-12x2-x2+3x+6x-18 = (4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) = 4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) = (x-3)(4x2-x+6) Các toán luyện Tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x x +6 d, x 13 x +36 b, 3x x +4 e, x +3 x 18 c, x +8 x +7 f, x x 24 g , 3x 16 x +5 h, 8x +30 x +7 i, 2x x 12 k, 6x x 20 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1/ x x + x 2/ x + x 3 / x3 + x + x + 4/ x x + 5/ x x + x + 16 6/ 4x 13 x + x 18 / x3 x x + 8/ x3 x + x + 9/ 6x x 486 x + 81 10/ x x 11/ x 3x + 12/ x x + 3x + 13 / x + x + 17 x + 10 14/ x + x + x + 15/ x x 16/ 2x3 12 x + 17 x 17 / x + x + 18/ x + x + x + 19 / x + x + 26 x + 24 20/ 2x x + x 21/ 3x 14 x + x + 22/ x + x + x + x + (Đa thức cho có nhiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) II/ phơng pháp thêm bớt số hạng làm xuất hai bình phơng xuất nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81 4x4+81 =4x4+36x2+81-36x2 = (4x4+36x2+81)-(6x)2 =(2x2+9)2-(6x)2 = (2x2+9-6x)(2x2+9+6x) Ví dụ2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1 x7+x2+1 =x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+(x2+x+1) =x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) =x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] =(x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+xm +1 chứa thừa số (x2+x+1) Các toán Bài 1: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử: 1/ (1 + x ) x(1 x ) 2/ ( x ) + 36 3/ x + 4/ x + 64 / 64x + 6/ 81x + 7/ 4x + 81 8/ 64x + y / x4 + y 10/ x + x + Bài 2: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử: 1/ x + x + 2/ x + x5 + phụ) 3/ x5 + x + 4/ x5 + x + / x8 + x + 6/ x5 x 7/ x + x 8/ x10 + x5 + III/ Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đổi biến( đặt nhân tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:x(x+4)(x+6)(x+10)+128 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12= y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128= y2-16 = (y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)(x2+10x+8) =(x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phơng pháp đổi biến ta đa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x4+6x3+7x2-6x+1 A= x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 = x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 = (x2+3x-1)2 Các toán Bài 1:Phân tích đâ thức sau thành nhân tử 1/ x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 2/ (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) 24 3/ ( x + x + 8) + x( x + x + 8) + x 4/ ( x + x) + x + x 12 / x + xy + y + x + y 15 6/ (x + a)( x + a)( x + 3a )( x + 4a ) + a / x 11x + 8/ ( x + x) + 3( x + x) + / x xy + y + x y 10 10/ ( x + x) + x + 18 x + 20 11/ x xy + y x + y 35 12/ (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16 Bài 2: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử 1/ x + x + x x +1 /( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz + zx) IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp hệ số bất định: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4-6x3+12x2-14x+3 Thử: x= 1; không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên nghiệm hữu tỷ Đa thức phân tích đợc thành thừa số phải có dạng: (x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd =x4 -6x3 +12x2 -14x+3 a + c = ac + b + d = 12 ad + bc = 14 bd = * bd=3 mà b,d Z => b { 1; 3} a + c = a = - Với b=3 => d=1 ac = a + 3c = 14 c = a = b = Vậy: => x4-6x3+12x2-14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1) c = d = Các toán Bi 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = x x3 + 12 x 14 x + b) B = x + x + x + x + c)C = 3x + 22 xy + 11x + 37 y + y + 10 d ) D = x x + 14 x x + e) E = x x + 63 V/ Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp xét giá trị riêng: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) Thay x= y => P = nên x= y nghiệm đa thức P biện x nên P chia hết cho x - y hay P chứa thừa số x- y Tơng tự: P chứa thừa số y-z, z-x P có dạng K(x-y)(y-z)(z-x) Nhận thấy K phải số (không chứa biến) P có bậc ba tập hợp biến x,y,z (x-y)(y-z)(z-x) có bậc ba tập hợp biến x,y,z Ví đẳng thức x2(y-x)+y2(z-x)+z2(x-y)=K(x-y)(y-z)(z-x) nên ta gán cho biến x,y,z giá trị riêng chẳng hạn x=2,y=1,z=0 ta đợc: 4.1+1.(-2)+0=K.1.1.(-2) -2K= K= -1 Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x) hay P=(x-y)(y-z)(x-z) Các toán Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/ M = a (b + c a ) + b(c + a b) + c(a + b c ) + (a + b c)(b + c a )(c + a b) b/ N = a (m a ) + b(m b) + c (m c) abc , với 2m = a+ b + c c ) A = (a + b + c )(ab + bc + ca ) abc d ) B = a (a + 2b)3 b(2a + b)3 e)C = ab(a + b) bc(b + c ) + ac(a c ) f ) D = (a + b)(a b ) + (b + c)(b c ) + (c + a )(c a ) g ) E = a (c b ) + b3 (a c ) + c (b a ) + abc (abc 1) h) f = a (b c)3 + b(c a)3 + c (a b)3 k )G = a 2b ( a b) + b c (b c ) + a 2c (c a ) m) H = a (b c) + b (c a ) + c (a b) VI/ Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp giảm dần số mũ luỹ thừa: ( =(a Phơng pháp sử dụng đợc cho số đa thức đặc biêt Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = a + a + Ta có: A = a + a + a a a + a + a a + ) ( ) ( = a5 + a + a3 a3 + a + a + a + a + )( a + a2 + a + ) ) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A = a10 + a + Ta có: A = a10 + a + a a + a a + a a + ( ) ( ) ( ) ( = a10 a a a + a a + a + a + Ta có: ( ) ( )( a10 a = a a = a a a + ( =(a )( ) ( )( ) = a a + a = ( a 1) a + a + a + a )( (a ) + a + a8 a + a5 a )( = a a3 a3 + 2 ( ) ) = ( a 1) ( a + a ) = ( a 1) ( a + a + ) ( a + a ) = ( a + a + 1) ( a a + a a ) a a = a ( a 1) = ( a a ) ( a + a + ) Nên suy ra: A = ( a + a + 1) ( a a + a a + a a + 1) a8 a2 = a2 ) ) 2 2 Chơng III Các tập tìm nghiệm đa thức: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên đa thức: f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+ phân tích đa thức thành nhân tử Hạng tử tự 6; Ư(6)=+ 1; 2; 3; Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 nên -1 nghiệm đa thức f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 nghiệm đa thức f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 nghiệm đa thức f(1)=2+7-2-13+6=0 nên nghiệm đa thức f(2)=32+56-8-26+6=60 nên nghiệm đa thức f(3)=162+189-18-39+6=300 nên nghiệm đa thức Đa thức có nghiệm hữu tỷ mẫu số phải ớc 2, Do 1,2,-1,-2 mẫu số nghiệm Nên nghiệm đa thức 1 1 f( ) = + 13 + = 16 2 Suy ; ; 2 ; 2 nghiệm đa thức Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm lần lợt là: 1;-2;-3; *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x- => f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- ) Ví dụ 2: Tìm nghiệm đa thức phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6 Ư(6)= 1; ;+-3 ; f(1)=1-6+11-6=0 => nghiệm f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => nghiệm f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => nghiệm f(x) Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm 1,2,3 Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3 f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) Chơng IV: Các tập phép chia hết phép chia có d đa thức: Ví dụ 1: Xác định số a cho x3-3x+a chia hết cho (x-1)2 Cách 1: Đặt phép chia, cho số d x3 -3x+a x2-2x+1 x3-2x2+x x+2 2x - 4x+a 2x2-4x+ a-2 Vì phép chia phép chia hết nên a-2=0 a=2 Cách 2: Dùng phơng pháp hệ số bất định: Nếu đa thức x3-3x+a chia hết cho đa thức x2-2x+1 thơng nhị thức bậc có hạng tử bậc cao x3:x2= x Hạng tử bậc thấp a:1= a Nh x3-3x+a đồng với ( x2-2x+1)(x+a) tức đồng với x3+(a-2)x2+(1-2a)x+a a = a=2 2a = Do hệ số tơng ứng phải tức là: Cách 3: Phơng pháp giá trị riêng: Gọi thơng phép chia Q(x) ta có: x3-3x+a=(x-1)2.Q(x) với R Với x=1 1-3.1+a=0.Q(1) hay 2+ a= tức a= Thử lại (x3-3x+2): (x2-2x+1)=x+2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nguyên n để giá trị biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức (2n-1) Đặt phép chia: 10 2n2+3n+3 2n+1 2n -n n+2 4n+3 4n-2 Đa thức 2n +3n+3 không chia hết cho đa thức(2n-1) nhng có giá trị nguyên n để giá trị 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị 2n-1 Vậy (2n-1) phải Ư(5)= 1; 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n= -2 Vậy với n=-2;0;1;3 giá trị biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho giá trị biểu thức (2n-1) Chơng V: tập tự luyện 1/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ x5 + x + p/ b/ x 10x + 16 q/ c/ a + 64b r/ d/ ( x + x ) ( x + x + 1) e/ f/ g/ h/ k/ m/ n/ ( a b) 3 x + x +1 x + 9x + 26x + 24 a + b + c3 3abc 5x + 8x 13 4x 17xy + 13y 10 2 + x ) + ( x + x ) 12 + x + 1) ( x + x + ) 12 ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) 24 (x v/ ( x u/ + ( b c) + ( c a ) f (x (x 2 + 4x + ) + 3x ( x + 4x + ) + 2x 2 + 15x + 50 ) ( x + 18x + 72 ) 3x s/ x10 + x5 + z/ x5 + x + x + x + x + l/ 4b c2 ( b + c2 a ) j/ 1/2(x2+y2)-2x2y2 x + 4x 31x 70 i/ (2x-3)2-(x+5)2 o/ x2+5x+6 2/ Tìm điều kiện hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B a/ A = ax + bx 3x 2;B = ( x 1) ( x + ) b/ A = x 5bx + 2a;B = ( x + ) c/ A = x + 2x 7x + 3a + 5;B = x + 3x + 2 11 [...]... 4n-2 5 2 Đa thức 2n +3n+3 không chia hết cho đa thức( 2n-1) nhng có những giá trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của 2n-1 Vậy (2n-1) phải là Ư(5)= 1; 5 2n-1=1 2n-1=-1 2n-1=5 2n-1=-5 n=1 n=0 n=3 n= -2 2 Vậy với n=-2;0;1;3 thì giá trị của biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1) Chơng V: bài tập tự luyện 1/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ x5... ) 3x 2 s/ x10 + x5 + 1 z/ x5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 2 l/ 4b 2 c2 ( b 2 + c2 a 2 ) j/ 1/2(x2+y2)-2x2y2 x 3 + 4x 2 31x 70 i/ (2x-3)2-(x+5)2 o/ x2+5x+6 2/ Tìm điều kiện của hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B 3 2 a/ A = ax + bx 3x 2;B = ( x 1) ( x + 2 ) b/ A = x 3 5bx + 2a;B = ( x + 2 ) c/ A = x 4 + 2x 2 7x + 3a + 5;B = x 2 + 3x + 2 2 11